CAPÍTULO III TÉCNICAS DE SIMULACIÓN ESTADÍSTICA. Los datos sintéticos son elementos de suma importancia en los sistemas de diseño en

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Ricardo Rivero Sevilla
hace 6 años
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1 CAPÍTULO III TÉCNICAS DE SIMULACIÓN ESTADÍSTICA 3. Itroduccó Los datos stétcos so elemetos de suma mportaca e los sstemas de dseño e presas de almaceameto, ya que se evalúa el propósto del sstema co sumo cudado y co mayor precsó estadístca. Para la geeracó de este tpo de datos es mportate tomar e cueta las propedades estadístcas que e u prcpo los regstros hstórcos debe teer, así como los parámetros calculados a partr de los ya mecoados regstros. Debdo a que la smulacó hdrológca de estos datos es ua descrpcó matemátca de la respuesta hdrológca a ua sere de evetos durate u perodo de tempo seleccoado (Hogga, 989). Esto quere decr que se puede calcular smulacoes tato daras, como mesuales o auales de ua correte superfcal, basádose e los regstros de lluvas o e la etrada de volume por ríos cercaos a la presa. A lo largo de este capítulo se mecoará las téccas que se usará para poder geerar las seres de valores ates mecoadas, estos datos so la herrameta esecal para poer e marcha el algortmo de smulacó hdrológca y co el cual se estmará la capacdad útl de la presa de almaceameto y su cofabldad. 3. Método de smulacó El modelo de smulacó hdrológca es la herrameta co la cual se geerará gastos a partr de regstros hstórcos, lo cual proveerá de u úmero lmtado de secuecas de datos stétcos, todas co la msma probabldad de que suceda e u mometo dado. Para el bue fucoameto de estas secuecas es mportate el tpo de modelo que se utlce, para este caso e partcular se empleará u modelo basado e las téccas de

2 geeracó de Markov, el cual dca que la sítess de la secueca de los gastos aleatoros geerados o gora la exsteca de persstecas, es decr, que se presete ua tedeca de que los gastos grades sea segudos por gastos grades y que los gastos pequeños sea segudos por gastos pequeños. Este tpo de modelo supoe que cada gasto es depedete sólo e uo o más de los gastos recetes (Ferg y Jackso, 97), además de que los gastos debe teer ua dstrbucó ormal. El modelo mecoado, muestra los gastos como ua sere de valores depedetes, e la cual cada valor tee ua parte defda y ua parte aleatora del gasto stétco. Esta geeracó de valores cosdera que los gastos so el resultado de u proceso aleatoro el cual va cambado co el tempo y que a la vez está evuelto e la probabldad. Para la geeracó de smulacoes auales de varables ormales, se puede defr co la sguete ecuacó: E dode: ( ) + t ( r ) / + σ (3.) = + + r + + : Gasto geerado e el perodo + + : Meda de los gastos observados e el perodo + r : Coefcete de correlacó para la relacó de gastos e los perodos : Gasto geerado e u perodo : Meda observada e los gastos e el perodo t : Número aleatoro seleccoado de ua dstrbucó ormal, teedo como meda cero y ua varaza utara. σ + : Desvacó estádar de los gastos observados para u perodo + Ferg y Jackso (97) modfcaro la ecuacó ateror por la sguete:

3 ( ) + t s( r ) / + = + r (3.) E dode: + : Gasto geerado e el perodo + : Gasto geerado e el perodo : Meda aual de los gastos del regstro hstórco r : Coefcete de autocorrelacó de gastos auales t : Número aleatoro seleccoado de ua dstrbucó ormal, teedo como meda cero y ua varaza utara. s : Desvacó estádar de los gastos auales Las dos ecuacoes aterores (3. y 3.) so para gastos auales, para gastos mesuales se desarrolla co la sguete ecuacó: ( ) + t ( r ) /, = + b, ( ) σ (3.3) Varos de los elemetos que so parte de esta ecuacó ya fuero defdos, los elemetos que aú o ha sdo defdos y so parte de la ecuacó 3.3 se mecoará a cotuacó:, : El gasto geerado e el tervalo, el cual ocurre e u perodo b : El producto del coefcete de correlacó multplcado por la relacó de las desvacoes estádar e los perodos y - : El gasto geerado e el tervalo e u perodo -, : La meda de los gastos observador e el perodo σ : Desvacó estádar e u perodo Al gual que e la geeracó de gastos auales, e la smulacó mesual se tee alguas modfcacoes, sedo las varables ormales trambé.

4 ( ) + t s ( r ) /, = + b, ( ) (3.4) s b = r( ) (3.5) s E dode:, : El gasto geerado e el tervalo, el cual ocurre e u perodo : Meda de los gastos para el perodo b : El producto del coefcete de correlacó multplcado por la relacó de la desvacó estádar e los perodos y - r ( ) : El coefcete de correlacó etre los gastos de los perodos y - : El gasto geerado e el tervalo e u perodo -, s, s : Desvacó estádar de los gastos durate los perodos y - : La meda de los gastos observados e el perodo - E dode, = para calzar e geeracó de smulacoes mesuales, de la msma maera = e smulacoes auales. El uso de úmeros aleatoros represeta la parte probablístca de la ecuacó mecoada aterormete. Estos úmeros debe perteecer a ua dstrbucó uforme e el tervalo [0,]. Estos, úmeros aleatoros debe trasformarse a úmeros aleatoros ormales co varaza utara y meda co valor cero. E ocasoes, este modelo puede arroar valores egatvos, pero s eso pasara, etoces los gastos geerados egatvos se tomará co valor de cero. El modelo es del tpo estocástco, por que se basa e correlacoes seradas, es decr, cada valor depede del ateror uo a uo (Hogga, 989). Otra característca mportate es que tervee varables aleatoras, por lo tato puede ser geeradas y aalzadas el úmero de

5 trayectoras que se quera. E este caso e partcular, se geerará ml trayectoras co regstros varables, es decr, co tamaños de muestras dsttos. S embargo, cabe destacar que estos regstros stétcos o equvale a crear regstros futuros basádose e los regstros hstórcos. Auque los prmeros tega característcas smlares a los segudos, esto se realza co la faldad de crear ua herrameta que ayude a vsualzar el estudo bao dferetes posbldades de regstros pero basados e patroes ya establecdos (regstros hstórcos). 3.3 Trasformacó Box-Cox Para poder utlzar correctamete el modelo de smulacó, es ecesaro que la muestra o la sere de regstros stétcos tega dstrbucó ormal. S esto o sucedera, este método arroaría valores erróeos co respecto a los regstros hstórcos. Es por ello que ates de geerar los regstros hstórcos se utlzará la trasformacó de Box Cox para ormalzar las muestras. La trasformacó de Box - Cox utlza las sguetes relacoes: λ X Y = para λ 0 (3.6) λ y: Y = l(x) para λ = 0 (3.7) Dode: Y : Volume trasformado X : Volume orgal sesgado λ : Parámetro tal que Y tega u coefcete de asmetría estadístcamete gual a cero

6 El valor de λ podrá ser determado por prueba y error de tal maera que el coefcete de asmetría e la muestra sea estadístcamete gual a cero (McMaho y Míe,986). 3.4 Geeracó Mote Carlo El método de Mote Carlo es muy usado es los leguaes de programacó ya que se usa para hallar la probabldad de u suceso y tee como obetvo el geerar úmeros aleatoros que posea ua dstrbucó uforme e el tervalo (0,), es decr, que o cualquer úmero geerado por la computadora podrá ser utlzado e el caso específco de este aálss. Lo ateror se realza bao el empleo de ua técca seclla que ayude a modfcar los úmeros aleatoros uformes e el tervalo (0,), creados por la máqua, a úmeros aleatoros co dstrbucó ormal N(0,) a través de la trasformacó astótca, dada por ua aproxmacó polómca establecda por Abramowtz y Stegu (965). Por eemplo, se tee los sguetes valores costates: a 0 = b = a = b = a 3 = b 3 = Después se detfca a F(z) como u úmero aleatoro uforme e el tervalo (0,), etoces se revsa el rago e el cual se ecuetra F(z). S 0< F(z) 0.5, etoces se realza la sguete operacó v = [- l F(z) ] ½ (3.8) y z = v - a0 + av + av + bv + bv + b3v 3 (3.9) y z = -z por lo tato z esta detro de N(0,).

7 E el caso e que el úmero aleatoro uforme se ubcara fuera del rago sguete: 0.5 < F(z). Por lo tato: F( z) = F( z) (3.0) dode z se calcula co las ecuacoes (3.8) y (3.9). 3.5 Parámetros estadístcos Para la geeracó de datos stétcos es mprescdble la utlzacó de parámetros estadístcos, los cuales so la eseca de la parte defda que coforma la ecuacó de Ferg y Jackso (97). Estos parámetros so calculados co base e los regstros hstórcos y será descrtos brevemete a cotuacó, así como sus fórmulas correspodetes. Estos parámetros so de suma mportaca, ya que las muestras stétcas que se geere debe de teer ua smltud estadístca co los regstros hstórcos Meda Se llama así a la suma de todos los valores dvdda por el úmero total de los msmos. Etoces para ua sere de datos regstrados e u perodo de años, la meda de los gastos x, se expresa co la sguete ecuacó: Meda aual = (3.) x = Meda peródca

8 x p = (3.) x k, p k = Dode dca el mes sobre el cual se calcula y p expresa el úmero de años Varaza Ua característca mportate que posee los datos hstórcos es su varabldad o cómo es que ellos se dstrbuye, y ello puede medrse por medo del cálculo de la varaza. La varaza se represeta por s y se calcula de la sguete maera: Varaza aual: Sx = = x x = s = ( ) (3.3) Varaza poblacoal: (3.4) Varaza peródca: p p s = xk, xk, (3.5) p k = p( p ) k = Tato e la varaza aual como peródca, el subídce dca el mes sobre el cual se calcula el parámetro, la letra p so el úmero de años Coefcete de asmetría El coefcete de asmetría mde el grado de smetría de la muestra alrededor de la meda. La meda de la poblacó es el cetro de la muestra. E caso de que exsta o o

9 la smetría e ua dstrbucó se le llama asmetría y la defcó más coocda es la sguete (McMaho y Me,986): a C s = (3.7) 3 s a = ( )( ) = ( x x) 3 (3.8) Dode: : Número de años del regstro x : Volume del regstro hstórco e el perodo x : 3 s : Meda del regstro hstórco Varaza al cubo Los datos co asmetría postva está sesgados haca la derecha y los datos co asmetría egatva está sesgados haca la zquerda. El grado de sesgado baa geeralmete cuado el úmero de datos se eleva. Por lo tato, la dstrbucó de fluos auales so geeralmete meos sesgados que las dstrbucoes de fluos mesuales, que perteece al msmo río.

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