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1 APLICACIÓN AL PROCESO PRODUCTIVO DE LA EMPRESA "F. G. / DISEÑO GRÁFICO". AÑO 2004 Rescala, Carmen Según lo explicado en el Informe del presente trabajo, la variación en la producción de páginas web de la empresa, hizo que en este año, tercer período de nuestros proyecto, no pudiéramos confrontar los resultados teóricos con la realidad. Los esfuerzos fueron puestos entonces en calcular, con el mismo método, las ganancias anuales que generaban las páginas web comerciales, las que hemos llamado WII. La producción de estas páginas ha sufrido cambios en cuanto al número de horas de elaboración y personal destinado a la misma. 1) Tal cual sucediera con la información para la producción general de páginas web, en este caso particular se repiten las actividades del proceso productivo en cuento a: a) Relevamiento de datos b) Diseño c) Prueba 2) Se ha considerado únicamente la mano de obra, teniéndose en cuenta las horas utilizadas en cada actividad por unidad de página. 3) Las restricciones estructurales serán horas hombres. primera restricción: corresponde a relevamiento, segunda restricción: corresponde a diseño, tercera restricción: corresponde a prueba. 4) La función objetivo será la maximización de los ingresos por ventas percibidos en el año por la producción de páginas Web Comerciales. Los coeficientes de las variables de decisión son los precios de venta unitarios. 5) El costo que hay que considerar en este caso es el costo de la mano de obra. 6) En este modelo el costo por unidad está implícito en el precio de venta. 7) El tiempo disponible empleado en mano de obra se calculó de la siguiente manera: número de personas trabajando: 3 días de trabajo en el mes: 24 horas diarias de trabajo (reales): 9 horas de trabajo en el mes: 24 x 9 = 216 horas de trabajo mensuales de las tres personas: 216 x 3 = 648 horas de trabajo anuales de las tres personas 648 x 12 = para producción de páginas web, se utiliza un tercio del total de las horas anuales trabajadas. horas anuales destinadas a producción de páginas web: : 3 = horas. relevamiento de datos: es el 16% de las horas utilizadas en la producción de la página web, entonces es: x 0,16 = 414, 72 y se redondea en 414.

2 diseño es el 70% de las horas utilizadas en la producción de la página web, entonces es : x 0,70 = 1.814,5 y se redondea en prueba: es el 14% de las horas utilizadas en la producción de la página web, entonces es: x 0,14 = 362, 88 y se redondea en ) En la continuación de esta investigación, se ampliará el modelo, en esa ampliación se pondrán en juego más variables de decisión y más restricciones estructurales de la empresa. 9) Por último, el modelo de programación lineal a aplicar es: F.O. maximizar z = c 1 x 1 + c 2 x c i x i sujeta a & a11 x1 + a12 x a1i xi a1n xn ' b1 # a21 x1 + a22 x a2i xi a1n xn ' b2 # restricciones estructurales : %... ai1 x1 + ai2 x aii xi ain xn ' b # i #... $ am1x1 + am2 x ami xi amn xn1 ' bm restricciones de no negatividad : x i " 0! i, En este modelo los conceptos son: F. O.: función objetivo a optimizar, en el caso es maximizar los ingresos por ventas. z : es el valor que indica el máximos nivel de ingresos por ventas. c i : coeficientes de las variables de decisión en la función objetivo. x i: variables de decisión, indican las cantidades de las distintas páginas a producir. a ii: coeficientes de las variables de decisión en las restricciones. b i: términos independientes que indican las disponibilidades de mano de obra en las restricciones. RHS: cantidad disponible de horas que figura en el segundo miembro de cada restricción. x i! 0 indica que los valores de las cantidades a producir son nulos o positivos. Restricción 1 - Relevamiento de datos W I W II W III Horas disponibles Horas M.O Restricción 2 - Diseño

3 W I W II W III Horas disponibles Horas M.O Restricción 3 Prueba W I W II W III Horas disponibles Horas M.O Precio de venta W I W II W III Precio ($) Cuadro Resumen W I W II W III Horas disponibles Relevamiento Diseño Prueba Precio T r : cant. de horas a utilizar para el relevamiento, por año. T d : cant. de horas a utilizar para el diseño, por año. T p : cant. de horas a utilizar para la prueba, por año. Función Objetivo: F.O: Max. z = 300 x x x 3 (a) Límite de M. de O. por operación

4 W I W II W III Valores Max F.O.: Restr Restr Restr T r = 4 x x x (relevamiento) T d = 20 x x x (diseño) T p = 4 x x x (prueba) (b) Límite del total de la M. de O. Tomando las relaciones de tiempo definidas en el punto (a), se deberá verificar: T r + T d + T p (tiempo total disponible de M. de O.) A continuación se realiza el análisis de la solución que arrojó el Solver, herramienta del sofwar Excel, (sofwar con el que se trabajó), que permite resolver modelos de programación lineal. Se aclara que las páginas que continúan, están en Word, pues se traspasó a este sofwar lo hecho en Excel Microsoft Excel 9.0 Informe de respuestas Hoja de cálculo: [Modelo de pro lineal_2.xls]primal Informe creado: 02/11/03 12:25:53 p.m. Celda objetivo (Máximo) Celda Nombre Valor original Valor final $F$11 Ing_Ventas

5 Celdas cambiantes Celda Nombre Valor original Valor final $C$10 Cant_Pag_WI $D$10 Cant_Pag_WII 0 0 $E$10 Cant_Pag_WIII 0 0 Celda Nombre Valor de la celda fórmula Estado Divergencia $F$19 Restr 3 Max $F$19<=$G$19 Obligatorio 0 $F$17 Restr 1 Max $F$17<=$G$17 Opcional 51 $F$18 Restr 2 Max $F$18<=$G$18 Obligatorio 0 $C$10 Cant_Pag_WI $C$10>=0 Opcional $D$10 Cant_Pag_WII 0 $D$10>=0 Obligatorio 0 $E$10 Cant_Pag_WIII 0 $E$10>=0 Obligatorio 0 Microsoft Excel 9.0 Informe de límites Hoja de cálculo: [Modelo de pro lineal_2.xls]primal Informe creado: 02/11/03 12:25:54 p.m. Celda objetivo Celda Nombre Igual $F$11 Ing_Ventas Celdas cambiantes Límite Celda Límite Celda Celda Nombre Igual inferior objetivo superior objetivo $C$10 Cant_Pag_WI $D$10 Cant_Pag_WII $E$10 Cant_Pag_WIII Microsoft Excel 9.0 Informe de sensibilidad Hoja de cálculo: [Modelo de pro lineal_2.xls]primal Informe creado: 02/11/03 12:25:53 p.m. Celdas cambiantes Valor Gradiente Coeficiente Aumento Disminución

6 Celda Nombre Igual reducido objetivo permisible permisible $C$10 Cant_Pag_WI $D$10 Cant_Pag_WII E+30 $E$10 Cant_Pag_WIII Valor Sombra Restricción Aumento Disminución Celda Nombre Igual precio lado derecho permisible permisible $F$19 Restr 3 Max $F$17 Restr 1 Max E $F$18 Restr 2 Max v. b. z x 1 x 2 x 3 S 1 S 2 S 3 b i S S S S S 3 0 ¼ 1 ¾ 0 1/ / / ,5 x 2 0 ¼ 0-5/4 1-15/ ,69 S 1 0 ¼ 1 ¾ 0 1/ /80 S / , / , 5 x 2 0 ¼ 0-5/4 1 15/ /16 S 1 0 ¼ 1 ¾ 0 1/ /80 S /20 1/2 90,

7 x /4 1-7/40-1/8 51 x ¾ 0 1/40-1/8 0 S /20 ½ 90, x /4 1-7/40-1/8 51 x /30-1/16 0 S /20 1/2 90, /3 50/ S /15-1/3 51 x 2, x /30-1/6 0 x /20 ½ 90,75 Si resolvemos el modelo utilizando la tabla del SIMPLEX, tendremos la siguiente tabla:

8 Analicemos la solución La solución óptima al problema de PL planteado, arroja los siguientes resultados: F.O. = , indica el mayor ingreso por ventas que se puede obtener con los recursos actuales de la empresa. x 1 =90,75 este valor indica cuántas páginas W 1 se deben producir para maximizar las ventas. x 2 = 0 este valor indica que no se tiene que producir páginas W 2 si se quiere maximizar las ventas. x 3 = 0 este valor indica que no se tiene que producir páginas W 3 si se quiere maximizar las ventas. T r = 363; para relevamiento sólo ocuparía 363 horas, significa una holgura de 51 horas con respecto a las 414 que tiene disponibles. T d = 1815; para diseño utilizaría todas las horas disponibles. T p = 363; para prueba utilizaría todas las horas disponibles. En Informe de límites, podemos apreciar en un cuadro, el que indica estos resultados, además, en las tablas de Límite inferior y Límite superior, nos dice cuánto valdría la F.O. si se toman los valores indicados en cada celda para cada una de las variables consideradas (x 1, x 2, x 3 ), entre el valor 0 y el de la solución óptima. (0 en ambos casos para x 2 y x 3 ), (0 y 90,75 para x 1 ). En Informe de respuestas, se indican, además de los valores originales y finales de la F.O. y las x i, el estado en que quedan de las restricciones. En la columna de la derecha, denominada Divergencia, se aprecia la holgura o el déficit (según la relación que deba cumplirse en la restricción), respecto al valor disponible (RHS). En nuestro ejemplo se puede apreciar que se dispone de una holgura de 51 horas en el Tiempo de relevamiento. ( ), y 0 en los otros dos tiempos de Mano de Obra. En Informe de sensibilidad, nos brinda un primer cuadro respecto a las celdas cambiantes (las x i ). La primer columna es el valor propuesto para la solución óptima, la siguiente ( Gradiente reducido ), nos indica el déficit que tiene el coeficiente objetivo de la variable, como para que la misma sea tenida en cuenta en una nueva solución del problema (es decir, para que aparezca con valores no nulos en la solución). A este valor se lo suele conocer también como costo de oportunidad. En nuestro caso, se aprecia que si la contribución de x 2, en lugar de ser 1000 fuera de (1.000 (-66,667)) = 1.066,667, la solución ya no sería la propuesta, pero hasta tanto no llegue a ese valor, con el resto de los parámetros sin modificar, la solución propuesta no cambiará (se puede verificar con distintos valores del coeficiente de x 2, entre ( 1.000! x 2 < ). Las columnas Aumento permisible y Disminución permisible, indican el rango en que pueden modificarse los coeficientes objetivos de las variables sin que ello altere la solución propuesta para las x i (sí se alteraría el valor final de la F.O., salvo que el valor de la variable cuyo coeficiente se modificó continúe siendo 0). Ejemplo: si modificamos el coeficiente de x 2 de a (no superamos el incremento permitido de 66,667), la solución es la misma, y tampoco se altera la F.O. ya que el valor obtenido para x 2 es 0.

9 W I W II W III Valores Max F.O.: Restr Restr Restr el incremento permitido de 233,333), la solución para los x i es la misma, pero aquí si se altera la F.O., que pasa a ser ahora de (antes con el coeficiente de x 1 = 300 era F.O = ). Similares análisis corresponde hacer para x 3. W I W II W III Valores Max F.O.: Restr Restr Restr Se hace notar una vez más, que estos análisis se realizan con un cambio por vez, manteniendo el valor original en todos los otros parámetros. En el cuadro inferior se analizan las. Allí se indica nuevamente el valor que utilizará de cada una de ellas en la columna Valor igual. En la columna Precio sombra, el valor indicado, es lo que se debería pagar o cobrar (según corresponda aumentar o disminuir esa cantidad respectivamente), respecto al concepto que se representa con esa restricción. Para que el valor de la F.O. se mantenga invariable, debe cumplirse que la cantidad incrementada o disminuida esté dentro de los rangos indicados en las columnas Aumento permisible y Disminución permisible, respecto a la cantidad disponible original (RHS).

10 Veamos un ejemplo: Para la restricción Tiempo de diseño indicada con la celda $F$18, se utilizarán 1815 horas. Si quisiéramos utilizar mayor o menor cantidad que la indicada, podremos hacerlo en más 382,5 (llegando hasta los 2.197,5) y no podemos disminuir, porque es 0. En el primer caso, de incrementar las horas de ese tiempo, deberíamos pagar por cada hora 11,67, para mantener la misma ganancia de obtenida en la solución original. Como prueba, indiquemos horas como disponibles (215 más). Resolviendo el problema, obtenemos los siguientes valores como solución: W I W II W III Valores Max F.O.: Restr Restr Restr F.O.= ,33; T r = 391,67; T d = 2.030; T p = 363; x 1 = 80, x 2 = 0, x 3 = 7,1667. La ganancia de ,33, deberá disminuirse por el uso adicional de las 215 horas, a las que cotizamos al precio sombra. Así entonces nos queda: , x 11,67 = (que es la misma ganancia que teníamos con los datos originales). Es de observar no obstante, que en esta nueva solución además de utilizar las 215 horas agregadas, también se han utilizado 391,67 horas de Tiempo de relevamiento, cuando en la solución original sólo necesitábamos 363. Esta cuestión en la solución propuesta por PL no está considerada, y debe ser necesariamente observada, y consecuentemente influir también en el precio sombra del recurso a ser modificado para que el efecto del aumento (o disminución) tenga en cuenta la utilización de todos los recursos. En esta restricción no existe posibilidad de disminución de tiempo. Trabajemos ahora con la restricción Tiempo de prueba Para la restricción Tiempo de prueba indicada con la celda $F$19, se utilizarán 300 horas (disminución de 63 horas). Si quisiéramos utilizar mayor o menor cantidad que la indicada, podremos hacerlo en menos 181,5 (llegando hasta los 181,5) y no podemos aumentar, porque el aumento permisible es 0, es decir no podemos ir más allá de 363. En el primer caso, de disminuir las horas de ese tiempo, deberíamos cobrar por cada hora 16,67, para mantener la misma ganancia de obtenida en la solución original.

11 La solución es: W I W II W III Valores 59, ,5 Max F.O.: Restr ,00 414,00 2 Restr , ,00 3 Restr F.O.= T r = 342; T d = 1.815; T p = 300; x 1 = 59.25, x 2 = 0, x 3 = 10,5. La ganancia de , deberá aumentarse por el uso de las 300 horas, a las que cotizamos al precio sombra. Así entonces nos queda: x 16,67 = (que es la misma ganancia que teníamos con los datos originales). Es de observar no obstante, que en esta nueva solución además de utilizar las 63 horas menos, también se han utilizado 342,00 horas de Tiempo de relevamiento, cuando en la solución original necesitábamos 363. Trabajemos ahora con la restricción Tiempo de relevamiento Si colocamos en la celda de disponibilidad el valor: 370 = , (disminuye 44, se permite disminuir 51), la solución obtenida: es coincidente con la óptima. Si colocamos en la celda de disponibilidad el valor: 600 = , (aumenta 186), la solución obtenida: es coincidente con la óptima. El tiempo sombra para esta restricción es cero. De lo observado, podemos inferir que el cambio en la F.O. (incremento o decremento) depende del incremento o decremento en el RHS de la restricción considerada, y la naturaleza del objetivo perseguido para la F.O. (maximización o minimización). El valor denominado aquí como Precio sombra también es conocido como valor marginal o valor dual, dado que es la cantidad de recursos a utilizar en la solución óptima del problema dual asociado al primal. Es de notar que cuando un recurso tiene holgura (divergencia según lo indicado en Solver) distinta de cero, su Precio sombra es nulo (no afecta a la solución cambios en el RHS de la restricción correspondiente, dentro de los límites permitidos). De lo observado, podemos concluir en que efectivamente el cuadro de análisis de sensibilidad nos permite conocer los valores a pagar o cobrar por aumentos o disminuciones permisibles en los RHS (siempre de a uno por vez) para mantener la ganancia inalterable, aunque no obstante debemos observar que en general no se

12 mantiene la misma holgura en la utilización de los recursos disponibles, aspecto que debería ser considerado en una ecuación económica general. Según la solución hallada a través del modelo, para maximizar los ingresos por ventas de esta empresa, con las restricciones estructurales de horas que tiene, lo que debe hacer es producir sólo páginas web personales (W I). Si quiere aumentar los ingresos por ventas por sobre el valor de la solución óptima, deberá agregar horas para la cantidad disponible en la segunda restricción que es tiempo de diseño. Cualquier otro cambio que haga respecto a aumentar o disminuir las horas disponibles, será contraproducente, pues disminuirían los ingresos por ventas. Para incrementar los ingresos por ventas también puede aumentar el precio de venta de la página web personal. Si tenemos en cuenta que el máximo precio de venta que puede llegar a alcanzar la página personal es de $400 y que el máximo número de horas que puede agregar al tiempo disponible para diseño es de 382, lo que daría horas disponibles para esta restricción, la solución sería: W I W II W III Valore s 71, ,73 Max F.O.: ,67 1 Restr ,93 414,00 2 Restr , ,00 3 Restr F.O.= ,67 T r = 413,93; T d = 2.197; T p = 363; x 1 = 71,65, x 2 = 0, x 3 = 12,73. SOLUCIÓN ACONSEJADA

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