EJERCICIOS DE MATRICES

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1 EJERCICIOS DE MTRICES RNGO DE UN MTRIZ 4. Calcula el rago de la mariz Obeer ua mariz escaloada por filas Se puede cambiar el orde de las filas de la mariz: F F F F 4F 4 F 4 F F 0 F F F 0 4 F4 F4 F F4 F4 F l ser F F rg( ) m m m( m ). Calcula segú valores de m el rago de la mariz m 0 m m m m Se escaloa la mariz : F F F ; F F F m m m( m ) m 0 0 m m( m ) ; m ( m )( m ) 0m 0 0 mm ( ) m Para m rg( ) Para m rg( ) Para m 0 rg( ) Para m 0,, rg( )

2 . Dada la mariz m m m m m m a) Halla los valores del parámero m para que el rago de sea meor que. b) Esudia si el sisema aparado (a) x y z iee solució para cada valor de m del a) El deermiae de la mariz se iguala a 0 para obeer los valores del parámero m. m m m m m m 0 ( ) 0 m m m m ; Para m 0 y m rg( ) Para m 0 y m rg( ) b) El sisema de ecuacioes segú valores de m, se escribe x Para m 0 : y, * 0 0 0, rg( ), rg * z Sisema icompaible. x Para m y, *, rg( ), rg * z Sisema compaible ideermiado al ser de igual rago la mariz del sisema y la ampliada pero meor que el úmero de icógias. x P(,0,0) x y z y u (,,0), u (,0,) z OPERCIONES MTRICILES 4. Resolver las cuesioes a) Expresió geeral de las marices que saisface la ecuació b) Halla odas las marices que comua co la mariz B 0

3 a b c a) Sea la mariz d e f ; 0 a b c d e f d e f d e f 0 0 d 0 e 0 f Por ao la mariz será a b c 0 0 b) 0 a b a b 0 c d 0 a b c 0 0 c d c d 0 c d 0 c d a b d a b 0 a b 0 5. Dada, a) Obeer odas las marices X que comua co. b) Calcula la mariz Y que verifica Y Y I. a) Las marices que comua co so ales que X X a b 0 0 a b obeiedo el sisema de ecuacioes c d c d a b a c d a c b 0; a d b b d b d a 0 Por ao X : a, c c a b) Calcula la mariz Y que verifica 0 ; ; 0 Y Y I. Y Y I Y I Y I ; Y 0 a 6. Dada la mariz columa b Obeer ua mariz mediae c Demosrar que si a b c la mariz, obeida verifica que es ua p mariz periódica al que ; p

4 a a ab ac b a b c ba b bc c ac bc c a Por ora pare a b c b a b c c a a a a p b a b c b a b c b a b c b a c c c c b c p veces p ; p 4 7. Dadas las marices B ; C Busca ua mariz X al que B X B C B B B X B C X B C B X 5 5 X Sea M a) Hallar las marices MM y M M b) Hallar las marices y MM M M para a) Las marices MM y M M por la eoría se sabe que so siméricas 4

5 4 0 0 MM 4 I ; I M M J J ; J 0 0 J b) Hallar las marices y MM M M para E primer lugar: MM =4I4I=4 I M M J J J J J M M J J J J J MM =4 I además M M J J J POTENCIS DE MTRICES 9. Halla la poecia -ésima de la mariz ( ). Supoer ( ) 0. Dada la mariz Se pide: a) Ecuera la expresió geeral de la poecia -ésima de siedo u úmero aural. 5

6 b) Razoa si la mariz iversa. iee iversa para, Calcula dicha a) Cálculo de Supoer que se cumple hasa b) El deermiae del produco de marices es el produco de los deermiaes Por ao exise mariz iversa 0 0 x x x. Dada la mariz 0 x x 0 0 x a) Mediae ua ecuació maricial calcula oalmee simplificado. b) Uilizado el resulado aerior calcula. E que casos es posible? x 0 0 x 0 0 xi xn x I N x I N x I I N I N I N N

7 N Nilpoee de ídice ( ) x a 4 ( ) ; x E el caso 0 x 0 0 Es posible siempre que x x. Sea la mariz y z 0 a) Calcula,, (para x 0, y 0, z 0). b) Calcula, e fució de y. a) Calcula,, (para x 0, y 0, z 0). 0 0 x 0 0 x 0 xz 0 0 z 0 0 z 0 yz xz x xyz 0 0 yz z xyz y 0 0 y xy 0 0 xy y xyz 0 xyzi xyzi xyz b) Calcula 0 0 y 0 0 xyz z 0 0 x, e fució de y. 7

8 xyzi ( xyz) I ; ( xyz) ; ( xyz) ( xyz) p p p p p p p. Dada la mariz Se pide: a) Ecuera la expresió geeral de la poecia -ésima de siedo u úmero aural. b) Razoa si la mariz iee iversa para, Calcula dicha iversa. a) Cálculo de Supoer que se cumple hasa b) El deermiae del produco de marices es el produco de los deermiaes Por ao exise mariz iversa Sea u úmero aural y sea las marices ; B ; C 0 0 a) Calcula b) Halla la mariz X que verifique X B C 8

9 a) Calcula b) Halla la mariz X que verifique X BC X B C X B C 0 X B C X Comprobació: X BC 5. Se cosidera las marices ; B 0 0 a) Ecuera los valores de para que B sea iverible b) Ecuera los valores de para que B sea iverible dode. a) Ecuera los valores de para que B sea iverible B B ( ) ( )( ) B. Sólo se aula B para ; / 9

10 Por lo que B será iverible para cualquier oro valor del parámero. b) Ecuera los valores de para que B sea iverible 4 B B 6 ( ) 4 ( ) 8 0 B NO SERÁ INVERTIBLE PORQUE B 0. SE NUL EL DETERMINNTE B PR TODO VLOR DE. 0 m 6. Dada la mariz m 0 m m a) Calcula los valores del parámero m para los que ega iversa. 9 b) Para m = 0 Calcula ; ;. c) Para m = 0 Calcula la mariz X que verifica X b ; siedo a) La mariz o iee iversa si 0. 0 m m m m 0 0 m m m m No iee iversa Tiee iversa b) Para m = I ; I I ; I I 8I c) Para m = 0 exise iversa / 0 0 b 0

11 / 0 0 X b X MTRICES ESPECILES se cos 7. Calcula la iversa de la mariz comprobado que es cos se ua mariz orogoal. Esa mariz es orogoal por ao la iversa coicide co la raspuesa se cos cos se Las marices orogoales iee por columas vecores uiarios ales que el produco escalar dos a dos de los vecores columas es cero. El deermiae de ua mariz orogoal vale ó -: 8. Sea ua mariz iverible al que I 0 y I 0. Demosrar que la mariz B es sigular si se verifica: B B Solució B B B B B B I B 0 ( I ) ( I ) B 0 ( I ) ( I ) B 0 B 0 Como B 0 la mariz B es sigular. 9.. Sea, B M( ) ales que es simérica y B aisimérica. Idica de forma razoada ere las siguiees marices cuales so siméricas y cuales a) B B ; b) B B ; c) ; d) B aisiméricas: es simérica si a) B B ; B es aisimérica si B B B B ( B) ( B ) B B B ( B) ( B B ) Luego es aisimérica. b B B ) B B ( B) ( B ) B B B ( B) ( B B ) Luego es simérica. c) :. Luego es simérica

12 d) B : B B ( B) B. Luego es simérica es simérica si a) B B ; B es aisimérica si B B B B ( B) ( B ) B B B ( B) ( B B ) Luego es aisimérica. b) B B B B ( B) ( B ) B B B ( B) ( B B ) Luego es simérica. c) :. Luego es simérica d) B : B B ( B) B. Luego es simérica 0. Sea ua mariz idempoee. Demosrar que si B I la mariz B es ambié idempoee y se verifica que y B comua. Demosrar que si la mariz C I, eoces C es ivoluiva. es idempoee ; B I B I I I I B. Luego B es idempoee B I I ( I ) B y B comua: B B Tambié C es ivoluiva si C B B B I 0 B ( I ) 0 I C I I 4 4 I 4 4 I I ;. Demosrar las siguiees propiedades de la mariz de orde a) es ivoluiva y orogoal es simérica b) es ivoluiva y simérica es orogoal c) es orogoal y simérica es ivoluiva Simérica: Recordar: Ivoluiva: I Orogoal: a) es ivoluiva y orogoal es simérica Ivoluiva: I I ; Orogoal Simérica b) es ivoluiva y simérica es orogoal Ivoluiva: I I ; Simérica: Orogoal

13 c) es orogoal y simérica es ivoluiva Orogoal ; Simérica: Ivoluiva. Prueba que la mariz es ivoluiva si y sólo si I I 0 Direco: Si es ivoluiva se deduce que I I 0 I I I I I I I 0 I Recíproco: Si se verifica I I 0 0 I se deduce que es ivoluiva I I 0 I 0 I por ao ivoluiva 0 MTRIZ INVERS Halla la mariz iversa de I F F F F F4 F F F F F F F F F F DETERMINNTES 4. Hallar e fució de a el valor del Deermiae a a a a a a a a a 4 a

14 a a a a a a 4 a C C C 4 4 C C C C C C a 0 0 a a( a ) a 0 4 a aii x 5. Calcula el deermiae de la mariz 4 aij b, i j x b b b b x b b cada columa resar la aerior b b x b b b b x x b x 0 0 b x b b x 0 b 0 x b b x b 0 0 x b Sumar a la primera fila las demás x b b x b b x 0 b 0 x b b x b 0 0 x b = ( x b)( x b) 6. Sea ua mariz cuadrada de orde. Si es aisimérica y impar, hallar de de de pero, por ao de de de( ) Se saca facor comú - e cada ua de las filas de : de( ) ( ) de( ) Por ser impar resula ( ) de( ) de( ) ( ) de( ) de( ) de( ) 0 7. Dada la mariz M ( ) cuyo deermiae es a) ; b) ; c) 4 Solució a). Calcula: 4

15 b) c) 8. Halla el valor del Deermiae a b c 7a 7b 7c Solució Sacar facor: 5 e la ª fila, e la ª fila y 7 e la ª fila y resula u deermiae de Vadermode 57 a b c 05( b a)( c a)( c b) a b c 9. Halla el valor del Deermiae a b c Solució Resar a odas las filas la ª y desarrollar por la ª fila a ( ) a b 0 0 abc 0 b c c 0 0. Resolver la ecuació x 0 x 0 0 x 0 x 0 Solució Sumar a la ª fila las demás: x x x 0 x 0 0 x ( x) ( x) x x x 0 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x resar a cada fila la ª Desarrollar por C 5

16 x x ( x) 0 x 0 ( x)( x) ( x)( x) x( x ) x x x ( x )( x ) 0. Sea, B M ( ) dos marices cogruees. Demosrar que si es simérica B ambié lo es. Solució Dos marices cogruees verifica: B P P. P es la mariz de paso B P P P P P P Luego B es ambié simérica. Se ha aplicado las propiedades de la mariz raspuesa y el hecho de que ua mariz simérica coicide co su raspuesa.. Comprobar que dos marices, B M ( ) semejaes iee el mismo deermiae. Solució Dos marices semejaes verifica: B P P. P es la mariz de paso B P P P P P P Se ha aplicado que el deermiae del produco de marices es el produco de los deermiaes y que el deermiae de la iversa es el iverso del deermiae.. Sea M ( ) ua mariz idempoee demuesra que su deermiae vale 0 ó Solució La mariz idempoee verifica:. 0 demás 0 6

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