Dpto. Física y Mecánica

Transcripción

1 Dpto. Físca y Mecánca Mecánca analítca

2 Introduccón Notacón Desplazamento y fuerza vrtual Fuerza de lgadura Trabao vrtual Energía cnétca. Ecuacones de Lagrange Prncpode los trabaos vrtuales Prncpo de D Alembert Ecuacones generales de Lagrange Momento generalzado Integrales prmeras. Coordenadas cíclcas Coordenadas generalzadas Espaco de confguracón Velocdades generalzadas Lgaduras o enlaces Clasfcacón de los sstemas Grados de lbertad

3 Introduccón En la formulacón newtonana de la mecánca, dadod un sstema, las ecuacones que descrben su movmento se obtenen a partr de la segunda ecuacón de Newton, que es una ecuacón vectoral. Para ello se escogen coordenadas d y se expresan las velocdades y aceleracones (magntudes vectorales) de todas las partículas ntegrantes del sstema en funcón de las coordenadas elegdas y sus dervadas prmeras y segundas respecto al tempo.

4 Introduccón Es posble realzar un enfoque dferente de la mecánca en el que las magntudes fundamentales son escalares y las ecuacones fundamentales del movmento se obtenen medante un proceso sstemátco de dervacón de tales funcones. Este planteamento se conoce como mecánca analítca y admte dos formulacones: la lagrangana y la hamltonana.

5 Notacón. Coordenadas generalzadas. Espaco de confguracón Cada una de las N partículas de un sstema t tene, en un sstema de referenca 3D, 3 coordenadas (x,y,z) Por lo que tenemos 3N coordenadas ndependentes que se denotan por q =,..3N x, y, z,..x N, y N, z N son las varables ndependentes q tambén denomnadas coordenadas generalzadas, que srven para determnar en forma completa el estado de un sstema formado por las partículas.

6 Notacón. Coordenadas generalzadas. Espaco de confguracón Unsstema de coordenadas d generalzadas es cualquer conunto de varables que permten defnr sn ambgüedad la poscón del sstema dnámco en consderacón Npartículas=,..N Varables ndependentes, en ausenca de lgaduras, =,.3N Tales coordenadas pueden ser cartesanas, clíndrcas o de cualquer otro sstema de coordenadas

7 Notacón. Velocdad generalzada El espaco que determnan se denomna espaco de confguracón q. Al evoluconar el sstema en el tempo, las coordenadas generalzadas camban con el tempo y podemos defnr las velocdades generalzadas. q

8 Notacón. Lgaduras o enlaces Una lgadura de un sstema representa una lmtacón al movmento del msmo. Cuando la lgadura establece una relacón entre las coordenadas del sstema velocdad y tempo, de la forma se denomna lgadura a cnemátca. ca

9 Notacón. Lgaduras o enlaces Cuando la lgadura es ndependente de las velocdades se denomna lgadura geométrca o fnta. Sempre es posble pasar de una lgadura geométrca a una cnemátca por smple dervacón. Sn embargo no sempre es posble pasar de una lgadura cnemátca a una geométrca por ntegracón de la lgadura cnemátca ya que ésta no sempre es ntegrable. S en la lgadura, geométrca o cnemátca, no aparece explíctamente el tempo se dce que es estaconara.

10 Notacón. Tpos de lgaduras Tpos de lgaduras o enlaces. Los enlaces pueden ser unlaterales o blaterales Unlaterales: cuando el punto puede abandonar la superfce por alguna de sus partes. S lo abandona por arrba y s lo abandona por abao Blaterales: cuando el punto no puede abandonar la superfce por nnguna de sus partes.

11 Notacón. Clasfcacón ó de los sstemas Se denomnan sstemas holónomos, aquellos que tenen todas sus lgaduras geométrcas, no dependen de la velocdad No dependen de la velocdad (geométrca) S depende de la velocdad (cnemátca) pero es ntegrable No depende del tempo (estaconara) No holónomo Depende de la velocdad (cnemátca) y no es ntegrable

12 Notacón. Grados de lbertad S el sstema t tene lgaduras, no es lbre, el número de grados de lbertad vene defndo por la dferenca entre el número total de dmensones (3N) y el número de lgaduras (k) n=3n-k

13 Notacón. Grados de lbertad Se puede elegr un sstema de n coordenadas ndependentes, desgnado como q q, q 2, q 3, q n que especfcan perfectamente la confguracón del sstema y quesedenomnancoordenadas generalzadas propas y el espaco n dmensonal correspondente se denomna espaco de confguracón propo.

14 Vl Velocdad dden coordenadas d generalzadas y cartesanas La poscón de una partícula depende de sus coordenadas y t La velocdad, en coordenadas generalzadas (para la partícula ) v q q dr r q r q r r r r n = = +..., + + = +..., + n + dt q t qn t t q qn t Y en cartesanas v dr r x r x r x r r r = = = + dt x t x t x t t x t q 2 2 =

15 Vl Velocdad dden coordenadas d generalzadas y cartesanas La velocdad se expresa por dr r q r qn r r r r v = = +..., + + = +..., + q q n + dt q t q t t q q t n v dr r r dt q t n = = q + = n v q = r q d v v = dt q q

16 Desplazamento vrtual El desplazamento vrtual se expresa por, es un operador dferencal por lo que actúa de forma smlar a dr y se caracterza por ser un desplazamento nfntesmal de la poscón de una partícula, realzado nstantáneamente Este desplazamento aparte de nstantáneo es arbtraro, no relaconado con el movmento real de la partícula en el nstante consderado. δr Es hpotétco e magnaro, y compatble con las lgaduras

17 Desplazamento vrtual Los desplazamentos vrtuales más útles son los que respetan los vínculos, y por tanto no volan las condcones de lgadura del sstema y se denomnan desplazamento compatbles con los vínculos. r r r δ = q q q δ q δ δ r = n r qq = δ q n n

18 Fuerzas de vínculo La ntroduccón de lgaduras en un sstema mecánco lleva al concepto de fuerza de vínculo que es la que se eerce sobre la partícula para forzar al cumplmento de la lgadura. Esta fuerza de vínculo se dferenca de la fuerza aplcada, que es aquella determnada ndependentemente de cualquer otra fuerza, dando sólo las poscones de las partículas.

19 Fuerzas de vínculo Las fuerzas de vínculo se caracterzan porque pueden ser tan grandes en magntud como sean necesaras para mponer la lgadura, lo cual es una dealzacón de los vínculos reales. Las fuerzas que actúan sobre una partícula del sstema es F = F a + F l S el sstema está en equlbro la fuerza de lgadura se anula

20 Energía cnétca. Ecuacones de Lagrange La energía cnétca de un sstema de partículas se puede expresar en funcón las coordenadas y velocdades generalzadas. v dr r r = = + dt q t n q + = N N n 2 r r T = mv = m q + = 2 = 2 = q t 2

21 Energía cnétca. Ecuacones de Lagrange N N T T v v v = = m 2 v mv q v q = 2 = q = q N N T r 2 r dr = mv m q q = 2 = = q dt

22 N N d T d r dr d r dr d dr r = m = m + m = dt q dt = q dt = dt q dt dt dt q dv r v dv r v = m m m m N N N + v = + v = dt q q = dt q = q d dt q dt q q N N T dv r 2 = m + mv = 2

23 Energía cnétca. Ecuacones de Lagrange d T T N dv r = m + = dt q dt q q N dv r = m = d T T dt q q dt q

24 Trabao vrtual El Trabao vrtual de una fuerza es el trabao que realza esta fuerza durante un desplazamento vrtual. N dw = F δ r = r r dw = F r = F q = F q = Q q N N n N n N δ δ δ δ = = = q = = q =

25 Trabao vrtual Al térmno N dw = Q δ q = n = F r q = Q se denomna fuerza generalzada asocada a la coordenada generalzada q por ugar un papel equvalente en la expresón del trabao vrtual análogo al que uega la fuerza cuando se expresa en el espaco trdmensonal.

26 P Prncpo de los trabaos vrtuales t El Prncpo de los trabaos vrtuales postula que, en un sstema en equlbro, la suma de los trabaos vrtuales de todas las fuerzas de vínculo de un sstema es nula para cualquer conunto de desplazamentos vrtuales, compatbles con los vínculos, de las partículas del sstema N l F = δ r = 0

27 P Prncpo de los trabaos vrtuales t S el sstema está en equlbro, la fuerza actuante sobre cada partícula ha de ser cero F = F + F = a l En un desplazamento vrtual Y como por hpótess entonces 0 N ( a l) δ == N l F δ r = 0 N = a F δ r = 0 = δw = F + F r = 0

28 P Prncpo de los trabaos vrtuales t de D Alambert D Alembert generalzó el Prncpo de los trabaos vrtuales a sstemas en movmento fuera de las condcones de equlbro. La fuerza de nerca que actúa sobre una partícula es la suma de la fuerza aplcada yla fuerza de lgadura; esta fuerza, por otro lado es gual a la varacón de la cantdad de movmento respecto al tempo, por lo que F F F ma p = a + l = =

29 Prncpo de los trabaos vrtuales de D Alambert Suponendo un desplazamento vrtual se tene Y como N a l ) ( F ) + F p δ r = 0 = Se tene o ben N l F = δ r = 0 N ( a F ) p δ r == = 0 N a dv F m δ r = 0 = dt

30 Fuerzas conservatvas Cuando las partículas del sstema están sometdas exclusvamente a fuerzas conservatvas, es decr a fuerzas que dervan de un potencal U,setene F ac = U N = U = U La fuerza generalzada, se expresa por r r U U Q F c U n n n a ( ) = = = = = q = q = q q

31 Fuerzas conservatvas Susttuyendo en las ecuacones de Lagrange anterores se tene Q c U d T T = = q dt q q d ( T U) ( T U) =0 0 dt q q Denomnando L=T-V = 0 d L L dt q q

32 Fuerzas conservatvas y no conservatvas Cuando el sstema está sometdo a fuerzas tanto conservatvas como no conservatvas, se tene para la fuerza generalzada N N N a c a nc r r a nc r Q = = ( ) ( F + F ) U + F = q q q = = = N U nc U = + Q = + Q q q = nc

33 Fuerzas conservatvas y no conservatvas U nc d T T + Q = + q dt q q d L L nc = Q dt q q

34 Momento generalzado Se defne el momento generalzado conugado de la coordenadas q a p L = qq Como q puede ser una coordenada lneal o angular, el momento generalzado tene dmensones de momento lneal o momento angular respectvamente.

35 Coordenadas d cíclcas Partendo de las ecuacones de Lagrange expresadas de la forma p L L = 0 q S la funcón lagrangana L no depende explíctamente de la coordenada q, o expresado de otra forma, s L = 0 qq el momento generalzado correspondente se conserva p = cte

36 Coordenadas d cíclcas S el momento generalzado correspondente se conserva p = cte La coordenada q es una coordenada cíclca o gnorable. Las expresones movmento L qq = 0 son ntegrales prmeras del