LA NOCIÓN DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

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Magdalena Macías Paz
hace 6 años
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LA NOCIÓN DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Sugerencias al Profesor: También en este caso se deberá procurar no definir formalmente el concepto de ite de una función en un punto, sino que se

1 LA NOCIÓN DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Sugerencias al Profesor: También en este caso se deberá procurar no definir formalmente el concepto de ite de una función en un punto, sino que se deberá abordar estableciendo una etensión de la noción de ite al infinito epuesta y trabajada en secuencias anteriores, enfatizando que para encontrar el ite de una función en un punto, no interesa lo que pasa en dicho punto, sino lo que sucede a su alrededor, puesto que la eistencia del ite no depende de que la función esté definida en el punto Se recomienda llevar impresas las gráficas de las funciones con las que se trabajará, para establecer por un lado la correspondencia que hay entre los registros algebraico y gráfico en la determinación de los ites deseados, y por otro promover la habilidad mencionada en los propósitos de la secuencia, trabajar solamente con funciones polinomiales y racionales, presentando primero el caso cuando la función está definida en el punto, y posteriormente aquellos que sin estar definida la función en el punto, inducen a la c 0 epresión, con c 0 o a la indeterminación 0 0 Propósitos: Etender la noción de ite al infinito de una función de variable real a la noción de ite de una función de variable real en un punto Introducir el concepto de ites laterales, como instrumento para mostrar la eistencia del ite de una función en un punto 3 Relacionar los registros algebraico y gráfico en la determinación del ite de una función en un punto 4 Promover la habilidad de obtener ites de manera algebraica y gráfica No es del todo desconocido que el principal obstáculo que se habrá de afrontar, son las dificultades en el manejo del álgebra que mostrarán algunos alumnos, por ejemplo en la resolución de ecuaciones algebraicas de grado superior a dos, en el desarrollo de productos notables o en el proceso de factorización, por lo cual se sugiere que con la intensión de salvar tal impedimento, se elabore una serie de ejercicios con la temática mencionada y la no mencionada que se considere relevante, que se dejarán de tarea antes de desarrollar la presente secuencia Unidad Procesos Infinitos y la Noción de Límite - 45

2 Iniciar la secuencia construyendo el siguiente concepto clave a partir de la noción de ite al infinito de una función de variable real epuesto anteriormente Concepto clave: Límite de una función de variable real en un punto Sea f ( ) una función de variable real y a R, el número L es el ite de la función f ( ) cuando tiende a a, que se denota f = L, si cuando se aproima al número a, las imágenes de f ( ) se aproiman al valor L más que a cualquier otro número Si f Si f =, entonces se dice que el ite es infinito =, entonces se dice que el ite es menos infinito Si f ( ) es una función polinomial o racional y está definida para = a, se cumple que f = f ( a), lo cual sugiere que para encontrar f, basta con encontrar la imagen de a Ejemplos 3 a) Si f = 8 5 6, encuentra f Cuál es el dominio de f ( )? Como su dominio es el conjunto R, la función está definida en = Por lo 3 tanto, f = = 7 Una vez calculado el ite, trabajar con la calculadora para ver que en efecto cuando, se tiene que f 7-46 Unidad Procesos Infinitos y la Noción de Límite valores cercanos a pero menores y mayores que él, sugiriendo de manera secuencial Menores que : 9, 999, 9999, 99999, , , etcétera Mayores que :, 0, 00, 000, 0000, 00000, etcétera Hacer ver que en el primer caso se están acercando al valor por la izquierda, hecho que se simboliza, mientras que en el segundo caso se están acercando a por la derecha, lo cual se simboliza

3 Lo anterior muestr ra que f = 7 y f laterales Dar una interpretación geométrica de este análisis apoyándose de la gráfica de la función que aparece en la figura = 7, llamados ites Figura Esta actividad permitirá reforzar la noción de ite de una función en un punto, relacionar los registros algebraico y gráfico y sentar las bases para introducir el siguiente concepto clave que se utilizará para mostrar la eistencia del ite Concepto clave: Eistencia y unicidad del ite de una función en un punto f = L y f L Si Notas: Si eiste el ite de una función en un punto, es único Este ite también puede ser infinito o menos infinito b) Si f = 4 6 Cuál es el dominio o de =, entonces eiste f, encuentra f f? y f = L Unidad Procesos Infinitos y la Noción de Límite - 47

4 Puesto que su dominio es el conjunto R { 3,}, la función está definida en = Por lo tanto, 3 = f ( ) = 4 6 Posteriormente proceder de manera análoga al ejemplo anterior, para mostrar la eistencia del ite, esto es probar utilizando la calculadora que se 3 cumple con la condición f = y f 3 =, en la figura aparece la gráfica de la función para verificar los resultados obtenidos y relacionar los registros ya mencionados Figura b) f Ejercicio Haciendo uso de la calculadora para encontrar los ites laterales y apoyándote de las gráficas mostradas en las figuras 3 y 4 para interpretar tus resultados, determina cuál de las funciones siguientes tiene ite en = 0 a) f =, ver la figura 3 =, ver la figura 4-48 Unidad Procesos Infinitos y la Noción de Límite

5 Figura 3 Figura 4 Comentar que al sustituir el valor = 0 en las funciones del ejercicio, en ambos casos se obtiene la epresión 0, sin embargo en el primer caso no eiste el ite pero en el segundo caso, sí eiste En general, cuando al sustituir el valor de la variable independiente en la c regla de correspondencia de la función se obtiene la epresión siendo c una 0 constante diferente de cero, puede suceder que eista o que no eista el ite de la función en el punto, en caso de eistir puede que sea infinito o menos infinito, así que para obtener algebraicamente este tipo de ites sugerir encontrarlos a través de los ites laterales Unidad Procesos Infinitos y la Noción de Límite - 49

6 Ejercicio Sabiendo que en una función racional f ( ), la recta = a es una asíntota vertical de su gráfica, solo si se verifica cualquiera de los ites f =, f =, f =, f ( ) =, f = o f asíntotas verticales de la función gráfica se muestra en la figura 5 f =, cuya 3 8 Auiliar a los alumnos indicándoles que los posibles valores de a, se deben buscar entre aquellos que no pertenecen al dominio de la función =, encuentra las Figura 5 c) f 0 d) f 5 Ejercicio 3 En la figura 6 está la gráfica de la función f ( ) =, sin hacer cálculos, determina los ites siguientes: a) f b) f - 50 Unidad Procesos Infinitos y la Noción de Límite

7 Figura 6 Resaltar que en la gráfica de la función f =, argumentando por qué = hay un hueco en f Si bien la función no está definida para =, plantear la pregunta eistirá? Para responder los alumnos tendrán que plantear y encontrar los ites laterales f y f f Como f = 0 y f = 0 = 0, se concluye que el ite eiste y que Este resultado nos hace ver que para encontrar el ite de una función en un punto, no interesa lo que pasa con dicho punto, sino lo que sucede a su alrededor, ya que no es necesario que la función esté definida en el punto para que eista el ite en tal punto Mostrar que si se hubiera sustituido el valor = en la regla de correspondencia de la función, se obtendría lo siguiente: f ( ) 0 = = 0 Unidad Procesos Infinitos y la Noción de Límite - 5

8 0 Pero, a qué será igual? Promover una breve discusión para concluir 0 que tal epresión es una indeterminación A continuación eponer la estrategia usual factorizar los polinomios y simplificar la fracción, para resolver esta indeterminación sin echar mano de los ites laterales Así, = = = ( )( ) = 0 Eplicar que en este procedimiento se ha definido de manera implícita la nueva función g =, que coincide con f = en todos sus puntos, ecepto en =, como puede observarse en su gráfica, mostrada en la figura 7 Esta nueva función, sí está definida para =, por lo que g = = g ( ) = = 0 Figura 7-5 Unidad Procesos Infinitos y la Noción de Límite

9 Mencionar que en el cálculo de los ites anteriores, se han aplicado de manera implícita las principales reglas enunciadas para el cálculo algebraico de ites al infinito, que en este conteto estarían establecidas como sigue: Concepto clave: Principales reglas para el cálculo algebraico de ites en un punto Si a R y además f = L y g = M, entonces: a) Regla de la suma para ites: f g = L M b) Regla del producto para ites: f g = L M c) Regla del cociente para ites: Si M 0, entonces d) Si c es una constante, entonces f L = g M c = c y c f = c L c) d) e) f) g) Ejercicio 4 Encontrar algebraicamente cada uno de los ites siguientes: a) b) Unidad Procesos Infinitos y la Noción de Límite - 53

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