Álgebra y Matemática Discreta Sesión de Prácticas 12

Transcripción

1 Álgebra y Matemática Discreta Sesión de Prácticas 12 (c) 2013 Leandro Marín, Francisco J. Vera, Gema M. Díaz 2 Dic Dic 2013

2 Giros en el Plano Matriz de Giro Si α es el ángulo que queremos girar, la matriz de giro con respecto a cualquier base ortonormal orientada positivamente (como por ejemplo la base canónica) tiene la siguiente forma: [ ] cos(α) sen(α) sen(α) cos(α)

3 Giros en el Plano Ejemplo Vamos a girar un dibujo realizado por una serie de puntos unidos como un poĺıgono. Para ello pondremos la lista de puntos y luego la transformaremos con una matriz de giro de ángulo 1 radián. El resultado lo pintaremos de color rojo para diferenciarlo del original. T = [[2,1],[3,1],[3,3],[4,3],[4,4],[1,4],[1,3],[2,3],[ 2,1]] M = matrix(rr,[[cos(1),-sin(1)],[sin(1),cos(1)]]) T2 = [M*vector(v) for v in T] polygon(t)+polygon(t2,color= red )

4 Giros en el Plano Resultado

5 Simetrías en el Plano Definición Ser ρ una recta del plano y P un punto, llamaremos simétrico de P respecto de ρ al punto que resulta de trazar la recta perpendicular a ρ que pase por P y tomar el punto que está en esa recta a la misma distancia que P pero en sentido contrario.

6 Simetrías en el Plano Definición Ser ρ una recta del plano y P un punto, llamaremos simétrico de P respecto de ρ al punto que resulta de trazar la recta perpendicular a ρ que pase por P y tomar el punto que está en esa recta a la misma distancia que P pero en sentido contrario. Si por ejemplo, lo hiciéramos con el eje X, el simétrico del punto (x,y) sería el punto (x, y).

7 Simetrías en el Plano Definición Ser ρ una recta del plano y P un punto, llamaremos simétrico de P respecto de ρ al punto que resulta de trazar la recta perpendicular a ρ que pase por P y tomar el punto que está en esa recta a la misma distancia que P pero en sentido contrario. Si por ejemplo, lo hiciéramos con el eje X, el simétrico del punto (x,y) sería el punto (x, y). A la recta ρ se le llama eje de simetría.

8 Simetrías en el Plano Definición Ser ρ una recta del plano y P un punto, llamaremos simétrico de P respecto de ρ al punto que resulta de trazar la recta perpendicular a ρ que pase por P y tomar el punto que está en esa recta a la misma distancia que P pero en sentido contrario. Si por ejemplo, lo hiciéramos con el eje X, el simétrico del punto (x,y) sería el punto (x, y). A la recta ρ se le llama eje de simetría. Para hacer el cálculo de este movimiento, lo que hay que hacer es un cambio de base de forma que un vector de la nueva base esté en el eje de simetría y el otro sea perpendicular.

9 Simetrías en el Plano Ejemplo Calcula la matriz [ de] la simetría ortogonal de R 2 respecto al espacio 1 generado por expresada en base canónica. 2

10 Simetrías en el Plano Solución [ ] 1 Llamemos v 1 = al vector director de la recta que nos 2 define el eje de simetría. Fase 1: Obtener la Base en la que Representar la Simetría. El vector v 2 tiene que ser perpendicular a v 1 y para encontrarlo no tenemos más que intercambiar las coordenadas de v 1 cambiando una de las dos de signo, es decir basta tomar [ ] 2 v 2 = 1 La base B que hemos encontrado para expresar la simetría de forma sencilla es [ ]

11 Simetrías en el Plano Solución Fase 2: Cambios de Base y Resultado. La simetría tiene que dejar fijos los vectores del espacio respecto al que hacemos la simetría y los vectores perpendiculares a sus opuestos, por tanto, tal y como hemos definido la base, el ella tenemos una expresión muy sencilla de la matriz: [ ] 1 0 S = 0 1 Si llamamos σ : R 2 R 2 a la aplicación que estamos buscando, sabemos que en base B tiene como matriz S, por lo que podemos plantear el siguiente diagrama:

12 Álgebra y Matemática Discreta Sesión de Prácticas 12 Simetrías en el Plano B R 2 σ R 2 R 2 Por lo tanto la matriz de σ es [ σ = BSB = 2 1 [ 3 = S R 2 B ][ ]. ][ ]

13 Simetrías en el Plano Representación Gráfica Vamos a transformar mediante esta simetría el mismo dibujo que hicimos para el giro. De nuevo juntaremos el dibujo original y el transformado poniendo color rojo al resultado para diferenciarlo. Representaremos el eje de simetría en verde. T = [[2,1],[3,1],[3,3],[4,3],[4,4],[1,4],[1,3],[2,3],[ 2,1]] M = matrix(rr,[[-3/5,-4/5],[-4/5,3/5]]) T2 = [M*vector(v) for v in T] polygon(t)+polygon(t2,color= red )+line([(-2,4),(2,-4) ],color= green )

14 Simetrías en el Plano Resultado

15 Proyecciones sobre una Recta del Plano Definición Sea ρ una recta del plano y sea P un punto. Llamaremos proyección ortogonal de P sobre la recta ρ al punto que obtenemos en el cruce de la recta perpendicular a ρ y que pasa por P.

16 Proyecciones sobre una Recta del Plano Definición Sea ρ una recta del plano y sea P un punto. Llamaremos proyección ortogonal de P sobre la recta ρ al punto que obtenemos en el cruce de la recta perpendicular a ρ y que pasa por P. Si por ejemplo proyectáramos sobre el eje X el punto (x,y) sería simplemente (x, 0).

17 Proyecciones sobre una Recta del Plano Definición Sea ρ una recta del plano y sea P un punto. Llamaremos proyección ortogonal de P sobre la recta ρ al punto que obtenemos en el cruce de la recta perpendicular a ρ y que pasa por P. Si por ejemplo proyectáramos sobre el eje X el punto (x,y) sería simplemente (x, 0). Para calcular la proyección sobre cualquier otra recta, nos interesa hacer un cambio de base.

18 Proyecciones sobre una Recta del Plano Ejemplo Calcula la matriz [ de la] proyección ortogonal de R 2 sobre el espacio 19 generado por expresada en base canónica. 1

19 Proyecciones sobre una Recta del Plano Solución Llamemos v 1 = [ 19 1 ] Fase 1: Obtener la Base en la que Representar la Proyección. El vector v 2 tiene que ser perpendicular a v 1 y para encontrarlo no tenemos más que intercambiar las coordenadas de v 1 cambiando una de las dos de signo, es decir basta tomar [ ] 1 v 2 = 19 La base B que hemos encontrado para expresar la proyección de forma sencilla es [ ]

20 Proyecciones sobre una Recta del Plano Fase 2: Cambios de Base y Resultado. La proyección tiene que dejar fijos los vectores del espacio sobre el que proyectamos y mandar a cero los vectores perpendiculares, tal y como hemos definido la base, el ella tenemos una expresión muy sencilla de la matriz: [ ] 1 0 P = 0 0 Si llamamos π : R 2 R 2 a la aplicación que estamos buscando, sabemos que en base B tiene como matriz P, por lo que podemos plantear el siguiente diagrama:

21 Álgebra y Matemática Discreta Sesión de Prácticas 12 Proyecciones sobre una Recta del Plano B R 2 π R 2 B R 2 Por lo tanto la matriz de π es [ π = BPB = 1 19 = [ P R 2 ][ ]. ][ ]