SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES DE CADA EPÍGRAFE

Transcripción

1 Pág. Página 90 Observa este curioso y divertido juego (CARRERA DE MOTOS). Los movimientos de las motos vienen representados por flechas. Cada movimiento tiende a ser igual que el anterior, aunque el conductor puede modificarlo aumentando o disminuyendo un cuadradito en cada una de las dos direcciones de la trama. Esta pequeña libertad de actuación bien administrada permite realizar recorridos estupendos, como el de la moto roja. Pero si no se conduce bien te la das, como la moto negra. Métete en el juego y entiéndelo. En qué momento comete el grave error la moto negra? También la verde comete algún fallo. Intenta identificarlo. La moto negra comete el error en la antepenúltima flecha, porque no decelera ni gira lo suficiente. La moto azul comete un error en la penúltima curva, porque la hace muy cerrada y tiene que disminuir mucho la velocidad. Página 9 Representa los vectores AB y CD, siendo A(, ), B(, ), C(6, 0), D(, 6) y observa que son iguales. Comprueba que AB = CD hallando sus coordenadas. Calcula su módulo. B(, ) D(, 6) AB = (, ) (, ) = (, 6) AB = ( ) + 6 = = = A(, ) CD = (, 6) (6, 0) = (, 6) C(6, 0) CD = AB = = Unidad. Geometría analítica

2 Pág. Tenemos tres puntos de coordenadas: A(, ), B(, 6), C(0, 0) Halla las coordenadas del punto D para que los vectores AB y CD sean iguales. Llamamos (a, b) a las coordenadas del punto D. AB = (, 6) (, ) = (, ) CD = (a, b) (0, 0) = (a, b) Como AB = CD (, ) = (a, b) Las coordenadas del punto D son (, ). Página 9 a) Representa los vectores u = AB, v = BC, siendo: A(, ), B(, ), C(6, ) Halla sus coordenadas. b) Representa u + v y halla sus coordenadas. c) Representa u, u y 0v y halla sus coordenadas. d) Representa y halla las coordenadas del vector u v. a) u = AB = (, ) (, ) = (, ) v = BC = (6, ) (, ) = (, ) b) u (, ) u+ v = (, ) + (, ) = (, ) v (, ) c) u = (, ) = (9, 6) u= (, ) = ( 6, ) 0u = (0, 0) A(, ) u u + v B(, ) v C(6, ) u 0v u u Unidad. Geometría analítica

3 Pág. v u v d)u v = (, ) (, ) = = (9, 6) (8, 8) = (, ) u u Página 9 Dibuja en tu cuaderno dos vectores u y v que sean, aproximadamente, como los de la izquierda, y obtén gráficamente u v el vector u + v. u + v u u v v u (, 8), v (, 0), w (, 6). a) Halla las coordenadas de u v + 0w. b) Averigua el valor de x e y para que se cumpla que xu + yw = v. Unidad. Geometría analítica

4 Pág. a)u v + 0w = (, 8) (, 0) + 0(, 6) = = (, ) ( 8, 0) + (0, 60) = (9, 0) b) xu + y w = v x(, 8) + y(, 6) = (, 0) ( x, 8x) + (y, 6y) = (, 0) x + y = 8x + 6y = 0 0x 6y = 8 8x +6y = 0 8x = x = 8 + 6y = 0 6y = y = Luego: u w = v Página 9 Halla las coordenadas del punto medio de los siguientes segmentos: a) A(, ), B(, ) b) P(, ), Q(, ) c) R(, ), S(, ) d) A(, ), B(, 0) a) M = + (, + ) ( = (, ) b) M =, + ) = (, ) c) M = + (, + ) ( = (, ) d) M = +, + 0 ) ( =, ) Halla las coordenadas del punto simétrico de A respecto de P en los siguientes casos: a) A(, ), P(, ) b) A(, ), P(, ) a) Llamamos A'(x, y) al punto simétrico de A respecto de P. El punto P será el punto medio del segmento de extremos A y A'. + x = = + x x = 8 + y = = + y y = Las coordenadas de A' ( 8, ) son b) A'(x, y) + x = 0 = + x x = 8 + y = = + y y = 6 Las coordenadas de A' son (8, 6) Unidad. Geometría analítica

5 Pág. Página 9 Comprueba si R(, ), S(, ) y T(, ) están alineados. RS = (, ) = (, 8) 8 RS no es paralelo a ST. ST = (, + ) = (0, ) 0 Los tres puntos, R, S y T, no están alineados. Averigua el valor de a para que los puntos R(, ), S(, ) y Q(a, ) estén alineados. RS = (, 8) SQ = (a, ) Para que R, S y Q estén alineados, se ha de cumplir que: = 8 = a = 9 a a Luego, a =. Dados los puntos A(0, ), B(, ), P(x, y), averigua qué relación deben cumplir x e y para que P esté alineado con A y B. AB = ( 0, ) = (, ) AP = (x 0, y ) = (x, y ) Para que P esté alineado con A y B = x y (y ) = x y = x y = x + La relación buscada entre x e y es y = x +. Averigua el valor de t para que A(, ), B(, ) y C(t, t) estén alineados. AB = (, ) = (6, ) AC = (t, t ) A, B y C estarán alineados si 6 = 6(t ) = (t ) t t t = t + t = t = En la figura de la derecha cómo es posible que el rectángulo, que tiene = 6 cuadritos, se pueda descomponer en los mismos cuatro fragmentos que el cuadrado, que tiene 8 8 = 6 cuadritos? El secreto está en que los puntos OABC no están alineados. O II A I I B II C I I II II Unidad. Geometría analítica

6 Pág. 6 Compruébalo tomando O(0, 0), A(, ), B(8, ), C(, ) y probando que el vector OA no es paralelo al vector AB. OA (, ) y AB = (8, ) = (, ); OC (, ) OA y AB no son paralelos, pues. OC y AB no son paralelos, pues. Los puntos O, A, B y C no están alineados. Página 96 Halla la ecuación de la recta que pasa por: a) A(, ), B(, ) b) A(, 6), B(8, ) a) Un vector dirección es AB (, ); otro vector dirección es d (, ) la pendiente es: m = La ecuación es y = (x ) y = x b) AB (, 8) es un vector dirección m = 8 La ecuación será y 6 = 8 (x ) y = 8 x + Halla la ecuación de la recta que pasa por (, ) y tiene por vector dirección (, ). d (, ) la pendiente es: m = La ecuación es: y + = (x ) y = x Halla la recta paralela a x 6y + = 0 que pasa por (0, ). La pendiente de la recta x 6y + = 0 es el coeficiente de la x cuando la y está despejada: y = x + m = Por ser la recta pedida paralela a x 6y + = 0, la pendiente es la misma: m = 6 Así: y = + x 6 0 Unidad. Geometría analítica

7 Pág. Halla la recta paralela a y 0 = 0 que pasa por (, ). La recta y 0 = 0 es una recta paralela al eje X, luego m = 0. La recta que pasa por (, ) y tiene pendiente m = 0 es y =. Página 9 Da tres vectores perpendiculares a ( 6, ). Tres vectores perpendiculares a ( 6, ) son: (, 6), (, ) y (, 8) 6 Halla la ecuación de la recta que pasa por P (, ) y es perpendicular al vector v (, ). El vector (, ) es perpendicular a v y, por tanto, es un vector dirección de la recta buscada: m = y = (x ) y = x La recta r pasa por (, 0) y la recta s, por (, ). Ambas son perpendiculares a x +y = 0. Halla sus ecuaciones. Pendiente de la recta x + y = 0: y = x + m = Pendiente de r = pendiente de s m = = m Ecuación de r: y = (x ) y = x Ecuación de s: y = + (x + ) y = x + Página 98 Representa r y s y da tres vectores paralelos y tres perpendiculares a ellas: r : x = 0 s: + y = 0 r r: x = 0 x = Vectores paralelos: (0, ), (0, ), (0, ) Vectores perpendiculares: (, 0), (, 0), (, 0) s Unidad. Geometría analítica

8 Pág. 8 s: + y = 0 y = Vectores paralelos: (, 0), (, 0), (, 0) Vectores perpendiculares: (0, ), (0, ), (0, ) Las rectas r y s pasan por el punto (, ). r es paralela a y + = 0, y s es perpendicular a ella. Representa r y s y da sus ecuaciones. y a partir de ella, representa- Representamos la recta y + = 0 y = mos r y s. r es una recta paralela a y = que pasa por (, ) su ecuación es y = s es una recta perpendicular a y = (paralela al eje Y ) que pasa por (, ). Su ecuación es x =. Y s X r y = Página 99 s: x 6y = 0, P(, ). Halla las ecuaciones de r y r sabiendo que: r pasa por P y es paralela a s. r pasa por P y es perpendicular a s. s: x 6y = 0 y = x m = Ecuación de r : su pendiente es m =. Pasa por P(, ). y = + (x ) y = 6 + x 0 x y = 0 Ecuación de r : su pendiente es =. Pasa por P(, ). m y = (x ) y = x + x + y 9 = 0 Halla el punto donde se cortan las rectas r y s, y represéntalas: r: x 6y = 0 s: x + y = 0 Unidad. Geometría analítica

9 Pág. 9 Para hallar el punto de corte, resolvemos el sistema formado por ambas ecuaciones: x 6y = 0 x +y = 0 x + y + = 0 x +y = 0 0y 0 = 0 y = Sustituyendo en la - a x + = 0 x = El punto de corte es (, ). Para representarlas, buscamos un punto más de cada una: r: haciendo x = 6 6y = 0 y = Pasa por (, ). s: haciendo y = x + = 0 x = Pasa por (, ). s r 6 Página 00 Halla las distancias entre los siguientes pares de puntos: a) A(, ), B(, ) b) A(, ), B(, ) c) A(, ), B(0, ) d) A(, ), B(0, 0) a) dist(a, B) = ( ) + ( ) = + = 69 = b) dist(a, B) = ( ) + ( ) = + = = c) dist(a, B) = ( 0) + ( ) = + = 88 6,9 d) dist(a, B) = ( 0) + ( + 0) = + = 69 = Halla las longitudes de los lados del triángulo cuyos vértices son A(, 6), B(, 9) y C(, 0). AB BC AC = ( ) + (9 + 6) = 8 + = 89 = = ( ) + (0 9) = 9 = 9 = ( ) + (0 + 6) = = 00 = 0 Unidad. Geometría analítica

10 Pág. 0 Calcula y para que la distancia de A(, y) a B(, ) sea igual a. dist(a, B) = ( + ) + ( y ) = + ( y ) = Elevamos al cuadrado: + (y ) = + (y ) = 69 (y ) = y = y = 6 y = ± y = y = Hay dos soluciones: y =, y = 6 Unidad. Geometría analítica