f(x) dx = F (x) + C, siendo F (x) una antiderivada de f(x), es decir, siendo F (x) tal que F (x) = f(x)

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1 Cálculo de primitivs: f(x) dx = F (x) + C, siendo F (x) un ntiderivd de f(x), es decir, siendo F (x) tl que F (x) = f(x) L constnte C se denomin constnte de integrción; es un constnte rbitrri porque se le puede signr culquier vlor rel. L integrl indefinid de un función f es relmente un fmili de funciones. Sin embrgo, l integrl definid es un número. Si f es continu en [, b] y F es un ntiderivd de f en [, b], se verific que: b Propieddes de l integrl indefinid. f(x) dx = F (b) F () = F (x) L operción consistente en obtener l primitiv de un función dd se denomin integrción, que es l invers de l derivción. Por est rzón, utilizndo ls propieddes de l derivción es posible determinr lguns propieddes de l integrción. Ls siguientes propieddes de linelidd sirven pr descomponer integrles complicds en otrs más sencills: L integrl de l sum de dos funciones es igul l sum de ls integrles de cd un de ells. (f(x) + g(x)) dx = f(x) dx + g(x) dx L integrl del producto de un constnte por un función es igul l producto de l constnte por l integrl de l función. (α f(x)) dx = α f(x) dx Integrles inmedits: En l tbl siguiente se resumen ls regls de integrción de ls funciones más comunes. Es frecuente que l función integrr prezc primer vist un función no contempld en l tbl de integrles inmedits. No obstnte, veces bstn lguns sencills operciones ritmétics en dicho integrndo (reducir potencis, plicr fórmuls trigonométrics, rcionlizr frcciones, etcéter) pr obtener un integrl inmedit. Un truco muy socorrido pr convertir un integrl en inmedit consiste en buscr el logritmo. Si se consigue trnsformr el integrndo de mner que se compong de un numerdor que se l derivd del denomindor, l integrl será inmedit: el logritmo neperino de l función pertinente. x r dx = xr+ + C (r Q, r ) r + e x dx = e x + C dx = rcsin x + C x 2 b dx = ln x + C x dx = rctn x + C + x2 sin x dx = cos x + C cos x dx = sin x + C sec 2 x dx = tn x + C

2 Métodos de integrción: Ls operciones de integrción de funciones pueden llegr ser muy complicds. Pr fcilitrls se hn idedo diversos procedimientos generles, de los cules los más extendidos son los llmdos métodos de sustitución o cmbio de vrible y de integrción por prtes. Integrción por prtes. u dv = u b v du Se trt de expresr l función que queremos integrr como producto de otrs dos, de mner que:. Un de ells se l derivd de otr y conocid, es decir, podmos escribir nuestro integrndo de l form u dv. 2. L integrl de v du se más fácil que l de u dv. Ejemplo. Clculr: x cos x dx Utilizmos el método de integrción por prtes pr clculr est primitiv: [ ] u = x = du = dx x cos xdx = = x sin x sin x dx = cos x dx = dv = v = sin x = x sin x + cos x + C En generl, podemos decir que si se trt de integrr un función del tipo: f(x)g(x) dx donde f(x) es un polinomio y g(x) es un de ls funciones siguientes: e x, sin x, cos x, rcsin x, rctn x, ln x,... ; o bien f(x) es un función seno o coseno y g(x) es un función exponencil; puede resultr conveniente utilizr el método de integrción por prtes. Sustitución. Cmbio de vrible Est técnic consiste en introducir un nuev vrible t pr sustituir un expresión propid del integrndo, de mner que l expresión resultnte se más fácil de integrr. Si f(u(x))u (x)dx = F (u(x)) + C entonces f(t) dt = F (t) + C Cómo sber cuál es el cmbio de vrible decudo? Desgrcidmente no hy un respuest mágic que conteste l pregunt. A veces, tendremos que probr vrios cmbios de vrible hst conseguir uno bueno. Con l práctic iremos dquiriendo mejor intuición. Como norm generl, el cmbio de vrible nos tiene que servir pr simplificr l función, pr eliminr lgo molesto. Ejemplo. Clculr: sin 4 x cos x dx Utilizmos el cmbio de vrible sin x = t pr clculr est primitiv, pues se simplific notblemente: sin 4 x cos x dx = [ ] sin x = t = dt = cos x dx = t 4 dt = t5 5 + C = sin5 x + C 5 Conviene dr lguns otrs puts pr simplificr el trbjo del cálculo de primitivs: Funciones rcionles 2

3 . Dividir, si es necesrio, los polinomios. 2. Fctorizr el denomindor. 3. Expresr l función rcionl como sum de frcciones simples. 4. Integrr cd frcción simple. Funciones trigonométrics Un método que siempre funcion es relizr el denomindo cmbio universl: sin x = 2t + t 2 tn x/2 = t = cos x = t2 + t 2 dx = 2 dt + t 2 Aunque en determinds situciones se pueden utilizr otrs técnics o relizr otros cmbios de vrible más sencillos. Funciones irrcionles Ls primitivs de cierts funciones irrcionles son muy sencills de clculr después de relizr unos sencillos cmbios de vrible. En ocsiones bst con plicr l técnic de completr cudrdos pr conseguir un integrl inmedit o bien un integrl muy simple de clculr. Hy situciones en ls que result muy conveniente utilizr cmbios trigonométricos.. Clculr:. c. e. tn x dx x + x dx cos 5 x dx b. d. f. 2x 2 + 9x + x 3 3x 2 dx ln x dx x e x dx g. i. x 3 ( + x 2 dx h. ) 2 tn 2 x dx j. + e x dx e x cos x dx k. m. o. 3x + x 2 + 2x + 3 dx l. dx n sin x + 7 cos x 2x 5 3x 4 + x 3 3x 2 6x + x 5 2x 4 + 2x 3 4x 2 + x 2 dx p. x x 4 dx ln x dx x 2 x 3 x dx Estmos fmilirizdos con ls fórmuls de áres de figurs geométrics regulres tles como rectángulos, triángulos y circunferencis. En l figur djunt hemos representdo un región Ω limitd en su prte 3

4 form polr ni vicevers. A continución recogemos, sin demostrción, diverss fórmuls que permiten clculr l longitud de un curv pln y el áre de un superficie o el volumen de un cuerpo socidos curvs plns. En cd cso se supone que ls funciones que precen son continus trozos, o derivbles trozos, según hg flt pr que ls integrles estén bien definids. superior por l gráfic de un función continu no negtiv f, en su prte inferior por el eje x, l izquierd Áre de un figur pln por l rect x = y l derech por l rect x = b. El problem que nos plntemos es el siguiente: Qué número, si lo hubiese, puede ser considerdo como el áre de Ω? y = f (x) y = f (x) Ω b b Integrl definid: El áre de l figur es b f (x)dx, si f (x) 0 pr todo x [,b] El áre de l figur es b f (x) dx b f(x) dx R. El símbolo fue introducido por Leibniz y se llm signo integrl. En relidd es l S estird de Sum. Los números y b se denominn límites de integrción ( es el límite inferior y b es el límite superior). En l expresión b f(x) dx l letr x es un vrible mud ; en otrs plbrs, puede ser sustituid por culquier otr letr no utilizd hst el momento. Así, por ejemplo, no existe ningun diferenci entre b f(x) dx, b f(t) dt y b f(z) dz Tods ests expresiones designn l integrl definid de f de b. En l introducción este cpítulo se h proporciondo un plicción inmedit de l integrl definid: si f es no negtiv en [, b], entonces d el áre debjo de l gráfic de f. Propieddes de l integrl definid. A = L integrl definid cumple ls siguientes propieddes: f(x) dx = 0. b f(x) dx Cundo l función f(x) es myor que cero, su integrl es positiv; si l función es menor que cero, su integrl es negtiv. b (f(x) + g(x)) dx = b b f(x) dx + g(x) dx. 4

5 b b (α f(x)) dx = α f(x) dx. b f(x) dx = b f(x) dx. Si < c < b, entonces: b f(x) dx = c b f(x) dx + c f(x) dx 2. Clculr el áre del recinto limitdo por ls gráfics de f(x) = x 2 y g(x) = x 3 en el intervlo [, ]. Solución Teniendo en cuent que si f y g son dos funciones continus sobre el intervlo (, b) tles que f(x) g(x) pr todo x (, b), se tiene que el áre de l región limitd por ls curvs f y g y por ls rects verticles x = y x = b se puede clculr medinte l integrl: procedemos del modo siguiente: b (f(x) g(x)) dx, Pso. Representr grficmente ls funciones y l región de l que queremos clculr el áre. 0 Pso 2. Hllr los puntos de corte entre ls dos curvs. f(x) = g(x) x = 0, Pso 3. Como ls curvs se cortn eso signific que ningun de ls dos curvs está siempre por encim de l otr curv en R. Puede ocurrir dos coss: Si un de ls dos curvs (f(x) g(x) el intervlo [, ], se tiene que: x [, ]) está siempre por encim de l otr curv en Áre = (f(x) g(x)) dx En cso contrrio dividimos el intervlo [, ] en subintervlos de modo que en cd uno de ellos un de ls dos curvs está siempre por encim de l otr y podemos plicr el resultdo rrib menciondo. 5

6 En nuestro ejercicio se cumple que f(x) = x 2 x 3 = g(x) x [, ] por lo tnto Áre = (x 2 x 3 )dx = Clculr el áre encerrd por un elipse culquier. 4. Dibujr l región limitd por ls curvs siguientes y clculr el áre de dich región:. x + y 2 4 = 0, x + y = 2 b. x 2 2x 2y + 5 = 0, y 2 4y 2x + 6 = 0 5. Dd l función clculr su invers, si es que existe. f(x) = x 6. Clculr l siguiente primitiv 2x + A x dx en función del vlor de A. y = 8 x. 7. Se consider el recinto finito del plno limitdo por l rect x =, l prábol y = x 2 y l curv Trzr un esquem del recinto y clculr su áre. 8. Representr gráficmente y clculr el áre de l región (finit) limitd por ls curvs 9. Clculr l siguiente primitiv y = x y = x 2 x 2 A 2 x 2 + A 2 dx en función del vlor de A, teniendo en cuent que A > El rectángulo de vértices V = (0, 0), V 2 = (A, 0), V 3 = (0, A 2 ) y V 4 = (A, A 2 ) qued dividido en dos recintos por l curv de ecución f(x) = x(a x). Trzr un esquem de mbos recintos y clculr sus áres.. Hllr el áre del recinto limitdo por el eje de bsciss, l prábol y = x 2 y l rect tngente est prábol en el punto de bscis x = L curv y = x 3, su rect tngente en el punto x = 2 y el eje OX limitn en el primer cudrnte un recinto finito del plno. Dibujr un esquem gráfico de dicho recinto y clculr su áre. 6

7 3. El áre del recinto limitdo por l curv y = 2 x 2 y el eje de bsciss es 32/3. Hllr el vlor de. 4. Clculr l primitiv que sigue en función de y b x 2 e x+b dx 5. Se consider el rectángulo de vértices V = (0, 27), V 2 = (5, 27), V 3 = (5, 4) y V 4 = (0, 4). L curv y = x 3 divide dicho rectángulo en dos zons. Trzr un esquem gráfico y clculr el áre de cd zon. 6. Representr gráficmente y hllr el áre del recinto (finito) limitdo por l curv y = 2 x 2 y ls bisectrices de los cudrntes primero y segundo, situdo por encim del eje horizontl. 7. Clculr l siguiente integrl indefinid en función de los prámetros, b y c. e x ( x 2 + bx + c ) dx 8. Se P l prábol de ecución y = x(4 x), y se P 2 l prábol de ecución y = (x 4)(x 2). Dibujr un esquem gráfico del recinto finito del plno limitdo por dichs prábols. hllr el áre del recinto medinte cálculo integrl. 9. Representr gráficmente l función dd por { 4 x 2 si 2 x < 0 f(x) = 4 x si 0 x 4 y hllr el áre de l región limitd por l gráfic de f y el eje de bsciss. 20. L prábol y = 4 x 2, su rect tngente en x = y el eje OY limitn un recinto finito en el plno. Dibujr un esquem de dicho recinto y hllr su áre medinte cálculo integrl. 2. Hllr el áre de l figur OAB, en l que O es el origen de coordends, A = (, ), B = (2, ), los ldos OB y AB son segmentos rectilíneos y OA es un rco de l curv y = x 2. 7

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