Z ξ. g(t)dt y proceda como sigue:

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1 Prolems Prolem.9. Sen f(x) y g(x) funciones continus en [,] y f (x) continu y de signo constnte en [,]. demuestre que (,) tl que f(x)g(x)dx = f() g(x)dx+ f() g(x)dx. R Pr esto considere l función G(x) = x 1. Integre por prtes R g(t)dt y proced como sigue: f(x)g(x)dx y recuerde que G(x) es primitiv de g(x).. Aplique el Teorem del Vlor Medio Generlizdo (TVMG) pr integrles l integrl resultnte de l integrción por prtes. 3. Concluy. 1. Integrndo por prtes u = f(x) du = f R (x)dx, dv = g(x)dx v = x g(x) dx = G(x)dx luego Z x f(x)g(x)dx = f(x) g(x) dx f (x)g(x)dx. Consideremos R f (x)g(x)dx Como f no cmi de signo y f,g son continus entonces plicndo el teorem del vlor medio generlizdo pr integrles se otiene [,] tl que f (x)g(x)dx = G() 3. utilizndo ls prtes nteriores se otiene f(x)g(x)dx = f() R Notndo que g(x)dx = f(x)g(x)dx R f (x)dx = G()( f() f()) g(x)dx G()( f() f()) R g(x)dx+ g(x)dx se tiene el resultdo pedido = f() g(x)dx+ f() = f() = f() g(x)dx+ f() g(x)dx+ f() 8 g(x)dx G()( f() f()) g(x)dx ( f() f()) g(x) dx g(x) dx

2 .5. Aplicciones Cálculo de áres Are entre dos curvs f y g : f(x) g(x) dx f g Ejemplo: Clculr el áre de y = senx entre y π A = senx dx = senxdx senxdx = 4. Ejemplo: Clculr el áre de l circunferenci de rdio 1. El áre del circulo corresponde 4 R 1 1 x dx. ciendo el cmio de vriles senϕ = x se otiene A = 4 = 4 = π. 1 x dx = 4 cos ϕ dϕ = 4 π 1 sen (ϕ)cosϕ dϕ 1+cos(ϕ) dϕ Cálculo de Volúmenes Volumen de un sólido con áre de cd sección perpendiculr un eje fijo. V = A(x) dx A Ejemplo: Clculr el volumen del cono de ltur y se L sección del cono es un circulo de rdio x (ver figur), por lo tnto su áre es π ( ) x. El volumen del cono corresponde Z π ( ) x dx = π 3. o x 81

3 Volumen de un sólido de revolución en torno l eje O (Método de los cilindros) V O = π f (x)dx Ejemplo: Clculr el volumen del cono de ltur y se Procedemos rotr l rect de ecución y = x en torno l eje O, pr x comprendido entre y. el volumen de revolución es, segun l fórmul nterior, Z Z ( ) x V O = π y (x)dx = π dx. y= x Volumen de un sólido de revolución en torno l eje O (Método de l cáscr ) V O = π x f(x)dx Volumen de revolución entre dos curvs ( f g) V O V O = π ( f (x) g (x))dx = π x( f(x) g(x))dx Longitud de rco l = 1+( f (x)) dx dy dx Superficie de revolución S O = π f(x) 1+( f (x)) dx Ejemplo: Clculr el áre del mnto del cono de ltur y se 8

4 Procedemos rotr l rect de ecución y = x en torno l eje O, pr x comprendido entre y. el áre del solido es, segun l fórmul nterior, Z S O = π y Z = π x = π +. 1+(y ) (x)dx ( ) 1+ dx y= x Prolems Prolem.3. Clculr el volumen del sólido generdo por l rotción, en torno del eje O, de l región limitd por l curv y = x 3, su tngente en el punto x = 1 y el propio eje O L pendiente de l rect tngente en el punto x = 1 est dd por y (1) como y (x) = 3 x 1 3, se sigue que y (1) = 3 x. Por lo tnto, l rect tngente está dd /3 por l función l función y 1 = 3(x 1). Se otiene l siguiente figur Pr clculr el volumen utilizremos el método de l cáscr ( V = π x x 3/ = π = π ( 3 x 1 x 5/ 3 x + 1 x dx [ 7 x7/ 1 x x ] 1 )) dx = π 14. Prolem.31. Dd l curv cerrd de ecución: (.) x 3 + y 3 = 1 1. Determine su perímetro.. Clculr el volumen de revolución en torno l eje O de l región del primer cudrnte. 83

5 1. Dd l simetrí de l figur solo clculmos el lrgo de l curv en el primer cudrnte. Notemos que pr clculr el lrgo de curv es necesrio conocer el vlor de (y ). derivndo implicitmente l ecución. otenemos x 3 + y 3 = 1 3 x y 1 3 y = d dx despejndo y de l ecución nterior se deduce que y = ( y x) 1 3 y por lo tnto 1+(y ) = 1+ y 3 = 1 x 3 finlmente l longitud del stroide est dd por l = 4 x 3 = x 3 + y 3 x 3 1+(y ) dx = 4 x 1 3 = 6.. El volumen de revolución corresponde V = π R 1 y dx desrrollndo est integrl y dx = = ( ) 1 x 3 1 x 3 + x 4 3 dx El cálculo de l primitiv nterior es directo y quedrá como ejercicio propuesto pr el lector. Prolem.3. Clcule el volumen del toro. Un toro es un volumen de revolución, consiste en rotr en torno l eje O l circunferenci de rdio r centrd en el punto (,), > r. Como lo indic l figur r Por l simetrí de l figur clculremos solo el volumen de l prte superior del toro esto es y >. Es clro que el círculo de rdio r centrdo en el punto (,) est definido por l ecución (x ) + y = r. L función que descrie l prte superior del circulo corresponde entonces y = r (x ), rotnto est función en torno l eje O otenemos Z +r V O = π x r (x ) dx r pr resolver est integrl relicemos el cmio de vriles u = x, de est form { Z r Z r } V O = π r u du+ r u du u r r 84

6 L primer de ests integrles es pues corresponde l integrcion de un función impr sore un intervlo simétrico. Pr clculr l segund podemos comenzr por cer el cmio de vriles recomenddo pr este tipo de situciones u = r senϕ o ien u = r cosϕ. sin emrgo st notr que l integrl que se pide corresponde exctmente l áre de l mitd de l circunferenci y por lo tnto su vlor es de πr. (un uen ejercicio pr el estudinte es cer este cálculo completo). Se tiene entonces que V O = πr y por lo tnto V toro = π r Prolem.33. Un mrrquet es un sólido que tiene por se un elipse de semiejes y, y cd sección de este sólido corresponde un circunferenci como se indic en l figur. Clcule el volumen de l mrrquet. Por simetrí V(mrrquet)= 4 V(R) donde R es l región definid por el primer cudrnte (figur.). Clculemos V(R) y x Figur.: primer cudrnte Ddo x es tiene que el áre de l circunferenci de centro (x,y/) y rdio y/ est ddo por A(x) = π ( y) y como y = x se cumple que A(x) = π ( x ) y por lo tnto 4 V(R) = Z A(x)dx = π 4 Z ( x ) dx. 85

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