ESTIMACIÓN DE LA VARIANZA POBLACIONAL EN EL MUESTREO EN OCASIONES SUCESIVAS

Transcripción

1 Metodología de Ecueta I: Vol 6, úm, 00, 9- ETIMACIÓ DE LA VARIAZA POBLACIOAL E EL MUETREO E OCAIOE UCEIVA Amelia V. García Luego Eva M. Arté Rodríguez Imaculada Oña Caado Uiveridad de Almería REUME E ete trabajo, bajo u dieño de muetreo e do ocaioe, etimamo la variaza poblacioal mediate u etimador lieal iegado. Determiado lo valore que miimiza la variaza de ete etimadorf, obteemo el etimador de la variaza, juto co la epreió de u variaza la fracció óptima que debe apareare. e obtiee la curva que da la gaacia e preciió del etimador propueto obre el etimador imple que o utiliza la iformació obre la primera ocaió. i embargo, utilizado la proporció óptima de apareamieto, obteida al etimar la media poblacioal, e la epreió de la variaza del etimador propueto, la pérdida e preciió para dicho etimador de la variaza poblacioal e depreciable. Eto ugiere que el problema de la etimació de la variaza poblacioal puede er imultáeamete coiderado co la etimació de la media poblacioal. Palabra clave: muetreo uceivo, variaza poblacioal, fracció de apareamieto, gaacia e preciió.

2 0 A.V. García, E.M. Arté e I. Oña Itroducció E la ecueta muetrale e frecuete la eceidad de etimar algú parámetro poblacioal a itervalo regulare de tiempo. i eite ua relació etre el valor de u elemeto de la població e u período de tiempo, el valor del mimo elemeto e el período iguiete, etoce e poible emplear la iformació coteida e la muetra del período precedete para mejorar la etimació actual del parámetro poblacioal. E ete etido, para que ea poible utilizar la iformació muetral precedete, e debe obteer la muetra de maera que lo elemeto muetrale e lo do período uceivo tega alguo elemeto comue, e decir, puede er má coveiete el reemplazamieto parcial de la muetra. E ete cao, e oberva la mima variable e do ocaioe ólo ua parte de la uidade obervada e comú a dicha ocaioe. La obervacioe de la primera ocaió e utiliza como iformació complemetaria para mejorar la etimació e la eguda ocaió. E eta codicioe, ha ido etudiada la etimació de parámetro poblacioale, tale como la media o la razó (Jee, 9; Pattero, 950; García Luego, 00; García Luego Arté, 00. De ua forma imilar, e razoable upoer que eta técica de etimació e puede utilizar, bajo la codicioe adecuada, para proporcioar etimadore eficiete de la variaza. E ete trabajo, bajo u dieño de muetreo e do ocaioe, etimamo la variaza poblacioal mediate u etimador lieal iegado. Determiado lo valore que miimiza la variaza de ete etimador, obteemo el etimador de la variaza, juto co la epreió de u variaza la fracció óptima que debe apareare. e obtiee la curva que da la gaacia e preciió del etimador propueto obre el etimador imple que o utiliza la iformació obre la primera ocaió. i embargo, utilizado la proporció óptima de apareamieto, obteida al etimar la media poblacioal, e la epreió de la variaza del etimador propueto, la pérdida e preciió para dicho etimador de la variaza poblacioal e depreciable. Eto ugiere que el problema de la etimació de la variaza poblacioal puede er imultáeamete coiderado co la etimació de la media poblacioal. Etimació de la variaza poblacioal e la eguda ocaió. Etimador lieal Coideremo ua població fiita U {U,..., U } de uidade. upogamo que e etrae ua muetra aleatoria imple (upoiedo grade el tamaño de la població para poder precidir del factor de correcció por fiitud o ua muetra aleatoria co reemplazo. ea el tamaño de la població, de la que e etrae e la primera ocaió ua muetra aleatoria imple de tamaño. ea ua muetra aleatoria imple de tamaño m p (muetra apareada ubmuetreada de la uidade, que e retiee para la eguda ocaió. Ademá, ea ua muetra aleatoria imple de tamaño u q tomada e la eguda ocaió del uivero - m que queda depué de omitir la m uidade.

3 Etimació de la variaza poblacioal e el muetreo e ocaioe uceiva. ea X, Y la media poblacioale e la primera eguda ocaió, X i ; i Y i ea, la media muetrale e la primera eguda ocaió, eaσ ea, σ, i ; i i la variaza poblacioale e la primera eguda ocaió, σ i i ( X ; σ ( Y i i la variaza muetrale e la primera eguda ocaió, El parámetro de iteré e dode ( m m i ( ; ( i i i σ. Propoemo el iguiete etimador lieal de a + b + c + d u m m i u i, σ :, la variaza muetrale e la primera (eguda ocaió correpodiete a la uidade que o comue e la do ocaioe (apareada. ( u u, la variaza muetrale e la primera (eguda ocaió correpodiete a la uidade o apareada. Teiedo e cueta que la variaza muetrale o etimadore iegado de la variaza poblacioal para cada ocaió, E E ( E( σ u m ( E( σ u m

4 A.V. García, E.M. Arté e I. Oña e tiee que E( ( a + b σ + ( c + d σ Para que ea u etimador iegado de σ debe er luego a + b 0 c + d a b d c Por lo tato La variaza de V e ( + c + ( c a u m m u ( + a β ( c [ ] + [ β( ]+ q p p ( c ac + θ q p [ β ( ] ( ( Dode e u primer grado de aproimació (véae edall tuart, 977: V ( [ β ( ]; V ( β ( [ ] iedo Cov (, ( θ co σ ( X σ σ i i i Y i co σ ( β 0 ( ; β ( 0 r 0 ; 0 r ( Y ( X j j θ 0 0

5 Etimació de la variaza poblacioal e el muetreo e ocaioe uceiva. 3 Lo valore óptimo de a c, que miimiza la variaza, o: a opt dode [ β ( ][ β ( ] c opt [ β( ] pq( θ q ( θ p q ( θ Etoce, la epreió para el etimador de la variaza e la eguda ocaió viee dada por: [ β( ] pq( θ p ( + + u m m q θ q θ ( q[ q( θ ] + q ( θ u ( i lo valore de a opt c opt e utitue e (, obteemo la iguiete epreió para la variaza del etimador ( θ ( [ ( ] ( q q θ V [ ( ] β β (3 q ( θ ( θ q i igualamo a cero la derivada de V ( repecto de q, ecotraremo, para ua determiada muetra de tamaño, el valor de q que hace míima la variaza. Por tato, teemo que la fracció óptima de reemplazamieto e ( q opt ( θ ( θ, por tato, la fracció óptima de la muetra total que debe apareare e la parte comú e p opt + ( θ ( θ Cuado el óptimo de q e utitue e (3 e obtiee el valor míimo de la variaza del etimador V mí ( β ( ( θ + [ ] (

6 A.V. García, E.M. Arté e I. Oña Por otra parte, i ólo e coidera la iformació proporcioada por la eguda ocaió, la variaza del etimador ería V ( ( β mí [ ] Comprobamo que el etimador V ( e má precio que el etimador ( comparado u repectiva variaza V mí ( V ( + β ( ( θ 0 V, Cao particulare del etimador de la variaza poblacioal e la eguda ocaió. i p 0 o eite parte comú erá q -. El etimador de la variaza dado ( e covertirá e ( θ u u ( θ la variaza del etimador erá ( [ ( ] ( θ V β [ β( ] θ ( que coicide co la variaza de la variaza muetral.. i p q 0 el apareamieto de la muetra e completo. El etimador de la variaza dado ( quedará de la forma 0 u la variaza del etimador erá V ( [ β( ] que coicide co la variaza de la variaza muetral. 3. i la epreió del etimador ( reulta algo implificada [ β( ] pq( θ q ( θ ( u m p + q ( θ m q + [ q( θ ] q ( θ u

7 Etimació de la variaza poblacioal e el muetreo e ocaioe uceiva. 5 pero u variaza o eperimeta alteració, pue eguirá iedo q ( [ ( ] ( θ V β q ( θ. U etimador de la variaza poblacioal de la primera ocaió e obtiee de la fórmula ( cambiado lo valore de la ocaioe por la la por la, obteiedo [ β( ] pq( θ q ( θ ( u m p + q ( θ m q + [ q( θ ] q ( θ Ete etimador podría utilizare i e puede eperar el tiempo eceario hata que e dipoga de lo dato de amba ocaioe. La variaza del etimador e obtedría cambiado por q ( [ ( ] ( θ V β q ( θ Gaacia e preciió A cotiuació obteemo la gaacia e preciió del etimador,, que utiliza iformació obre la ocaió actual, obre el etimador de la variaza, que ólo utiliza iformació obre la ocaió actual. V G ( V ( V ( p ( p( θ ( p( θ u erá poitiva i [ β ( β ( ] (,, > Por defiició p. i p (apareamieto total ó p 0 (reemplazamo toda la muetra, la gaacia vale cero. Para cualquier otro valor de p obtedremo ua gaacia poitiva iempre que e verifique ( θ 0 dode θ β, β ( β ( ( β ( 0 0

8 6 A.V. García, E.M. Arté e I. Oña θ ρ ( ( β, β iedo ρ el coeficiete de correlació etre. j Y j X ρ j Y j ( ( r ( ( X θ - erá poitiva i ρ > β (, β( i coideramo el valor míimo de la variaza del etimador, la gaacia e ete cao e V ( ( Vmi ( θ Gopt (5 Vmi ( + θ ( La figura el cuadro idica el porcetaje de gaacia e preciió para ditito valore de ρ β (, β ( obteido al utituir e la epreió: + ( θ ( θ 00 Figura a: fracció óptima de apareamieto e fució de ρ β (, β (.

9 Etimació de la variaza poblacioal e el muetreo e ocaioe uceiva. 7 ρ 0, 0, 0,3 0, 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Cuadro : porcetaje de gaacia e preciió, G opt, e fució de ρ β (, β (. β (, β (,,3, 3,3 3,, 0,650 0,58 0,535 0,563 0,509 0,505 5,0000 8,3690,698 3,658,86,005 0,5556 0,57 0,508 0,505 0,500 0,5006, 3,83,63,005 0,3963 0, 0,58 0,505 0,500 0,5003 0,5000 0,5006,356 0,896 0,99 0,066 0,006 0, 0,505 0,5000 0,5007 0,503 0,503 0,505,005 0,005 0, 0,553 0,675,005 0,5000 0,503 0,507 0,508 0,57 0,57 0,0000 0,6395,7,633,3386,937 0,505 0,56 0,5 0,58 0,569 0,5307,005,9,,356 5,388 6,37 0,58 0,5368 0,58 0,59 0,55 0,5556,356 7,3579 9,6 8,980 0,899, 0,5556 0,5765 0,5937 0,583 0,595 0,5953, 5,30 8,730 6,676 8,98 0,650 0,656 0,6890 0,6550 0,6655 5,0000 3,365 37,80 30,99 33,06 E cailla: valor de q, e curiva, gaacia. 9,0569 0,667 33,33 Figura b: gaacia e preciió e fució de ρ β (, β (.

10 8 A.V. García, E.M. Arté e I. Oña Figura a: fracció óptima de apareamieto e fució de ρ β (3, β (3. Figura b: gaacia e preciió e fució de ρ β (3, β (3. abemo que e el cao de etimar la media poblacioal, el valor óptimo de q e ' q opt + ρ dode ρ e el coeficiete de correlació etre. utituedo ete valor e (3 obteemo la epreió

11 Etimació de la variaza poblacioal e el muetreo e ocaioe uceiva. 9 V upoiedo que preciió de V ( θ [ β ( ]( + ρ + ρ ( ρ k + k ρ ( θ ρ ρ, el cuadro idica el tato por cieto de la pérdida e V, obteido a partir de la epreió obre ( k + k k G ' k ( θ ( ρ + k ρ ( θ ( θ + ρ + ρ 00 Como obervamo, el porcetaje de pérdida e preciió e depreciable para lo valore de ρ β (, β (. Eto ugiere que el problema de la etimació de la variaza poblacioal puede er imultáeamete coiderado co la etimació de la media poblacioal. ρ ' q opt Cuadro : porcetaje de pérdida e preciió, G, para ditito valore de ρ β (, β (. β (, β (,,3, 3,3 3,, 0, 0,50 -,53-0,0506-0,0089-0,009-0,0005-0,000 0, 0,505-0,008-0,000-0,000 0,0000 0,0000 0,0000 0,3 0,5-0,007-0,000-0,000 0,0000 0,0000 0,0000 0, 0,5-0,00 0,0000-0,0003-0,000-0,0009-0,00 0,5 0,536 0,0000-0,007-0,007-0,009-0,005-0,005 0,6 0,556-0,003-0,09-0,009-0,09-0,069-0,05 0,7 0,583-0,06-0,0607-0,08-0,099-0,0390-0,037 0,8 0,65-0,06-0,38-0,0658-0,08-0,0738-0,060 0,9 0,696-0,73-0,80-0,007-0,908-0,8-0,0 Preciió e cao de ormalidad i lo mometo de la ditribució (, o lo mimo de ua ormal bivariate hata el orde cuatro, e tiee θ + ρ ; β ( 3 0

12 0 A.V. García, E.M. Arté e I. Oña E ete cao, la fracció óptima de apareamieto la gaacia e preciió tiee la iguiete epreió, evaluado e el cuadro 3 figura 3. Cuadro 3: porcetaje de la fracció óptima de apareamieto la gaacia e preciió para ditito valore de ρ. ρ % óptimo % de gaacia óptima para p /3 para p ¼ % de gaacia % de gaacia apareado 0,5 9,6,, 0,6 8 3,5 3,,7 0,7 6 6,9 6,3 5,5 0,8 3 7,3,5, 0,9 37 6, 5,9, 0, ,8 39,6 39,, ,6 75,0 i la fracció de apareamieto toma lo valore /3 /, la gaacia e preciió tiee eta epreioe, evaluado e el cuadro 3 al figura. G 8 ρ 9 ; 8 ρ 3 p / 3 Gp / 3 ρ ; 3ρ Figura 3a: fracció óptima de apareamieto e fució de ρ.

13 Etimació de la variaza poblacioal e el muetreo e ocaioe uceiva. ótee que i ha ormalidad ambo etimadore o igual de precio e cao de idepedecia de la variable, pueto que V Figura 3b: gaacia e preciió e fució de ρ. ( V ( + ρ 0 mi Figura a: gaacia e preciió e fució de ρ, para p /3.

14 A.V. García, E.M. Arté e I. Oña Figura b: gaacia e preciió e fució de ρ, para p /. Referecia Arté, E.M. García Luego, A.V. (00 Etimatio of curret populatio ratio i ucceive amplig. Joural of the Idia ociet of Agricultural tatitic, 5 ( García Luego, A.V. (00 Mejora de etimadore e muetreo e ocaioe uceiva. ervicio de Publicacioe de la Uiveridad de Almería. García Luego, A.V. Arté, E.M. (00 Aportacioe al muetre uceivo: etimador combiado de la razó poblacioal tipo razó-producto. Revita Colombiaa de Etadítica, 5 ( Jee, R.J. (9 tatitical Ivetigatio of a ample urve for Obtaiig Farm Fact. Iowa Agricultural Eperimet tatitical Reearch Bulleti, 30. edall, M. tuart, A. (977 The Advaced Theor of tatitic, vol.. Lodo: Griffi. Pattero, H.D. (950 amplig o ucceive Occaio with Partial Replacemet of Uit. Joural of the Roal tatitical ociet, B, -55. rivatava harma (00 O the Etimatio of Populatio Variace i Repeat urve. Joural of the Idia ociet of Agricultural tatitic, 5 (