Definición de matriz Una matriz A es un conjunto de números dispuestos en filas y en columnas.

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1 1.- CONCEPTO DE MATRIZ. TIPOS DE MATRICES Definición de matriz Una matriz A es un conjunto de números dispuestos en filas y en columnas Por ejemplo, A = es una matriz de 2 filas y 3 columnas En general, una matriz A de m filas y n columnas se puede escribir así: A = a a.. a a a.. a am1 a m2.. a n n En (a ij ), el primer subíndice, i, indica la fila y el segundo, j, indica la columna. Por ejemplo, a 21 es el elemento de la fila 2, columna 1 Orden o dimensión de una matriz Una matriz es de orden o dimensión m x n si tiene m filas y n columnas Por ejemplo, A = es una matriz de orden 2 x Matriz nula o matriz cero Es aquella con todos sus elementos 0. Por ejemplo, 0 = es la matriz nula de orden 3x2 mn = (a ij ) Matriz fila Es aquella que tiene sólo una fila. Por ejemplo, ( ) es una matriz fila de orden 5 Matriz columna 9 Es aquella que tiene una sola columna. Por ejemplo, 5 es una matriz columna de orden 3 2 Traspuesta o Transpuesta de una matriz La traspuesta de una matriz A es la que se obtiene escribiendo las filas de A por columnas. Se representa por A t Por ejemplo, la traspuesta de A = es A t 3 2 = Matriz cuadrada Es la que tiene el mismo número de filas que de columnas Por ejemplo, A = es una matriz cuadrada de orden Todas la matrices cuadradas tienen una diagonal principal y otra secundaria: - Página 1 -

2 Matriz triangular Una matriz cuadrada A es una matriz triangular superior, si los elementos por debajo la diagonal principal son cero. Por ejemplo, es una matriz triangular superior Una matriz cuadrada A es una matriz triangular inferior, si los elementos por encima de la diagonal principal son cero. Por ejemplo, es una matriz triangular inferior Una matriz cuadrada A es una matriz triangular, si es triangular superior o triangular inferior Matriz diagonal Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos de fuera de la diagonal principal Por ejemplo, es una matriz diagonal de orden Por ejemplo, I 2 = 1 0 Matriz escalar Es una matriz diagonal con todos los elementos iguales Por ejemplo, A = es la matriz escalar Matriz identidad Es una matriz diagonal con 1 en la diagonal principal es la matriz identidad de orden 2, I 3 = En general, I n es la matriz identidad de orden n la de orden 3. Matriz simétrica Una matriz cuadrada A es simétrica si es igual que su traspuesta, es decir si A t = A Por ejemplo, A= es simétrica, pues A t = = A Matrices iguales Dos matrices A y B son iguales si tienen el mismo orden y cada elemento de A coincide con su respectivo elemento de B - Página 2 -

3 1 Halla a, b para que las matrices A = 3a b 9 b a 11 a+ b 2 y B = 17 2b a 7 a 3b 3 3 a sean iguales 2 Construye la matriz A de orden 3 x 2 cuyos elementos son a 11 = 4 a 31 = 0 a 22 = 3 a 12 = 5 a 32 = 7 y a 21 = 1 3 Calcula x, y, z para que la matriz A= x y y + z 2+ x 2x 4 x+ z 1 x 4 sea igual a la matriz B= z y SUMA Y RESTA DE MATRICES. PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UNA MATRIZ Para poder sumar o restar matrices, deben tener exactamente el mismo orden. Por ejemplo, una matriz de orden 3 x 2 no se puede sumar ni restar con otra de orden 3 x 3. En tal caso, se suman o se restan los elementos que ocupan el mismo lugar en las matrices. Ejemplo: Matrices opuestas Son las que tienen opuestos los elementos que ocupan el mismo lugar. Por ejemplo, A = y A = son matrices opuestas Propiedades más importantes de la suma de matrices 1) Conmutativa: A + B = B + A 2) Elemento neutro: A + 0 = A 3) Elemento opuesto: A + ( A) = 0 4) Asociativa: (A + B) + C = A + (B + C) 5) (A + B) t = A t + B t Producto de un número por una matriz Para multiplicar un número por una matriz se multiplica el número por cada elemento de la matriz = Ejemplos: = Observa: Para dividir una matriz entre un número, su multiplica el inverso del número por la matriz Por ejemplo, = = = Página 3 -

4 Ecuaciones con matrices Son ecuaciones donde la incógnita que tenemos que despejar es una matriz Veamos algunas reglas útiles para despejar: A 1) X + A= B ( X + A) A= B A X = B A + A 2) X A= B ( X A) + A= B+ A X = B+ A ) kx = A k. k. X =. A X = A k k k 4 Sean A y B las matrices Calcula las matrices X e Y para las que 2X Y = A y X 3Y = B Sean las matrices A = B= Calcula las matrices X e Y para las que se verifica X + Y = A y 3X + Y = B 6 Considera las matrices Calcula X e Y tales que X Y = A t y 2X Y = B (A t es la matriz traspuesta de A). 3.- PRODUCTO DE MATRICES Producto de una matriz fila por una matriz columna Para multiplicar una matriz fila por una matriz columna deben tener ambas el mismo número de elementos. En tal caso, se multiplican elemento a elemento y luego se suman los resultados Ejemplo: 5 ( ). 7 = 3.( 5) ( 2).4 = 16 4 En general, la regla para multiplicar una fila por una columna es: ( ) = a 1 b 1 + a 2 b a n b n - Página 4 -

5 Producto de matrices Dadas dos matrices A y B, para poder realizar A.B es imprescindible que el nº de columnas de A sea igual al nº de filas de B. En tal caso, para hacer el producto AB se multiplican las filas de A por las columnas de B Ejemplo: FC FC FC Orden2x4 Orden4x3 Orden2x = = FC 2 1 FC 2 2 FC = ( ). = = 16 ( ) 4 2 = = 3.( 4) + 2.( 2) = = ( ). = = #! $ %" 0 1 = ( ). = ( 2).3= ' & ( ) & 4 2 = ( ). = 2.( 4) + 5.( 2) ( 2).2= ,* = ( ). = ( 2).1= La regla general es: Si A es de orden m x k, B de orden k x n A.B es de orden m x n Propiedades más importantes del producto de matrices: 1) No conmutativa: AB BA 2) Elemento neutro: A I = I A = A 3) Asociativa: (AB)C = A(BC) 4) Distributiva respecto de la suma: A(B+C) = AB + AC 5) (AB) t = B t A t Potencia de una matriz cuadrada Dada una matriz cuadrada A, se pueden calcular las sucesivas potencias de A de la siguiente forma: A 2 = A A A 3 = A 2 A A 4 = A 3 A o también A 4 = A 2 A 2 etc A veces se puede calcular A n en función de n, siempre que las sucesivas potencias de A sigan una cierta regularidad. - Página 5 -

6 7 Sean A y B dos matrices que verifican: Halla las matrices (A + B)(A - B) y A 2 - B 2. 8 Considera la matriz Para qué valores de m se verifica que A 2 = 2A + I? (I denota la matriz identidad). 9 Se considera la matriz. Determina la constantes a y b para las que se cumple A 2 +aa=bi 10 Considera la matriz Calcula B 2 y B Dada la matriz M= 0 1 0, calcula razonadamente M Considera la matriz (a) Siendo I la matriz identidad 3 x 3 y O la matriz nula 3 x 3, prueba que A 3 + I = O, (b) Calcula A 10 y A Considera las matrices Calcula AB, AC, A t B t y C t A t, siendo A t, B t y C t las matrices transpuestas de A, B y C, respectivamente. 14 Considera la matriz Determina la matriz B = A 2 2A. 15 Sea la matriz. Comprueba que se verifica 2A A 2 = I. 16 Sea I la matriz identidad de orden 3 y. Calcula, si existe, el valor de k para el cual (A ki) 2 es la matriz nula. 17 Considera, siendo a un número real. (a) Calcula el valor de a para que A 2 - A = (b) Existe algún valor de a para el que la matriz A sea simétrica? Razona la respuesta. - Página 6 -

7 18 Sea y sea I la matriz identidad de orden dos. Calcula A 2-7A + 10 I 19 Sea I la matriz identidad de orden 2 y sea Halla los valores de a y b para los que A 2 + aa + bi = O. 20 Sea I la matriz identidad de orden 3 y sea Determina el valor de b para el que A 2-2A + I = O. 21 Sean I la matriz identidad de orden 2 y Encuentra los valores de m para los cuales se cumple que (A I) 2 = O, donde O es la matriz nula de orden Considera la matriz Para m = 1, determina A Sea la matriz 0 1 A = 1 0. Calcula A2 y A MATRIZ INVERSA Decimos que una matriz cuadrada A tiene inversa si existe otra matriz, que representamos por A 1, que cumple: A A 1 = I y A 1 A = I. La matriz A 1 se llama inversa de A. Se dice que A es invertible, si tiene inversa Método de Gauss para el cálculo de la inversa Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A construimos la matriz M = (A I), luego hacemos transformaciones en la matriz M, basadas en el método de Gauss, hasta conseguir que A se convierta en la matriz identidad. Una vez conseguido, la matriz de la parte derecha de M es la inversa de A Las reglas que se usan en el método de Gauss son: 1) Cambiar de orden dos filas 2) Multiplicar o dividir una fila por un número distinto de cero 3) Sumarle o restarle a una fila otra multiplicada por un número Si en el proceso queda una fila con todo ceros en la mitad izquierda de M, entonces A no es invertible y no se puede seguir Usando la definición, calcula, si es posible, la inversa de cada matriz: a) b) Calcula, si es posible, la inversa: a) 3 7 b) c) d) e) Calcula, si es posible, la inversa de A en los siguientes casos: a) b) - Página 7 -

8 27 Sea a) Comprueba que A 2 = 2I y calcula A 1. b) Calcula A 2013 y su inversa. 28 Sea la matriz Para qué valores del parámetro k no existe la inversa de la matriz A? Justifica la respuesta. 29 Sea la matriz Calcula los valores de α para los que la matriz inversa de A es 1 A Sea la matriz (a) Comprueba que se verifica 2A A 2 = I. (b) Calcula A 1. (Sugerencia: Puedes usar la igualdad del apartado (a)). 31 Dadas las matrices Calcula, si existen, la matriz inversa de A y la de B. 32 Dada la matriz Demuestra que A 2 + 2A = I y que A 1 = A + 2I, siendo I la matriz identidad de orden Calcula el valor de m para el que la matriz verifica la relación 2A 2 A = I y determina A 1 para dicho valor de m. 34 Si M es una matriz cuadrada que verifica la relación 2M 2 M = I, determina la expresión de M 1 en función de M y de I. 35 Una matriz cuadrada A verifica la ecuación A 3 + 2A 2 + I = 0. Demuestra que A es invertible y halla A 1 en función de A 36 Considera las matrices (a) Halla, si existe, la matriz inversa de AB + C. (b) Calcula, si existen, los números reales x e y que verifican: 37 Considera las matrices (a) Calcula la matriz inversa de A. (b) Calcula A 127 y A 128. (c) Determina x e y tal que AB = BA - Página 8 -

9 5.- RANGO DE UNA MATRIZ Combinación lineal (c.l.) de filas: Una fila es c.l. de otras filas si es el resultado de multiplicar cada fila por un número y luego sumarlas Filas linealmente independientes (l.i.): Dos o más filas son l.i. cuando ninguna de ellas se puede poner como c.l. de las demás Rango de una matriz: El rango de una matriz A es el número de filas l.i. Se representa por rg(a) En cualquier matriz, el número de filas l.i. coincide con el número de columnas l.i. Cálculo del rango por el método de Gauss Una vez aplicado el método de Gauss, haciendo ceros los elementos por debajo de los elementos diagonales, el rango de la matriz es el número de filas que quedan. Las reglas que se usan en el método de Gauss son: 1) Cambiar de orden dos filas o dos columnas 2) Multiplicar o dividir una fila o columna por un número distinto de cero 3) Sumarle o restarle a una fila o columna otra multiplicada por un número 4) Eliminar una fila o columna que sea igual o proporcional a otra 5) Eliminar una fila o columna con todo ceros 38 Calcula el rango de las siguientes matrices: a)( 1 4 2) b) 2 5 c) 3 4 d) 9 9 e) f) g) h) i) j) k) l) Sea a) Determina los valores de m para los que los vectores fila de M son linealmente independientes. b) Estudia el rango de M según los valores de m. c) Para m = 1, calcula la inversa de M. 6.- APLICACIONES DE LAS MATRICES EN LA VIDA REAL Muchas veces se dispone de una serie de datos y queremos organizarlos para que sean rápidamente identificados y su manipulación resulte sencilla. Una forma de hacerlo es mediante matrices en las que las filas y las columnas tienen un significado determinado. - Página 9 -

10 40 En un instituto I hay alumnos de tres pueblos, A, B y C. Una empresa de transporte escolar hace dos rutas: la ruta 1 parte de B y recorre sucesivamente C, A e I; la ruta 2 parte de C y recorre sucesivamente B, A e I. a) Determina la matriz M, 2x3, que expresa los km que recorren los alumnos de cada pueblo por cada ruta. b) El número de alumnos que siguen cada ruta de cada pueblo es: Pueblo A: 10 alumnos la ruta 1 y 9 alumnos la ruta 2. Pueblo B: 15 alumnos la ruta 1 y 8 alumnos la ruta 2. Pueblo C: 5 alumnos la ruta 1 y 9 alumnos la ruta 2. Determina la matriz N, 3x2, que indique los alumnos que siguen cada ruta de cada pueblo. c) Si la empresa cobra 12 céntimos por km a cada persona, determina la matriz P = 0.12 M N e interpreta cada uno de sus elementos. 41 En una empresa de fabricación de móviles hay 3 categorías de empleados: A, B y C y se fabrican dos tipos de móviles: M y P. Diariamente cada empleado de la categoría A fabrica 4 móviles del tipo M y 3 del tipo P, mientras que cada uno de la categoría B fabrica 5 móviles del tipo M y 4 del tipo P, y cada uno de la categoría C fabrica 6 móviles del tipo M y 5 móviles del tipo P. Para fabricar cada móvil del tipo M se necesitan dos chips y 4 conexiones y para fabricar cada móvil del tipo P 4 chips y 6 conexiones. a) Escribe una matriz X, 3x2, que describa el número de móviles de cada tipo y otra matriz Y, de orden 2, que exprese el número de chips y conexiones de cada tipo de móvil. b) Realiza el producto de matrices X Y e indique qué expresa dicho producto. 42 Un proveedor que suministra materia prima a 3 fábricas, F, G y H, transporta una parte de sus envíos a cada fábrica por carretera y la otra parte por tren, según se indica en la matriz T, cuyos elementos son las toneladas de materia prima que recibe cada fábrica por cada vía de transporte. Los precios del transporte de cada tonelada de materia prima son 200 por carretera y 180 por tren, como indica la matriz C = ( ). Explica qué operación debe efectuarse con estas matrices para determinar una nueva matriz cuyos elementos sean los costes de llevar este material a la fábrica. 43 Una fábrica produce dos tipos de productos, A y B, que distribuye a tres clientes. En el mes de enero el primer cliente compró 9 unidades de A y 5 de B, el segundo cliente 3 de A y 7 de B, y el tercer cliente 4 de A y 6 de B. En el mes de febrero el primer cliente y el segundo duplicaron las compras del mes anterior, y el tercer cliente compró de cada producto una unidad más de las que compró en enero. En marzo el primer cliente no compró nada, y el segundo y el tercero compraron lo mismo que en febrero. a) Para cada mes construye la matriz de dimensión 3 x2 correspondiente a las compras de ese mes. b) Calcula la matriz de compras del trimestre. c) Si los precios de los productos A y B son, respectivamente, 80 y 100 euros, calcula lo que factura la fábrica en el primer trimestre, por cada cliente y en total. - Página 10 -

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