(Límites y continuidad, derivadas, estudio y representación de funciones)

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1 ANÁLISIS I: CÁLCULO DIFERENCIAL (Límites y continuidad, derivadas, estudio y representación de funciones) Curso Enunciados: pg -Soluciones: pg 3 Curso Enunciados: pg 5 -Soluciones: pg 6 Curso Enunciados: pg 8 -Soluciones: pg 9 Curso Enunciados: pg 11 -Soluciones: pg 1 Curso Enunciados: pg 14 -Soluciones: pg 14 A partir del curso dejaron de publicarse los exámenes de reserva Curso Enunciados: pg 16 -Soluciones: pg 16 Curso Enunciados: pg 17 -Soluciones: pg 17 Este compendio se hizo, en parte, en colaboración con el grupo de segundo de bachillerato de ciencias del IES Guadalerzas de la promoción Mi reconocimiento i

2 Enunciados Junio Septiembre Reserva I ii

3 Reserva II SOLUCIONES Junio A a) Teorema de Bolzano: b) El teorema no es aplicable a la función f ya que, aunque es continua, es siempre positiva y por lo tanto no cambia de signo c) Consideramos la función h( x) f ( x) g( x) i) Es continua por serlo f y g ii) h ( 0) 0, h ( 1) 0 Luego por el teorema de Bolzano existe un c 0,1 tal que h ( c) 0 Por tanto, las funciones se cortan en c Veamos: h( c) 0 f ( c) g( c) 0 f ( c) g( c) 1B a) La velocidad máxima se alcanza en t s L' Hop L' Hop t t t t t t t t t t t e e e b) lim te lim lim lim 0 t A la larga la velocidad tiende a 0 Es decir, el móvil va frenando de forma que va quedándose parado iii

4 Septiembre A a) Definición de derivada en un punto: La derivada de la función f en el punto x x0 es: f x 0 lim xx 0 f x h f x 0 h 0 b) a 1/, b 1/ 4, c 3/ 4 1B a) x 3x 18x 1 3 f b) Punto de inflexión:, 49 P Convexa ( cóncava hacia arriba, ) en el intervalo (, ) Cóncava ( cóncava hacia abajo, ) en el intervalo (, ) Reserva I A a) Máximo relativo en Max, 50 Mínimo relativo en x Min, 46 x b) Teorema de Lagrange: La tesis del teorema se verifica para 4 c 1 y c, ambos del intervalo, 1B a) A, B 8, C 6 L' Hop t 8ln ( t 1) 6 b) lim t t Reserva II A a) 1 f x x x 1 b) La pendiente de la recta tangente, m, es igual a la derivada de la función en el punto dado y, como ésta no se anula en ningún punto, la recta tangente no puede ser horizontal 1B a) a 3, b 6, c 1 iv

5 ENUNCIADOS Junio Septiembre Reserva I v

6 Reserva II SOLUCIONES Junio A a) Asíntota vertical: x 0 3 Asíntota oblicua: y x b) Máximo relativo en x 1 Max 1, 5 / x 1 Min 1,11 / Mínimo relativo en 1B La cantidad mínima se alcanza en 3 Septiembre t s, y es C3 386 / 9 4, 89 litros 1A a) a 1 El mínimo relativo es absoluto porque no hay más extremos relativos, de manera que la función va decreciendo hasta x 0 y crece a partir de ahí ( luego en x 0 debe estar el punto más bajo ) b) P 1, / e 1B a) Teoremas de Bolzano y de Role: b) Se considera la función intervalo 1, 0 x 7 f ( x) e x y se aplica el teorema de Bolzano, por ejemplo, en el c) Si la función se anulara dos veces, digamos en x 1 y en x, según el teorema de Rolle debería existir algún punto del intervalo x 1, x en el que su derivada valiera 0 Sin embargo, la derivada es 6 f ( x) e x 7x, que nunca vale 0 porque es siempre positiva vi

7 Reserva I A a) Una función es continua en el punto x x0 si en dicho punto el valor del límite coincide con el valor de la función b) a 1/ 36 1B a) 1/ 3 3 e e b) 1 / 6 Reserva II A El área es a a 1 a A a a El área mínima se alcanza en a a 1B a) La función es creciente en ( 0, ) (, 4), y decreciente en (, 0) (4, ) b) Asíntota vertical: x Asíntota oblicua: y x vii

8 ENUNCIADOS Junio Septiembre Reserva I Reserva II viii

9 SOLUCIONES Junio A a 3, b 1, c 16 1B a) La derivada de N t es: 10 e N t t t 1 e Está expresión no se anula, por lo que tiene siempre el mismo signo: es siempre positiva Por tanto, N t es siempre creciente Además, si siempre es creciente, toma su valor mínimo al principio, en t 0 Por tanto, la concentración mínima es N e b) lim Nt lim 60 t t Septiembre e t 1 e 1A a) Teoremas de Bolzano y de Role: b) Nota: A las soluciones de una ecuación se les llama también raíces de la ecuación 5 Consideremos la función f ( x) x 5x 3 Como la función es continua, basta aplicar el Teorema de Bolzano a tres intervalos distintos en los que la función cambie de signo Por ejemplo, 1, 0,1 y 1, c) A partir del teorema de Rolle, se observa que entre cada dos puntos en los que se anula una función, debe existir un punto en el que se anula la derivada Así, como la derivada de la función f sólo se anula dos veces (en 1), la función no puede anularse 4 veces, pues en ese caso la derivada debería haberse anulado tres veces, no dos 1B a 4, b 0 Reserva I A a) Teorema de Lagrange: Interpretación geométrica: Bajo las hipótesis del teorema, dados dos puntos de la gráfica de la función, existe un punto intermedio en el que la recta tangente a la gráfica es paralela al segmento que une los dos puntos ix

10 b) x 1 1B a, b 0 Además, el punto dado es un máx relativo porque en él la función pasa de a Reserva II A a) La derivada en un punto es la pendiente de la recta tangente en dicho punto (hacer dibujo) 3 b) La pendiente viene dada por la derivada, f x 4x 4 x 36 x 30 Por tanto hay que calcular dónde se alcanzan los valores mínimo y máximo de la derivada, para lo que habrá que usar la derivada de la derivada (la segunda derivada), f x 1x 48x 36 El mínimo se alcanza en x 3 y el máximo en x 1 1B lim x0 1 x 1 x 1 x lim cosx x0 a / x ( tomando log' s) lim e x0 e 1 x x a 1 x e 1 e 1 e a a 1 x

11 ENUNCIADOS Junio Septiembre Reserva I xi

12 Reserva II SOLUCIONES Junio A a) Teorema de Bolzano: b) Consideramos la función h( x) f ( x) g( x), que es continua por serlo f y g Además h ( 1) 0 y, h ( 0) 0 Por tanto, por el Teorema de Bolzano, existe un punto c (1, 0) c) Los candidatos a puntos de inflexión son x 0 y x 1 De ellos, sólo hay un punto de inflexión en x 0, donde pasa de ser cóncava a convexa (mientras que en x 1 no hay punto de inflexión porque en él no cambia la curvatura: es convexa tanto antes como después) 1B a) a, b 5 b) La recta tangente en x 0 es y 5x Septiembre A a) a b) x 7 lim f ( x) lim x x x 1 x e 3 1B a) La derivada en un punto es la pendiente de la recta tangente en dicho punto (hacer dibujo) b) La pendiente viene dada por la derivada, f x 3x 6x Por tanto hay que calcular dónde se alcanza el mínimo de la derivada, para lo que habrá que usar la derivada de la derivada (la segunda derivada), f x 6x 6 El mínimo se alcanza en x 1 Reserva I A a) Teorema de Rolle b) La función está bajo las hipótesis del teorema de Rolle, ya que es continua y derivable en toda la recta real, por ser un polinomio, y ( 1) 0, f () 0 c 1, con f ( c) 0 f Por tanto, existe un Como la derivada en un punto es la pendiente de la recta tangente en dicho punto, se concluye que la tangente en el punto c del intervalo debe tener pendiente nula 1B a) a b) 1 xii

13 Reserva II A (La función a minimizar es Los números son 16 y 3 y x, o también se puede utilizar x y x y, teniendo la relación 4 ) 1B a) Teorema del valor medio de Lagrange: b) En x 0 xiii

14 ENUNCIADOS Junio Septiembre SOLUCIONES Junio A a) a 1, b b) y x 1 1B a) La función es creciente en (, 1) (0,1) y decreciente en ( 1, 0) (0, ) 1 1 Tiene dos máximos relativos, Max1 1,1 y Max 1,1 e e, y un mínimo, 0,1 b) La función no tiene asíntota vertical (su dominio es R) La asíntota horizontal, por los dos lados, es y 1 Por tener asíntotas horizontales, la función no tiene asíntotas oblicuas Min Septiembre A a) La función es convexa,, en (, 1) y cóncava,, en ( 1, ) No tiene ptos de inflexión b) Cuando x 0 y 0, 1/ Q, 3 / x Es decir, en los puntos de la gráfica P y xiv

15 1B a) La función es decreciente en (,1/ ) y creciente en ( 1/, ) Min relativo: b) La asíntota oblicua cuando x (es decir, a la dcha) es 1 y x 1 3 Min, xv

16 ENUNCIADOS Junio Septiembre SOLUCIONES Junio A a) a 1, b 1 b) Para dichos valores la función tiene un mínimo local en el punto de abscisa x 0 1B a) Función f: Dominio: D(f) = R + {} = [0,) (, ) Asíntotas: Horizontales: y = 1 Verticales: no tiene Obliculas: No tiene a) Función g: Dominio: D(f) = R {} Asíntotas: Horizontales: No tiene Verticales: x = Obliculas: y = x + 4 Septiembre A ln (1 x) lim, x0 sen x xe lim (1 tan x) x0 x 1 sen x e 1/ 1B a) Se divide a 7 cm de uno de los extremos (y, por tanto, a 18 cm del otro), de modo que el semicírculo tenga un diámetro de 7 cm y el triángulo una base de 18 cm xvi

17 ENUNCIADOS Junio Septiembre SOLUCIONES Junio A a) El punto de inflexión está en x = 1 Si queremos que en tal punto se satisfaga que la condición impuesta debe cumplirse que a = 0 b) La función es creciente en (, ) (0, ) y decreciente en (, 0) Tiene un máximo relativo en Max(, ) y un mínimo relativo en Min(0, 6) 1B a) Teorema de Bolzano: Teorema de Rolle: b) Consideremos la función f(x) = e x + x 5, que es continua en toda la recta real Se cumple además que f( 1) < 0 y que f(0) > 0, luego podemos aplicar el Teorema de Bolzano en el intervalo [ 1, 0] par concluir que existe un punto c ( 1, 0) tal que f(c) = 0 Este punto es solución de la ecuación c) Consideremos como antes la función f(x) = e x + x 5 Si la ecuación f(x) = 0 tuviera otra solución más, d, podríamos aplicar el Teorema de Rolle a la función f en el intervalo dado por las dos soluciones [c, d], pues f(c) = f(d) por ser iguales a 0 Sin embargo, f (x) = e x + 5x 4 > 0 y, como la derivada no se anula no se cumple la tesis del Teorema de Rolle Por tanto, no la ecuación no puede tener dos o más soluciones xvii

18 Septiembre A Las dimensiones son 10 cm 10 cm 10 cm Es decir, se trata de un cubo Para esas dimensiones, el precio del depósito será de B a) Por la derecha: lim x + f(x) = 0 la recta y = 0 es una asíntota horizontal por la dcha Por la izquierda: lim x f(x) = no hay asíntota horizontal por la izquierda b) Punto de inflexión en x = P(, 4e 1 ) xviii