Funciones implícitas y su derivada

Transcripción

1 Funciones implícitas su derivada 4 Al considerar la función con ecuación x 3x 5x f, es posible determinar f ( x ) con los teoremas enunciados anteriormente, a que f es una función dada implícitamente en términos de la variable independiente x. Sin embargo, existen funciones que no están definidas en forma explícita, ejemplos de las cuales son las siguientes: 3 4 3x 5x x 5,ó, x x 5x Estas ecuaciones no pueden ser resueltas explícitamente para "" en términos de "x". Se dice que la función f está definida implícitamente por las ecuaciones: respectivamente. Note que ambas expresiones son de la forma general f ( x, ) 0. Interesa ahora determinar la derivada de una función dada en forma implícit anteriores: Consideremos cada una de las ecuaciones Observe que 3 x f ( x ) involucra un producto de funciones que para derivar f ( x ) utilizar la regla de la caden Se tiene entonces derivando: se debe Despejando f(x) se tiene que: Sustituendo "" por f ( x ) se obtiene: b. derivando

2 sustituendo se tiene: El proceso realizado en estos dos ejemplos recibe el nombre de derivación implícita, puede ser utilizado únicamente bajo el supuesto de que la ecuación dada especifica una función. En caso de que no sea así, aunque se realicen las operaciones, el resultado carece de sentido. Por ejemplo, la ecuación x 9 0 no puede ser satisfecha por ningún valor real de "x" "". Al realizar el procedimiento anterior se obtiene que x Dx 0 0 x, fórmula que parece tener significado para "x" "" siempre que 0, aunque de hecho no puede existir derivada a que la ecuación dada no especifica ninguna función f. La derivación implícita determina una fórmula para f ( x ), que es válida para toda función derivable f tal que f ( x ) esté definida implícitamente por una ecuación dad Ejemplos:. Suponiendo que existe una función derivable f tal que f ( x ) está definida implícitamente por la 3 3 ecuación x 3x 3 0, calcular Solución: Derivando implícitamente se obtiene: Note que hemos trabajado como si f ( x ).. En cada caso determinar una ecuación para la recta tangente una ecuación para la recta normal a la gráfica de la ecuación dada en el punto. Graficar la curva, la recta tangente la recta normal.

3 b. Solución: Primero obtenemos que nos da la pendiente de la recta tangente: Evaluando Luego x b 6 en P(,3) tangente es 7 x 6 6 se tiene que. Sustituendo 3 La pendiente de la recta normal es m 6 6x b m t 6 x 3, se obtiene queb ; sustituendo nuevamente en 3 normal es: 6x 9. La ecuación 4x por lo que la ecuación de la recta la ecuación de esta recta es: 7 x 6 6, se obtiene que b 9. La ecuación de la recta x puede escribirse como x 3 36 representa la ecuación de una circunferencia con centro en, 3 radio 6. La representación gráfica de la curva las rectas es la siguiente: que

4 b. Dada la ecuación 4ax obtenemos. como Dx 4a entonces a a Evaluando en p( a, a ) se tiene que Luego, la pendiente de la recta tangente es a m la ecuación es mx b. Sustituendo p( a, a ) en esta ecuación se obtiene que b a por lo que finalmente la ecuación de la recta tangente es x a. La pendiente de la recta normal es m la respectiva ecuación es: x b. Sustituendo es x, por, a N a se obtiene que b 3a por lo que la ecuación de la recta normal x 3a. La representación gráfica de la curva, las recta tangente de la recta normal es la siguiente: Ejercicios: Derivar implícitamente para cada caso determinar una ecuación para la recta tangente una ecuación para la recta normal a la gráfica de la ecuación dada en el punto P. Graficar la curva, la recta tangente la recta normal. (Tome un punto de la gráfica nómbrelo P para realizar cada ejercicio) x - x 5Y 0 x x 0 3. x - x x - x 3

5 5. - x x - 3x x x - x 3 x 8. x sen x - 5 e 3 Prof. Enrique Mateus Nieves 9. ln x x cos x x. 9 x 3. x x 3. x - x 4 4. sen x cos 6. x sec 5. sen x cos