Funciones racionales. Profa. Caroline Rodríguez UPRA MECU 3031

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1 Funciones racionales Profa. Caroline Rodríguez UPRA MECU 01

2 Una función racional es una función que se puede epresar de la forma ( ( ( g f p donde f( y g( son funciones polinómicas. Ejemplos: g f y 9 ( ( 1

3 Ejemplos: 1 ( 1 1 ( g f Toda función polinómica es una función racional ya que se puede epresar con un denominador igual a ( 1 ( q p

4 Dominio de funciones racionales Recuerde que el dominio de una función es el conjunto de todos los números reales para los cuales la función está definida. En el caso de las funciones racionales, debemos ecluir del conjunto de los números reales cualquier valor que hace que el denominador sea igual a cero.

5 Determinar el dominio de una función racional 1 f ( 1 Debemos determinar los valores de que hacen el denominador igual a 0 (los ceros del denominador.

6 Determinar el dominio de una 5 f ( función racional Debemos determinar los valores de que hacen el denominador igual a 0 (los ceros del denominador. 0 Para encontrar los ceros, factorizamos.

7 Determinar el dominio de una f ( función racional Debemos determinar los valores de que hacen el denominador igual a 0 (los ceros del denominador Factorizamos por agrupación.

8 Determinar el dominio de una 5 f ( 1 función racional Debemos determinar los valores de que hacen el denominador igual a 0 (los ceros del denominador. 1es una SUMA de cuadrados perfectos. No eiste un valor que se le puede asignar a tal que + 1 sea igual a cero. Por lo tanto, el dominio es, D :

9 Interceptos Un intercepto en de f( se define como el (los punto (s donde el valor de f( es igual a cero. Para una función racional, el intercepto en ocurre en el valor de que hace que el numerador de la función sea igual a cero. El intercepto en y se puede encontrar evaluando la función para igual a cero.

10 Interceptos Hallar los interceptos de la función. f ( (a intercepto y: 1 b intercepto f ( 0 - El numerador de f( es Por lo tanto, f( El intercepto en y es NO tiene interceptos en. (0, - ½.

11 Interceptos Hallar los interceptos de la función. (a intercepto y: f ( b intercepto -

12 Interceptos Hallar los interceptos de la función. (a intercepto y: g( 9 b intercepto -

13 Interceptos Hallar los interceptos de la función. 5 h( (a intercepto y: b intercepto -

14 Interceptos Hallar los interceptos de la función. 9 9 p( 1 (a intercepto y: b intercepto -

15 Soluciones de funciones racionales Un par ordenado (a,b es una solución para f( si cuando se sustituye por a, y es igual a b. Dicho en notación de funciones, si f(a = b. Ej. Determinar si (6, 1 es una solución de f (6 (6 1 ( f ( 5 Como f 6 de f(. = 1, entonces (6, 1 SI es una solución

16 Soluciones de funciones racionales Ej. Determinar si (-, -16 es una solución de f (

17 Soluciones de funciones racionales Ej. Determinar el valor de a tal que (a, es una solución de 5 f (

18 Gráficas de funciones racionales Consideremos la función racional: Hasta ahora sabemos que: El dominio de f( es D: Numéro de interceptos en : El intercepto en y es: f ( (, (, (0, - ½. 1 No podemos trazar la gráfica correctamente con un sólo punto. No tiene interceptos en.

19 La gráfica de f = 1 Aunque = NO pertenece al dominio podemos observar lo que ocurre con valores que están muy cerca de = (un poco mayor o un poco menor.

20 La gráfica de f = 1 (cont. Si se eligen valores para la un poco mayores que (.01,.001, etc, los valores de la función se hacen muy grandes. Si se eligen valores para la un poco menores que (1.9, 1.99, etc, los valores de la función se hacen muy pequeños.

21 La gráfica de f = 1 (cont. Estos puntos los podemos unir con una curva, desconectada, suave que se etiende en direcciones opuestas.

22 La gráfica de f = 1 Los puntos se acercan a esta línea vertical entrecortada, =, por ambos lados, pero etendiéndose en direcciones opuestas. La línea vertical, =, separa la gráfica en dos partes disyuntas. = se llama una asíntota vertical (cont.

23 f ( 1 Veamos que ocurre con los valores de la gráfica a medida que se hace muy grande o muy pequeño. (Comportamiento en los etremos Cuando, y 0 Cuando, y 0

24 f ( 1 A medida que los valores de se hacen más negativos, los valores de la función (y se acercan más y más a cero. Cuando, y 0 A medida que los valores de se hacen más positivos, los valores de la función (y se acercan más y más a cero. Cuando, y 0

25 f ( 1 En este caso, la línea y=0 se llama una asíntota horizontal, porque los valores de la función se quedan bien cerca de esta línea a medida que aumenta o disminuye grandemente..

26 Hallar las asíntotas de funciones racionales Asíntotas Verticales Una función racional tiene una asíntota vertical cuando el denominador de la función simplificada es igual a 0. Una función racional está simplificada si NO eisten factores comunes, distintos de uno, entre el numerador y denominador.

27 Hallar la(s ecuación(es de la(s asíntota(s vertical(es si eiste(n. 1. f 5 Calculamos los valores de que hacen el denominador igual a cero: + = 0 = -1 La recta = -1 es la única asíntota vertical de la función.

28 Asíntotas horizontales Las asíntotas horizontales aparecen cuando ocurre una de las siguientes condiciones: 1. El grado del numerador es menor que el grado del denominador. En este caso, la asíntota es la recta horizontal y = 0. Ej. f ( El eje de (y=0 es la 15 asíntota horizontal de 1 g( las gráficas de f( y 16 g(

29 Asíntotas horizontales. El grado del numerador es igual al grado del denominador. En este caso, la asíntota es la recta horizontal y = a/b, donde a es el coeficiente principal del numerador y b es el del denominador. Ej. f ( g( La asíntota horizontal de la gráfica de f( es g( es y y 9 1

30 Asíntotas horizontales. Cuando el grado del numerador es mayor que el grado del denominador la función NO tiene asíntota horizontal. Ej. f ( g( Las gráficas de f( y g( NO tienen asíntota horizontal

31 Hallar la(s ecuación(es de la(s asíntota(s horizontal(es si eiste(n. 1. f 5

32 Gráficas de funciones racionales Para trazar gráficas de funciones racionales podemos seguir los siguientes pasos: Determinar asíntotas verticales. Determinar asíntotas horizontales. Determinar interceptos. Determinar comportamiento alrededor de las asíntotas. Tal vez necesites determinar algunos puntos adicionales. Unir puntos con curvas suaves.

33 Construir la gráfica de una función racional f 5

34 Trazar la gráfica de: f ( Intercepto - y: Asíntota vertical: Intercepto - Asíntota horizontal:

35 Puntos adicionales y

36 Trazar la gráfica de: g( Las asíntotas verticales son los valores que hacen cero el denominador en una epresión racional simplificada, por lo que debemos simplificar g( antes de determinar sus asíntotas.. y Las funciones g( y y son equivalentes para todo número real ecepto, en =.

37 Las gráficas de las funciones: g( Tienen la misma asíntota vertical. =? Tienen la misma asíntota horizontal y =? Son equivalentes en todos los puntos ecepto en =. La gráfica de g( tiene un hueco en (?,?. y

38 Gráficas de funciones racionales g(

39 Trazar la gráfica de: f Primero simplicamos la función La asíntota vertical de esta función es =?. La asíntota horizontal de esta función es y =?. f( tiene un hueco cuando (?,?

40 Trazar la gráfica de: f usando y Determinemos el intercepto en y. intercepto en puntos adicionales

41 Práctica Hallar el dominio y los interceptos de cada una de las siguientes funciones ( 1 ( 8 ( h g f

42 Práctica Hallar el valor de a, si eiste, tal que (a,1 es una solución de f( f f ( ( 9

43 Soluciones Dominio: 8 16 ( h f 8 ( 1 ( g (0,,0 ( : D (, 1, ( 1, ( : D (,, (, ( : D

44 Soluciones Interceptos: 8 16 ( h f 8 ( 1 ( g (,0 :(-6,0, int No eiste : int - y :(1,0 int (0, : int 1 - y -, - : int 0,- : int 1 - y

45 Soluciones ( ( 0 1 ( f f 9 ( (9,1 es una solución de f( (-,1 y (1,1 son soluciones de f(

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