Coordinación de Matemática II (MAT022)

Transcripción

1 Coordinación de Matemática II (MAT022) Segundo semestre de 2011 Semana 3: Lunes 28 de Noviembre al Sábado 3 de Diciembre. CÁLCULO Contenidos Clase 1: Cálculo de Antiderivadas. Sustitución. Clase 2: Integración por partes. CLASE Antiderivadas de funciones definidas por tramos Calcular la antiderivada de la función f (x) = x si x 1 3 si 1 < x < 2 2 x si x 2 Notar que en el intervalo x 1 la función es f (x) = x que las primitivas de f en el intervalo x 1 son de la forma F (x) = x C 1 de manera similar, en el intervalo 1 < x < 2 las primitivas son de la forma y en el intervalo x 2 las primitivas son de la forma luego los candidados a primitivas de f son F (x) = F (x) = 3x + C 2 F (x) = 2x x C 3 x C 1 si x 1 3x + C 2 si 1 < x < 2 2x x C 3 si x 2

2 pero recordar que la definición de primitiva necesitamos que F sea continua luego y x 2 lim x C 1 = C 1 = lim (3x + C 2) = 3 + C 2 x 1 + lim (3x + C 2) = 6 + C 2 = lim 2x x 2 x 2 x C 3 = 2 + C 3 C 1 = C 2 C 3 = 4 + C 2 entonces F (x) = = x C 2 si x 1 3x + C 2 si 1 < x < 2 2x x C 2 si x 2 x si x 1 3x si 1 < x < 2 + C 2 2x x 2 2 si x 2 notar que F (x) es continua y F (x) = f (x) salvo una cantidad finita de puntos Ejemplos propuestos 1. ( x 1 + x 3 )d x 2. x x 2 d x 1.2 Cálculo de antiderivadas por el método de sustitución El método de sustitución para el cálculo de primitivas, es un método basado en la regla de la cadena, nos permite obtener primitivas de cierto tipo de funciones a través de primitivas de funciones más sencillas. Recordemos la regla de la cadena: La derivada de una composición del tipo F g (x) esta dada por la expresión F g (x ) = F g (x ) g (x) entonces, si buscásemos una primitiva de la forma: F g (x) g (x )d x sería una función con F g (x) g (x) por derivada, luego la primitiva es F g (x) F g (x) g (x)d x = F g (x ) MAT022 (Cálculo) 2

3 Ahora suponga que la expresión a la cual queremos encontrar primitiva es del tipo f g (x ) g (x) entonces, si somos capaces de encontrar una función F tal que F = f se seguiría que f g (x) g (x) = F g (x) g (x) = F g (x) en resumen, el encontrar una primitiva de f g (x) g (x) se reduce a encontrar una primitiva de f, digamos F y luego la antiderivada de f g (x) g (x) será F g (x). Observación 1.1. f (x)d x denota las antiderivadas de f Teorema 1.1. Suponga que g es una función derivable con recorrido un intervalo I. Suponga también que f es continua en I entonces donde u = g (x). f g (x) g (x)d x = f (u )d u Dem: Si F es una antiderivada de f entonces F g (x) es antiderivada de f g (x) g (x) si hacemos la sustitución u = g (x) entonces f g (x) d g (x)d x = d x F g (x ) d x = F g (x) + C = F (u ) + C = = F (u )d u f (u )d u Observación 1.2. Desde el punto de vista de las diferenciales f g (x) g (x )d x = f (u ) d u d x d x = f (u )d u Ejemplo 1.1. Calcular x 2 cos x d x Desarrollo: Ponemos u = x entonces d u = 3x 2 d x luego d u 3 = x 2 d x x 2 cos x d x = = 1 3 cosu d u 3 cosu d u = 1 3 senu + C = 1 3 sen x C MAT022 (Cálculo) 3

4 Ejemplo 1.2. Calcular sin x x d x Desarrollo: Pongamos u = x entonces d u = 1 2 x d x luego 2d u = d x x por el teorema de sustitución que sen x x d x = = senu 2d u 2 sin(u )d u = 2 cos(u ) + C pero u = x de donde obtenemos Ejemplo 1.3. Calcular sin x x d x = 2 cos x + C x 1 2x 2 d x Desarrollo: Pongamos u (x) = 1 2x 2 entonces d u = 4xd x que d u 4 = xd x entonces x 1 2x 2 d x = d u 4 u = 1 2 u 1/2 + C = x 2 + C Ejemplo 1.4. Calcular 4 (1 + 2x) 3 d x Desarrollo: Poniendo u (x) = 1 + 2x d u = 2d x entonces 4 2 (1 + 2x) 3 d x = u d u = 1 3 u + C Ejemplos propuestos 1 = (1 + 2x) 2 + C Calcular 1.- e 2x 1 + e d x 3.- x x + 1 d x 6.- x 2 + 2x (lnx) 2 d x x 2.- cos 2 x sinxd x 5.- 3x x d x sin 3 xd x MAT022 (Cálculo) 4

5 CLASE Integración por partes Del calculo diferencial sabemos que la derivada de un producto de funciones f (x ) g (x ) es dada por f (x) g (x) = f (x) g (x) + f (x) g (x) si usamos la notación de primitivas tenemos f (x) g (x) d x = f (x) g (x)d x + f (x) g (x)d x así f (x) g (x)d x = f (x) g (x) f (x) g (x)d x esta igualdad es conocida como fórmula de integración por partes y da lugar a una nueva técnica para encontrar primitivas Para calcular una primitiva de la forma k (x)d x usando la fórmula anterior se han de encontrar dos funciones f y g de manera que k (x) se pueda escribir en la forma f (x) g (x) si esto es posible se tendrá k (x)d x = f (x) g (x) f (x) g (x)d x de manera que el cálculo de la primitiva se traslada a calcular f (x) g (x)d x. Para que el método sea eficaz se han de elegir f y g adecuadamente para que la integral f (x) g (x)d x sea más fácil de calcular que la original. En ocasiones se utiliza una notación abreviada para expresar esta fórmula en términos de diferenciales, pongamos u = g (x) d u = g (x)d x d v = f (x )d x v = f (x) u d v = u v v d u Ejemplo 2.1. Calcular x cosx d x Desarrollo: Se elige f (x) = x y g (x) = cosx de donde obtenemos f (x) = 1 y g (x ) = senx, en virtud de la fórmula de integración por partes x cosx d x = x senx senxd x = x senx ( cosx) + C = x senx + cosx + C observar que la segunda integral es fácil de calcular. el mismo calculo con la otra notación es u = x d u = d x d v = cosxd x v = senx MAT022 (Cálculo) 5

6 así u d v = u v v d u x cosxd x = x senx senxd x = x senx + cosx + C Observación 2.1. En el ejemplo anterior puede mostrar que la mala elección de las funciones lleva a una integral mas complicada que la primera. Ejemplo 2.2. Calcular lnxd x Desarrollo: Pongamos u = lnx d u = 1 x d x d v = d x v = x lnxd x = x lnx = x lnx x 1 x d x d x Ejemplo 2.3. Calcular x 2 e x d x = x lnx x + C Desarrollo: Pongamos u = x 2 d u = 2xd x d v = e x d x v = e x x 2 e x d x = x 2 e x 2 x e x d x podemos volver a aplicar inegración por partes para calcular x e x d x u = x d u = d x d v = e x d x v = e x x e x d x = x e x e x d x = x e x e x + C x 2 e x d x = x 2 e x 2(x e x e x + C ) = x 2 e x 2x e x + 2e x + C MAT022 (Cálculo) 6

7 Ejercicio 2.1. Plantear el problema de encontrar una fórmula para calcular para n la primitiva x n e x d x Ejemplo 2.4. Calcular la integral Aplicamos integración por partes e x cosxd x u = e x d u = e x d x d v = cosxd x v = senx e x cosxd x = e x senx e x senxd x volvemos a aplicar integración por partes pero a la integral e x senxd x u = e x d u = e x d x d v = senxd x v = cosx entonces e x senxd x = e x cosx e x ( cosx)d x = e x cosx + e x cosxd x e x cosxd x = e x senx e x cosx + e x cosxd x entonces e x cosxd x = e x senx + e x cosx e x cosxd x de donde obtenemos e x cosxd x = e x senx + e x cosx 2 + C Ejercicios propuestos 1. Calcular sen(lnx)d x 2. Use integración por partes para obtener las fórmulas de reducción (a) cos n x d x = cosn 1 x senx + n 1 cos n 2 x d x n n (b) x n cosxd x = x n senx n x n 1 senxd x (c) x n e x d x = x n e x n x n 1 e x d x MAT022 (Cálculo) 7

8 (d) (lnx ) n d x = x (lnx) n n (lnx) n 1 d x 3. Integración de las funciones inversas: Suponga que deseamos calcular f 1 (x)d x hacemos la sustitución u = f 1 (x ) entonces f (u ) = x y así d x = f (u )d u f 1 (x )d x = u f (u )d u si además aplicamos integración por partes f 1 (x )d x = x f 1 (x) f (u )d u (a) Calcular (b) Calcular arctanxd x arcsenxd x MAT022 (Cálculo) 8