Movimiento Armónico Forzado

Transcripción

1 Moviiento Arónico Forzado Estudieos ahora el oviiento de una asa soetida a una fuerza elástica, en presencia de fuerzas de arrastre y de una fuerza externa que actúa sobre la isa. Asuireos que la fora funcional de dicha fuerza (a la que llaareos forzado externo o sipleente forzado) es: Noteos varias cosas: F ext (t) = F 0 x 1. A diferencias de las fuerzas que estuvios viendo hasta ahora, el forzado depende explícitaente del tiepo. (piénsenlo: la fuerza peso era constante, la elástica dependía cuadráticaente del apartaiento de la posición de equilibrio i.e. dependía de la posición del objeto, la gravitatoria de la inversa de la distancia posición nuevaente, la de arrastre de la velocidad, etc ) 2. En principio, la dependencia funcional elegida i.e. un coseno - parece poco general y arbitraria. Sucede que este no es el caso ya que existe una herraienta ateática llaada análisis de Fourier, que plantea que cualquier función del tiepo puede ser pensada coo una cobinación particular de senos y cosenos, con frecuencias y desfasajes deterinados. Así que aprender cóo resolver el caso de un forzado tipo coseno nos va a abrir las puertas para poder resolver forzados ucho ás coplicados (no lo vaos a hacer en este curso). Volvaos al problea. Si no estuviera la fuerza externa sabeos, por lo visto antes, que debido a la existencia de la fuerza de arrastre F a, que se opone en todo oento a la velocidad de la asita y por lo tanto actúa desacelerando al cuerpo, el oscilador evolucionará hasta eventualente detenerse. Sin ebargo vereos que la presencia de una fuerza externa F ext cabia cualitativaente el coportaiento de este sistea. Para entender esto planteeos la ecuación de oviiento que vincula la aceleración de la asita y las fuerzas a las que la isa está soetida:

2 F ext + F a + F k = a Esta es una ecuación vectorial, pero por tratarse de un oviiento unidiensional en lo que sigue planteareos la ecuación que vincula la coponente x delas entidades involucradas: F 0 bv kx = a que, expresando velocidades y aceleraciones coo derivadas de la posición respecto al tiepo, puede ser reescrita coo d 2 x dx + γ dt2 dt + w 0 2 x = F 0 donde γ = b y w 0 = k/ El iebro izquierdo de la ecuación incluye: un térino relacionado con la aceleración (la inercia de la asita), un térino relacionado con la fuerza disipativa de arrastre, y uno vinculado con la interacción elástica a la cual está soetida la isa. En la derecha, a su vez, aparece el forzado. La ecuación planteada es una ecuación de segundo grado no-hoogénea. Se llaa de segundo grado porque la derivada de ayor orden es una derivada segunda respecto al tiepo, y nohoogénea debido a la presencia de un térino que depende explícitaente del tiepo. Nos interesa resolver esta ecuación, es decir encontrar la función x(t) que cuple con la isa. Ahora bien, se puede deostrar ateáticaente que la solución general de este tipo de ecuaciones se puede escribir en realidad coo cobinación de dos funciones que se llaan: solución hoogénea y particular respectivaente. x(t) = x h (t) + x p (t) Epeceos por x h (t): ésta función se llaa hoogénea porque es en realidad solución del problea hoogéneo asociado al que quereos resolver. Esto es, x h (t) es solución de: d 2 x dx + γ dt2 dt + w 0 2 x = 0 Pero ya conoceos este problea. Es el de un oscilador en presencia de una fuerza de arrastre disipativa. Sabeos que la asita puede presentar una dináica de oviiento oscilatorio aortiguado, sobre-aortiguado o críticaente aortiguado, dependiendo de la relación entre γ y w 0. Adeás, para cualquiera de estas dináicas sabeos que si esperaos el tiepo suficiente la asita se detendrá en la posición de equilibrio. Es decir, sabeos que para tiepos largos: x h (t 1) 0

3 Esto significa que para tiepos largos, cuando el aporte a la solución copleta de la parte hoogénea puede despreciarse, la solución del problea con forzado resulta: x(t) = x p (t) Para estiar la solución particular x p (t) lo que vaos a hacer es proponer una dada fora funcional y verificar que efectivaente es solución de la ecuación de oviiento. Así, propongaos que x p (t) = A cos( ωt δ) y evalueos si es posible que cupla con la ecuación de oviiento del problea (recordeos que debe hacerlo, ya que coo vios, a tiepos largos x p (t), es la expresión que refleja la dináica física de la asita). Antes de epezar repaseos lo que estaos proponiendo coo solución. Estaos diciendo que a tiepos largos la asita oscilará periódicaente, con una frecuencia que es la del forzado, con una aplitud A (que teneos que deterinar), y una fase inicial δ (que tabién teneos que deterinar). Noteos que esta últia representa un eventual desfasaje que puede ocurrir entre el forzado (va coo cos( ωt)) y la posición (va coo cos( ωt δ)). Ahora sí verifiqueos si una expresión coo la que proponeos es solución de la ecuación de oviiento de nuestro sistea. d 2 x p dt 2 + γ dx p dt + w 0 2 x p = F 0 ω 2 2 A cos ( ωt δ) γ ωa sin ( ωt δ) + ω 0 A cos ( ωt δ) = F 0 γ ωa β sin ( ωt δ) + (ω 0 2 ω 2 )A cos ( ωt δ) = F 0 Entonces teneos que para que la fora propuesta para x p (t) sea efectivaente solución los paráetros A y δ no pueden ser arbitrarios sino que deben ser tales que se satisfaga la últia ecuación. Para siplificar la notación en lo que sigue introduzcaos las variables y β (noteos que la aplitud A de la solución está incluida en las isas, así que sigue, en el fondo, siendo una ecuación que debe satisfacer A y δ ): cos ( ωt δ) + β sin ( ωt δ) = F 0

4 Para continuar recordeos un par de propiedades de los senos y cosenos: cos ( a ± b) = cos a cos b sin a sin b y sin(a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b Por lo tanto [ cos δ + sin ωt sin δ] β[sin ωt cos δ ± sin δ] = F 0 y, finalente, agrupando térinos de cosenos y senos, la ecuación que deben satisfacer A y δ para que x p (t) sea solución resulta: ( cos δ + β sin δ F 0 ) + ( sin δ β cos δ) sin ωt = 0 Ahora bien. Esta ecuación debe cuplirse para todo tiepo t. Si pensaos un poco nos daos cuenta de que para que ello ocurra no queda otra alternativa de que, por separado, la expresión que aparece coo factor del coseno por un lado y del seno por otro se anulen. (Piensen en un gráfico donde incluyan a una función A y otra B sin ωt y convénzanse de que no hay fora de que la sua de abas funciones se anule, para todo tiepo t, si A y B son distintos de cero) Por lo tanto llegaos a establecer que para que x p (t) = A cos( ωt δ) sea solución deben satisfacerse el siguiente par de ecuaciones: sin δ β cos δ = 0 cos δ + β sin δ F 0 = 0 Disponeos así de dos ecuaciones para fijar los valores de los dos paráetros de la solución particular, A y δ, en función de los deás paráetros del problea (F o,, w 0,w,k,γ). Con esto lograríaos nuestro objetivo de ostrar que la fora que propusios es efectivaente solución Veaos entonces. La priera de estas dos ecuaciones iplica que sin δ = β cos δ sin δ cos δ = β Por lo tanto, escribiendo y β en térinos de las variables del problea llegaos a que δ debe cuplir que :

5 tan δ = β = γω (ω 2 0 ω 2 ) La segunda de las ecuaciones incluye senos y cosenos de δ. Ahora bien lo que acabaos de encontrar es que: tan δ = β. Coo se uestra la figura esto iplica que: β sin δ = 2 + β 2 cos δ = 2 + β 2 Con esto podeos trabajar la segunda ecuación y encontrar que: cos δ + β sin δ F 0 = β + β 2 β 2 + β F 0 2 = β β = F β 2 = F 0 Recordando la definición de los coeficientes y β en función de los paráetros del problea resulta finalente que: que es una ecuación para A. (ω 0 2 ω 2 ) 2 A 2 + (γ ω) 2 A 2 = F 0 A (ω 0 2 ω 2 ) 2 + (γ ω) 2 = F 0

6 Escribios entonces las dos ecuaciones que encontraos que deben satisfacer A y δ para que x p (t) = A cos( ωt δ) sea solución: A = F 0 tan δ = γω 2 (ω 0 ω 2 ) 2 +(γ ω) 2 (ω 2 0 ω 2 ) La siguiente figura uestra la fora cualitativa de cóo dependen estos paráetros de la frecuencia del forzado. Es notorio que para deterinadas frecuencias de forzado, cercanas a la frecuencia natural del oscilador, la aplitud de oscilación crece y toa un valor áxio cuando ω = ω 0. Se dice que en esa condición el oscilador entra en resonancia con el forzado. Cuando la frecuencia del forzado se aleja de ω 0 el acoplaiento con la fuerza externa se descordina. El rito con el cual la fuerza externa es aplicada se aleja del rito natural del oscilador y las oscilaciones producidas presentan una aplitud ucho enor. Tabién es posible ver que la tan δ diverge cuando ω = ω 0 lo que indica que en ese caso δ = π. Por lo tanto, en resonancia, x(t) y F(t) están en cuadratura, es decir: 2 desfasadas en π 2