3. PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA EN SISTEMAS CERRADOS

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1 3. PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA EN SISTEMAS CERRADOS 3.1 INTRODUCCIÓN La primera ley de la termodinámica confirma el principio universal de la conservación de la energía, sentenciando que la energía no puede crearse ni destruirse, sólo puede transformarse. Así, en base a la primera ley, se puede establecer que durante la interacción entre un sistema y su entorno, la cantidad de energía ganada (perdida) por el sistema debe ser exactamente igual a la energía perdida (ganada) por el entorno. Para que se produzca traspaso de energía entre un sistema y su entorno, ésta debe cruzar las fronteras del sistema. En el caso de un sistema cerrado, la energía puede cruzar sus fronteras en dos formas distintas: calor y trabajo. 3.2 EL CALOR El calor es la forma de energía que se transfiere entre dos sistemas, o entre un sistema y su entorno, debido a la diferencia de temperatura de estos. De ello se deduce que no puede haber transferencia de calor entre dos sistemas, o entre un sistema y su entorno, si ambos están a la misma temperatura, es decir, en equilibrio térmico. Se denomina proceso adiabático a todo proceso donde no hay transferencia de calor entre dos sistemas, o entre un sistema y su entorno. Existe dos formas para que un proceso sea adiabático: i) que el sistema está bien aislado, de modo que sólo una fracción despreciable de calor pueda cruzar las fronteras del sistema, o; ii) si existe equilibrio térmico entre el sistema y su entorno (están a la misma temperatura). Un proceso adiabático no debe confundirse con un proceso isotérmico. Aunque no hay transferencia de calor en un proceso adiabático, otros medios, como el trabajo, pueden cambiar el contenido de energía del sistema y, en consecuencia, elevar su temperatura. Al calor se lo denomina Q y, como una forma de energía, tiene unidades de energía, siendo el Joule (J) la unidad internacional para expresarla. En el uso práctico industrial se mantiene muy arraigado el uso de la unidad térmica británica o Btu. La cantidad de calor transferida durante un proceso entre dos estados (estados 1 y 2) se expresa por medio de Q 12 o simplemente por Q. La transferencia de calor por unidad de masa de un sistema se denota por q y se determina de: q = Q ( J / kg ) m Curso: Termodinámica de Ingeniería - Profesor: Bernardo Gárate P. 1

2 Para una gran cantidad de procesos termodinámicos es necesario conocer la transferencia de calor por unidad de tiempo. A este parámetro se lo denomina potencia térmica y se expresa en Watt: Q = ( J / s ) = ( W ) t Cuando varía en el tiempo, la cantidad de calor transferida durante un proceso se determina de la siguiente manera: t2 Q 12 = dt ( J ) t1 Cuando es constante, la cantidad de calor transferida durante un proceso se determina de la siguiente manera: Q 12 = t ( J ), donde t = t 2 t 1 EL signo convencional universalmente aceptado para la transferencia de calor es la siguiente: cualquier transferencia de calor que incremente la energía de un sistema es positiva, y al revés, cualquier transferencia de calor que disminuya la energía de un sistema es negativa. Figura 3.1. Relaciones de transferencia de calor Q e = + 55 kj Sistema Q s = - 40 kj Q inicial = 25 kj m = 2 kg t = 5 s Q final = 40 kj q final = 20 kj/kg = 3 kj/s 3.3 EL TRABAJO El trabajo, al igual que el calor, también es un tipo de interacción de energía entre un sistema y su entorno. Así como el calor es una forma de transferencia de energía originada por diferencias de temperatura, el trabajo es la transferencia de energía asociada a la acción de una fuerza a lo largo de una distancia. Al trabajo efectuado durante un proceso entre los estado 1 y 2 se lo denomina W 12, o simplemente W, y como forma de energía, sus unidades son el Joule ( J ). Para efectos de la Curso: Termodinámica de Ingeniería - Profesor: Bernardo Gárate P. 2

3 convención de signos se establece que el trabajo realizado por un sistema es positivo, y el trabajo efectuado sobre un sistema es negativo 1. El trabajo por unidad de masa de un sistema se lo denomina w, y se define como: w = W ( J / kg ) m El trabajo realizado por unidad de tiempo también es una forma de potencia y se denota unidad de potencia es (J / s) o W (Watt).. La La transferencia de calor y de trabajo se reconocen cuando cruzan las fronteras de un sistema, por lo que constituyen fenómenos transitorios, es decir, ocurren cuando un sistema experimenta un proceso para pasar de un estado inicial a otro estado final. Cuando un sistema tiene definido su estado, es decir que sus propiedades no varían, no puede existir transferencia de calor ni trabajo. Ahora, la cantidad de calor y trabajo transferidos durante un proceso, depende de la trayectoria seguida por éste, y de las condiciones particulares de los estados inicial y final. Las funciones que dependen de la trayectoria tienen diferenciales inexactas y, en este caso, se designan por δq, para el calor, y por δw, para el trabajo (no se designan dq ni dw). Hay dos requisitos para que ocurra una interacción de trabajo entre un sistema y su entorno: Debe haber una fuerza que actúe sobre la frontera del sistema, y La frontera del sistema debe moverse. Por lo tanto, la acción de fuerzas en la frontera de un sistema que no logren un desplazamiento de la misma, no constituyen una interacción de trabajo. De modo similar, el desplazamiento de la frontera de un sistema sin ninguna fuerza que se oponga o impulse este movimiento tampoco es una interacción de trabajo. El análisis termodinámico de sistemas cerrados con frontera móvil supone que los procesos de transferencias de trabajo se desarrollan en un tiempo suficiente, que permite establecer una sucesión de estados intermedios de cuasi-equilibrio entre el estado inicial y el final. Al proceso entendido bajo este supuesto se lo denomina proceso cuasi-estático. Para entender esta idea, se analiza un gas encerrado en un sistema de cilindro-pistón, tal como lo muestra la figura siguiente. La presión inicial del gas es P, el volumen es V y el área de la sección transversal del pistón es A. Si el pistón se mueve una distancia ds, en condición cuasi-estática, el trabajo diferencial realizado durante este proceso es: δw = F ds = P A ds = P dv 1 Algunos autores adoptan la convención de signos opuesta a la señalada en este apunte, es decir, que el trabajo sobre un sistema es positivo y el trabajo entregado por el sistema es negativo. Curso: Termodinámica de Ingeniería - Profesor: Bernardo Gárate P. 3

4 EL trabajo total realizado en el proceso es: 2 W 12 = P dv ( J ) 1 En esta última expresión se debe conocer la relación funcional de la presión en función del volumen del sistema P = f(v) ya que, en un proceso, el trabajo depende de la trayectoria. Así, el siguiente diagrama Presión-Volumen presenta 2 trayectorias para llegar del estado 1 al estado 2. Figura 3.2. Trayectorias de procesos entre los estados 1 y 2 P 2: estado final trayectoria B W B trayectoria A W A 1: estado inicial V 2 V 1 V sistema (2) (1) El área bajo la curva de un diagrama P V es igual, en magnitud, al trabajo efectuado en un proceso de expansión o compresión cuasi-estático de un sistema cerrado (notar que el diferencial del área bajo la curva da = PdV). Así, W B > W A Gracias a que el trabajo desarrollado durante un proceso depende de la trayectoria que sigue entre los estados inicial y final, es posible aprovechar esta situación para obtener ganancias de trabajo mecánico en dispositivos de operación cíclica como motores y turbinas. Para el ciclo que muestra la figura 3.3 se produce una salida neta de trabajo debido a que el trabajo hecho por el sistema durante la expansión del estado 2 al 1 es mayor que el trabajo de compresión del estado 1 al 2. La diferencia de ambos trabajos es el trabajo neto del ciclo. Este concepto será analizado in extenso en los capítulos posteriores sobre los ciclos termodinámicos. Curso: Termodinámica de Ingeniería - Profesor: Bernardo Gárate P. 4

5 Figura 3.3. Trabajo neto de ciclos termodinámicos P 2 W neto 1 V 2 V 1 V 3.4 RELACIÓN ENTRE TRABAJO Y CALOR Replanteando el principio de conservación de la energía, formalizado en la primera ley de la termodinámica, analizaremos el concepto de cambios en la energía total de un sistema cerrado. Cuando en un sistema cerrado ocurren simultáneamente interacciones de trabajo y de calor, sus contribuciones energéticas al sistema simplemente se suman, entonces, el cambio en la energía total de un sistema durante un proceso es igual a la suma del trabajo neto y a la transferencia de calor neta entre el sistema y su entorno. Por lo tanto, la primera ley para un sistema cerrado estacionario 2 se puede expresar como sigue: Q - W = E = U Donde: Q = ΣQ en - ΣQ sal W = ΣW sal - ΣW en E = E 2 - E 1 La ecuación presenta la variación de energía de un sistema a partir de la diferencia entre el calor que ingresa y el trabajo que dicho sistema realiza, es decir, sustenta un concepto fundamental de la termodinámica que nos dice que la cantidad de trabajo que un sistema pueda entregar es consecuencia de la cantidad de calor que ingresa a él. Esta idea cobra especial importancia en los procesos cíclicos donde, después de un ciclo completo, la variación de energía total del sistema es igual a cero. Qué significa esto último?, En el caso de un ciclo completo, el trabajo total entregado por el sistema es exactamente igual a la cantidad total de calor que ingresó a él. 2 La condición de un sistema cerrado estacionario implica que tanto su energía cinética como potencial no varían y, por ende, pueden no ser incluidas en la ecuación que representa la 1º ley para sistemas cerrados, donde finalmente se determina sólo la variación de la energía interna del sistema. Esta forma de análisis de los sistemas cerrados se sustenta en que la gran mayoría de los casos reales que se estudian corresponden a sistemas estacionarios. Curso: Termodinámica de Ingeniería - Profesor: Bernardo Gárate P. 5

6 3.5 CALORES ESPECÍFICOS Masas idénticas de diferentes sustancias requerirán diferentes cantidades de calor para elevar su temperatura una cierta cantidad de grados. Por lo tanto, es necesario contar con una propiedad que permita comparar la capacidad de almacenar energía que tienen las diversas sustancias. El calor específico se define como la energía requerida para elevar la temperatura de una masa unitaria de una sustancia en un grado. En termodinámica es posible tener dos tipos de calores específicos: C v : Calor específico a volumen constante es la energía requerida para elevar la temperatura de una masa unitaria de una sustancia en un grado, cuando el volumen se mantiene constante. C p : Calor específico a presión constante es la energía requerida para elevar la temperatura de una masa unitaria de una sustancia en un grado, cuando la presión se mantiene constante. Otra forma de expresar los calores específicos es a través otras propiedades termodinámicas: u h C v = C p = T v T p 3.6 RELACIONES ENTRE ENERGÍA INTERNA, ENTALPÍA Y CALORES ESPECÍFICOS Repasar algunas relaciones generales de la energía en sistemas cerrados. sistemas cerrados con volumen constante: e = u + e c + e p sistemas cerrados con volumen variable: e = u + Pv + e c + e p sistemas estacionarios: e c = e p = 0 si V = cte e = u si V cte e = u + Pv Gases Si se recuerda algunas de las expresiones usadas anteriormente para representar el comportamiento de gases ideales en relación a su energía interna, entalpía y calores específicos. Según esto, es posible deducir lo siguiente: Gas ideal: Pv = RT Energía interna: u = u(t) (esta dependencia se ha demostrado para gases ideales) Entalpía: h = u + Pv = u + RT = u(t) + RT por lo tanto: h = h(t) (para gases ideales) Curso: Termodinámica de Ingeniería - Profesor: Bernardo Gárate P. 6

7 A su vez, e u u C v = = = du = C v (T) dt T v T v T v e h h C p = = = dh = C p (T) dt T p T p T p du = C v (T) dt u = 1 C v (T) dt = u 2 u 1 2 si C v = cte u = C v (T 2 T 1 ) dh = C p (T) dt h = 1 C p (T) dt = h 2 h 1 2 si C p = cte h = C p (T 2 T 1 ) Para realizar estas integraciones es necesario tener las relaciones para C v y C p en función de la temperatura. A bajas presiones el comportamiento de los gases reales es muy aproximado al de gases ideales, por lo que las relaciones anteriores serían aplicables si se cumple la condición de baja presión. Ya se estableció: h(t) = u(t) + RT por lo tanto: dh = du + RdT C p = C v + R Por otro lado, se define para los gases ideales la relación de calores específicos como: k = C p /C v Sólidos y Líquidos Desde el punto de vista práctico a los líquidos y sólidos se los considera sustancias incompresibles, es decir, que no cambian su volumen durante un proceso. entonces, C p = C v = C por lo tanto, la energía interna se calcula: du = C(T) dt u = 1 C(T) dt = u 2 u 1 2 y la entalpía: si C = cte u = C (T 2 T 1 ) h 2 - h 1 = (u 2 - u 1 ) + v (P 2 - P 1 ) Curso: Termodinámica de Ingeniería - Profesor: Bernardo Gárate P. 7

8 Ejemplo 3.1 Un recipiente rígido de V = 1 pie 3 contienen una mezcla de agua líquida y vapor a una presión P = 12 psia. La masa total de agua en el recipiente es de 30 lbm. Se agrega calor hasta lograr una presión final de psia. Calcular: a) La calidad final de la mezcla. b) La cantidad de calor suministrado al sistema; V 1 = V 2 = 1 pie 3 P 1 = 12 psia m total = 30 lbm = constante La calidad inicial de la mezcla de determina por v 1 = v f1 + x * v fg1 = 1/30 pie 3 /lbm Si P1 = 12 psia v f1 = 0,01665 pie 3 /lbm v g1 = 33,4711 v fg1 = 33,4545 por lo tanto x 1 = 0,0005 El volumen rígido significa que el sistema no realiza trabajo, sólo hay cambio en la energía interna del sistema. Con esto, la energía interna inicial del sistema se calcula como: u 1 = u f1 + x 1 * u fg1 Si P1 = 12 psia u f1 = 169,2 Btu/lbm u g1 = 1.074,5 u fg1 = 905,3 por lo tanto u 1 = 169,65 a) La calidad final de la mezcla de determina por v 2 = v f2 + x 2 * v fg2 = 1/30 pie 3 /lbm Si P1 = 1000 psia v f2 = 0,0216 pie 3 /lbm v g2 = 0,4456 v fg2 = 0,4240 por lo tanto x 2 = 0,0277 con este valor la energía interna final del sistema se calcula como: u 2 = u f2 + x 2 * u fg2 Si P1 = 1000 psia u f2 = 538,4 Btu/lbm Curso: Termodinámica de Ingeniería - Profesor: Bernardo Gárate P. 8

9 u g2 = 1.109,4 u fg2 = 571,0 por lo tanto u 2 = 554,2 b) Q 12 = m * (u 2 - u 1 ) = 30 * ( 554,2-169,7) = Btu Ejemplo 3.2 Un recipiente rígido de 1 pie 3 contiene aire a una presión de 20 psia y a una temperatura de 100 ºF. Se agrega 10 Btu de calor al recipiente. calcular: a) La presión final del aire dentro del recipiente. V 1 = V 2 = 1 pie 3 = constante P 1 = 20 psia = lbf/pie² T 1 = 100 ºF = 560 ºR R aire = 53,34 pie-lbf / (lbm-ºr) C vaire = 0,171 Btu / (lbm-ºr) Q 12 = 10 Btu La masa de aire contenida en el recipiente es m = P 1 V 1 / RT 1 = 0,0964 lbm aire El volumen rígido significa que el sistema no realiza trabajo, sólo hay cambio en la energía interna del sistema. Q 12 = m * (u 2 - u 1 ) = m * C v * (T 2 - T 1 ) = 10 BTU 10 = 0,0964 * 0,171 * ( T ) T 2 = ºR por lo tanto P 2 = m R T 2 / V 2 = lbf/pie² = 41,7 psia Ejemplo 3.3 Un émbolo contiene únicamente 200 g de agua líquida saturada a una presión de 100 kpa. Se empieza a agregar calor al agua iniciándose su evaporación, con la consiguiente expansión a presión constante del émbolo. El proceso termina con la evaporación completa del agua dentro del émbolo. Calcular: a) Variación del volumen que experimenta el agua. b) La cantidad total de calor entregada al sistema. P 1 = P 2 = 100 kpa = 0,1 MPa m = 200 g = 0,2 kg con P 1 = 0,1 MPa v f1 = 0, m 3 /kg Curso: Termodinámica de Ingeniería - Profesor: Bernardo Gárate P. 9

10 v g2 = 1,6940 h f = 417,46 kj/kg h g = 2.675,50 h fg = 2.258,04 por lo tanto a) V = m * (v 2 - v 1 ) = m * (v g2 - v f1 ) = 0,3386 m 3 b) Q 12 = m * (h 2 - h 1 ) = m * (h g - h f ) = 451,6 kj Otra forma de resolver la parte b): u f = 417,36 kj/kg = u 1 u g = 2.506,1 = u 2 u fg = 2.088,7 V 1 = m v f1 = 0, m 3 V 2 = m v g2 = 0,3388 m 3 W 12 = P V = 100 (kpa) * (0,3388 0,000209) (m 3 ) = 33,86 kj Q 12 - W 12 = U 12 Q 12 = W 12 + U 12 = W 12 + m(u 2 - u 1 ) Q 12 = 33,86 + 0,2 ( 2.506,1-417,36) = 451,61 kj Ejemplo 3.4 Un émbolo contiene una mezcla saturada de agua a 100 psia y con 50% de calidad. El volumen inicial del émbolo es de 0,5 pie 3. Se agrega calor al agua con la consiguiente expansión a presión constante del émbolo. El proceso termina cuando el volumen llega a 2,5 pie 3. Calcular: a) Cantidad total de calor entregada al sistema. V 1 = 0,5 pie 3 V 2 = 2,5 pie 3 P 1 = P 2 = 100 psia = lbf/pie² x 1 = 50 % El calor suministrado al sistema se determina por Q - W = U Q = W + U El trabajo total realizado en el proceso es 2 W 12 = P dv = P * (V 2 - V 1 ) = * ( 2,5-0,5) = pie-lbf 1 La variación de energía interna se determina por Curso: Termodinámica de Ingeniería - Profesor: Bernardo Gárate P. 10

11 v 1 = V 1 / m v 1 = v f1 + x 1 * v fg1 a P = 100 psia v f1 = 0,01774 pie 3 /lbm v g1 = 4,434 v fg1 = 4,4163 v 1 = 2,22587 m = 0,2246 lbm u 1 = u f1 + x 1 * u fg1 u f1 = 298,28 Btu/lbm u g1 = 1.105,8 u fg1 = 807,5 u 1 = 702,03 por lo tanto U 1 = m * u 1 = 157,68 Btu Para determinar la energía interna final, primeramente se debe considerar v 2 = V 2 / m = 11,13 > v g a 100 psia Esto significa que el estado final del agua es vapor sobrecalentado. A partir de esto se puede buscar en tablas de vapor sobrecalentado un valor para la energía interna P = 100 psia T (ºF) v (pie 3 /lbm) u (Btu/lbm) h (Btu/lbm) , , ,7 11,130 u 2 =? h 2 =? , , ,3 por interpolación de valores u 2 = 1.547,3 Btu/lbm U 2 = 347,52 Btu Con todos los valores anteriores se puede estimar la cantidad de calor entregada al sistema Q 12 = W 12 + U 12 = W 12 + (U 2 U 1 ) W 12 = pie-lbf = 37,01 Btu (1 Btu = 778,16 pie-lbf) U 1 = 157,68 Btu U 2 = 347,52 Btu Q 12 = 226,85 Btu Otra alternativa para determinar el calor es: h 1 = h f1 + x 1 * h fg1 h f1 = 298,61 Btu/lbm h g1 = 1.187,8 h fg1 = 889,2 h 1 = 743,21 por lo tanto H 1 = m * h 1 = 166,92 Btu Curso: Termodinámica de Ingeniería - Profesor: Bernardo Gárate P. 11

12 por interpolación de valores h 2 = 1.753,1 Btu/lbm H 2 = 393,75 Btu Asi: Q 12 = H 2 H 1 Q 12 = 226,83 Btu Ejemplo 3.5 Un gas se expande en un émbolo de acuerdo a la relación PV 1,3 = C = constante. El volumen inicial del émbolo es 1,0 pie 3 bajo una presión inicial de 200 psia. La presión final es 15 psia. Calcular: a) El trabajo total hecho por el gas sobre el pistón. b) Volumen final. Si PV 1,3 = C P = C V -1,3 2 y W 12 = P dv 1 2 W 12 = C V -1,3 dv = - C * (V -0,3 2 - V -0,3 1 ) / 0,3 1 pero C = P 1 V 1,3 1 1,3 = P 2 V 2 W 12 = - (P 2 V 2 - P 1 V 1 ) / 0,3 El volumen final se determina como V 2 = V 1 * (P 1 /P 2 ) 1/1,3 = 1 * (200 / 15) 1/1,3 = 7,33 pie 3 por lo tanto, el trabajo será W 12 = * (15 * 7, * 1 ) / 0,3 = pie-lbf Ejemplo 3.6 En una sala aislada de 20 * 25 * 8 pie 3 se reúnen 20 personas. Las condiciones ambientales son 14,7 psia y 70 ºF. Cada asistente a la reunión ocupa 2,5 pie 3 y genera 375 Btu/hora de calor. Calcular: a) Incremento de la temperatura del aire al cabo de 15 minutos. V sala = pie 3 V aire = V sala - V personas = * 2,5 = pie 3 Si se considera la sala como un sistema a volumen constante, éste no realiza trabajo. Sólo habrá un incremento de la energía interna del aire causado por la entrega de calor de los asistentes. Así C vaire = 0,1715 Btu/lbmºF Q 12 aire = 20 * 375 * 15/60 = Btu por otro lado Q 12 aire = m aire * C vaire * (T 2 - T 1 ) Curso: Termodinámica de Ingeniería - Profesor: Bernardo Gárate P. 12

13 la condición inicial del aire es m aire = PV / RT P = 14,7 psia = 2.116,8 lbf/pie² V aire = pie 3 T 1aire = 70 ºF = 530 ºR R aire = 53,34 pie-lbf / (lbm-ºr) por lo tanto m aire = 295,77 lbm con estos valores se determina T 2 T 2 = T 1aire + Q 12 aire / (m aire * C vaire ) T 2 = 566,97 ºR entonces T 12 aire = 36,97 ºF Curso: Termodinámica de Ingeniería - Profesor: Bernardo Gárate P. 13

14 Ejemplo 3.7 Considerar como un sistema el gas contenido en el cilindro de la figura: gas El émbolo tiene sobre sí una cierta carga, e inicialmente está detenido. La presión inicial del gas es 1,4 kgf/cm² (20 psia) y el volumen inicial del gas es 0,0283 m 3 (1 pie 3 ). a) Gradualmente se agrega calor al gas hasta que su volumen aumenta a 0,085 m 3 (3 pie 3 ) lo que ocurrirá a presión constante. Calcular el trabajo efectuado por el sistema durante este proceso. 2 W 12 = P dv = P * ( V 2 - V 1 ) = 794 kgf-m = 5.760lbf-pie 1 b) Considerar el mismo sistema y condiciones iniciales del caso a). El nuevo proceso a que se somete el sistema considera que al mismo tiempo que se aplica calor se va quitando peso sobre el émbolo, de tal manera que la relación entre la presión y el volumen del sistema esta dada por la expresión PV = constante. Según esto, P 1 V 1 = P 2 V 2. Si el volumen final es 0,085 m 3. Calcular el trabajo efectuado por el sistema durante este proceso. La presión final del sistema es P 2 = P 1 V 1 / V 2 = 0,467 kgf/cm². W 12 = 2 P dv 1 P = constante / V = P 1 V 1 / V 2 W 12 = constante * dv = P 1 V 1 ln (V 2 /V 1 ) = 437,4 kgf-m 1 V c) Considerar el mismo sistema y condiciones iniciales del caso a). Otro proceso considera que el retiro de los pesos es tal que al aplicar calor la relación entre la presión y el volumen del sistema esta dada por la expresión PV 1,3 = constante. El volumen final es 0,085 m 3. - Describa la relación entre la presión y el volumen en el proceso; - Calcular el trabajo efectuado por el sistema durante este nuevo proceso. Curso: Termodinámica de Ingeniería - Profesor: Bernardo Gárate P. 14

15 El caso general establece que PV n = constante = P 1 V 1 n W 12 = 2 P dv 1 = P 2 V 2 n en que P = constante / V n = P 1 V 1 n / V n = P 2 V 2 n / V n asi 2 W 12 = constante * dv = Constante * V -n V -n+1 1 W 12 = constante * (V 1-n 2 - V 1-n 1 ) / (1-n) W 12 = (P 2 V n 2 V 1-n 2 - P 1 V n 1 V 1-n 1 ) / (1-n) = (P 2 V 2 - P 1 V 1 ) / (1-n) De acuerdo a los valores particulares de este problema W 12 = ( (0,337 * * 0,085) - (1,4 * * 0.028) ) / (1-1,3) = 371,7 kgf-m d) Considerar el mismo sistema y condiciones iniciales del caso a). El émbolo se fija de tal manera que queda imposibilitado para desplazarse dentro del cilindro, por lo que el volumen permanece constante. Se deja que el sistema libere calor hasta que la presión baja a 0,07 kgf/cm². Calcular el trabajo efectuado por el sistema durante este nuevo proceso. Puesto que para un proceso de cuasi equilibrio se cumple que δw = P dv, sin embargo, al no variar el volumen el trabajo neto W 12 = 0 Diagrama presión-volumen del trabajo en los procesos a) a d) P 1 2a 2d 2b 2c e f V Curso: Termodinámica de Ingeniería - Profesor: Bernardo Gárate P. 15

16 Ejemplo 3.8 (H 3-3) Una cápsula de volumen Va = 0,3 pulg 3 que contiene agua líquida a psia y 100 ºF se introduce en un recipiente de volumen Vr = 1 pie 3. Si se provoca vacío en el recipiente y después se rompe la cápsula de agua (por algún mecanismo apropiado) se producirá una evaporación del agua hasta que la mezcla líquido-vapor ocupe el recipiente. El recipiente puede intercambiar calor con su entorno lográndose una temperatura final de 100 º en equilibrio. Calcular a) Calidad final de la mezcla líquido vapor dentro del recipiente b) Intercambio de calor del sistema con su entorno. La frontera del sistema será la superficie interior del recipiente. A partir de esta consideración se tiene los siguientes datos: volumen del recipiente: Vr = 1 pie 3 presión inicial recipiente: Pr = 0 psia volumen de agua: Va = 0,3 pulg 3 = 0, pie 3 presión inicial agua: Pa = psia temperatura inicial agua: Ta = 100 ºF El volumen especifico del agua en la cápsula a psia y 100 ºF es v c = 0, pie 3 /lbm masa de agua = 0,0108 lbm El volumen específico de la mezcla líquido-vapor dentro del recipiente es: v r = Vr / 0,0108 = 1 / 0,0108 v r = 92,59 pie 3 /lbm Una mezcla líquido-vapor a 100 ºF tiene v f = 0,01613 pie 3 /lbm v g = 350,0 v fg = 349,98 a) v r = 92,59 = v f + x * v fg x = 0,2645 Q - W = U Q = W + (U 2 - U 1 ) Puesto que el sistema no cambia de volumen W = 0 por lo tanto Q = (U 2 - U 1 ) La energía interna del agua en la cápsula a psia y 100 ºF es u c = 67,70 Btu/lbm masa de agua = 0,0108 lbm U 1 = m * u c = 0,7312 Btu La energía interna final del agua en el sistema a 100 ºF es: u = u f + x * u fg u f = 68,04 Btu/lbm u g = 1.043,5 u fg = 975,4 Curso: Termodinámica de Ingeniería - Profesor: Bernardo Gárate P. 16

17 u r = 325,55 por lo tanto U 2 = m * u r = 3,5159 Btu b) Asi, el calor transferido durante el proceso es Q = 2,785 Btu El signo positivo del calor significa que la energía interna final del sistema es mayor a la inicial, por lo tanto, el entorno suministró calor al sistema para mantener la temperatura en 100 ºF. Ejemplo 3.9 Un dispositivo cilindro-pistón contiene aire a 150 kpa y 27 ºC. En este estado el pistón descansa sobre los topes interiores del cilindro. El volumen inicial del aire es 0,4 m 3 (0 400 lt). La masa del pistón es tal que se requiere de una presión de 350 kpa para elevarlo. Se suministra calor hasta que el volumen del aire se duplica. calcular: a) Temperatura final del aire, b) Trabajo efectuado por el aire, y c) Calor total simunistrado. Nota: asumir el aire como gas ideal. P (kpa) aire: V 1 = 0,4 m 3 T 1 = 27 ºC P 1 = 150 kpa ,4 0,8 V (m 3 ) a) Inicialmente se desarrolla un proceso a volumen constante: V 1 = V 2. Cuando la presión supera 350 kpa se inicia otro proceso a presión constante: P 2 = P 3 y V 3 = 2V 1 El supuesto de gas ideal establece que P 1 V 1 / T 1 = P 2 V 2 / T 2 = P 3 V 3 / T 3 Si T 1 = = 300 ºK y V 3 = 2V 1 T 3 = ºK b) El trabajo efectuado se determina de la siguiente forma: 3 W 13 = W 12 + W 23 = P dv = P 23 (V 3 - V 2 ) = 140 kj (W 12 = 0) 2 Curso: Termodinámica de Ingeniería - Profesor: Bernardo Gárate P. 17

18 c) Calor total suministrado Q 13 - W 13 = U 3 - U 1 = m (u 3 - u 1 ) P 1 V 1 = mrt 1 y R aire = 0,287 (kpa m 3 ) / (kg ºK) tabla A-17: u 1 = 214,07 kj/kg y u 3 = 1.113,52 kj/kg Q 13 = 776,9 kj m = P 1 V 1 /RT 1 = 0,697 kg También hay otra forma de resolver este problema. Analizar lo siguiente. Q 13 = Q 12 + Q 23 donde Q 12 = W 12 + U 12 = U 12 (W 12 = 0 ) Q 23 = W 23 + U 23 = H 23 (expansión a presión constante) Así Q 12 = m ( u 2 + u 1 ) Q 23 = m ( h 3 + h 2 ) P 1 V 1 / T 1 = P 2 V 2 / T 2 T 2 = P 2 T 1 / P 1 = 700 ºK Si: T 2 = 700 ºK h 2 = 713,27 kj/kg u 2 = 512,33 T 3 = ºK h 3 = 1.515,42 Así, Q 12 = 207,9 kj y Q 23 = 559,1 kj Por lo tanto, Q 13 = 767 kj Curso: Termodinámica de Ingeniería - Profesor: Bernardo Gárate P. 18

19 4. PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA EN SISTEMAS ABIERTOS 4.1 INTRODUCCIÓN En este capítulo la primera ley de la termodinámica se aplica a sistemas abiertos también llamados volúmenes de control en que el principio de conservación de la energía debe contemplar además del flujo de calor, el flujo de masa que entra o sale del sistema. Para ordenar el análisis termodinámico de los sistemas abiertos y facilitar su comprensión, primeramente se estudian los procesos de flujo permanente, dentro del cual se enmarca la operación de una gran cantidad de procesos industriales. Con posterioridad, se estudiará los procesos de flujo no permanente, el cual cubre otro campo de aplicación industrial de los procesos termodinámicos. Cualquiera sea el proceso con o sin flujo permanente la determinación del volumen de control para el análisis resultará fundamental. Las fronteras de un volumen de control reciben el nombre de superficies de control y se pueden elegir arbitrariamente de acuerdo a la naturaleza misma del proceso que se quiera analizar, y pueden ser tanto reales como imaginarias. Una vez determinadas sus fronteras, el tamaño y forma del volumen de control idealmente deberán mantenerse fijos, aunque es posible determinar volúmenes de control con frontera móvil. Figura 4.1. Flujo de masa en un volumen de control Masa entrante Volumen de control (VC) Masa saliente Frontera Figura 4.2. Fronteras real y ficticia de un volumen de control Masa entrante Frontera real Volumen de control (VC) Masa saliente Frontera ficticia Figura 4.3. Volumen de control con frontera móvil Curso: Termodinámica de Ingeniería - Profesor: Bernardo Gárate P. 19

20 Volumen de control Frontera móvil En los sistemas abiertos o volúmenes de control - la masa puede cruzar sus fronteras, por lo que se requiere especial atención en cuantificar la masa que entra y la que sale del sistema. El principio de conservación de la masa para un VC sometido a un proceso se expresa como: Σ m entra - Σ m sale = m VC Una cantidad de masa que fluye a través de una sección conductora por unidad de tiempo se denomina flujo de masa, y se designa por: m Donde: m = ρ VndA A ρ = densidad de la masa que fluye V n = velocidad normal a la sección conductora de la masa que fluye da = diferencial de área de la sección conductora Para la mayoría de los problemas prácticos, la expresión del flujo de masa se reduce a: m = ρv pro A donde: ρ = densidad de la masa que fluye V pro = velocidad promedio de la masa que fluye normal a la sección A = área de la sección conductora El principio de conservación de la energía en volúmenes de control se plantea de la siguiente forma: energía total que cruza la frontera del VC como calor y/o trabajo + energía total de la masa que entra al VC - energía total de la masa que sale del VC = cambio neto en la energía del VC Lo que equivale a: Q - W + Σ E entra - Σ E sale = E VC Curso: Termodinámica de Ingeniería - Profesor: Bernardo Gárate P. 20

21 Figura 4.4. Flujo de energía en un volumen de control energía de la masa entrante Volumen de control (VC) energía de la masa saliente trabajo W calor Q Para estimar la energía de un flujo de masa unitaria, sea esta entrante o saliente, se aplican las siguientes expresiones: energía de masa estática e = u + ½V 2 + gz energía de flujo de masa θ = Pv + u + ½V 2 + gz = h + ½V 2 + gz donde: u: energía interna unitaria h: entalpía unitaria P: presión del flujo de masa v: volumen unitario del flujo de masa Pv: energía del flujo o energía de transporte del flujo V 2 /2: energía cinética unitaria del VC gz: energía potencial unitaria del VC 4.2 PROCESOS DE FLUJO PERMANENTE (Estado estable Flujo estable) Este tipo de procesos es aquel donde el flujo fluye permanentemente por un volumen de control. La condición permanente del flujo implica lo siguiente: a) ninguna propiedad (intensiva o extensiva) en un punto dentro del VC cambia con el tiempo, pudiendo cambiar sus valores entre los distintos puntos dentro del VC. b) ninguna propiedad (intensiva o extensiva) cambia con el tiempo en las fronteras del VC. c) las fronteras del VC se mantienen fijas. d) la interacción de calor y trabajo entre un sistema de flujo permanente y su entorno no cambia con el tiempo. e) la cantidad total de masa contenida dentro del VC no cambia con el tiempo, por lo tanto, la masa total entrante es igual a la masa total saliente. f) El contenido total de energía del VC no varía en el tiempo, por lo tanto, la energía total que entra al VC es igual a la que sale de el. Curso: Termodinámica de Ingeniería - Profesor: Bernardo Gárate P. 21

22 De acuerdo a los puntos anteriores, el principio de conservación de la energía enunciado en la primera ley de la termodinámica puede expresarse de la siguiente manera: Q = misal W h isal 1 + V 2 2 isal + gz isal m jen h jen 1 + V 2 La expresión anterior plantea la posibilidad que el sistema pueda tener múltiples entradas y salidas. Para sistemas de flujo permanente de una sola corriente esta expresión se convierte en: Q W = m h2 h1 + ( V 2 V 1) + g( z2 z1) 2 Si el sistema experimenta un cambio despreciable en sus energías cinéticas y potencial, entonces la ecuación se reduce a: W = m( h 2 h 1 ) Q 2 jen + gz jen Dispositivos Típicos de Flujo Permanente a) Toberas y Difusores Ambos son dispositivos que producen un cambio en la velocidad del flujo que pasa a través de ellos. Mientras las toberas aumentan la velocidad del flujo, los difusores la disminuyen. Figura 4.5. Esquema de toberas y difusores V 1 tobera V 1 difusor V 2 V 2 La operación de estos dispositivos tiene las siguientes características: Q = constante Q = 0 Aunque estos dispositivos no estén aislados, la transferencia de calor entre estos y su entorno es siempre muy pequeña. Esto se debe a la gran velocidad del flujo, lo que no da tiempo para que se pueda desarrollar algún proceso de transferencia de calor. W = constante W = 0 El volumen de control de estos dispositivos es fijo y, además, no poseen otro tipo de elemento que pueda generar o aprovechar trabajo como sería, por ejemplo, una hélice. E cinética 0 En estos dispositivos el flujo experimenta un gran cambio de velocidad, en consecuencia, los cambios de energía cinética son considerables (toberas: V 1 << V 2 ; difusor V 1 >> V 2 ). Curso: Termodinámica de Ingeniería - Profesor: Bernardo Gárate P. 22

23 E potencial = 0 El cambio en la energía potencial suele omitirse, ya que esta propiedad generalmente varía de forma despreciable en relación al cambio en la energía cinética. b) Turbinas y Compresores Estos dispositivos operan transformando la energía del flujo en trabajo, como en el caso de las turbinas, o convirtiendo trabajo en energía para el flujo. Figura 4.6. Esquema de turbinas y compresores P 2 P 2 turbina W compresor W P 1 > P 2 P 1 < P 2 P 1 P 1 La operación de estos dispositivos tiene las siguientes características: Q 0 La transferencia de calor suele ser pequeña en relación a la transferencia de trabajo y, por lo tanto, se desprecia. No obstante, en algunos tipos de compresores se puede aplicar un proceso deliberado de enfriamiento, el que si debe estimarse. W 0 En todos esto dispositivos la transferencia de trabajo es la más importante. En el caso de las turbinas se genera una salida de trabajo, y en los compresores en trabajo ingresa. E cinética 0 En los compresores la variación de energía cinética es siempre muy baja y, por lo tanto, se desprecia. En las turbinas el fluido experimenta una cambio importante en la velocidad, sin embargo, el cambio en la energía cinética asociado resulta ser muy pequeño respecto al cambio de entalpía, por consiguiente, a menudo se desprecia. E potencial 0 El cambio en la energía potencial que un flujo experimenta al pasar por turbinas de gas, compresores y ventiladores siempre se desprecia por ser muy bajo en relación a las demandas de trabajo. En las bombas y turbinas hidráulicas el cambio de energía potencial puede llegar a ser considerable si es que el fluido experimenta cambios importantes de su altura y, según eso, bien se justifica calcularlo para el balance energético del VC. Existe otros dispositivos que operan bajo régimen de flujo permanente, como válvulas de estrangulación, cámaras de mezcla o intercambiadores de calor, los que se analizarán conforme se desarrollen ejemplos de aplicación. Curso: Termodinámica de Ingeniería - Profesor: Bernardo Gárate P. 23

24 4.3 PROCESOS DE FLUJO NO PERMANENTE En este tipo de procesos ocurren cambios al interior del volumen de control conforme transcurre un cierto lapso de tiempo. Estos cambios se deben principalmente a que el contenido de masa del VC varía, y por ende, también lo hacen sus propiedades. La condición no permanente del flujo principalmente implica lo siguiente: a) las propiedades (intensiva o extensiva) en un punto dentro del VC cambian con el tiempo. b) las propiedades (intensiva o extensiva) en las fronteras del VC cambia con el tiempo. c) las fronteras del VC pueden ser móviles, incluso el VC como un todo puede desplazarse en el espacio. d) el proceso de desarrolla en un lapso de tiempo finito t. e) la cantidad total de masa contenida dentro del VC puede cambiar con el tiempo, por lo tanto, la masa total entrante puede ser distinta a la masa total saliente. f) El contenido total de energía del VC varía en el tiempo, por lo tanto, la energía total que entra al VC puede ser distinta a la que sale de el. De acuerdo a los puntos anteriores, el principio de conservación de la masa puede expresarse de la siguiente manera: masa total que entra al VC durante t - masa total que sale del VC durante t = cambio neto en la masa dentro del VC durante t El principio de conservación de la energía en volúmenes de control de flujo no permanente durante un intervalo t se plantea de la siguiente forma: energía total que cruza la frontera del VC como calor y/o trabajo durante t + energía total transportada por la masa que entra al VC durante t - energía total transportada por la masa que sale del VC durante t = cambio neto en la energía del VC durante t Lo que equivale a: Donde: Q - W + ΣΘ en - ΣΘ sal = E VC Θ en = men θ m en = men (h en + 1 / 2 V 2 en + gz en) δm en Curso: Termodinámica de Ingeniería - Profesor: Bernardo Gárate P. 24

25 Θ sal = msal θ m sal = msal (h sal + ½V 2 sal + gz sal ) δm sal En forma de relación temporal: Θ en = m en (h en + ½V 2 en + gz en) Θ sal = m sal (h sal + ½V 2 sal + gz sal ) Al repetir esto en cada entrada y salida del VC finalmente se obtiene: Q - W = Σ msal (h sal + ½V 2 sal + gz sal ) δm sal - Σ men (h en + ½V 2 en + gz en) δm en + E VC En forma de relación temporal: de Q W = hisal + V isal + gzisal h jen V jen gz misal m + + jen jen dt VC Procesos de Flujo Uniforme El proceso de flujo uniforme es un caso particular de flujo no permanente, y considera las siguientes características: a) En cualquier instante del proceso, el estado del VC es uniforme, es decir, el VC tiene las mismas propiedades en cualquier parte de el. Las propiedades del VC podrán cambiar en el tiempo, pero lo harán de modo uniforme. Por lo tanto, la masa que sale del VC tiene las mismas propiedades que la masa dentro del VC. b) El estado de la masa que cruza las fronteras del VC es constante en el tiempo y uniforme sobre todas las áreas por donde ocurre el flujo. Bajo estas suposiciones, la ecuación de conservación de la energía para un proceso de flujo uniforme se transforma en: Q - W = Σ m sal (h sal + ½V 2 sal + gz sal ) - Σ m en (h en + ½V 2 en + gz en) + (m 2 e 2 - m 1 e 1 ) VC Si los cambios de energía cinética y potencial son despreciables, esta ecuación se reduce a: Q - W = Σ m sal h sal - Σ m en h en + (m 2 u 2 - m 1 u 1 ) VC (subíndices: en = entrada, sal = salida, 1 = estado inicial, 2 = estado final) Curso: Termodinámica de Ingeniería - Profesor: Bernardo Gárate P. 25