Teoremas de la Función Inversa y de la Función Impĺıcita

Transcripción

1 Teorems de l Función Invers y de l Función Impĺıcit Betriz Porrs 1 Introducción En el cpítulo nterior estudimos lguns propieddes de ls funciones diferencibles que tenín l diferencil nul El desrrollo de Tylor de l Función permití comprrl con un función cudrátic, en un entorno del punto crítico, y prtir de hí podímos hcer un estudio de esos puntos críticos pr determinr los extremos de l función Cundo por el contrrio l diferencil es no nul, l propi definición de l diferencibilidd nos permite proximr l función con un plicción linel Est proximción, unque es solmente locl, nos permite comprr ls propieddes de un función con propieddes de ls plicciones lineles; y un de ls propieddes más importntes de ls plicciones lineles es su inversibilidd En el Teorem de l Función Invers se dn condiciones que segurn que si l diferencil de un función en un punto de su dominio es inversible, l propi función tiene un invers locl en un entorno de, e incluso determin l form de clculr l diferencil de l función invers F 1 Este tipo de resultdo es especilmente útil en un signtur de nálisis pr el estudio de funciones que no están definids con un fórmul expĺıcit, sino por el hecho de ser l invers de otr función Así por ejemplo en el nálisis de funciones reles de un vrible rel se utiliz el teorem de l función invers pr determinr l derivd de l función logritmo, o de ls funciones trigonométrics inverss rcoseno, rcocoseno, rcotngente, Ejemplo 1 L función logritmo se define como l invers de l exponencil L función exponencil, f(x) = e x, f : R R, es inyectiv en R y derivble, y verific f (x) = e x en culquier punto de R L función invers g : R + R, definid por g(y) = el único x R tl que e x = y es l función logritmo, g(y) = ln y Pr clculr l derivd de g, utilizmos l regl de l cden plicd l composición de ls dos funciones: 1

2 derivndo luego (f g)(y) = f(g(y)) = y (f g) (y) = f (g(y)) g (y) = 1 g (y) = 1 f (g(y)) = 1 e = 1 g(y) y Pr que este rgumento se correcto, hce flt comprobr que se puede plicr l regl de l cden, es decir, hce flt demostrr primero que l función logritmo g(y) = ln y es derivble Esto será lo que demuestre el Teorem de l Función Invers En el cso del nálisis de vris vribles veremos un primer plicción en l demostrción del segundo teorem de este cpítulo, el Teorem de l Función Impĺıcit Y jugrá un ppel fundmentl en l teorí de integrción, pr l utilizción de cmbios de vribles, y en el cálculo vectoril sobre curvs y superficies En un lenguje lgebrico, l condición pr que un función definid en un conjunto bierto U de R n, F : U R n teng invers, es que se inyectiv, es decir, que pr cd y F (U) exist un único x U tl que F (x) = y Escribiendo ls coordends de y y ls componentes de F, se trt de que el sistem de ecuciones f 1 (x 1,, x n ) = y 1 f n (x 1,, x n ) = y n teng pr cd y F (U) un únic solución en U En el Teorem de l Función Invers se dn condiciones pr que un función de clse C 1 definid en un bierto de R n pued tener un invers tmbién de clse C 1, l menos locl en un entorno de un punto de U L regl de l cden nos permitirá luego clculr l diferencil de es función invers El Teorem de l Función Impĺıcit se bs en ls propieddes de los sistems de ecuciones con infinits soluciones: cundo un sistem de m ecuciones con n + m incógnits es comptible indetermindo, tiene infinits soluciones y se dice que el conjunto de soluciones está definido impĺıcitmente por el sistem de 2

3 ecuciones Así, por ejemplo, se define impĺıcitmente un rect en el espcio medinte un sistem de dos ecuciones con tres incógnits que expres l intersección de dos plnos L resolución del sistem de ecuciones despejndo dos vribles en función de l tercer nos d un ecución que describe l rect como l gráfic de un función (de R en R 2 ) En el Teorem de l Función Impĺıcit se dn condiciones pr que un sistem de ecuciones descrito por un función de clse C 1 de R n+m en R m defin impĺıcitmente un función tmbién de clse C 1, de modo que el conjunto de soluciones del sistem de ecuciones se pued expresr como l gráfic de es función; y pr clculr l diferencil de es función Aunque prentemente los dos teorems son muy distintos, el hecho es que son equivlentes: vmos demostrr primero el Teorem de l Función Invers, y luego como plicción el Teorem de l Función Impĺıcit, pero pueden demostrrse tmbién en el orden contrrio, y deducir el Teorem de l Función Invers como plicción del Teorem de l Función Impĺıcit 2 Teorem de l Función Invers El teorem de l Función Invers se bs en l proximción de un función diferencible por un plicción linel Si F es un función definid en un bierto de R n y con vlores en un espcio de l mism dimensión R n, su diferencil en un punto x 0 de U es un plicción linel de R n en R n Pr que un plicción linel entre espcios vectoriles de l mism dimensión se inversible, bst que se inyectiv, y que utomáticmente entonces es biyectiv Y que se inyectiv es equivlente que su núcleo se únicmente el vector cero (el núcleo de un plicción linel es el conjunto de vectores que se trnsformn en cero) Cundo un plicción linel no es biyectiv, contre el espcio en un subespcio de dimensión menor (por ejemplo trnsform el espcio tridimensionl en un plno, o en un rect) Cundo por el contrrio es biyectiv, sólo produce un deformción en el espcio, pero sigue mnteniendo l mism dimensión Cundo se trt de funciones no lineles, el comportmiento puede no ser el mismo en todo en conjunto donde está definid l función: puede plstrlo por un ldo, e inflrlo por otro Así que el estudio de l función no puede hcerse de form globl, sino que se hce de form locl: se estudi el comportmiento de F en un entorno de un punto x 0 Ls observciones o conclusiones que se obtienen tiene vlidez sólo de form locl Est es un crcterístic propi del Análisis Mtemático, que se reflej en especil en los dos teorems de este cpítulo Pr ls próxims demostrciones utilizremos en vris ocsiones ls sigu- 3

4 ientes observciones: Observciones: 1 Recordemos que si F es un función diferencible en un punto x 0, se llm Jcobino de F en x 0 l determinnte de l diferencil de F en x 0 df (x 0 ) 1 (x 0 ) JF (x 0 ) = det df (x 0 ) = df n df (x 0 ) n (x 0 ) 2 Se F : U R n un función de clse C 1 (U) en un bierto U de R n Definimos un función (z 1,, z n ) = (z 1 ) df n (z n ) (z 1 ) df n (z n ) : U U R es continu Si (,, ) 0, existirá un entorno B de (,, ) en U U de modo que (z 1,, z n ) 0 pr todos (z 1,, z n ) B, o equivlentemente, existirá un bol B(, r) U de modo que (z 1,, z n ) 0 pr todos z 1,, z n B(, r) En prticulr (x,, x) 0 pr todo x B(, r) U U U (x, x) x (, ) (z 1,z 2 ) z 2 B(, r) B z 1 B(, r) x U 4

5 Lem 1 Se U un conjunto bierto de R n, F : U R n un función de clse C 1 (U), y U tl que JF () 0 Entonces: ) Existe r > 0 tl que B(, r) U, JF (x) 0 pr todo x de l bol cerrd B(, r), y F es inyectiv en B(, r) b) Existe s > 0 tl que B(F (), s) F (B(, r)) Demostrción: U F (U) r F s F (B(, r)) F () Consideremos como en l observción nterior l función df (z 1 ) 1 (z 1 ) (z 1,, z n ) = df n df (z n ) n (z n ) Como F es de clse C 1, es continu; y por hipótesis (,, ) = JF () 0 Por tnto existe un bol B(, R) contenid en U de modo que (z 1,, z n ) 0 pr todos z 1,, z n en B(, R) Tomndo un rdio r < R podemos segurr demás que B(, r) está contenid en U Vemos hor que se verific el prtdo (): Sen x, y B(, r) tles que F (x) = F (y) Aplicndo el teorem del Vlor Medio cd componente de F en el segmento [x, y], se tiene que pr cd j {1,, n} existe un punto z j [x, y] tl que 0 = f j (x) f j (y) =< f j (z j ), (x y) > lo que nos d un sistem de ecuciones (z 1 )(x 1 y 1 ) + + (z 1 )(x n y n ) = 0 df n (z n )(x 1 y 1 ) + + df n (z n )(x n y n ) = 0 5

6 Es decir, el vector x y es un solución del sistem, cuy mtriz de coeficientes es df x 1 (z 1 ) 1 (z 1 ) df n df (z n ) n (z n ) Su determinnte es (z 1,, z n ) que por construcción de B(, r) es distinto de cero Así el sistem es homogéneo comptible determindo, que sólo tiene l solución trivil, y por tnto tiene que ser x y = 0 Luego en efecto F es inyectiv en B(, r) Además JF (x) = (x,, x) 0 pr todo x de bol B(, r) Vemos hor el prtdo b) Definimos l función φ : S(, r) R por φ(x) = F (x) F () U F (U) F (x) x F φ(x) = F (x) F () B(, r) F () F (B(, r)) φ es un función continu Además φ(x) > 0 pr todo x S(, r), y que F es inyectiv en l bol cerrd de centro y rdio r y si x S(, r), x Y S(, r) es un conjunto compcto Por tnto φ lcnz en mínimo en S(, r) Es decir, existe un punto z S(, r) tl que φ(z) = F (z) F () = min{ F (x) F () ; x S(, r)} > 0 Llmmos s = φ(z)/2 Vmos ver que B(F (), s) F (B(, r)) 6

7 U F (U) z F F () B(, r) F (z) F (B(, r)) s = φ(z)/2 Se y 0 B(F (), s), fijo Hy que ver que existe un punto x 0 B(, r) tl que y 0 = F (x 0 ) U Definimos hor l función ψ : B(, r) R por ψ(x) = F (x) y 0 F (U) x F F () F (x) B(, r) y 0 F (B(, r)) ψ(x) = F (x) y 0 Otr vez ψ es continu, y B(, r) es compcto, y por tnto ψ lcnz el mínimo en un punto x 0 de B(, r) Vemos que x 0 está de hecho en l bol biert de centro y rdio r Por un ldo tenemos que ψ(x 0 ) ψ() = F () y 0 < s = φ(z)/2 Por otro ldo, si fuese x 0 S(, r), tendrímos ψ(x 0 ) = F (x 0 ) y 0 = F (x 0 ) F () (y 0 F ()) F (x 0 ) F () y 0 F () F (x 0 ) F () y 0 F () = φ(x 0 ) y 0 F () > φ(z) s = φ(z)/2 7

8 en contrdicción con l desiguldd nterior, luego necesrimente x 0 está en l bol biert y no en l esfer Qued por probr que F (x 0 ) = y 0 Como x 0 es un mínimo de ψ, que es un función positiv, tmbién es mínimo n de ψ 2 (x) = (f j (x) yj 0 ) 2 ; y como es un punto del interior de su dominio, j=1 tiene que ser un punto crítico de ψ 2 Es decir, pr todo i = 1,, n se tiene 0 = dψ2 dx i (x 0 ) = n i=1 2 df j dx i (x 0 ) (f j (x 0 ) y 0 j ) lo que d lugr un sistem de ecuciones (x 0 ) (f 1 (x 0 ) y dx 1) df n (x 0 ) (f n (x 0 ) y 1 dx n) 0 = 0 1 (x 0 ) (f 1 (x 0 ) y dx 1) df n (x 0 ) (f n (x 0 ) y n dx n) 0 = 0 n Es decir, el vector F (x 0 ) y 0 es solución del sistem homogéneo que tiene como mtriz de coeficientes df (x 0 ) t, l trnspuest de l diferencil de F en x 0, que tiene determinnte distinto de cero por l construcción de B(, r) l principio de l demostrción Así, el sistem es comptible determindo, y sólo puede tener l solución trivil, luego tiene que ser F (x 0 ) = y 0, como querímos demostrr Observciones: Si U es un bierto de R n, y F : U R n es un función de clse C 1 en U tl que JF (x) 0 en todos los puntos x U, se puede plicr el lem nterior en cd punto de U Aplicndo el primer prtdo, se obtiene que pr cd punto x U existe un bol B(x, r x ) de modo que F es inyectiv en l bol cerrd B(x, r x ) Sin embrgo no se puede segurr que F se inyectiv en todo U Aplicndo el segundo prtdo, pr cd x de U hy un bol centrd en F (x), B(F (x), s x ), contenid en F (B(x, r x )), que su vez está contenido en F (U) Por tnto F (U) es bierto 8

9 Teorem (de l Función Invers) Se U un bierto de R n, F : U R n un función de clse C 1 en U, y U tl que JF () es distinto de cero Entonces existen dos conjuntos biertos A U y B F (U), y un función G, tles que: i) A y b = F () B ii) B = F (A) iii) F es inyectiv en A iv) G : B R n verific G(B) = A y G(F (x)) = x pr todo x A v) G es de clse C 1 en B, y dg(f (x)) = (df (x)) 1 pr todo x A En prticulr dg(b) = (df ()) 1 Se dice entonces que F dmite, en un entorno de, un invers locl de clse C 1, o que G es un invers locl, de clse C 1, de F en un entorno de Demostrción: (Sltr l finl de l demostrción) Como en el teorem nterior, existe un bol B(, r) tl que B(, r) U, F es inyectiv en B(, r), y (z 1,, z n ) 0 pr todos z 1,, z n B(, r), con l función definid ntes Y existe B(F (), s) F (B(, r)) Llmmos B = B(F (), s), y A = F 1 (B) B(, r) Pr entender est construcción hremos un representción gráfic en el cso de funciones de R en R 9

10 F (B(, r)) B = B(F (),s) b = F () B(, r) A = F 1 (B) B(, r) F 1 (B) B es bierto, por ser un bol biert A es bierto, y que como F es continu F 1 (B) es bierto, y B(, r) es bierto Además B F (B(, r)) F (U), y A B(, r) U Y evidentemente b = F () B, y F 1 (B) B(, r) = A Vemos que F (A) = B Por un ldo, como por definición A F 1 (B), entonces F (A) B Por otro ldo, si y B, como B F (B(, r)), existe un x B(, r) tl que F (x) = y En prticulr x B(, r) F 1 (B) = A y por tnto y = F (x) F (A) Luego B F (A) Tmbién tenemos que F es inyectiv en A, por ser un subconjunto de B(, r) Pr construir G, considermos l restricción de F B(, r) F es inyectiv y continu en l bol cerrd, que es compcto, y por tnto l invers de F es continu F : B(, r) R n y el único x B(, r) F 1 : F (B(, r)) B(, r) tl que F (x) = y Y definimos G = (F 1 ) B l restricción de F 1 B Como B = F (A) y A B(, r), es evidente que G(B) = A y que G(F (x)) = x pr todo x A 10

11 Pr terminr l demostrción del teorem hy que ver que G es de clse C 1 en B Se y B, fijo Vmos ver que existen tods ls derivds prciles dg k (y), y que ess derivds prciles son continus en B dy i Considermos el i-ésimo vector de l bse cnónic de R n, e i, y t 0 suficientemente pequeño pr que y+te i B Entonces existen x y x t en A tles que y+te i = F (x t ) e y = F (x), o equivlentemente G(y+te i ) = x t, G(y) = x F 1 (B) B(, r) A F y B y + te i e i x t = G(y + te i ) b = F () x = G(y) G Prtimos de l ecución F G(y) = y pr todo y B, o f j (G(y)) = y j pr cd j = 1,, n, y pr todo y B Por un ldo f j (G(y + te i )) f j (G(y)) t = (y + te i) j y j t = (e i ) j = { 0 si i j 1 si i = j y por otro ldo, plicndo el primer teorem del vlor medio cd componente de F en el segmento [x t, x] (que está contenido en B(, r)),existen z 1,, z n en [x t, x] tles que f j (G(y + te i )) f j (G(y)) t =< f j (z j ), G(y + te i) G(y) t = f j(x t ) f j (x) t n >= k=1 =< f j (z j ), x t x t > df j (z j ) g k(y + te i ) g k (y) dx i t Desrrollndo cd ecución, pr j=1,,i,,n, obtenemos un sistem de ecuciones 11

12 0 = (z 1 ) g 1(y + te i ) g 1 (y) t = 1 = df i (z i ) g 1(y + te i ) g 1 (y) t = + + (z 1 ) g n(y + te i ) g n (y) t + + df i (z i ) g n(y + te i ) g n (y) t 0 = df n (z n ) g 1(y + te i ) g 1 (y) + + df n (z n ) g n(y + te i ) g n (y) t t Es decir, el vector G(y + te i) G(y) es solución del sistem de ecuciones, t que tiene como mtriz de coeficientes (z 1 ) (z 1 ) df n df (z n ) n (z n ) cuyo determinnte (z 1,, z n ) es distinto de cero por l construcción de B(, r) L regl de Crmer nos permite escribir cd coordend de l solución del sistem de ecuciones como un cociente de determinntes: el denomindor es el determinnte de l mtriz de coeficientes, y el numerdor es el determinnte de l mtriz que result de sustituir en l mtriz de coeficientes l column correspondiente por l de términos independientes, k (z 1,, z n ) g k (y + te i ) g k (y) = t (z 1 ) 0 df i = (z i ) 1 df n (z n ) 0 (k) = k (z 1,, z n ) (z 1,, z n ) 1 (z 1 ) df i (z i ) df n (z n ) ( (z 1,, z n )) 1 = Y hor, hciendo que t tiend cero, como G es continu en B se tiene que G(y + te i ) tiende G(y), y por tnto los puntos z j que están en el intervlo [x t, x] = [G(y + te i ), G(y)] tienden x = G(y) Y como en F es de 12

13 clse C 1 en U, k (z 1,, z n ) tiende k (x,, x) = k (G(y),, G(y)), y (z 1,, z n ) tiende (x,, x) = (G(y), G(y)) que es distinto de cero (por l construcción de B(, r) l principio de l demostrción) Así pues, existe lim t 0 g k (y + te i ) g k (y) t dg k (y) = k(g(y),, G(y)) dy i (G(y),, G(y)) = dg k dy i (y) y vle Además se deduce que G es de clse C 1 en B, y que ls derivds prciles son cociente de funciones continus con denomindor no nulo Pr terminr l demostrción, sbiendo y que F y G son diferencibles, y utilizndo l regl de l cden, como G F (x) = I(x) = x pr todo x A, se tiene luego dg(f (x)) df (x) = di(x) = I dg(f (x)) = (df (x)) 1 pr todo x A, y en prticulr dg(b) = (df ()) 1 (Volver l enuncido) Observciones: 1 El teorem se puede resumir diciendo que en ls condiciones dds sobre F y, existe un entorno A de en U en el que F es inyectiv, F (A) es bierto, y l invers de F, F 1 : F (A) A es tmbién de clse C 1 2 Si F es de clse C p (U), l invers F 1 tmbién es de clse C p (F (A)) 3 El teorem no es cierto si se sustituye l condición de que F se de clse C 1 por l condición más débil de que se solmente diferencible Como ejemplo, bst considerr l función f(x) = { 1 x + 2 x2 sen 1 x si x 0 0 si x = 0 f es continu y diferencible en R, y f (0) 0, sin embrgo no tiene invers y menos ún invers diferencible, en ningún entorno de x = 0, y que no es inyectiv en ningún entorno de x = 0 13

14 Definición (Difeomorfismo) Ddo un conjunto bierto U en R n, se llm un difeomorfismo en U un función F : U R n que es diferencible en U, inyectiv, y con invers diferencible, F 1 : F (U) U Se dice que F es un difeomorfismo de clse C p si F y F 1 son de clse C p en sus dominios 3 Teorem de l Función Impĺıcit Como l myorí de los teorems del Análisis, el teorem de l función impĺıcit es tmbién un teorem locl Se trt de ver cómo en un entorno de un punto, se puede describir el conjunto de soluciones de un sistem de ecuciones como l gráfic de un función Consideremos como ejemplo l ecución de l circunferenci de centro (0, 0) y rdio 1 en el plno x 2 + y 2 1 = 0 y un punto (, b) de es circunferenci con b > 0 En un entorno suficientemente pequeño de (, b) se puede despejr y como función de x medinte l fórmul y = 1 x 2 b y = 1 x 2 x = 1 y 2 b y = 1 x 2 Si b < 0 se despejrá y = 1 x 2 Y si b = 0, no podemos despejr y, pero si podemos despejr x, medinte l función x = 1 y 2 si > 0, o y = 1 y 2 si < 0 L situción generl prtirá de un sistem de m ecuciones con n + m incógnits, y nos plnteremos l posibilidd de despejr m vribles como función de ls otrs n Un cso típico es l resolución de sistems lineles comptibles indetermindos Consideremos por ejemplo el sistem de ecuciones 3x +2y z +u = 0 ( ) 0 x +z +u =

15 Hbitulmente este sistem se resuelve buscndo en l mtriz de coeficientes un menor de orden dos distinto de cero, como por ejemplo el correspondiente ls dos últims columns y psndo ls otrs dos vribles l otro ldo de l iguldd, con lo que qued un sistem dos por dos comptible determindo, que determin el vlor de z y u pr cd vlor de x e y z + u z + u = 3x 2y = x z = x + y u = 2x y Otr mner de resolver el sistem es convertirlo en un sistem comptible determindo ñdiendo ecuciones, en vez de eliminr vribles: Consideremos el sistem de ecuciones x = x y = y 3x 2y z +u = 0 x +z +u = 0 que en form mtricil es, pr cd vlor de x e y x y L mtriz de coeficientes tiene determinnte distinto de cero, por lo que el sistem es comptible determindo Es decir, pr cd vlor de x e y, hy un únic solución del sistem, que nos permite escribir z y u como función de x e y (plicndo por ejemplo l regl de Crmer) u = x y z = x y De otr mner, enuncindo el problem en términos de plicciones lineles, si H es l plicción linel de R 4 en R 4 definid por l mtriz nterior, el sistem 15

16 qued H(x, y, z, u) = x y z u = El hecho de que l mtriz de coeficientes teng determinnte distinto de cero implic que H es inversible, y que (x, u, z, u) = H 1 (x, y, 0, 0) Llmndo K = H 1, K = (k 1, k 2, k 3, k 4 ), tenemos z = k 3 (x, y, 0, 0) y u = k 4 (x, y, 0, 0) Es decir ls soluciones de nuestro sistem de ecuciones se pueden expresr poniendo z y u como funciones impĺıcits de x e y Vmos ver hor otro ejemplo concreto de cómo se puede despejr en un ecución un vrible en función de otr, con el cso de l ecución de l circunferenci Consideremos de nuevo l ecución x 2 + y 2 1 = 0, y (, b) un punto de l circunferenci, con b 0 Considermos l función F (x, y) = x 2 + y 2 1, de R 2 en R, que es de clse C 1 en todo R 2 ; y definmos l función H(x, y) = (x, x 2 + y 2 1) de R 2 en R 2 H es un función de clse C 1 de R 2 en R 2 Además ( ) 1 0 dh(x, y) = 2x 2y luego JH(, b) = 2b 0 H verific ls condiciones del teorem de l función invers, y por tnto existe dos conjuntos biertos V U, W H(U), y un función K, tles que (, b) V, H(V ) = W, H es inyectiv en V, K : W R 2 verific K(W ) = V y K(H(x, y)) = (x, y) pr todo (x, y) V, y K es de clse C 1 en W x y

17 (x, y) (, b) V H W = H(V ) x x K = H 1 Si llmmos H(x, y) = (x, v), observndo l fórmul de l función H, los puntos de l circunferenci que están en V se trnsformn justo en W {(x, v); v = 0}, y recíprocmente V {(x, y) : F (x, y) = x 2 + y 2 1 = 0} = K(W {v = 0}) Llmndo A = {x R : (x, 0) W }, tenemos que pr cd punto (x, y) en el conjunto V {(x, y) : F (x, y) = x 2 + y 2 1 = 0}, x A y (x, y) = K(x, 0), de donde se deduce que y = k 2 (x, 0) = g(x) (k 2 l segund componente de l función K) Es decir, l prte de l circunferenci que está en V son los puntos (x, y) que verificn y = g(x) con x A: l gráfic de l función y = g(x) en A L demostrción del teorem en el cso generl reproduce los psos que hemos ddo en este ejemplo Observciones: Considerremos funciones definids en un bierto de R n+m Pr describir los puntos y l función, expresremos R n+m como el producto crtesino R n R m, y sus puntos como pres (x, y) donde x = (x 1,, x n ) e y = (y 1,, y m ), y escribiremos F (x, y) L mtriz de l diferencil de F quedrá de l form df (x, y) = (x, y) df m (x, y) (x, y) df m (x, y) dy 1 (x, y) df m dy 1 (x, y) dy m (x, y) df m dy m (x, y) 17

18 Denotremos por d Y F (x, y) l submtriz de df (x, y) correspondiente ls columns de ls vribles y = (y 1,, y m ) (es decir, ls últims m columns de l mtriz de l diferencil de F en (x, y)) Y llmremos J Y F (x, y) l determinnte de est mtriz, J Y F (x, y) = dy 1 (x, y) df m dy 1 (x, y) dy m (x, y) df m dy m (x, y) Teorem (de l Función Impĺıcit) Se U bierto en R n+m y F : U R m un función de clse C 1 en U Se (, b) U tl que F (, b) = 0 y det(d Y F (, b) 0 Entonces existen un bierto V contenido en U, con (, b) V, un bierto A en R n, y un función G : A R m tles que: i) A ii) G() = b iii) {(x, G(x)), x A} = {(x, y) V, F (x, y) = 0} iv) G es de clse C 1 en A Se dice que l ecución F (x, y) = 0 define impĺıcitmente y como función de x, y = G(x), en un entorno de (, b) Demostrción: (Sltr l finl de l demostrción) Definmos l función H : U R n+m por H(x, y) = (x, F (x, y)) H es un función de clse C 1 en U, pues cd un de sus componentes lo es, y dh(x, y) = dy m dy 1 df m df m dy 1 df m 18 df m dy m (x,y)

19 luego det(dh(, b)) = det(d Y F (, b)) 0 Aplicndo H el Teorem de l Función Invers entorno (, b), existen un entorno bierto V de (, b), V U, un entorno bierto W de H(, b) = (, F (, b)) = (, 0), W H(U), y un función K : W V, de modo que H es inyectiv en V, H(V ) = W, K(W ) = V, y K(H(x, y)) = (x, y) pr todo (x, y) V Además K es de clse C 1 en W Definimos entonces A = {x R n : (x, 0) W }, y G : A R m por G(x) = (k n+1 (x, 0),, k n+m (x, 0)) es decir, g i (x) = k n+i (x, 0) pr todo x A Se verificn: A es bierto: en efecto, si considermos l inclusión I n : R n R n+m definid por I n (x 1,, x n ) = (x 1,, x n, 0,, 0) entonces A = In 1 (W ), e I n es continu, luego A es bierto Además A, pues (, 0) = H(, b) H(V ) = W Y G() = b: en efecto, como H(, b) = (, 0), plicndo K mbos ldos de l iguldd se tiene { K(H(, b)) = (, b) K(, 0) = (k 1 (, 0),, k n (, 0), k n+1 (, 0),, k n+m (, 0)) e igulndo ls m últims componentes, b = (k n+1 (, 0),, k n+m (, 0)) = G() Por último, hy que probr que {(x, G(x)), x A} = {(x, y) V, F (x, y) = 0} Tommos en primer lugr x A; vmos ver que (x, G(x)) V y que F (x, G(x)) = 0 x A equivle que (x, 0) W = H(V ), y como H es inyectiv en V, existe un único (x, y ) V tl que H(x, y ) = (x, 0) Por definición de H, (x, 0) = H(x, y ) = (x, F (x, y )) luego igulndo ls primers componentes, x = x, e igulndo ls últims F (x, y ) = 0 19

20 Por otro ldo, plicndo K mbos ldos de l iguldd, { K(H(x, y )) = (x, y ) K(x, 0) = (k 1 (x, 0),, k n (x, 0), k n+1 (x, 0),, k n+m (x, 0)) e igulndo ls últims componentes, y = (k n+1 (x, 0),, k n+m (x, 0)) = G(x) Por tnto (x, G(x)) = (x, y ) V y F (x, G(x)) = F (x, y ) = 0 Recíprocmente, se hor (x, y) V con F (x, y) = 0 Aplicndo H, H(x, y) = (x, F (x, y)) = (x, 0) pertenece H(V ) = W, luego x A Además, plicdo K, { K(H(x, y)) = (x, y) K(H(x, y)) = K(x, 0) = (k 1 (x, 0),, k n (x, 0), k n+1 (x, 0),, k n+m (x, 0)) e igulndo ls últims componentes, y = (k n+1 (x, 0),, k n+m (x, 0)) = G(x) Por tnto (x, y) = (x, G(x)) con x A Pr terminr, según el teorem de l función invers, K es de clse C 1 en W, y por tnto lo será cd componente k n+i, 1 i m Y l inclusión I n que definimos ntes tmbién es evidentemente de clse C en R n, luego cd g i (x) = k n+i I n (x) será de clse C 1 en A, y por tnto G es de clse C 1 en A Esto termin l demostrción (Volver l enuncido) 20

21 Observciones: 1 En el cso F : R 2 R, el teorem nos indic que en ls condiciones del enuncido, en un entorno del punto (, b) el conjunto de ceros de F no puede tener l form de un sp, por ejemplo, y que es ese cso no podrí ser l gráfic de un función del tipo y = f(x) ni x = g(y) Pr poder ser, por ejemplo, l gráfic de un función y = f(x) en un entorno de (, b), es necesrio que en ese entorno de (, b), pr cd x exist un único vlor y de modo que (x, y) V y F (x, y) = 0 2 L ecución F (x, y) = 0, con F : U R m y U R n R m es un sistem de m ecuciones (no lineles en generl) con n + m incógnits f 1 (x 1,, x n, y 1,, y m ) = 0 f m (x 1,, x n, y 1,, y m ) = 0 En l demostrción se supone que ls últims m incógnits determinn en l mtriz de df (, b) un submtriz con determinnte no nulo Igulmente se puede demostrr el resultdo pr culquier conjunto de m vribles x i1,, x im siempre que formen en df (, b) un submtriz de rngo m Como en el cso de un sistem de ecuciones linel, pueden despejrse ess m vribles como función impĺıcit del resto de ls vribles 3 Si F es de clse C p en U, l función impĺıcit G es tmbién de clse C p en A 4 Consideremos de nuevo en cso U R 2 y F : U R, y vmos ver cómo se puede clculr l derivd de l función impĺıcit y = g(x) Según el teorem g es de clse C 1 en A, y F (x, g(x)) = 0 pr todo x A Así, l función h(x) = F (x, g(x)), definid en A, es idénticmente nul y de clse C 1 en A, luego pr todo x A tiene que ser h (x) = 0 Ahor bien, luego h (x) = df df (x, g(x)) + dx dy (x, g(x))g (x) = 0 g (x) = df (x, g(x)) dx (x, g(x)) df dy 21

22 (donde el denomindor no se nul en A por ls condiciones de ls hipótesis sobre F Pr clculr derivds de orden superior de g, si F es de clse C p, bst plicr l derivción de un cociente y l regl de l cden Por simplificr ls notciones, se suele escribir y = y(x) en vez de y = g(x), expresndo más concismente que l coordend y se puede definir medinte un función impĺıcit de x, definid en un entorno del punto, A, de modo que F (x, y(x)) = 0 pr todo x A L fórmul nterior nos d l derivd de y(x), y (x) = df (x, y(x)) dx (x, y(x)) df dy 5 En el cso más generl de funciones F : U R m donde U es un bierto de R n+m se escribe y = y(x), o y j = y j (x 1,, x n ) pr cd j = 1 m Según el prtdo (iii), H(x) = F (x, y(x)) es idénticmente nul en A, es decir f 1 (x, y(x)) = f 1 (x 1,, x n, y 1 (x 1,, x n ),, y m (x 1,, x n )) = 0 f m (x, y(x)) = f m (x 1,, x n, y 1 (x 1,, x n ),, y m (x 1,, x n )) = 0 pr todo x A Derivndo en cd ecución respecto de un de ls vribles x i, ls derivds prciles serán tmbién nuls dx i (x, y(x)) + dy 1 (x, y(x)) dy 1 dx i (x) + + dy m (x, y(x)) dym dx i (x) = 0 df m dx i (x, y(x)) + dfm dy 1 (x, y(x)) dy 1 dx i (x) + + dfm dy m (x, y(x)) dym dx i (x) = 0 Este es un sistem de ecuciones linel, comptible determindo, del que se pueden despejr ls soluciones dy 1 dx i (x),, dym dx i (x) pr cd x de A 22