Números naturales. matemáticas

Transcripción

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2 Historia de los números Os habéis preguntado alguna vez cómo sería el mundo si no supiéramos contar, si no existieran los números? Cuando los humanos vivíamos en cuevas y éramos cazadores contar no era imprescindible. Pero el mundo, tal y como lo conocemos hoy, no existiría sin los números. Sin los números no habríamos podido desarrollar la ganadería, la agricultura, la ciencia o la tecnología, que han hecho nuestro mundo como es en la actualidad. Papiro de Ahmes. Documento egipcio con contenidos matemáticos del 1650 a.c. Las primeras formas de contar eran muy sencillas. Por ejemplo, los pastores ponían una piedra en una bolsa y, cuando volvían de pastorear, tiraban las piedras a medida que las ovejas entraban otra vez en el corral. Si les sobraba alguna piedra, era porque habían perdido ovejas. Otro ejemplo nos lo ofrece el hueso de Ishango, un hueso encontrado en los años 60 del siglo XX en el centro de África, que tiene una serie de marcas agrupadas en tres columnas, y cada columna en tres grupos. Se ha calculado que este hueso tiene unos años de antigüedad y se sabe que las marcas no son casuales. Aunque no se conoce exactamente cuál era su utilidad, es probable que fuera una herramienta para hacer algún tipo de cuenta. El problema de esta forma de contar es que sólo se pueden sumar cantidades, porque para restar hay que borrar marcas. Además, sería complicado representar números demasiado grandes, como el 1.000, porque se tendrían que hacer muchas marcas. Hace unos años, en Sumeria, se desarrolló una forma de contar que solucionaba estos problemas. Este nuevo sistema consistía en contar utilizando pequeñas figuras de arcilla y permitía sumar añadiendo figuras y restar, sacando figuras. Para representar números grandes se utilizaban figuras diferentes: los conos pequeños valían una unidad, las bolas valían 10, y los conos grandes, 60. De esta forma, para representar el número 11, no había que acumular 11 piedras: bastaba con una bola y un cono pequeño. 1 Ciencias sociales

3 Sistemas de numeración Para representar números grandes se necesitan símbolos con valores diferentes. Cuando se comienzan a utilizar diversos símbolos con valores diferentes, en vez de marcas o símbolos iguales, se comienza a crear un sistema de numeración. Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas que permiten escribir cualquier número. Igual que en el caso de la lengua o la cultura, cada civilización desarrolló su propio sistema de numeración sus propios símbolos y reglas de forma que hay muchos sistemas de numeración diferentes. Bases de un sistema de numeración A pesar de haber una gran variedad de sistemas de numeración diferentes, todos tienen una cosa en común: hacen agrupaciones. Los mayas, por ejemplo, escribían los números de la siguiente manera: Del 1 al 4 utilizaban puntos: un punto para el 1, dos puntos para el 2, tres puntos para el 3 y cuatro puntos para el 4. Cuando llegaban al número 5, hacían una línea y, a continuación, agregaban puntos para escribir el 6, el 7, el 8 y el 9. El número 10 lo representaban con dos líneas y, a partir de ahí, volvían a agregar puntos hasta el 15, que se representaba con 3 líneas, y así sucesivamente. Vemos pues que, para los mayas, la línea valía 5 unidades y que cada 5 unidades escribían una línea. Es decir, los mayas hacían agrupaciones de 5 unidades. El número que se utiliza en un sistema numérico para hacer agrupaciones se llama base. Sistema de numeración maya. Podemos decir, pues, que la base del sistema numérico maya era el 5. En la India, en cambio, utilizaban la base 10. Nuestro sistema utiliza la base 10. La primera agrupación que utilizamos es de 10 unidades. La segunda es de 100; la tercera, de 1.000, y así sucesivamente. Por eso, cada cifra de una expresión numérica nos indica cuantas agrupaciones del tipo correspondiente hay que considerar. Por ejemplo, en el número 328, 3 se refiere a tres centenas o tres grupos de 100 unidades, 2 se refiere a dos decenas o dos grupos de 10 unidades y 8 se refiere a 8 unidades. Pero no siempre contamos así. Cuando contamos el tiempo lo hacemos de otra manera. Primero contamos los segundos y, cuando llegamos a 60, hacemos un grupo llamado minuto. Con los minutos hacemos lo mismo: al llegar a 60, hacemos un grupo llamado hora. O sea que, cuando contamos el tiempo, estamos usando la base 10 y la base 60 al mismo tiempo. 2

4 La base 10 De hecho, cada cultura desarrolló sus símbolos y sistemas de numeración para escribir los números. Como ya sabemos, los símbolos que más se utilizan actualmente son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Con estos símbolos y utilizando un sistema posicional de base 10, se pueden escribir todos los números. El sistema que utilizamos es posicional. Eso quiere decir que los símbolos tienen valores diferentes en función de la posición que ocupan. No es lo mismo escribir 28 que 82, ya que la cifra en primera posición corresponde a las decenas y la cifra en la segunda posición, a las unidades. Es muy importante tener presente que no es lo mismo un número que una cifra o un símbolo. Las cifras y los símbolos se utilizan para escribir los números y pueden variar según las diferentes culturas y civilizaciones. Un número, en cambio, es aquello que representa una cantidad. A pesar de todo, en el lenguaje cotidiano se utilizan otras acepciones de la palabra «número». Así pues, priorizaremos la facilidad de la expresión y usaremos «número» en todas sus acepciones habituales. Los números indios Los símbolos que utilizamos para escribir los números son originarios de la India. Allí se empezaron a utilizar hacia el año 500 a.c. En aquella época eran un poco diferentes, pero con el tiempo fueron evolucionando y se convirtieron en lo que son ahora. Gracias a Al-Khwarizmi y a su libro sobre aritmética, los números indios llegaron al mundo árabe occidental; es decir, al norte de África, durante el siglo VIII. La aritmética es la rama de las dedicada al estudio de los números y las operaciones que se pueden hacer con estos números. El término aritmética proviene de las palabras griegas arithmos, que significa «número», y techne, que significa «habilidad». Así pues, aritmética significa «habilidad con los números». Los números procedentes de la India fueron muy utilizados por los comerciantes del norte de África. Ellos los llamaban gobara, que en árabe significa «polvo». Los llamaban así porque para escribirlos esparcían arena sobre una superficie plana y con un bastón marcaban los números encima. 3

5 Hacia el siglo XII, el hijo de un comerciante italiano Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci se dio cuenta de que los gobara podían ser mucho más útiles que los números romanos que se utilizaban en Europa y escribió un libro en que explicaba cómo utilizarlos. Mediante este libro, titulado Liber Abaci, los números indios llegaron a Europa. Los números naturales A lo largo de este repaso histórico, hemos visto que los problemas y las necesidades que surgieron a medida que las sociedades humanas se iban haciendo más complejas, como contar ovejas, sacos de trigo o contar el tiempo, dieron lugar a la aparición de los números. Los primeros números que se utilizaron, pues, fueron los que sirven para contar. Los números que sirven para contar y ordenar se llaman números naturales. Según esta afirmación, el primer número natural es el 1. El siguiente número, el 2, que se obtiene añadiendo una unidad al 1, y así sucesivamente. Por lo tanto, cada número natural se obtiene añadiendo una unidad al número natural anterior. El cero merece un tratamiento especial. En el año 628, el matemático indio Brahmagupta escribió un libro en verso titulado Brahmasphutasiddhanta, que quiere decir «La apertura del universo». En este libro, aparte de muchos otros conceptos matemáticos, introdujo el número cero. Desde entonces, el cero se ha considerado uno más entre los números naturales, aunque hay matemáticos que no están de acuerdo. Nosotros sí que lo consideraremos un número natural. El conjunto de números naturales es infinito, ya que siempre puede encontrarse un número natural mayor que otro, por muy grande que éste sea. Será suficiente con añadirle una unidad. El conjunto de los números naturales se simboliza con los siguientes elementos: y consta de Los números naturales se pueden representar gráficamente sobre una semirrecta horizontal: en primer lugar se coloca el cero, en su extremo y, a continuación, se van colocando hacia la derecha los números en orden y a la misma distancia los unos de los otros, sin fin. 4

6 Operaciones básicas con números naturales Desde una perspectiva histórica, la invención de los números naturales responde a una serie de necesidades que fueron apareciendo en la sociedad a medida que se iba haciendo más compleja. Sin embargo, no es suficiente con saber contar para satisfacer todas estas necesidades. También hay que dominar aquello que llamamos operaciones. Las operaciones son la base de las y de toda nuestra ciencia, que ha hecho que el mundo sea tal como es. La suma La operación que consiste en añadir una cantidad a otra se llama suma. La suma se representa con el símbolo +. La suma también se puede llamar adición. La suma de dos números naturales tiene como resultado otro número natural. A continuación veremos cuáles son sus propiedades. Propiedad conmutativa El orden escogido para hacer una suma no tiene importancia. Es lo mismo tomar 7 y sumarle 5, que tomar 5 y sumarle 7: = = 12 Como el orden de los elementos no altera el resultado, decimos que la suma es conmutativa. Cuando se realiza una suma, cada uno de los números que se suman se llama sumando. Propiedad asociativa Cuando en la suma se tienen más de dos elementos, no importa qué agrupaciones de elementos se hagan. Es lo mismo sumar y al resultado sumarle 3, que sumar y al resultado sumarle 5: (5 + 4) + 3 = = (4 + 3) = = 12 Como las agrupaciones diferentes de elementos no alteran el resultado, decimos que la suma es asociativa. El elemento neutro Veamos qué sucede cuando sumamos 0: = 50 5

7 El número 0 es el elemento neutro de la suma porque, cuando lo sumamos a cualquier número, este número no varía. La resta La operación que consiste en sustraer una cantidad de otra se llama resta. Como ya sabéis, la resta se representa con el símbolo. La resta también se puede llamar sustracción o diferencia. En una resta, el primer término (el número al cual se resta) se llama minuendo, y el segundo (el número que se resta) se llama sustraendo. No podemos restar dos números naturales cualesquiera. El minuendo siempre debe ser mayor o, como mínimo, igual que el sustraendo. Este hecho provoca que la resta no cumpla las mismas propiedades que la suma. Por ejemplo, podremos realizar la resta 6-4, pero no la resta 4-6. De manera que no se cumple la propiedad conmutativa. La resta tampoco es asociativa. Elemento neutro Si de un grupo de cosas no sacamos ninguna, tenemos la misma cantidad de cosas: 50 0 = 50 El número 0 es el elemento neutro de la resta: porque cuando lo restamos a cualquier otro número, éste no varía. Propiedad fundamental de la resta Si añadimos o quitamos una misma cantidad al minuendo y al sustraendo, el resultado de la resta no cambia. Veamos un ejemplo: 10-2 = 8 (10+3) - (2+3) = 13-5 = 8 6

8 La multiplicación La operación que consiste en sumar varias veces el mismo número se llama multiplicación o producto. Se pueden usar dos símbolos para representar la multiplicación: el símbolo y el símbolo. Los números que forman parte de una multiplicación se llaman factores. Como la multiplicación de números naturales es un tipo de suma, cuando se multiplican dos números naturales el resultado también es un número natural. Comprobemos, a continuación, qué propiedades tiene la multiplicación. Propiedad conmutativa Veamos qué diferencia hay entre sumar 4 veces 3 y sumar 3 veces 4: 4 3 = = = = = 3 4 Como el orden de los factores no altera el resultado, decimos que la multiplicación es conmutativa. Propiedad asociativa Comprobemos si la multiplicación tiene la propiedad asociativa: = (4 3) 2 = 12 2 = = 4 (3 2) = 4 6 = 24 (4 3) 2 = 4 (3 2) Como las agrupaciones diferentes de factores no alteran el resultado, decimos que la multiplicación es asociativa. 7

9 Elemento neutro Si multiplicamos cualquier número por 1, el número no cambia: 4 1 = 4 Por lo tanto: El 1 es el elemento neutro de la multiplicación. Propiedad distributiva Cuando la multiplicación se combina con la suma o la resta, se observa una nueva propiedad: = = 12 (2 + 2) 3 = 4 3 = 12 Por lo tanto: = (2 + 2) 3 El producto de una suma por un número es igual a la suma de los productos de cada sumando por el número. Esta propiedad recibe el nombre de propiedad distributiva. El producto también tiene la propiedad distributiva respecto a la resta. La propiedad distributiva es útil para hacer productos con números de más de una cifra; por ejemplo, Una forma más fácil de calcular este producto es usar la propiedad distributiva, porque sabemos que 29 = Entonces: 29 3 = (30 1) 3 = = 90 3 = 87 La división La operación que consiste en repartir una cantidad en partes iguales se llama división. La división se puede representar con diversos símbolos, pero los que más utilizaremos son /, : y 27/3 = 9; 27 : 3 = 9; = 9 En una división, la cantidad que se debe repartir se llama dividendo; el número que divide esta cantidad se llama divisor y el resultado, cociente. Cuando hacemos una división y podemos repartir todo el dividendo en números naturales iguales, decimos que la división es exacta: 4 : 2 = 2 Cuando una división es exacta, el dividendo es igual al cociente multiplicado por el divisor: 12 : 3 = = 12 8

10 Si no podemos repartir el dividendo en números naturales iguales, decimos que la división es entera. La parte del dividendo que no se puede repartir se llama resto. 5 : 2 = 2 Resto = 1 Cuando una división es entera, el dividendo es igual a la suma del resto, y el producto del divisor por el cociente: = 5 La división no es conmutativa ni asociativa. Elemento neutro Si repartimos 8 objetos en 1 grupo, tendremos un grupo de 8 objetos; por lo tanto, tal como pasa con la multiplicación: El elemento neutro de la división es el 1. Potencias La operación que consiste en multiplicar el mismo número varias veces se denomina potencia. Una potencia se representa de la siguiente manera: el número que hay que multiplicar se escribe como cualquier número y se llama base; las veces que haya que multiplicarlo se indican con un número pequeño situado en la parte superior derecha de la base. Este número recibe el nombre de exponente. Por ejemplo, si multiplicamos 2 por sí mismo 5 veces, tenemos: = 2 5 La potencia es bastante diferente de las otras operaciones y no tiene las propiedades de la suma y el producto. A modo de ejemplo, la potencia no es conmutativa, porque no se obtiene el mismo resultado si se hace 2 5 = = 32, que si se calcula 5 2 = 5 5 = 25. 9

11 Cuadrados y cubos Hay algunas potencias especialmente habituales. Éstas son el cuadrado y el cubo. Una potencia de exponente 2 se llama cuadrado. Este hecho tiene relación con el cálculo del área de un cuadrado. Por lo tanto, la potencia 6 2 se puede leer: «6 elevado al cuadrado», «6 al cuadrado» o «el cuadrado de 6». Una potencia de exponente 3 se llama cubo. Este nombre también tiene relación con la geometría, concretamente con el cálculo del volumen de un cubo. Por lo tanto, la potencia 7 3 se puede leer: «7 elevado al cubo», «7 al cubo» o «el cubo de 7». Potencias de 10 Hay otras potencias que también son especialmente importantes, como las potencias de 10. Una potencia de 10 no es más que una potencia con base 10: 10 1 = = = Y así sucesivamente. Por lo tanto, los números 10, 100, y también , y todos los que están formados por un 1 seguido de ceros son potencias de 10. En estos casos, el exponente de la potencia es igual al número de ceros que sigue al 1. Una de las utilidades de las potencias de 10 es expresar números muy grandes de una manera más comprensible y sencilla. Un ejemplo de número muy grande es la distancia entre la Tierra y el Sol, que es de unos kilómetros. Si nos fijamos un poco más en este número, veremos que: = = Operaciones con potencias La suma y la resta de potencias no se puede efectuar de ninguna otra manera que calculando cada potencia por separado y, después, sumando o restando los resultados. Sin embargo,, hay algunas propiedades de las potencias que se pueden utilizar para multiplicarlas o dividirlas. Estas propiedades sólo se pueden aplicar cuando las potencias que se deben operar tienen la misma base. En el caso contrario, se deberá calcular cada potencia por separado y, después, multiplicar o dividir los resultados. Producto de potencias con la misma base El producto de dos potencias con la misma base es igual a otra potencia, también con la misma base, pero ahora elevada a la suma de los exponentes: = = 2 7 = 128 División de potencias con la misma base La división de dos potencias con la misma base es igual a otra potencia, también con la misma base, pero ahora elevada a la resta de los exponentes: 3 6 : 3 4 = = 3 2 = 9 El exponente 0 Cualquier número elevado a 0 es igual a 1, excepto el propio número 0: 5 0 = = 5 3 : 5 3 = 1 10

12 Otras potencias importantes Cualquier número elevado a 1 es el mismo número. En tal caso, se multiplica la base una única vez y, por lo tanto, el resultado es la misma base. 1 elevado a cualquier número siempre es 1. Si se multiplica 1 1 se obtiene 1, y será así aunque se repita la operación muchas veces. La raíz cuadrada La operación inversa de elevar al cuadrado se llama raíz cuadrada: si el cuadrado de 4 es 16, entonces la raíz cuadrada de 16 es 4. La raíz cuadrada se representa con el símbolo. La operación «raíz cuadrada de 16» se indica de la siguiente manera: = 4 Cuadrados perfectos Cuando la raíz cuadrada de un número es un número natural, decimos que se trata de un cuadrado perfecto. Todos estos números son cuadrados perfectos: 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196. La mayoría de los números, sin embargo, no son cuadrados perfectos. La única cosa que podremos decir de sus raíces cuadradas es que están comprendidas entre dos números naturales. Por ejemplo, 4 4 = 16, y 5 5 = 25; por lo tanto, respecto al número 20 utilizando el símbolo «menor que» (<) podremos escribir: 4 < < 5 Jerarquía de las operaciones No es lo mismo multiplicar primero y sumar después que sumar primero y multiplicar después. Veamos un ejemplo: Multiplicar primero y sumar después: = 10 Sumar primero y multiplicar después: 2 (3 + 4) = 14 Para evitar este tipo de confusiones, hay unas normas para saber en qué orden se deben hacer las operaciones. Se establece una prioridad de operaciones. La jerarquía de operaciones consiste en: 1. Resolver primero las operaciones dentro del paréntesis, comenzando por las más interiores; es decir, por las que están más dentro del paréntesis. 11

13 2. Resolver las potencias y las raíces cuadradas. 3. Resolver las multiplicaciones y divisiones. 4. Resolver las sumas y restas. A continuación se presentan algunos ejemplos de uso de la jerarquía o prioridad de operaciones: a) (9 4) 8 : 2 = : 2 = = 9 b) [4 + 3 (6 4)] 2 3 (2 + 3) 9 : 3 = = ( ) : 3 = = (4 + 6) : 3 = : 3 = = = 2 c) ( ) 2 3 = (20 16) 2 3 = = = = = 36 d) [ (8 6)] (2 + 3) 16 : 4 = = ( ) : 4 = = (25 9 2) : 4 = = (25 18) : 4 = = : 4 = = = 42 Recapitulación El origen de los números se remonta a miles de años atrás. Se piensa que aparecieron para contar. Los números se pueden escribir por medio de diversos conjuntos de símbolos y reglas; es decir, con diversos sistemas de numeración. Las operaciones básicas entre números naturales son: la suma, la resta, la multiplicación, la división, las potencias y las raíces cuadradas. A la hora de hacer operaciones con números naturales, es muy importante seguir el orden que marca la jerarquía de operaciones. 12