Para qué se utiliza? Integración por el método de Monte Carlo. El método de Monte Carlo. Cálculo de integrales definidas
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- María del Rosario Coronel Reyes
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1 Para qué se utiiza? Integración por e método de Monte Caro Patricia Kisbye FaMAF 31 de marzo, 29 Es un método que utiiza números aeatorios para cacuar numéricamente expresiones matemáticamente compejas y difícies de evauar con exactitud, o que no pueden resoverse anaíticamente. Agunos ejempos son: Aproximar e vaor de π. Cácuo de integraes definidas E método de Monte Caro E método de Monte Caro es un procedimiento genera para seeccionar muestras aeatorias de una pobación (finita o infinita) de a que se conoce su distribución de probabiidad mediante números aeatorios. La denominación Monte Caro fue popuarizado por os científicos Stanisaw Uam, Enrico Fermi, John von Neumann, and Nichoas Metropois, entre otros, quienes ya trabajaban sobre muestreo estadístico. Hace referencia a Casino de Montecaro en Mónaco. Cácuo de integraes definidas Se tienen en cuenta os siguientes resutados: Si X es una variabe aeatoria con densidad f y g : R R es una función, entonces e vaor esperado de a v. a. g(x) es E[g(X)] = g(x) f(x) dx. Ley Fuerte de os Grandes Números: Si X 1, X 2,... es una sucesión de v. a. i. i. d., todas con media µ, entonces im n X 1 + X 2 + X n n = µ.
2 Integración sobre (, 1) g(x) = (1 x 2 ) 3/2 Ejempo Cacuar θ = g(x) dx. Si X U(, 1), entonces θ = E[g(X)]. Si U 1, U 2,... v.a.i.i.d., uniformes en (, 1), entonces g(u 1 ), g(u 2 ),... son v.a.i.i.d., con media θ. Luego im n n i=1 g(u i ) n = θ. n = 1 g(x) = (1 x 2 ) 3/2 g(x) = (1 x 2 ) 3/2 n = 2 n = 3
3 Integración sobre (a, b) Integración en (a, b) g(x) = sen(x) en (, 2π) Ejempo Cacuar θ = b a g(x) dx, con a < b. Reaizamos e cambio de variabes y = x a b a, dy = 1 b a dx b a g(x) dx = g(a + (b a)y)(b a) dy = h(y) dy. Integración en (a, b) g(x) = e x+x2 en ( 1, 1) Integración en (a, b) g(x) = cos(x) en (π, 3π)
4 Integración sobre (, ) Integración sobre (, ) Ejempo Cacuar θ = g(x) dx. Reaizamos e cambio de variabes y = 1 x + 1, dy = 1 (x + 1) 2 dx = y 2 dx g(x) dx = g( 1 y 1) y 2 dy = h(y) dy. g(x) = 1 (2 + x 2 ) Integración sobre (, ) Integración sobre (, ) g(x) = e x g(x) = x (1 + x 2 ) 2
5 Integración sobre (, ) Integración sobre (, ) Si usamos e siguiente cambio de variabes y = 1 1 x + 1, dy = (y 1)2, entonces a transformación está dada por una función creciente y : [, ] [, 1). Se tienen entonces os siguientes gráficos: g(x) = 1 (2 + x 2 ) Integración sobre (, ) Integraes mútipes E método de Monte Caro para e cácuo de integraes en una variabe no es muy eficiente, comparado con otros métodos numéricos que convergen más rápidamente a vaor de a integra. Pero sí cobra importancia en e caso de cácuo numérico de integraes mútipes:... g(x 1,...,x ) dx 1...dx g(x) = e x
6 Integraes mútipes g(x, y) = e (x+y) en (, 1) (, 1) Para cacuar a cantidad θ =... g(x 1,...,x ) dx 1...dx utiizamos e hecho que θ = E[g(U 1,...,U )] con U 1,...,U independientes y uniformes en (, 1). Si U 1 1,...,U 1 U 2 1,...,U 2. U n 1,...,U n son n muestras independientes de estas variabes, podemos estimar Cácuo aproximado e vaor de π Una apicación a as integraes mútipes es e cácuo aproximado de vaor de π. Recordemos que e área de un círcuo de radio r es π r 2, y por o tanto π está dado por e vaor de a integra I {x 2 +y 2 <1}(x, y) dx dy. θ n i=1 g(u i 1,...,Ui ) n
7 Cácuo aproximado e vaor de π Agoritmo para e cácuo de π Si X e Y son v.a.i.i.d., uniformes en ( 1, 1), ambas con densidad f(x) = 1 en ( 1, 1), entonces su densidad 2 conjunta será: f(x, y) = f(x)f(y) = 1, en (, 1) (, 1). 4 Si U 1, U 2 U(, 1), entonces verifican X, Y U( 1, 1). X = 2U 1 1 Y = 2U 2 1 Agoritmo: Generar π PI ; for i = to n do Generar U, V U(, 1); X 2U 1; Y 2V 1; if X 2 + Y 2 1 then PI PI + 1 end end PI 4 PI/n Cácuo de π Cácuo aproximado e vaor de π entonces I = { 1 si X 2 + Y 2 1 c.c. E[I] = P(X 2 + Y 2 1) = π 4.
8 La aguja de Buffon La aguja de Buffon Un probema panteado en e s. XVIII por Georges Louis Lecerc, conde de Buffon, fue a siguiente: θ Se tienen rectas paraeas equidistantes entre sí, y se arroja una aguja de ongitud mayor o igua a a distancia entre dos rectas. x 2 sen(θ) Cuá es a probabiidad que una aguja corte a una de as rectas? t La aguja de Buffon La aguja de Buffon t a distancia entre as rectas. a ongitud de a aguja. θ a medida de ánguo agudo entre a aguja (o su proongación) y una de as rectas. x a distancia entre e punto medio de a aguja y a recta más cercana x y θ son v.a. uniformes con distribución f(x) y g(θ): f(x) = 2 t, g(θ) = 2 π.
9 La aguja de Buffon Una aguja cortará a recta si y sóo si a distancia de su centro a una de as rectas es menor que sen(θ), es decir 2 x < 2 sen(θ). P(a aguja corte a recta) = π/2 2 sen(θ) P(a aguja corte a recta) = 2 π t. Tomando = t, obtenemos aproximaciones a 2 π. 2 t 2 dx dθ π
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