EL ÁLGEBRA LINEAL Y EL PROBLEMA DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS. Santiago Relos Paco Universidad Privada Boliviana

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1 INVESTIGCIÓN & DESRROLLO No. Vol. : 7 79 ISSN -6 RESUMEN EL ÁLGEBR LINEL Y EL PROBLEM DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS Stigo Relos Pco Uiversidd Privd Bolivi srelos@upb.edu Recibido el 5 juio ceptdo pr publicció el de gosto E este rtículo se preset u plicció del álgebr liel l problem de máimos míimos de ucioes vris vribles. Se cosider u ució : U U bierto dos veces dierecible se tom u puto U tl que se plte el problem de determir si e este puto eiste u máimo míimo o igu de ests situcioes. Se clcul como se sbe est segud derivd es u mtri simétric e M depediedo de l sigtur de se drá u respuest l problem pltedo. Plbrs Clve: lgebr Liel Máimos Míimos utovlores utovectores.. INTRODUCCIÓN Este problem se puede resolver empledo determites o empledo cogrueci de mtrices. Como el cálculo de determites tiee u ltísimo costo computciol usulmete se emple pr csos de dos vribles el empledo e los tetos básicos de cálculo e tto que l cogrueci de mtrices es siempre vible u cudo es mu grde pues se bs e simples opercioes elemetles de il. ilmete el propósito de este rtículo es presetr el problem de máimos míimos como u problem que o depede de ctidd de vribles l meos o coceptulmete.. DEINICIONES INICILES Iicimos este rtículo co u breve itroducció los utovlores utovectores más detlles se puede ecotrr e l bibliogrí [ 6-7].. utovlores utovectores Deiició.. utovlores utovectores U vector o ulo u úmero so llmdos respectivmete utovector utovlor socidos de u mtri si M Teorem. Los utovlores de so ls solucioes de l ecució crcterístic M dode I es l mtri idetidd. M I Ejemplo. Cosidere l mtri U simple cálculo d: I 5 por tto el poliomio crcterístico es 5 resolviedo est ecució se ecuetr los utovlores: 5 UPB - INVESTIGCIÓN & DESRROLLO No. Vol. : DOI:./idupbo..-i

2 RELOS Los utovlores de u mtri o ecesrimete so reles si embrgo pr el cso de mtrices simétrics se tiee el siguiete teorem. Teorem.. Los utovlores de u mtri simétric so todos reles.. L sigtur de u mtri simétric Deiició.. Sigtur L sigtur de u mtri simétric [] deotd por sig es el pr pq dode p es el úmero de utovlores positivos q el úmero de utovlores egtivos. Ejemplo.. L sigtur de l mtri del ejemplo. es sig= ques se tiee u utovlor positivo u utovlor egtivo. L sigtur puede clculrse si ecesidd se clculr los utovlores como se puede deducir del siguiete teorem. Teorem.. Se u mtri simétric. Se D l mtri digol obteid de plicdo ls misms M opercioes elemetles de il colum simultáemete. Etoces: sig = pq dode p es el úmero de etrds positivs de D q el úmero de etrds egtivs. Ejemplo. Cosidere l mtri del ejemplo. plicdo opercioes elemetles se tiee: 5 / / 5 / 5 / 5 / 5 / 5 / 5 / C / 5 / 5 / C / 5 / 5 / 5 / 5 / 5 / C / C luego sig=.. Mtrices deiid positivs deiid egtivs Deiició. Mtrices deiids Se u mtri simétric. Se dirá que deiid positiv respectivmete M deiid egtiv si sig= respectivmete sig=. Ejemplo. Cosidere l mtri Relido ls opercioes elemetles / C/ C / C / se ecuetr: / Eiste otro teorem bsdo e el uso eclusivo de l tercer operció elemetl de il 7 UPB - INVESTIGCIÓN & DESRROLLO No. Vol. : 7 79

3 EL ÁLGEBR LINEL Y EL PROBLEM DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS UPB - INVESTIGCIÓN & DESRROLLO No. Vol. : por tto l sigtur es sig= luego es deiid positiv. Ejemplo.5. Se puede probr que l sigtur de l mtri 5 5 es sig= luego es deiid egtiv.. Mtrices semideiids Deiició.. Mtrices semideiids Se M u mtri simétric. Se dirá que semideiid positiv respectivmete semideiid egtiv si sig=p co p< respectivmete sig=q co q< Ejemplo.6. Medite ls opercioes elemetles C C l mtri es cogruete co por tto sig= luego es semideiid positiv. Ejemplo.7. Se puede probr que l sigtur de es sig= luego o es deiid i semideiid..5 orms cudrátics reles.5. L deiició de u orm cudrátic Deiició.5. orms cudrátics U orm cudrátic e ls vribles... es u poliomio de l orm t Co M u mtri simétric co etrds reles. Ejemplo.. Cosidere l mtri del ejemplo.. Co se tiee l orm cudrátic:

4 RELOS 7 UPB - INVESTIGCIÓN & DESRROLLO No. Vol. : 7 79 Nótese que u cálculo directo d:..5.. orms cudrátics deiids semideiids E ls siguietes deiicioes M es u mtri simétric. Deiició.6 orms cudrátics deiids U orm cudrátic t es deiid positiv respectivmete deiid egtiv si t pr todo respectivmete t pr todo. Deiició.7 orms cudrátics semideiids U orm cudrátic t es semideiid positiv respectivmete semideiid egtiv si t pr todo respectivmete t pr todo. Teorem.. U orm cudrátic t es Deiid positiv si solmete si es deiid positiv Deiid egtiv si solmete si es deiid egtiv Semideiid positiv si solmete si es semideiid positiv Semideiid egtiv si solmete si es semideiid egtiv Ejemplo.9. Cosidere l mtri del ejemplo.. Co se tiee l orm cudrátic: Nótese que u cálculo directo d:. E el ejemplo. se muestr que l sigtur es sig = es decir es deiid positiv por tto l orm cudrátic es deiid positiv por tto:. L DERIVD DE UNCIONES VRIS VRIBLES. L primer derivd cotiució deiimos l derivd de u ució vribles. E lo que sigue u elemeto de se cosiderrá como u vector colum es decir u mtri e M. Deiició.. Derivd Se U : u ució se U tl que: U ; dode o depede de ls compoetes de. Si ; lim etoces l derivd de e deotd por es es decir e ests codicioes diremos que es dierecible e.

5 EL ÁLGEBR LINEL Y EL PROBLEM DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS UPB - INVESTIGCIÓN & DESRROLLO No. Vol. : Se observ que de l deiició se sigue que M es decir l derivd de u ució vribles es u vector il de compoetes. L deiició terior o es t simple de plicr cudo ls ucioes so lgo complicds e l práctic se emple el siguiete teorem. Teorem.. Se U : u ució e ls vribles... dierecible e etoces... dode i es l derivd prcil de respecto de i evludo e. Ejemplo.. Cosidérese l ució L derivd es: dode:. L segud derivd No es iteció de este rtículo discutir detlles del cálculo de l segud derivd de u ució vris vribles esto se puede ecotrr e l bibliogrí pr ser breve se idic l mer de clculrl. Se U : l segud derivd de e el puto U deotd por es l mtri e M cu i-ésim il está compuest co ls compoetes de l derivd de i. Ejemplo.. Cosidérese l ució del ejemplo. Ls derivds prciles so: por tto l segud derivd es:

6 RELOS 76 UPB - INVESTIGCIÓN & DESRROLLO No. Vol. : Diereciles.. L primer dierecil Si U : es dierecible e U etoces l dierecil e este puto es: d d dode d d d Ejemplo.. Cosidérese l ució l primer derivd es: clculremos l dierecil de e. L derivd evlud e este puto es: 6 por tto l dierecil e es: d d d d d d d L segud dierecil Ejemplo.. Cosidérese l ució del ejemplo. se estblecido que: clculremos l segud dierecil e el puto : por tto l segud dierecil es:

7 EL ÁLGEBR LINEL Y EL PROBLEM DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS d d d d d d d d d d d d d d. MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNCIONES VRIS VRIBLES. Itroducció Deiició.. Mimo míimo U ució : U tiee u máimo respectiv mete u míimo e U si respectivmete si U [-5]. Deiició.. Máimo míimo locl U ució : U tiee u máimo locl respectiv mete u míimo locl e U si eiste u cojuto bierto O tl que tiee u máimo respectivmete u míimo e. El puto se llmrá etremo locl. U O E l siguiete secció se preset u teorem que os d luces pr ecotrr los etremos locles de u ució vris vribles.. Codició ecesri de etremo Teorem.. Cosidérese u ució : U dode U es u cojuto bierto. Se dierecible e U tl que tiee u etremo locl e etoces esto es tods ls derivds prciles e el puto so uls es decir pr. Los putos e dode se llm putos críticos. i... Observció. Nótese que e u domiio bierto el teorem terior e su orm cotrpositiv os dice que si etoces e o se puede teer etremos locles esto sigiic que los etremos locles de u ució deiid e u domiio bierto se ecuetr e los putos dode l derivd es ul es decir los putos e dode tods ls derivds prciles so cero.. Codició suiciete de etremo E est secció cudiremos l segud dierecil pr decidir si e u puto crítico eiste o o u máimo locl míimo locl o puto sill. Recordemos que l segud dierecil es u orm cudrátic cu mtri socid es l segud derivd de. p Teorem.. Se U u cojuto bierto : U dierecible dos veces e U. Se u puto crítico esto es. Se d d... d. Etoces: Si d d es deiid positiv tiee e u míimo locl. Si d d es deiid egtiv tiee e u máimo locl. Si d d o es deiid egtiv i semideiid e o se tiee u etremo. Si d d es semideiid etoces el método o d igu iormció. Como se sbe e el terior teorem es suiciete lir l mtri sí se tiee el siguiete teorem equivlete. p Teorem.. Se U u cojuto bierto : U dierecible dos veces e U. Se u puto crítico esto es. Etoces: UPB - INVESTIGCIÓN & DESRROLLO No. Vol. :

8 RELOS Si es deiid positiv tiee e u míimo locl Si es deiid egtiv tiee e u máimo locl. Si o es deiid egtiv i semideiid e o se tiee u etremo. Si es semideiid etoces el método o d igu iormció. Ejemplo.. Se clculrá los máimos míimos locles de Cálculo de derivds prciles Cálculo de putos críticos Los putos críticos so ls solucioes del sistem: de l tercer ecució se obtiee reempldo este resultdo e l primer segud ecucioes se obtiee el sistem: 5 De 5 si reempldo e 6 luego empledo se obtiee sí se obtiee l solució:. De 5 si se tiee uevmete de 6 luego de se tiee tmbié de ecuetr por tto se tiee l solució:. Cálculo de l segud derivd: U cálculo simple d se álisis de putos críticos Puto e este puto crítico: 7 UPB - INVESTIGCIÓN & DESRROLLO No. Vol. : 7 79

9 EL ÁLGEBR LINEL Y EL PROBLEM DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS Por tto: sig luego e este puto crítico o se tiee etremo. Puto b e este puto C C C / / / / C C C se ecuetr: / Luego l sigtur de est mtri es sig por tto es deiid positiv luego e este puto se tiee u míimo locl. El vlor que tiee l ució e este puto es. 5. CONCLUSIÓN Luego de lo terior es clro que el problem de determir si e u puto crítico eiste u máimo o u míimo o depede l meos coceptulmete de l ctidd de vribles pues como se visto el cálculo se reduce simples opercioes elemetles de il. 6. REERENCIS [] J. de Burgos. lgebr Liel. McGrw-Hill/Itermeric de Espñ 99 Espñ. [] S. Relos. putes de Álgebr Liel UMSS UPB Cocbmb Bolivi. [] S. Relos. putes de Cálculo II UMSS UPB Cocbmb Bolivi. [] J. de Burgos. Cálculo iiitesiml de vris vribles McGrw-Hill/Itermeric de Espñ 995 Espñ. [5] J. E. Mrsde. Tromb. Cálculo Vectoril ddiso Wesle Iberomeric 99 US. [6]. res Jr. Mtrices McGrw-Hill 969 US. [7] Mtri Metods secod editio Ricrd Broso cdemic Press Ic. 99 US. UPB - INVESTIGCIÓN & DESRROLLO No. Vol. :