ESTADÍSTICA UNIDIMENSIONAL

Transcripción

1 ESTADÍSTICA UNIDIMENSIONAL La estadístca undmensonal trata de resumr la nformacón contenda en una tabla que contene nformacón de una sola varable en unos pocos números. Las meddas de poscón pueden ser: De tendenca central o promedos 1. Meda artmétca 2. Medana 3. Moda 1.- Meda artmétca Se suman de todos los valores de la varable ponderados por sus frecuencas absolutas y se dvde todo ello por el número total de observacones x n 1 La meda artmétca es sempre el centro de gravedad de la dstrbucón y es sempre un valor que entra dentro del campo de varacón de la varable. S los datos están agrupados en ntervalos se toma la marca de clase de cada ntervalo para su cálculo. 2.- MEDIANA Es el valor de la varable que ocupa el lugar central de la dstrbucón, es decr el valor de la varable que deja el 50% de observacones haca la zquerda y el 50% a la derecha. Para poder hallar la medana, lo prmero que hay que hacer es ordenar los valores de la varable de forma crecente, y escrbr los valores de las frecuencas acumuladas F. Dstnguremos dos casos, datos no agrupados y datos agrupados. Para datos no agrupados Se calcula prmero el 50% de la poblacón N/2, se lleva ese valor a la columna de frecuencas absolutas acumuladas. x N f S el valor no está en la columna de acumuladas, se toma como valor de la medana el de la varable correspondente al sguente. S el valor s está en la columna de acumuladas, se toma como medana la meda artmétca del valor de la varable y el sguente. Para datos agrupados en ntervalos Se calcula como antes la mtad de la poblacón, y se lleva ese valor a la columna de frecuencas absolutas acumuladas.

2 S el valor no está en la columna, se toma como ntervalo al que pertenece la Medana el sguente al valor de N/2, y después de stuarnos en el ntervalo por la hpótess de unformdad hacemos una proporcón entre la ampltud del ntervalo, los elementos que tene y la ampltud que correspondería a la dferenca entre N/2 y la frecuenca acumulada anteror valor que añadríamos al extremo nferor del ntervalo. S el valor sí está en la columna de frecuencas acumuladas, se toma como Medana el extremo superor del ntervalo correspondente. Tambén se puede hallar gráfcamente con el dagrama correspondente a las frecuencas absolutas acumuladas. 3.- MODA Es el valor de la varable que más veces se repte. En algunos casos exsten varas modas, pero normalmente es una, s son dos se llama bmodal. Para datos no agrupados La moda es el valor de la varable correspondente a la mayor frecuenca absoluta. Para datos agrupados en ntervalos Se halla la densdad de frecuenca de cada uno de los ntervalos (d ) y el de mayor densdad de frecuenca se seleccona como ntervalo modal, para determnar el valor de la Moda, se aplca la sguente fórmula, basada en la proporconaldad: d d Mo L. a ) 1 ( d d ) ( d d 1 1 S los ntervalos tenen todos la msma ampltud el ntervalo modal es el de mayor frecuenca absoluta. MEDIDAS DE DISPERSIÓN Las meddas de dspersón nos ndcan el mayor o menor alejamento de los valores de una varable respecto a un promedo. Cas sempre acompañando a un promedo debe r una medda de dspersón que nos ndca la mayor o menor representatvdad del promedo. Las meddas de dspersón absoluta más utlzadas son: 1. Varanza 2. Desvacón Típca VARIANZA ( x x) 2 S X N 2 f Sempre es postva (por estar al cuadrado). Como la varanza es sempre postva, a mayor varanza mayor será la dspersón. DESVIACIÓN TÍPICA (Sx) Es la raíz cuadrada postva de la varanza y es la medda de dspersón más utlzada.

3 EJEMPLOS DE CLASE 1.- (Datos no agrupados) Dada la sguente dstrbucón de frecuencas de varable dscreta. Calcular: a) Medana b) Moda c) Meda d) Varanza y desvacón típca x f (Datos agrupados) Consultados 350 matrmonos sobre la edad de la esposa, se confeccona la sguente tabla: Edad esposa Nº matrmonos Calcular meda, medana, moda, desvacón típca y varanza

4 LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Partmos de una experenca en la que p es la probabldad de éxto y la repetmos n veces. Observamos que el número de éxtos que se consguen es x. La dstrbucón de probabldad que goberna este tpo de experencas se denomna dstrbucón bnomal y se denota por B(n,p). Son ejemplos de este tpo de expermentos el lanzamento de una moneda 10 veces y contar el número de veces que sale cara, lanzar un dado 6 veces y contar el número de veces que sale el número 5 o, por ejemplo, lanzar 100 chnchetas y contar cuántas caen con la punta haca arrba. Para calcular la probabldad de que tengamos exactamente k éxtos en el expermento usaremos la expresón de la dstrbucón bnomal que es: P[x = k] = ( n k ) pk q n k Los parámetros característcos de la dstrbucón bnomal son: Meda = n p Desvacón típca = npq Ejemplo 1.- Lanzamos 7 monedas, calcular las probabldades de que tengamos 3 caras, 5 caras y 6 caras. Halla los valores de la meda y de la desvacón típca Ejemplo 2.- Ana tene una probabldad de 0.72 de encestar un trple. En un concurso de trples hay que trar 15 veces. La mejor marca ha sdo de 13 trples. Calcula la probabldad que tene Ana de ganar el concurso. Ejemplo 3.- Un examen tpo test consta de 10 preguntas, cada una con cuatro respuestas, de las cuales sólo una es correcta. S un alumno contesta al azar. Calcula: a) La probabldad de que conteste correctamente 4 preguntas b) La probabldad de que conteste ben más de 2 preguntas c) La probabldad de que apruebe Ejemplo 4.- La probabldad de que una flecha lanzada por un arquero de en la dana es de 0.4. S se lanzan 6 flechas, halla la probabldad de que: a) Sólo una de en la dana b) Al menos una de en la dana Ejemplo 5.- En el proceso de fabrcacón de tornllos se sabe que el 2% son defectuosos. S empaquetamos cajas de 50 tornllos, calcula la probabldad de que: a) No halla nngún tornllo defectuoso b) Halla 1 tornllo defectuoso c) Halla más de dos tornllos defectuosos

5 LAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUA Las dstrbucones de probabldad contnua son dealzacones de dstrbucones estadístcas de varable contnua en la que la varable en cuestón puede tomar, en prncpo, cualquer valor. Para que f(x) sea una funcón de densdad o funcón de probabldad es necesaro que: f(x) sea no negatva El área bajo la curva sea gual a 1 Para hallar la probabldad de que x esté comprenddo entre a y b tendremos que calcular el área de la funcón comprendda entre a y b. Ejemplos: k x [1,5] Ejemplo 1.- Calcular k para que la funcón f(x) = { sea una funcón de densdad de 0 x [1,5] probabldad y una vez calculado determna la probabldad P[2 x 3]. mx x [0,4] Ejemplo 2.- Calcular m para que la funcón f(x) = { sea una funcón de densdad 0 x [0,4] de probabldad y una vez calculado determna la probabldad P[2 x 3].

6 LA DISTRIBUIÓN NORMAL La curva normal de dstrbucón de probabldad es una curva contnua y smétrca cuyo máxmo concde con la meda. La ecuacón es: y = 1 σ 2π e 1 2 (x μ σ ) Esta curva se llama tambén campana de Gauss, para cada valor de la meda y cada valor de la desvacón típca hay una curva normal que se denota como N(μ, σ) La dstrbucón normal N(0,1) está tabulada y es la que vamos a usar, como las dstrbucones de los problemas que vamos a tratar no son N(0,1) tenemos que transformarlas en N(0,1) a este proceso se le llama tpfcar la varable y la forma de hacerlo es: z = x μ σ ALGUNAS FÓRMULAS ÚTILES PARA USAR LA TABLA DE DISTRIBUCIÓN NORMAL S k 0 la probabldad P[z k] = φ(k) se mra derectamente en la tabla P[z k] = 1 φ(k) P[z k] = P[z k] = 1 φ(k) P[a x b] = P[x b] P[x a] APROXIMACIÓN DE UNA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL A UNA DISTRIBUCIÓN NORMAL Para certos valores de n y de p, las dstrbucones bnomales tenen un gran parecdo con las correspondentes dstrbucones normales. En general una dstrbucón bnomal se puede aproxmar a una dstrbucón normal cuando n p y n q son ambas mayores que 3 y s son superores a 5 la aproxmacón es cas perfecta. La curva normal a la cual se aproxman tene la msma meda y la msma dstrbucón que la bnomal, es decr: Meda = n p Desvacón típca = npq Ejemplo 1.- La dstrbucón del número de atunes capturados por los barcos pesqueros que salen a faenar en una certa zona es una normal de meda 110. Se sabe que, tomando un barco al azar, la probabldad de que capture más de 125 atunes es de a) Calcular la desvacón típca de la dstrbucón b) Se consdera que la campaña ha sdo buena s se capturan más de 100 atunes. Qué porcentaje estmado de barcos no tendrán una buena campaña? c) Cuántos atunes debe capturar un barco para estar en percentl 90? Ejemplo 2.- Para lumnar el recnto de un estado deportvo se queren nstalar focos. El sumnstrador asegura que el tempo de vda de los focos es una varable normal con una meda de 1500 h y una desvacón típca de 200. a) Calcular la probabldad de que un foco elegdo al azar luzco por lo menos 1000 horas b) S se compran 2000 focos Cuántos pueden esperarse que luzcan al menos 1000 horas?

7 Ejemplo 3.- Los pesos de 2000 soldados presentan una dstrbucón normal meda de 75 kg y una desvacón típca de 8 kg. Halla la probabldad de que, escogdo un soldado al azar pese: a) Más de 71 kg b) Menos de 80 kg c) Entre 73 y 79 kg d) Más de 85 kg Ejemplo 4.- La duracón de certo tpo de motor es una varable normal con una meda de 10 años y una desvacón típca de 2 años. El fabrcante garantza en funconamento de los motores por un perodo de 13 años. Qué porcentaje de motores se espera que no cumplan la garantía? Ejemplo 5.- Las alturas de los alumnos de una clase sguen una dstrbucón normal. Sona con 172 cm y Begoña con 167 cm tenen unas alturas tpfcadas de 1.4 y 0.4 respectvamente. Calcular: a) Calcular la altura de una alumna que tene una altura tpfcada de -1 b) Cuál es la tpfcacón de una alumna que mde 165 cm c) Cogdo un alumno al azar, calcula la probabldad de que su altura sea mayor que 170 Ejemplo 6.- El dámetro medo de las pezas producdas por una fábrca es de 45 mm. a) Determna su desvacón típca s la probabldad de que una peza tenga un dámetro mayor de 50 mm es de b) S se analzan 820 pezas Cuántas se estma que estén entre 39.7 y 43.5? Ejemplo 7.- Una compañía de autobuses sabe que el retraso de la llegada sgue una dstrbucón normal de meda 5 mnutos y que el % de los autobuses llega entre 2 mnutos y 8 mnutos tarde. a) Calcula la desvacón típca b) Calcula la probabldad de que un autobús llegue puntual o antes de la hora Ejemplo 8.- En un hosptal el 54% de los nacmentos son nñas. Hallar la probabldad de que en 2500 nacmentos el número de nños esté entre 1200 y Ejemplo 9.- En una empresa se comprueba que el 10 % del materal es defectuoso. S se compra un paquete de 300 productos procedentes de la fábrca a) Calcula la probabldad de que se encuentren más de un 9% defectuosos b) Calcula la probabldad de que el número de crcutos defectuosos esté entre 20 y 30