Partición disjunta del espacio muestral Es una colección de sucesos

Transcripción

1 Partición disjunta del espacio muestral Es una colección de sucesos A 1 A 2 A 1, A 2, A 3, A 4 tal que la unión de todos ellos forman el espacio muestral, y sus intersecciones son disjuntas. Recordáis cómo formar intervalos en tablas de frecuencias? A 1 A 3 A 4 Suceso seguro A 2 A 3 A 4

2 Divide y vencerás A 1 A 2 Todo suceso, puede ser descompuesto en sus componentes respecto de la partición disjunta = ( A 1 U ( A 2 U ( A 3 U ( A 4 A 1 A 3 A 4 Suceso seguro A 2 A 3 Descomponemos el problema en subproblemas más simples. A 4

3 Teorema de la probabilidad total (sección del libro A 1 A 2 Si conocemos la probabilidad de en cada una de las componentes de una partición disjunta del espacio muestral, entonces A 3 A 4 podemos calcular la probabilidad de. Suceso seguro P( = P( A 1 + P( A 2 + P( A 3 + P( A 4 P(A 1 P(A 2 P(A 3 P(A 4 A 1 A 2 A 3 A 4 P( A 1 P( A 2 P( A 3 P( A 4 = P(A 1 P( A 1 + P(A 2 P( A 2 + P(A 3 P( A 3 + P(A 4 P( A 4

4 Ejemplo (I: En este aula el 70% de los alumnos son mujeres. De ellas el 10% son fumadoras. De los hombres, son fumadores el 20%. Prob. Total. Hombres y mujeres forman una partición disjunta Fuman Mujer Hombre 0.1 Fuma Qué porcentaje de fumadores hay? P(F = P(M F + P(H F = P(MP(F M + P(HP(F H Estudiante 0.7 Mujer 0.9 No fuma = 0.7 x x 0.2 = Hombre 0.2 Fuma Los caminos a través de nodos representan intersecciones. Las bifurcaciones representan uniones disjuntas. 0.8 No fuma

5 Teorema de ayes (sección del libro A 1 A 2 Si conocemos la probabilidad de en cada una de las componentes de una partición disjunta del espacio muestral, entonces si ocurre, podemos calcular la probabilidad (a posteriori de ocurrencia de cada A i. P( A i = P( A i P ( A 3 A 4 donde P( se puede calcular usando el teorema de la probabilidad total: P( = P( A 1 + P( A 2 + P( A 3 + ( A 4 = = P(A 1 P( A 1 + P(A 2 P( A 2 + P(A 3 P( A 3 + P(A 4 P( A 4

6 Ejemplo (II: En este aula el 70% de los alumnos son mujeres. De ellas el 10% son fumadoras. De los varones, son fumadores el 20%. Mujer Fuman Hombre Se elije a un individuo al azar y es fumador Probabilidad de que sea un hombre? 0,7 Mujer 0,1 0,9 Fuma No fuma P( H F P( H P ( F H P( H F P( F P( F P( H P ( F H P( H P ( F H P( M P ( F M 0,3 0, 2 0,3 0, 2 0,46 0,3 0, 2 0,7 0,1 0,13 Estudiante 0,3 Hombre 0,2 0,8 Fuma No fuma

7 Combinatoria: maneras de contar (sección 3.6 del libro Permutación de n elementos: es cada una de las formas en que se puede ordenar los n elementos Ejemplo: de cuántas formas pueden hacer cola 4 personas? el orden importa! Las llamaremos a, b, c, d

8 Combinatoria: maneras de contar Permutación de n elementos: es cada una de las formas en que se puede ordenar los n elementos Ejemplo: de cuántas formas pueden hacer cola 4 personas? el orden importa! Las llamaremos a, b, c, d

9 Combinatoria: maneras de contar Permutación de n elementos: es cada una de las formas en que se puede ordenar los n elementos Ejemplo: de cuántas formas pueden hacer cola 4 personas? el orden importa! Las llamaremos a, b, c, d

10 Combinatoria: maneras de contar Permutación de n elementos: es cada una de las formas en que se puede ordenar los n elementos Ejemplo: de cuántas formas pueden hacer cola 4 personas? el orden importa! Las llamaremos a, b, c, d Hay un total de 24 = = 4! El número de permutaciones de n elementos es Per(n = n! = n (n-1 (n

11 Combinatoria: maneras de contar Variación de k elementos de n elementos dados (o variaciones de orden k de n elementos: es cada una de las formas en que se puede ordenar k de los n elementos dados. Ejemplo: Si 7 personas hacen cola, de cuántas formas pueden ocupar los 3 primeros puestos? el orden importa, pero no usamos todos los elementos!

12 Combinatoria: maneras de contar Variación de k elementos de n elementos dados (o variaciones variación de orden orden k de k de n elementos: n es cada una de las formas en que se puede ordenar k de los n elementos dados. Ejemplo: Si 7 personas hacen cola, de cuántas formas pueden ocupar los 3 primeros puestos? el orden importa, pero no usamos todos los elementos! el orden importa, pero no usamos todos los elementos! Hay un total de = 7! / (7-3! El número de variaciones de orden k de n elementos: V(n,k = n (n-1... (n-k+1 = n! / (n-k!

13 Combinatoria: maneras de contar Combinación de n elementos tomados de k en k (o combinación de orden k de n elementos: es cada uno de los subconjuntos formado por k de los n elementos dados. Ejemplo: Quieres tomar un helado con 3 bolas y hay 5 sabores diferentes. Si tomas uno al día cuántos días necesitas para probar todas las opciones? NO importa el orden, NO usamos todos los elementos! Pista: si importara el orden en el se ponen las 3 bolas 1.- cuántas opciones tendrías? 2.- Fijados los 3 sabores, de cuántas formas distintas estarían ordenados? 1.- V(5, Per(3 Para eliminar el orden, divide: V(5,3/Per(3 El número de combinaciones n elementos tomados de k en k: C (n, k= n! k! (n k!

14 Otras fórmulas de la combinatoria

15 Otras fórmulas de la combinatoria Ejemplo: 1 er juego del caballero de Méré. Casos posibles: Vrep(6,4 = 6 ⁴ = 1296 Casos en los que no sale seis Vrep(5,4 = 5 ⁴ = 625 Probabilidad de perder = Probabilidad de ganar = Ejemplo: 2 o juego del caballero de Méré. Ejercicio (solución en pág 82 del libro

16 Qué hemos visto? Álgebra de sucesos Unión, intersección, complemento Probabilidad Definiciones Clásica Frecuentista Subjetiva Axiomática. Reglas de cálculo. Probabilidad condicionada. Independencia de sucesos Particiones disjuntas del espacio muestral Combinatoria Teorema probabilidad total. Teorema de ayes

17 untes/ficheros/estad_uma_04.ppt /Personal/personas/icascos/esp/ presentacion_probabilidad.pdf