Coordenadas polares. Si P es un punto cualquiera del plano, su posición queda determinada con el par ( r, ), donde: Ejemplo
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- Hugo Vázquez Villanueva
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1 Coordenadas polares Sobre el plano elijamos un punto O, que denominamos Polo (u origen) y un rayo con origen O, que denominamos Eje Polar 1 2 Si P es un punto cualquiera del plano, su posición queda determinada con el par ( r, ), donde: r: es la distancia desde P al polo O : es el angulo que forma el segmento OP con el eje polar. Al par (r, ) se denomina Coordenadas Polares del punto P respecto del sistema polar. Ejemplo Representar en el plano polar los siguientes punto cuyas coordenadas polares se indican: P(2, 30º), Q( 4, 5 4 ) 3 4
2 Notas Cada punto P del plano tiene asociado infinitas representaciones en coordenadas polares. Es conveniente permitir que r, la distancia al polo, asuma valores negativos. Se establece el siguiente convenio: "Sea r un número positivo, se establece que: (-r, ) es otra forma de representar el punto de coordenadas ( r, ). Ejemplo.- El punto P cuyas coordenadas polares son ( 2, 6 ) tiene también por coordenadas : ( 2, 2 ), ( 2, 2 ), ( 2, 4 ), etc Ejemplo.- Dibujar el diagrama de los puntos cuyas coordenadas polares son P( 3, 4 ), Q ( 4, 3 ), R ( 2, 6 ) 5 6 Rectangulares y Coordenadas Polares. Relación entre Cordenadas. Consideremos un plano con un sistema superpuesto al otro de modo que el origen del sistema rectangular coincida con el polo y el semi-eje positivo del eje ox con el eje polar. 7 8
3 La relación entre las coordenadas rectangulares (x,y) y las polares ( r, ) de un punto P esta dada por las ecuaciones: xr cos( ) yr sin( ) Ejemplo: Encontrar las correspondientes coordenadas rectangulares y representar gráficamente los puntos cuyas coordenadas polares son: ( 4, 6 ), ( 2, 6 ), ( 3, 4 3 ) 9 10 Nota.- Las fórmulas r = ± x 2 y 2 = Arctan(y / x) con x0 permiten encontrar r y cuando se conoce x e y. Ejemplo: Encontrar las correspondientes coordenadas polares y representar gráficamente los puntos cuyas coordenadas rectangulares son: ( 3, 3), ( 1, 3), ( 3, 1), ( 2, 2) 11 12
4 Ejercicios 1.- Encontrar la correspondiente ecuación en coordenadas polares para las curvas de ecuación: a) yx 2 b) x 2 y 2 2 y0 2.- Encontrar la correspondiente ecuación en coordenadas rectangulares para las curvas de ecuación: Gráfica en coordenadas Polares. a) r cos( ) b) r 2 r sin( ) Para obtener una aproximación del lugar geométrico de una ecuación en coordenadas polares se construye una tabla de valores suficientemente "completa", se dibujan los puntos y se unen mediante una "curva continua" Ejemplo Trazar la gráfica de la curva cuya ecuación, en coordeladas polares, es r3 cos( ) 15 16
5 Respuesta La siguiente tabla muestra las coordenadas polares (r, ) para algunos puntos sobre la curva r los cuales se representan en un sistema polar Reglas de Simetría Las siguientes reglas de simetría son de gran utilidad en el trazado de gráficas. Estas reglas están descritas en términos de simetrías con respecto a los ejes ox y oy de un sistema rectangular. R1.- Si al sustituir ( r, ), en lugar de ( r, ) se obtiene la misma ecuación, el L.G. es simétrico con respecto al eje ox (eje polar). R2.- Si al sustituir ( r, ) en lugar de ( r, ) se obtiene la misma ecuación, el L.G. es simétrico con respecto al eje oy. R3.- Si al sustituir ( r, ), o bien ( r, ), en lugar de (, r ) se obtiene la misma ecuación, el L.G. es simétrico con respecto al polo
6 Ejemplo. Discutir las simetrías y representar gráficamente el L.G. de la ecuación: r32 cos( ) Respuesta. Es claro que el gráfico es simétrico con respecto al eje ox. Luego, es suficiente construir el grafico en [0, ] Tabla de valores r graficamos los puntos obtenidos Nota: La gráfica de esta ecuación es se denomina Caracol
7 Ejercicios. Discutir las simetrías, y trazar la gráfica, de cada una de las siguientes ecuaciones (a) r (b) r2 sin( ) (c) (e) r23 cos( ) (d) r sin( 2 ) (f) r22 sin( ) r cos( 3 ) Gráficas (a) r r2 sin( ) r22 sin( ) 27 28
8 Notas : 1.- Las ecuaciones de la forma ra cos( n ) ra sin( n ) donde n es un entero positivo, tienen lugares geométricos llamados Rosas o curva de pétalos. El número de pétalos es igual a n si n es impar, y es igual 2n si n es par. r sin( 2 ) r := x4 cos( 3 x ) r := x4 cos( 2 x) La ecuación r = ± 2 a cos( ), con a > 0, coresponde a la de una circunferencia de radio a y centro (± a, 0). Ejemplos La ecuación r = ± 2 a sin( ), con a > 0, corresponde a la de una circunferencia de radio a y centro (0, ± a). Ejemplo r := x4 cos( x ) r := x3 sin( x ) 31 32
9 3.- Las ecuación r = a ± b cos( ) y r = a ± b sin( ) corresponde a curvas que se llaman: Caracoles si ab. Cardiode si a b. Ejemplo r := x1 sin( x ) R := r := x12 sin( x ), x32 cos( x) La gráfica de las ecuaciones r 2 a cos( 2 ) y r 2 a sin( 2 ) tienen la forna de ' ocho '. Ejemplo Intersección de curvas en coordenadas polares. Sean C 1 y C 2 dos curvas en coordenadas polares cuyas ecuaciones son r g( ) respectivamente. r f( ) y Para determinar todos los puntos de intersección entre C 1 y C 2 se deben resolver las ecuaciones (con k Z): r := x 2 cos( 2 x) 35 36
10 * f( ) = g( 2 k ) v g( ) = f( 2 k ) * f( ) = - g( ( 2 k1 ) ) v g( ) = - f( ( 2 k1 ) ) Ejercicio.- Encontrar los puntos de intersección de las curvas definidas por r4 cos( 2 ) r sin( ) * f( ) = g( ) = 0 ( Para decidir si el polo es un punto de intersección) Area en coordenadas polares Sea C una curva cuya ecuación en coordenadas polares es r f( ), y supongamos además que f es continua y positiva definida para valores de en [ ab., ] El área A de la región R limitada por las rectas = a, = b, y la curva r f( ) está dada por: b 1 f( ) 2 d a A
11 Recordar que el área de un sector circularde radio R y angulo del centro (medido en radianes) es 1 r2 2 Para deducir la fórmula anterior se procede como sigue: 1.- Se particiona [a, b] en n intervalos 2.- En cada intervalo [, ], con i = 1.. n, se elige un punto i1 i t i 3.- El área del i-esimo sector circular generado por la partición se aproxima por 1 2 f( t ) 2 i con = -. i i1 4.- El área del sector circular R se aproxima con 1 n 2 f( t ) 2 i1 i Si la norma de la partición tiende a cero entonces 1 n 2 lim f( t ) 2 0 i1 i Ejemplos 1.- Calcular el área de la región encerrada por la cardioide r1cos Como f es continua en y f( t ) es suma de Riemann para i 2 f( t ) en [ ab, ] entonces i b 1 f( ) 2 d a A
12 Respuesta 2.- Calcular el área de la región interior a la circunferencia r3 cos y exterior a la cardiode r1cos A = 2 0 ( 1 cos( )) 2 d Respuesta 3 1 ( 3 cos( )) 2 ( 1 cos( )) 2 d A =
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