SISTEMAS DE COORDENADAS EN 3D GEOMETRÍA ANALÍTICA: Tema 1 Profesor Antonio Herrera Escudero Universidad Veracruzana. x, y, z, r,,,

Transcripción

1 SISTEMAS DE COORDENADAS EN 3D GEOMETRÍA ANALÍTICA: Tema 1 Profesor Antonio Herrera Escudero Universidad Veracruzana Antes de comenzar, observemos el siguiente dibujo, e identifiquemos los parámetros,, z, r,,, Podemos observar que: 1. '', '' 'z', son las coordenadas rectangulares que a conocemos que representan longitudes medidas sobre cada uno de los ejes 'X', 'Y' 'Z' respectivamente. ' ' es la longitud de la proección del radio vector 'r' sobre el plano 'X-Y. ' ' es el ángulo azimutal está descrito sobre el plano 'X-Y', se mide desde eje 'X' positivo hasta la línea ' ', siempre en sentido positivo (es decir, en contra de las manecillas del reloj). puede tomar valores desde 0 hasta 2, es decir, 0 2 (Cuestión de fuentes: será indistinto poner o ).

2 '', '', '' forman un triángulo rectángulo, donde '' es la hipotenusa, '' el cateto adacente a '' '' el cateto opuesto a ''. ρ = + = ρ Cos(φ) = ρ Sen(φ) Tan en el 1er cuadrante π Tan en el 2do cuadrante φ = π + Tan en el 3er cuadrante 2π Tan en el 4to cuadrante a '' es el ángulo polar, el cual se forma en el plano 'Z-', a partir del eje 'Z' positivo hasta la línea 'r'. puede tomar valores que van de 0 a, es decir, 0 θ π. 'z', '' 'r' forman un triángulo rectángulo, donde 'r' es la hipotenusa, 'z' es el cateto adacente al ángulo '' '' es el cateto opuesto al ángulo '' z r r = ρ + z = + + z ρ = r Sen(θ) z = r Cos(θ) Tan ρ para z > 0 z θ = π Tan ρ para z < 0 0 para z = 0

3 Ahora, tenemos tres formas geométricas de llegar al punto que está en la punta del radio vector r, cada una de estas formas usa tres de los seis parámetros señalados más arriba, estas ternas constituen tres sistemas de coordenadas Coordenadas rectangulares: Coordenadas Esféricas: Coordenadas Cilíndricas (,, z) (r, θ, φ) (ρ, φ, z) SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES Observe el dibujo de abajo para entender este sistema

4 SISTEMA DE COORDENADAS CILÍNDRICAS Observe el dibujo de abajo para entender este sistema SISTEMA DE COORDENADAS ESFÉRICAS Observe el dibujo de abajo para entender este sistema

5 TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS EN 3D Siempre que se epresa analíticamente, un punto, un vector, la ecuación de una curva o de una superficie, o simplemente alguna epresión o ecuación cualquiera, cada variable representa una coordenada, de tal forma que el conjunto de variables estará en algún sistema de coordenadas, este sistema puede ser cualquiera, de hecho podría no obedecer a alguna geometría en especial, es decir, las coordenadas pueden ser generalizadas. por ejemplo, las ecuaciones de movimiento del sistema θ(t) = θ Sen(ω t + φ ) (t) = L + ACos(ω t + φ ) Con ω = ω = no representan coordenadas cartesianas, ni cilíndricas o esféricas, simplemente son las coordenadas naturales del movimiento, es decir son las coordenadas generalizadas más convenientes, dado que ha dos grados de libertad para el movimiento del péndulo: a lo largo del resorte (coordenada ) en movimiento angular alrededor de la vertical (coordenada ). Sin embargo gran parte de los análisis de muchos sistemas, caen en la conveniencia de utilizar coordenadas, a sea rectangulares o cilíndricas o esféricas, por lo cual vale la pena seguir el análisis de este tema mostrar como pasar la representación de un punto, un radio vector o una ecuación, que esté en alguno de estos sistemas de coordenadas, a otro de estos sistemas de coordenadas. Cabe notar que solo ha seis posibles transformaciones: Cilíndricas a Rectangulares Rectangulares a Cilíndricas Esféricas a Rectangulares Rectangulares a Esféricas Cilíndricas a Esféricas Esféricas a Cilíndricas

6 Si Utilizamos las relaciones triángulos rectángulos de los puntos 4 6 anteriores: ρ = + = ρ Cos(φ) = ρ Sen(φ) Tan en el 1er cuadrante π Tan en el 2do cuadrante φ = π + Tan en el 3er cuadrante 2π Tan en el 4to cuadrante a z r ρ = r Sen(θ) z = r Cos(θ) r = ρ + z = + + z Tan ρ z = Tan + z para z > 0 θ = π Tan ρ = π Tan + para z < 0 0 para z = 0 Tendremos las ecuaciones de transformación requeridas:

7 TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS ESFÉRICAS A RECTANGULARES: = ρcosφ = ρsenφ z = rcosθ = rsenθcosφ = rsenθsenφ z = rcosθ Con ρ = rsenθ TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS RECTANGULARES A ESFÉRICAS: Tan r = + + z Con ρ = rsenθ θ = Tan φ = 180 Tan Tan 360 Tan TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS CILÍNDRICAS A RECTANGULARES: = ρcosφ = ρsenφ z = z TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS RECTANGULARES A CILÍNDRICAS: Tan 1 ρ = φ = 180 Tan Tan Tan 1 z = z TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS CILÍNDRICAS A ESFÉRICAS: r = ρ + z θ = Tan para z > 0 π Tan para z < 0 0 para z = 0 φ = φ TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS ESFÉRICAS A CILÍNDRICAS : ρ = rsenθ φ = φ z = rcos(θ)