Transformaciones en 2D. Sistemas de coordenadas. 2 dimensiones: traslación. 2 dimensiones: escalado

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Marina Venegas Salinas
hace 6 años
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Trnsformciones Contenido Sistems de coordends Trnsformciones en D Trnsformciones en 3 dimensiones Composición de trnsformciones Rotción lrededor de un pivot Rotción lrededor de un eje Agrdecimientos:

1 Trnsformciones Contenido Sistems de coordends Trnsformciones en D Trnsformciones en 3 dimensiones Composición de trnsformciones Rotción lrededor de un pivot Rotción lrededor de un eje Agrdecimientos: A Ale Grcí-Alonso por fcilitr el mteril pr l relición de ests trnsprencis ( Sistems de coordends Un objeto se represent por polígonos Un polígono es un colección de vértices rists Pr trnsformr un objeto se trnsformn sus vértices Del sistem locl l sistem globl: trnsformciones Trnsformciones en D Trslción Escldo Rotción Deformción dimensiones: trslción dimensiones: escldo = + t = + t 1 0 t 0 1 t = s = s s s 0 1

2 dimensiones: rotción dimensiones: rotción r P P = r cos = r sen = r cos ( + ) = = r (cos cos sen sin ) = = cos sen = r sen ( + ) = = r ( cos sen + sen cos ) = = sin + cos Representdo mtricilmente en coordends homogénes: cos -sin 0 sin cos 0 dimensiones: deformción (sher) Deformción de l coordend : = + h = 1 h Trnsformciones en 3 dimensiones L epresión generl de un trnsformción en tres dimensiones en coordends homogénes es: Mtri de trnsformción M 44 Describe tods ls trnsformciones: trslción, escldo, rotción, deformción. L composición de trnsformciones se reli medinte el producto de mtrices Se pueden obtener los vlores de l trnsformción prtir de l mtri: desplmiento, escl giro. 3D: Trslción = + t = + t = + t t t t

3 3D: Escldo 3D: Escldo no homogéneo = s = s = s s s s s s s 0 3D: Rotción 3D: Mtrices de rotción cos -sin 0 0 sin cos 0 Rotción en cos 0 sin sin 0 cos 0 cos -sin 0 0 sin cos Rotción en Rotción en Otrs trnsformciones Oblicu en ( invrinte) b Refleión plno Composición de trnsformciones Se pueden plicr sucesivs trnsformciones un punto. Al resultdo de l primer trnsformción: M 1 P se plic un segund trnsformción: M [ M 1 P] = [M M 1 ] P L composición de trnsformciones se reli medinte el producto de mtrices M = M n M n-1 M M 1 3

4 L composición de trnsformciones no es conmuttiv Estructur jerárquic Un objeto se sitú respecto su sistem de coordends. Todo el conjunto se puede situr en un sistem de coordends distinto sí sucesivmente. Ls coordends en el sistem finl se obtienen por composición de trnsformciones. Rotción lrededor de un pivot Si el eje de rotción no ps por el origen, son necesris ls siguientes operciones Trsldr el punto de rotción, l origen Relir l rotción Deshcer l trslción L composición de trnsformciones es: M R ( ) = M 3 M M 1 M R ( ) = M T (q, q, q ) M R ( ) M T (-q, -q, -q ) El escldo se reli nálogmente Rotción lrededor de un eje El eje define por un punto un vector unitrio r. Se reli un rotción de un ángulo. Se resuelve medinte composición de trnsformciones O Se enuncin ls trnsformciones Se determin el cálculo de cd un de ells Se eplic como evlur los ángulos requeridos composición de trnsformciones Posición inicil Trslción O Rotción - en Rotción Rotción en en M 1 M M 3 M 4 Rotción - en M 5 M 6 M 7 Trslción -O Posición inicil Rotción en relción de trnsformciones L mtri de trnsformción es: M (,r) ( ) = M 7 M 6 M 5 M 4 M 3 M M 1 M 1 : trslción O M : rotción en M 3 : rotción en M 4 : rotción en M 5 : rotción - en M 6 : rotción - en M 7 : trslción -O 4

5 M 1 - trslción O Se R tl que OR = O + r L trslción que llev l origen es: M 1 = M T (-q, -q, -q ) r O M 1 M - rotción en Clculr el ángulo entre los plnos YZ el plno definido por el eje O r es l proección ortogonl de r sobre XY es el resultdo del giro lrededor de es el ángulo entre r j (vector unitrio de ) tener en cuent el sentido de giro positivo k M es l mtri de rotción lrededor del eje : M = M R ( ) r M 3 - rotción en Aplicndo M se obtiene está en el plno YZ r lo define O Clculr el ángulo entre r j tener en cuent el sentido de giro positivo i M 3 es l mtri de rotción lrededor del eje : M 3 = M R () M 4 - rotción en M 5, M 6, M 7 - inverss Aplicndo M 3 se obtiene está en el eje Se reli el giro en el eje M 4 es l mtri de rotción lrededor del eje : M 4 = M R ( ) Un ve clculdo el giro lrededor del eje trnsformdo, hbrá que invertir el proceso de trnsformción pr ello se clculn ls mtrices inverss M 5 = M R (-) M 6 = M R (- ) M 7 = M T (q, q, q ) L mtri de trnsformción compuest es: M (,r) ( ) = M 7 M 6 M 5 M 4 M 3 M M 1 5

6 ángulo r ángulo Cálculo del ángulo r es l proección ortogonl de r sobre el plno XY: (r, r, 0) cos = j r / r = = ( (0, 1, 0) (r, r, 0) ) / (r + r ) 1/ cos = r / (r + r ) 1/ Como cos = cos ( ), entonces si r < 0 entonces el ángulo debe ser ( - ) = - r = cos ( r / (r + r ) 1/ ) si r < 0 = - j r Cálculo del ángulo r están en el plno YZ cos = j r / r = = ( (0, 1, 0) (0, r, r ) ) / (r + r ) 1/ cos = r / (r + r ) 1/ Como cos = cos ( ), entonces si r > 0 entonces el ángulo debe ser ( - ) = - = cos ( r / (r + r ) 1/ ) si r > 0 = - r j r 6

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