SERIES E INTEGRALES DE FOURIER

Transcripción

1 Uiversidad de Satiago de Chile Autores: Miguel Martíez Cocha Facultad de Ciecia Carlos Silva Corejo Departameto de Matemática y CC Emilio Villalobos Marí Part I SERIES E INTEGRAES DE FOURIER (Ejemplar de prueba) Itroduccio Para problemas co codicioes de frotera periódicas e el itervalo x, os pregutamos si la siguiete serie i ita (coocida como serie de Fourier de f(x)), tiee setido: f(x) = a + X (a cos + b si ) (::) Obviado la igualdad, vale pregutarse Coverge esta serie i ita?, qué codicioes debe cumplir f para que se dé la covergecia?, Coverge a f(x)? Estas pregutas o tiee ua respuesta secilla. Si embargo, las series de Fourier ormalmete fucioa bastate bie. a expresió cometada será válida para alguos tipos de fucioes y se ecesitará pequeñas modi cacioes para otros tipos de ellas. Partiremos siedo positivos supoiedo que la expresió mecioada es cierta. Qué os dice ésta sobre los valores de los coe cietes a y b?. Necesitaremos del siguiete lema.. ema Elemetal i) Si m y so úmeros eteros o egativos distitos etoces: R R cos mx dx = si mx dx = (::) cos si ii) Para cualquier par de eteros o egativos m y R si mx dx = (::) cos iii)para cualquier etero positivo, R R cos = si dx = (::4)

2 Z Demostració: Se prueba itegrado directamete: i) mx cos cos dx = Z ( + m) x cos dx + Z = ( + m) x ( + m) si + ( m) x ( m) si = cero. Z j j ( cos Además, si m = y 6= es facilmete veri cable que la itegral es E forma similar se prueba que R ii) si si mx dx = mx cos si dx =, Z ( + m) x cos dx + Z ( cos ( + m) x = ( + m) si j + ( m) x ( m) si j = Estas formulas relativas a estas itegrales se les llama relacioes de ortogoalidad y diremos e tal caso que el cojuto de las fucioes cos ; si mx 8 = ; ; ; :::::; y 8 m = ; ; :::::;so ortogoales e [ ; ] iii) Demostració queda como ejercicio para el lector. Debe calcular estas itegrales E sitesis, se puede putualizar que: R cos cos mx dx = ; si m6= ; si m= = m; R R si cos si mx dx = ; si mx dx = si m6= ; si m= = m; 8m; m) x dx m) x dx R R cos dx = 8m; y si mx dx = 8m;

3 a serie de F ourier de ua fucio Se debe distiguir etre f(x) y su serie de Fourier e el itervalo x : Serie de Fourier de f(x) a + X (a cos + b si ) a serie trigoométrica puede icluso o coverger y si coverge, puede que o lo haga a f(x). Partiedo del supuesto que la serie coverge podríamos determiar los coefcietes de Fourier a, a, b : usado las relacioes de ortogoalidad. o que queremos es: f(x) = a + X (a cos + b si ) (::) Itegrado la idetidad (::) se tiee: Z f(x)dx = Z a dx + X Z (a Z cos dx + b si dx) Como todas las itegrales de la derecha vale cero, excepto la primera, se deduce de aquí el valor de a ;así. a = Z f(x)dx Para el calculo de a multiplicamos la idetidad (::) por itegrado térmio a térmio teemos. cos kx e Z Z kx f(x) cos dx = a X Z (a kx cos dx + = + ;k + Z kx cos cos dx + b kx si cos dx) Por lo tato: Z kx f(x) cos dx = a k

4 así el valor de a k es a k = Z kx f(x) cos dx: 8 k Ahora multiplicado (::) por si kx e itegrado de maera similar y por el lema se tiee b k = Z kx f(x) si dx: Hemos "ecotrado" los coe cietes a, a, b claro eso si bajo muchos supuestos. Estos cálculos sugiere la siguiete de ició.. Coef icietes de F ourier De ició.- i) Sea f ua fució Riema itegrable e [ ; ], los coe cietes a = Z f(x)dx a = Z f(x) cos b = Z dx para = ; ; ::: (::) f(x) si dx; para = ; ; ::: relacioados co f e [ ; ] se deomia coe cietes de Fourier. ii) a serie de Fourier de f e el itervalo [ ; ] se de e como la serie dode los coe cietes está dados por (::): Para o hablar de covergecia todavía, escribimos: f(x) a + X a cos + b si Dode el sigo"" sigi ca sólo que a la derecha se tiee la serie de Fourier de f(x) (e el itervalo x ). Ejemplo : Determiar la serie de Fourier de f(x) = x si x [ ; ] Solucio: usamos la de ició para calcular los coe cietes de Fourier de f e [ ; ] 4

5 R a = xdx = R a = x cos () dx = cos() + x si() = R b = x si()dx = ( )+ uego la serie es P ( )+ si(). Atributos de la f ucio o ateriormete expuesto es válido para cierto tipo de fucioes, os referimos a las fucioes f(x) que so seccioalmete cotiuas. De ició.- Sea f(x) de ida e [a; b], excepto quizas e u umero ito de putos. Etoces f es seccioalmete cotiua e [a; b] si: a) f es cotiua e [a; b] excepto quizás e u umero ito de putos. b) Ambos lim x!a + f(x) y lim x!b f(x) existe y so itos. c) Si x (a; b) y f o es cotiua e x, y los límites lim x!x + f(x) y lim x!x f(x) existe y so itos. y f so sec- De ició.- f(x) es seccioalmete suave e [a; b] si f cioalmete cotiuas e [a; b] : Ejemplo : Sea f(x) = x o es seccioalmete cotiua suave e igú itervalo cerrado que cotega e su iterior al cero, porque f (x) = x tiede a e x =. Todas las fucioes que aparece e ua serie de Fourier so periodicas co periodo. Por tato la serie de Fourier de f(x) e el itervalo x es periodica de periodo. a fució f(x) o es esesariamete periodica por lo cual podemos hacer ua extesió periodica de f(x) a todo R; repitiedo la gra ca siguiedo el mismo patro por cada pariodo de logitud. Ejemplo : Ecotrar el período de la fució f(x) = cos : y x 5

6 Solucio: Utilizado la idetidad trigoométrica cos = ( + cos ) se tiee etoces f(x) = ( cos x) = cos x = ( + cos x) f(x) = cos x como el periódo de cos x es y ua costate tiee cualquier período, f(x) es de período :. Covergecia de las series de F ourier Teorema Si f(x) es seccioalmete cotiua suave e el itervalo [ ; ], etoces la serie de Fourier de f(x) coverge. i) A la extesió periodica de f(x); dode la extesió periodica sea cotiua. ii) Al promedio de los limites laterales (f(x+ ) + f(x )) dode la extesió periodica tega ua discotiuidad de salto. si x Ejemplo 4: Sea f(x) = :Costruir la serie de x si x Fourier y aalizar la covergecia e todo IR Solució: Primeramete obtegamos la correspodiete serie de Fourier de f(x): R R a = 6 f(x)dx = 6 xdx = 4 R a = f(x) cos dx R = x cos dx = R b = f(x) si dx R = x si dx = 9 cos ( ) + 9 si ( ) + la serie de Fourier la podemos escribir 4 + X (( ) ) cos x si ( ) x cos ( ) = (cos() ) = cos() cos() si Teemos que f es cotiua e [ ; ],por lo tato su extesió periódica es seccioalmete cotiua e R, co discotiuidad de salto e los putos x = 6, Z 6

7 Por lo tato, de acuerdo al teorema la serie coverge a etoces f(x) si x 6= 6 f E (x) = si x = 6 Z f E (x) = 4 + X (( ) ) cos ( ) si es decir f(x) = 4 6 X ( ) cos ( )x + ( ) si Al estudiar la covergecia e x = puto de discotiuidad de la fució se obtiee = 4 + X (( ) ) ( ) =) X ( ) = 8.4 a itegral de f ucioes pares e impares ema (De fucioes pares e impares) Sea f ua fució itegrable e [ ; ] : a) Si f ua fució par e [ ; ], etoces b) Si f es fució impar e [ ; ], etoces R R f(x)dx = f(x)dx R f(x)dx = Demostració a) f fució par, etoces f( x) = f(x) 8x R:Cosiderado que f es par y el cambio de variable t = x se tiee Z Z f(x)dx = f( x)dx = Z f(t)dt = Z f(x)dx etoces Z f(x)dx = Z f(x)dx + Z Z f(x)dx = f(x)dx 7

8 b) f fució impar, etoces f( x) = f(x) 8x R:Usado este hecho se tiee. etoces Z f(x)dx = Z f(x)dx = f( x)dx = f(t)dt = f(x)dx Z Z Z Z Z Z Z f(x)dx + f(x)dx = f(x)dx f(x)dx = lo que demuestra el lema..5 T eorema de las fucioes pares y de las impares Sea f ua fució itegrable e [ ; ], a) Si f es par, la serie de Fourier de f e [ ; ] es a + X a cos R R dode a = f(x)dx y a = f(x) cos dx: Esta se deomia serie de coseos b) Si f es impar, la serie de Fourier de f e [ ; ] es dode b = R X b si f(x) si dx:esta se deomia serie de seos Demostració: Se deja al lector, debe aplicar el ema.. e el cálculo de los coe cietes de Fourier Ejemplo 6: Calcule la serie de Fourier de f(x) = jxj e x : Solució:Como f( x) = j xj = jxj = f(x) 8x R, se tiee que f es par. R a = ( x)dx = a = R etoces x x R ( x) cos dx = j = cos dx R x cos dx = 4 cos ( ) + x si ( ) 8

9 si es par a = 8 ( ) si es impar Asi la serie de Fourier de f(x) = 8 jxj es X ( ( ) cos )x E muchos problemas se tiee la posibilidad de trabajar co series de seos o series de coseos. Por ejemplo, al resolver ecuacioes difereciales parciales de segudo orde aplicado el metodo de separacio de variables. Desarrollos llamados de medio rago Sea ua fució f seccioalmete cotiua que está de ida sólo e u itervalo [; ] y se desea desarrollar e serie de Fourier 8x [; ]. Ua forma de hacer lo aterior es exteder f al itervalo [ ; ] y por supuesto, puede ser hecho de muchas maeras, si embargo, dos extesioes so las más coveietes e importates. Costruir ua extesió impar lo que origia ua serie de seos o costruir u extesió par lo que determia ua serie de coseos. Estas se deomia desarrollos de medio rago.. Extesio impar: Supogamos que coocemos f(x) solamete para x, etoces podemos extederla como ua fució impar. obteiedo otra fució deotada f i (x) y de ida por: f(x); x f i (x) = f( x); x como se muestra e la gura adjuta. y x.5 Si f(x) es seccioalmete cotiua suave e x ; etoces f i (x) es tambié seccioamete cotiua suave y se puede aplicar el teorema de covergecia de series de Fourier. 9

10 a serie de Fourier de f i (x) es f(x) = X b si, x Como osotros estamos itersados solamete e lo que ocurre etre x :E esa regió f(x) es idetica a f i (x) y la serie de Fourier es f(x) = X b si, x co co ciete b = Z f(x) si dx Ejemplo 7. Sea la fució f(x) = x e el iterior x : Obteer el desarrollo de medio rago cosiderado ua extesió impar. a x; x discotiuidad de salto de la fució f i (x) = ;extesió impar periódica,muestra que la serie de Fourier de seos de f(x) = x coverge a x; x cero e x = auque f() 6= y coverge a f(x) e x < :Ádemas b = Z f(x) si dx = Z x si dx = ( )+ Por lo tato, la serie resultate es: x = X ( ) + si, x <. Extesió par Supogamos ahora que coocemos f(x) solamete para x, etoces la extedemos como fució par obteiedo otra fució deotada f p (x) de ida por: f(x); x f p (x) = f( x); x como muestra la gura adjuta:

11 y x Si f(x) es suave a trozos e x ; etoces su extesió par f p (x) lo será tambié por lo que se puede aplicar el teorema de covergecia de series de Fourier. E el itervalo x ; la fució f(x) es idética a su extesió par. a serie que se obtiee se deomia serie de Fourier de Coseos de f(x). a + X a cos ; x, co coe cietes a = Z f(x)dx y a = Z f(x) cos dx Ejemplo 8: Costruir la serie de Fourier de Coseos de f(x) = x e x : Por las caracteristicas de la extesió e lo que cociere a la cotiuidad de X x = a + a cos ; x a = Z f(x)dx = Z a = a = Z f(x) cos si par. si impar. 4 xdx = x j = dx = Z x cos dx

12 Fialmete, la serie de Fourier coseo de f(x) = x e x es: 4 X ( ( ) cos )x 4 Dif ereciacio e Itegracio de Series de F ourier 4. Derivació as series i itas, aú las covergetes o siempre se puede derivar térmio a térmio. U caso ilustrativo, es el de la fució f(x) = x de ida para x ; cuya serie de Fourier es que coverge para x = X ( ) + si() x ; es decir X ( ) + si(); para x Si difereciamos, esta serie térmio a térmio teemos: X ( ) + cos() la cual es ua serie que o coverge e ] ; [, ya que si a = ( ) + cos() para cada x ] ; [; lim a o existe, como o ocurre que a!,cocluimos que ( ) + cos() o coverge para cada x ] ;! P [. por otro lado f(x) = 8x ] ; [. Esto muestra e este caso que la derivada termio a termio de la serie, o coverge a la derivada de la fució a la que represeta. a di cultad se os preseta cada vez que la serie de Fourier de f(x) tiee ua discotiuidad de salto, la derivació térmio a térmio o está justi cada e estos casos. Si embargo, podemos aquí cosiderar la siguiete proposició que agrega codicioes para permitir la derivació térmio a térmio. Proposició: Sea f ua fució cotiua e [ ; ] co f( ) = f(); si f es seccioalmete suave e [ ; ] dode f (x) existe se tiee. f (x) = X a si + b cos

13 Demostració.- se deja al lector, se sugiere escribir la serie de Fourier de f (x); cosiderado que esta serie coverge a f (x) siempre que f (x) exista. Use itegració por partes para relacioar los coe cietes de f (x) co los correspodietes de f(x): Ejemplo 9. Cosidere la fució f(x) = x e x y veri que si la derivada de esta serie existe. Claramete se satisface las hipótesis de la proposició aterior. a serie de Fourier de la fucio f(x) e [ ; ] es: (Ver Problema e Problemas resueltos) f(x) = + 4 X ( ) cos() Como f (x) = x es cotiua, y existe f (x) = e todo el itervalo, etoces para x X f ( ) + (x) = x = 4 si() Note que este resultado cocuerda co lo establecido e el ejemplo del iciso.. 4. Itegració a precaucio que se tiee para la derivació térmio a térmio de la serie de Fourier o se requiere para el caso de la itegració. Proposició Sea f ua fució seccioalmete suave e [ ; ] co serie de Fourier f(x) = a + X a cos Etoces para cada x [ ; ] : + b si ; xz f(t)dt = a (x + ) + X a si b cos ( ) Demostració; xr Sea F (x) = f(t)dt a x 8x [ ; ] así de ida F es cotiua e [ ; ] además F ( ) = a = a a = a R f(t)dt a ( ) = a y F () = R f(t)dt

14 Por lo cual F ( ) = F (); asimismo F (x) = f(x) a 8x [ ; ] dode f es cotiua. Etoces podemos asegurar que F es seccioalmete cotiua e [ ; ] y por el teorema de covergecia teemos que F (x) = A + dode para : X A cos + B si () A = Z F (t) cos = F (t) t si = = A = Z b Z (f(t) f(t) si t dt itegrado por partes. a ) si t Z dt: F (t) si t dt t dt + Z t a si dt: dode b es el coe ciete correspodiete de la serie de Fourier de f e [ ; ]: De maera aaloga se tiee que: B = Z F (t) si t dt = a dode a es tambié el correspodiete coe ciete de la serie de Fourier de f e [ ; ]: Por lo tato, reemplazado e () F (x) = A + X para A teemos: b cos + a si ; x [ ; ] X F () = a = A + A cos() =) A = a X A cos() 4

15 almete ahora sustituyedo A se tiee A = a + X b cos() F (x) = a + X b cos() + X b cos + a si y reemplazado e la igualdad iicial obteemos lo que a rma el teorema. xz f(t)dt = a (x + ) + X a si b cos ( ) 4. Idetidad de Parseval Sea f ua fució seccioalmete cotiua e [ ; ] y tal que f es tambié seccioalmete cotiua e [ ; ]. Si X f(x) = a + a cos + b si es la serie de Fourier de f, etoces Z [f(x)] dx = (a ) + que se cooce como idetidad de Parseval X h(a ) + (b ) i Prueba: a serie de Fourier de f coverge a f(x) para cada x del itervalo [ f(x) = a + X a cos + b si ; ]: Multiplicado por f(x) se tiee f(x) = a f(x) + X a f(x) cos + b f(x) si podemos itegrar térmio a térmio. " # R R [f(x)] P dx = a f(x)dx+ R R a f(x) cos dx + b f(x) si dx 5

16 de aquí recordado lo que so los coe cietes de ua serie de Fourier se tiee. R [f(x)] dx = (a ) P + R [a a + b b ] =) [f(x)] dx = (a ) P + h(a ) + (b ) i Ejemplo. Sea f(x) = Pruebe que P = 6. x < x < x = ; ; periódica de período. Como f(x) e es ua fució impar se tiee que : a = para = ; ; ; :::y b = Por lo tato Z x si () dx = Z x si () dx = =) b = = ; ; 5; ::: = ; 4; 6; ::: X f(x) ( ) + si() si x = si x Aplicado la idetidad de Parseval R x dx = ::: P =) x 4 j = 6 X = 6 5 Itegral de F ourier x cos() + si x ::: = 4 R x dx = as series de Fourier so ua herramieta poderosa parar tratar problemas relacioados co fucioes períodicas. uego, es coveiete geeralizar este método parar icluir fucioes o periodicas. De ició.- Si f(x) de ida e ( ; ) es seccioalmete cotiua e cada itervalo ito y tiee derivadas por la derecha e izquierda e todo puto y tal que R jf(x)j dx coverge, etoces la itegral de Fourier de f se de e como: Z [A() cos x + B() si x] d 6

17 dode: A() = B() = Z f(t) cos tdt Z f(t) si tdt A() y B() se llama los coefcietes de la itegral de Fourier de f(x): Ejemplo. Ecotrar la represetació por medio de la itegral de Fourier de la fució: ; jxj < f(x) = ; jxj > Solució: Primeramete determiemos los coe cietes de la Itegral de Fourier R R A() = f(u) cos udu = cos udu = si u j = si B() = R f(u) si udu = R si udu = Por lo tato, la itegral de Fourier de f(x) es: Z si cos x d 5. Criterio de Covergecia de la Itegral de F ourier R Si f(x) es seccioalmete cotiua e [ ; ] 8 > y tal que jf(t)j dt existe, etoces la itegral de Fourier coverge a [f(x+ ) + f(x )] (Promedio de los límites izquierdo y derecho de f(x)), 8 x dode f(x + ) y f(x ) existe. Ejemplo. Estudie la covergecia de la Itegral de Fourier del ejemplo Sea f(x) de ida e ejemplo, debido a que f(x) es seccioalmete suave, la itegral de Fourier de f(x) coverge a [f(x+ ) + f(x )] 8 x. De acuerdo co el criterio de covergecia se tiee: Z si cos x d = 8 < : si < x < si x = si jxj > 7

18 E particular, ua situació iteresate se da cuado x = : Z si Z cos x d = =) si cos x d = 5. Itegrales de F ourier e C oseos y Seos Sea f(x) ua fució de ida e [; ); podemos exteder esta fució a ua fució par o impar e ( ; ) y calcular la itegral de Fourier de esta ultima, que resulta ser de coseo y seo respectivamete, lo cual es completamete aáloga a los desarrollos e cóseos y seos de ua fució de ida e u itervalo [; ] para el caso de las series de Fourier. De ició: R Sea f de ida e [; ) y sea jf(u)j du covergete, la itegral de Fourier e cóseos de f es Z A() cos(x)d; dode A() = Z f(u) cos(u)du Y la itegral de Fourier e seos de f es Z B() si(x)d; dode B() = Z f(u) si(u)du E lo que tiee que ver co la covergecia de la itegral de Fourier e este caso, si f es seccioalmete suave e todo itervalo [; ], etoces esta itegral coverge a [f(x+ ) + f(x )] e (; ) x si x Ejemplo : Ecotrar la itegral de Fourier de f(x) = si x > si: a) se cosidera ua extesio par de f(x) b)) se cosidera ua extesio impar de f(x); y luego c) e ambos casos, determiar las covergecias de estas itegrales. Solució: a) Para obteer la itegral de Fourier de coseos, extedemos f como ua fució par f P de ida e toda la recta real, luego: ; 8

19 A() = Z f(u) cos(u)du = Z u cos(u)du = Z 4 u si(u)j u si(u)du5 = = u si(u) 4 si(u) si + 4 cos Por lo tato, la itegral de Fourier de coseos es: Z u cos(u) 4 si + 4 cos cos xd Al aplicar criterio de covergecia obteemos: Z 4 8 si + 4 >< cos cos xd = >: x si < x < si x > si x = 5 si x = b) Para obteer la itegral de Fourier de seos, extedemos f como ua fució impar f I de ida e toda la recta real. B() = = Z Z f(t) si tdt = u si udu 4 u cos uj + u = cos u + = Z etoces la itegral de Fourier de seos es: Z u cos udu5 cos u + u si u cos + cos + si + 4 cos + 4 si 4 si xd 9

20 Z Fialmete, al aplicar criterio de covergecia obteemos: cos + 4 si 4 >< si xd = >: x si < x < si x > si x = 5 si x =