Introducción a la mecánica analítica

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1 Prof. Jesús Hernández Trujllo Facultad de Químca, UNAM. Mecánca analítca y fscoquímca. La mecánca clásca estuda los movmentos de los cuerpos macroscópcos y las fuerzas que los orgnan. Hay dos tratamentos generales en el estudo de esta rama de la físca. En la dnámca vectoral se aplcan drectamente las leyes de Newton, que en general son de caracter vectoral, sempre que se cuente con nformacón explícta sobre las fuerzas nvolucradas en los componentes de un sstema. Adconalmente, se defne un conjunto de conceptos útles tales como los de trabajo, energía y momento lneal, entre otros, para analzar medante ellos el movmento de los objetos en una gran varedad de stuacones. Con estas cantdades escalares y vectorales y con las leyes de Newton, se dseñan procedmentos de solucón para una gran dversdad problemas. Esta es la manera habtual de abordar el tema en los lbros de físca para cencas e ngenerías. Por otro lado, en la mecánca analítca se enfatza el uso de cantdades escalares para el sstema como un todo y se ntroducen funcones adconales el Lagrangano y el Hamltonano en un tratamento que conduce a formas alternas de las ecuacones de movmento. Esta metodología es utlzada con más frecuenca por los físcos y presenta algunas ventajas para la solucón de problemas específcos y tambén para el desarrollo de la estructura formal de la teoría. Lejos de ser exhaustvo, este texto hace una breve presentacón de algunos aspectos del formalsmo de la mecánca analítca como base físca de la fscoquímca (en partcular, de la químca cuántca y la termodnámca estadístca) la cual a su vez da un frme soporte a la químca. A lo largo del texto se resuelven ejerccos que, aunque sencllos, permten lustrar la correspondenca que hay entre la aplcacón de la mecánca newtonana y la mecánca analítca. Tambén, se aprovecha la oportundad que ofrece la mecánca analítca para la aplcacón de la transformada

2 . SEGUNDA LEY DE NEWTON. de Legendre (la cual se descrbe en el Apéndce A) al pasar de la representacón Lagrangana a la Hamltonana. Se debe aclarar que en este documento no se dscute la relacón entre la mecánca analítca y la fscoquímca sno que sólo se presentan algunos de sus fundamentos. Dos objetvos partculares mportantes son: () defnr el espaco de fase y () descrbr las crcunstancas en que la energía mecánca de un sstema está dada por su Hamltonano, como se hace en con frecuenca en químca cuántca y termodnámca estadístca. Para un tratamento detallado de la mecánca analítca, se proporconan algunas referencas bblográfcas al fnal del documento.. Segunda ley de Newton. En mecánca clásca, las fuerzas cuantfcan las nteraccones. Para un sstema den partículas con masas{m } {m =,,...,N}, la ecuacón de movmento para la -ésma de ellas es la segunda ley de Newton: dv F = m dt = d[mv ], () dt donde v es el vector velocdad y F es la fuerza resultante ejercda sobre la partícula. Además, la aplcacón de esta ley supone que el movmento de las partículas se analza en relacón a un sstema de referenca nercal. a Esta ecuacón tambén puede expresarse en térmnos del momento lneal, p = m v, para tomar la forma: F = ṗ. () Es decr, la fuerza que actúa sobre la partícula es la dervada temporal de su momento lneal, ṗ. De esta manera, la fuerza mde la razón de cambo del estado de movmento de la partícula debdo a las nteraccones de ésta con su entorno. Adconalmente, la fuerza resultante provene de la accón de las fuerzas nternas ejercdas por las demás partículas del sstema y posblemente algún agente externo. Además, las velocdad de la -ésma partícula es la dervada temporal del vector de poscón que defne su trayectora,dv = dr /dt, donder (t) = (x (t),y (t),z (t)). S se cuenta con nformacón sufcente sobre el conjunto de fuerzas que actúan sobre las partículas, {F }, es posble conocer la evolucón temporal de un sstema al a Un sstema de referenca nercal es aquél que se mueve a velocdad constante respecto a otro nercal.

3 3. TRABAJO Y ENERGÍA. 3 resolver la ecuacón () para condcones ncales específcas dadas por poscones y momentos en t = t 0, es decr, los conjuntos {r,0 = r (t 0 )} y {p,0 = p (t 0 )}. Como resultado, se obtene el conjunto {r (t)} que comprende las trayectoras de las partículas. Ejemplo: Consderar una partícula de masa m que se mueve en una dmensón bajo la nfluenca de una fuerza regda por la ley the Hooke, F = kx. En este caso, la ecuacón de movmento es con solucón kx = m d x dt x(t) = Asen(ωt+φ), donde ω = k/m es la frecuenca crcular. En este caso, la ampltud, A, y la fase, φ, son las constantes de ntegracón de la ecuacón dferencal. La anteror, es la expresón general de la trayectora que sgue la partícula. El sguente paso consste en nvolucrar las condcones ncales, es decr, la poscón y el momento lneal (o la velocdad, la cual conduce a p = mv) en un nstante dado, x 0 = x(t 0 ) y v 0 = v(t 0 ) para obtener una solucón partcular de la ecuacón de movmento. Con ellas, se resuelve el sstema de ecuacones x 0 = Asen(ωt 0 +φ) v 0 = Aωcos(ωx+φ) y se obtenen los valores de A y φ y, por lo tanto, una trayectora específca del sstema. O sea, al resolver la ecuacón de movmento del osclador armónco y defnr las condcones ncales, es posble conocer el movmento futuro del sstema osclatoro en cualquer nstante. 3. Trabajo y energía. Hasta este punto, el uso de la segunda ley de Newton de manera drecta requere el conocmento de nformacón explícta de las fuerzas que actúan sobre un sstema.

4 3. TRABAJO Y ENERGÍA. 4 Medante las defncones de trabajo y energía, en combnacón con la segunda ley, es posble estudar la dnámca de los sstemas sn nvolucrar drectamente a las fuerzas. El trabajo realzado por las fuerzas que actúan sobre el sstema para llevarlo de un arreglo espacal a otro, se defne medante la ntegral de línea W = F dr. (3) Por lo tanto, el trabajo depende de la trayectora r (t) que sgue cada partícula al r del arreglo al. Además, b dado que d(v v)/dt = v dv/dt, entonces F dr = F = m dr dt dt }{{} dr =v dt d(v v ) dt = m dv dt }{{} ec. () dt = m v dt (4) dv dt dt, donde v = v v es el cuadrado de la magntud del vector velocdad, es decr, de la rapdez. Al susttur este resultado en (3), se obtene W = F dr = m dv dt dt Y como la dferencal c de v es d[v ] = [d(v )/dt]dt, entonces: Es decr, W = W = m d[v ] = mv, mv, m v,., (5) donde v, es la rapdez de la partícula en el estado y v, en el estado. Ahora, es convenente defnr la energía cnétca de la -ésma partícula, K = m v, (6) b Utlzar d(a b)/dt = a (db/dt)+(da/dt) b. c La dferencal de una funcón de una varable, f(t), se defne como df = [df(t)/dt]dt.

5 3. TRABAJO Y ENERGÍA. 5 y la del sstema completo, K = K. (7) Al susttur (6) y (7) en (5) se obtene el teorema del trabajo y la energía: W = K K = K, (8) donde K y K son las energías cnétcas del sstema en el estado ncal y fnal, respectvamente. Este resultado establece que el trabajo realzado sobre un sstema de partículas es gual al cambo en la energía cnétca debdo al proceso. Nótese que no se ha agregado nnguna ley físca adconal a la teoría sno que se ha reescrto la ecuacón de movmento en la forma (8). Así, se abre la puerta para estudar las nteraccones que ocurren a un sstema en térmnos energétcos sn necesdad de conocer la forma explícta de las fuerzas que actúan sobre él sno utlzando nformacón energétca accesble expermentalmente. d Un caso especal es aquél donde las fuerzas pueden ser obtendas a partr de un potencal, F = V(r,r,...,r N ), (9) donde el gradente se calcula respecto a las coordenadasr. En este caso, el trabajo, (3), toma la forma: e F (e) dr = V dr = dv = (V, V, )) donde V, y V, son los valores del potencal en las confguracones y, respectvamente. Por lo tanto, en térmnos de energía potencal, el trabajo es W = V +V = V. (0) d En químca, la stuacón más habtual consste en estudar los procesos en térmnos energétcos (por medo de las leyes de la termodnámca) y no en térmnos de fuerzas. Y aunque con frecuenca se habla de fuerzas de nteraccón, en realdad se obtenen conclusones basadas en nformacón energétca. Por ejemplo, al hablar de la fuerza del enlace químco en una molécula datómca, usualmente se refere a las energías de dsocacón. e La dferencal total de una funcón de n varables, g(r) = g(x,x,...,x n ), es ( g dg = x = ) ( ) g dx + x g ( g x, g x,..., x n ( g dx x n ) dx n ) (dx,dx,...,dx n ) = g dr,

6 3. TRABAJO Y ENERGÍA. 6 Esto sgnfca que, en el caso de una fuerza dervable de un potencal, la ntegral de línea que defne al trabajo es ndependente de la trayectora; W sólo depende de los estados ncal y fnal del sstema. Al gualar (8) y (0) se obtene la conservacón de la energía mecánca, E = K +V, al llevar al sstema de la confguracón a la : E +V = K +V () A las fuerzas dervables de un potencal se les llama fuerzas conservatvas y los sstemas sobre las que éstas actúan se conocen como sstemas conservatvos. Ejemplo: Un sóldo rígdo es aquél en que las dstancas entre las partículas que lo componen,r j, están fjas. Se trata de un sstema conservatvo; al ser constantes las dstancas, las contrbucones al potencal son constantes, V = V,0, y F = V,0 = 0. Un caso de sóldo rígdo es el de dos masas undas por una barra rígda con peso desprecable. En este caso, aunque el objeto esté grando, la dstanca entre ellas es constante y, por lo tanto, V(r) = V 0 tambén es constante. Dado que F = V 0 = 0 para todo V 0, es posble escoger V 0 = 0 como referenca. Ejemplo: La nteraccón entre dos cargas puntuales q y q con vectores de poscón r y r, respectvamente, está dada por la ley de Coulomb: ( ) q q V(r) = V( r r ) = 4πε 0 r, donde ε 0 es la permtvdad del vacío. Aquí, r = r r es el vector tene por punto ncal a r y fnal a r. Además, r = r es la dstanca de separacón entre las cargas. La fuerza ejercda entre ellas es f ( ) q q F = V = 4πε 0 r 3r f Se puede utlzar la dentdad r n = nr n r con n =.

7 4. RESTRICCIONES. 7 Además, de acuerdo con (0) el trabajo realzado al llevar las cargas de una dstanca r a r es ( )[ q q W = V = ] 4πε 0 r r 4. Restrccones. En el desarrollo de la teoría, es necesaro tomar en cuenta las restrccones que puedan lmtar el movmento de un sstema. En ocasones, estas restrccones son de la forma f (r,r,...,r N,t) = 0, =,,...,k, () y se llaman restrccones holonómcas. Con frecuenca, las ecuacones de restrccón no dependen del explíctamente tempo. Las fuerzas de restrccón no son conocdas de antemano y deben ser obtendas a partr de su efecto sobre el movmento del sstema. En el ejemplo de la fgura, la restrccón es la línea recta c x + c y = 0 debda a la cuerda tensa. Asmsmo, en consecuenca de las restrccones, las coordenadas de las partículas dejan de ser ndependentes. 5. Coordenadas generalzadas. Resulta convenente utlzar coordenadas generalzadas para descrbr la dnámca de un sstema. Mentras que un sstema de N partículas sn restrccones tene 3N grados de lbertad, en uno con k restrccones holonómcas éste se reduce a l = 3N k. Por lo tanto, hay l coordenadas generalzadas, {q} {q,q,...,q l }, que se relaconan con las coordenadas cartesanas, {r} {r,r,...,r N }, medante las ecuacones de transformacón: r =r (q,q,...,q l,t) r =r (q,q,...,q l,t). (3) r N =r N (q,q,...,q l,t)

8 6. ESPACIO DE CONFIGURACIÓN. 8 Ejemplo: En el movmento de una partícula sobre la superfce de una esfera de rado r, es convenente la transformacón a coordenadas esfércas, (x,y,z) (r,θ,φ), sujeto a la restrccón x +y +z r = 0. En este caso, hay l = grados de lbertad y las coordenadas generalzadas son q θ y q φ. 6. Espaco de confguracón. En un nstante dado, el conjunto de coordenadas generalzadas, {q }, corresponde a un arreglo o confguracón de las partículas del sstema. El conjunto de todas las posbles confguracones consttuye el llamado espaco de confguracón en el que un arreglo específco corresponde a un punto en este espaco. La evolucón temporal de las coordenadas generalzadas se representa por una trayectora en el espaco de confguracón. Ejemplo: Consderar dos vehículos que se mueven en una línea recta a velocdad constante como se muestra en la fgura. En este caso, el espaco de confguracón es de dmensón y comprende como coordenadas generalzadas a la coordenada x A de la prmera partícula y la x B de la segunda. g g Aquí se ha utlzado la aproxmacónde partícula; en ella, cada objeto está representado por un punto, como por ejemplo su centro de masa.

9 7. TRABAJO VIRTUAL. 9 El movmento smultáneo de ambos vehículos defne una curva en el espaco de confguracón que conecta a las confguracones ncal y fnal, (x A,x B ) y (x A,x B ), respectvamente. Dado que en este caso éstos se mueven a velocdad constante y el tempo transcurre de la msma manera para ambos, entonces t = (x A x A )/v = (x B x B )/v es una recta en el plano x A x B. Adconalmente, la nterseccón entre las líneas punteadas y la línea sólda que representa la trayectora en el espaco de confguracón muestra el par (c,c) donde el automóvl rebasa al camón. 7. Trabajo vrtual. Se defne un desplazamento vrtual como un cambo arbtraro nfntesmal, δr, en las coordenadas que es consstente con las fuerzas y restrccones mpuestas sobre un sstema suponendo que no transcurre el tempo. En contraste, un cambo nfntesmal real de las coordenadas, dr, sí puede nvolucrar un cambo en las fuerzas y restrccones del sstema. De manera correspondente a un desplazamento vrtual, se defne el trabajo vrtual. Para un sstema en equlbro, la fuerza neta que actúa sobre cada partícula vale cero, F = 0, y por lo tanto F δr = 0. El trabajo vrtual se defne como F δr = 0. (4) Expresar ahora a las fuerzas ejercdas sobre las partículas térmnos de las fuerzas aplcadas F (a) y las fuerzas de restrccón, R : F = F (a) +R. (5) Al susttur (5) en (4), se obtene: F (a) δr + R δr = 0. (6) Cuando las fuerzas de restrccón no realzan trabajo: R δr = 0 (7)

10 7. TRABAJO VIRTUAL. 0 se llega al prncpo del trabajo vrtual: En general, F (a) ndependentes. F (a) δr = 0 (8) 0 y debdo a las ecuacones de restrccón las δr no son Ejemplo: Utlzar el prncpo del trabajo vrtual para encontrar F (a) s el sstema de la fgura se encuentra en equlbro estátco. Consderar que no hay frccón con la pared n el pso y que la masa de la barra rígda es desprecable. En este caso, hay cuatro fuerzas de restrccón: dos externas, R y R, y dos nternas, las que ejerce la barra. Nnguna de estas fuerzas realza trabajo. Por ejemplo, R δr = (R,0) (0,δy ) = 0. Adconalmente, las fuerzas externas aplcadas son la de gravedad, dada por mg, y F (a) y cumplen con (8): (0,mg) (0,δy )+(F (a),0) (δx,0) = 0 mgδy +F (a) δx = 0 (a) La restrccón mpuesta al movmento es que los desplazamentos de los extremos de la barra sean guales pues la barra es rígda: (senθ)δy = (cosθ)δx, lo cual muestra que, en consecuenca, los desplazamentos vrtuales no son ndependentes: δy = (cotθ)δx. Al susttur (b) en (a) y consderando que δx 0, entonces [mgcotθ+f (a) ]δx = 0, (b)

11 8. ECUACIONES DE LAGRANGE. de donde se obtene la condcón de equlbro estátco: F (a) = mgcotθ Alternatvamente, se recomenda resolver este problema por los métodos vectorales habtuales. 8. Ecuacones de Lagrange. Para aplcar el procedmento de la seccón anteror al movmento general de un sstema mecánco, hay que reescrbr la ecuacón (): F ṗ = 0 En esta ecuacón, ṗ puede consderarse como una fuerza de reaccón a F. Como consecuenca, el trabajo vrtual es (F ṗ ) δr = 0 y debdo a (5): (F (a) ṗ ) δr + R δr = 0. Dado que las fuerzas de restrccón no realzan trabajo, (7), se obtene el llamado prncpo D Alembert: (F (a) ṗ ) δr = 0. (9) Obsérvese que no aparecen las fuerzas de restrccón en esta ecuacón. El sguente paso consste en expresar la ecuacón (9) en térmnos de coordenadas generalzadas. Dado que se trata de realzar cambos de varable, se recurre a la regla de la cadena y a las ecuacones de transformacón a coordenadas generalzadas, (3). El resultado es: h F (a) δr = j ṗ δr = j Q j δq j y (0) ( d K K ). () dt q j q j h El procedmento, un tanto extenso, se puede consultar en alguna de las referencas proporconadas en la bblografía.

12 8. ECUACIONES DE LAGRANGE. En la ecuacón (0): Q j = F (a) r () q j se llama la fuerza generalzada. La defncón de las coordenadas generalzadas en algún problema específco trae como consecuenca que Q j no necesaramente tenga undades de fuerza. Además, en () se ha usado la defncón de energía cnétca dada en la ecuacón (7). Al susttur (0) y () en (9), el prncpo D Alembert toma la forma: [{ ( ) d K K ] } Q j δq j = 0 dt q j q j j Y como los desplazamentos vrtuales son ndependentes: ( ) d K K = Q j (3) dt q j q j Cuando las fuerzas externas provenen de un potencal, las fuerzas generalzadas, (), toman la forma Q j = F (a) r q j = V r q j = V q j Al susttur en (9): ( ) d K dt q j ( ) d K dt q j K q j = V, q j {K V} = 0 (4) q j Cuando V no depende de las velocdades generalzadas, el prmer térmno de la últma ecuacón puede escrbrse como: d dt ( ) K = d ( ) {K V} q j dt q j y al sustur en (4) se obtenen las ecuacones de Euler-Lagrange: ( ) d L L = 0, j =,,...,l. (5) dt q j q j donde L(q,q,,q N, q, q,..., q n,t) L(q, q,t) = T V (6)

13 8. ECUACIONES DE LAGRANGE. 3 se llama el Lagrangano. Nótese que el Lagrangano tene a las coordenadas generalzadas, las velocdades generalzadas y al tempo como varables naturales. Las ecuacones de Euler-Lagrange tambén pueden obtenerse con el método varaconal sn recurrr a la defncón de trabajo vrtual. Ejemplo: Consderar el movmento de una partícula en coordenadas cartesanas. En este caso, las coordenadas generalzadas se reducen aq x,q y,q 3 z y las fuerzas generalzadas, ecuacón (), toman la forma Además: Q x = F x x x }{{} Q y = F x x y }{{} 0 Q z = F x x z }{{} 0 +F y y x }{{} 0 +F y y y }{{} +F y y z }{{} 0 T = m(ẋ +ẏ +ż ) z +F z = F x }{{} x 0 z +F z = F y y }{{} 0 z +F z = F z }{{} z Ahora, se susttuyen estos resultados en la ecuacón (3). Para la componente x se obtene: ( d { ) mẋ } dt ẋ { mẋ } x = d{mẋ} dt 0 = F x Es decr: F x = mẍ De gual manera: F y = mÿ,f z = m z; se recupera la segunda ley de Newton. Ejemplo: Analzar el tro vertcal de un objeto como caso especal de la accón de una fuerza conservatva.

14 8. ECUACIONES DE LAGRANGE. 4 Dado que T = mẏ, V = mgy entonces, el Lagrangano, (6), toma la forma L(y,ẏ) = mẏ mgy Al susttur en la ecuacón de Lagrange, (5), se obtene: [ ( )] d dt ẏ mẏ mgy [ ] y mẏ mgy = 0 d{mẏ} + mg = 0 dt Por lo tanto, y al ntegrar se llega a dẏ dt = g y = g (t t 0) +v 0 (t t 0 )+y 0 donde t 0, y 0 y v 0 se defnen medante las condcones ncales del problema. Ejemplo: Analzar el movmento del péndulo smple. En este caso, convene expresar la ecuacón de la trayectora en coordenadas polares: r(t) = L(cos θ(t), sen θ(t)) Dado que L es constante, q θ se utlza como coordenada generalzada. Para escrbr al Hamltonano, se requeren las expresones de las energías cnétca y potencal. La velocdad del péndulo es v = dr ( dt = L senθ dθ ) dt,cosθdθ dt = L( senθ,cosθ) dθ dt = L( senθ,cosθ) θ

15 8. ECUACIONES DE LAGRANGE. 5 En este procedmento, se ha tomado en cuenta que L no depende del tempo. Por lo tanto, la rapdez al cuadrado es Entonces, la energía cnétca es v = r r = L [( senθ) +cos θ)] θ = L θ. K( θ) = mv = ml θ Ahora, se obtene la energía potencal. Con el sstema de referenca orentado como en la fgura, ésta es V(θ) = mglcosθ. Por lo tanto, el Lagrangano del sstema es L(θ, θ) = K V = ml θ y la ecuacón de Euler-Lagrange es ( mglcosθ) [ ( )] ( ) d ml θ +mglcosθ ml θ +mglcosθ = 0 dt θ θ Dado que entonces [ ( d ml θ dt θ θ +mglcosθ )] ( ml θ +mglcosθ ) = d dt [ ml θ ] = ml θ = mglsenθ O ben ml θ+mglsenθ = 0 θ + g senθ = 0. L

16 9. ECUACIONES DE HAMILTON Ecuacones de Hamlton. Consderar un sstema bajo la accón de fuerzas conservatvas: 0 L = T ẋ ẋ V ẋ = = j ẋ m j (ẋ j ẋ +ẏ j +ż j ) j m j(ẋ j +ẏ j +ż j ) Dado que las componentes de las velocdades son ndependentes entre sí, las dervadas de ẏ j y ż j respecto a ẋ valen cero. Por otro lado, [ẋ j ]/ x = ẋ j sólo cuando j =. Por lo tanto, sólo queda un térmno de la suma anteror: L ẋ = j m j (ẋ δ j ) = m ẋ. En este desarrollo se ha utlzado la delta de Kronecker: {, j = δ j = 0, j Por lo tanto: L x = p x, (7) pues p x, es la componente x del momento lneal de la partícula. Se defne ahora el momento conjugado canónco generalzado como p = L q (8) El momento lneal en coordenadas cartesanas, (7), es un caso especal de (8). Además, debdo a la defncón de las coordenadas generalzadas, el momento generalzado no necesaramente tene undades de momento lneal. A contnuacón, se hará el cambo de varables báscas de {q, q,t} a {q,p,t} que conduce a la defncón del Hamltonano del sstema. El desarrollo matemátco puede hacerse medante el uso drecto del cálculo dferencal como ocurre frecuentemente en la lteratura. Otra alternatva parte de tomar en cuenta que, más que cambar de varable en el Lagrangano y las ecuacones de Lagrange, se hace un cambo de representacón que puede ser aprecado medante la transformada de

17 9. ECUACIONES DE HAMILTON. 7 Legendre. Ésta es la manera como se aborda el problema en este documento. Para ello, se reconoce al par de varables conjugadas { q,p }, defndo por la ecuacón (8). En el caso de una partícula en una dmensón, la prmera transformada de Legendre de L respecto a las varables conjugadas q y p, según la ecuacón (8), es H(q,p,t) = p q L (9) donde H se llama el Hamltonano. j H es funcón de p,q y t pues, de acuerdo con (8), q es funcón de p y t. La dferencal total de H es: dh = H q H H dq + dp+ p t dt y por las propedades de la transformada de Legendre, ecuacones (A.) y (A.) del Apéndce A: L q = H q q = H p L t = H t (30) (3) (3) Estas ecuacones se obtenen k al consderar que sólo se cambó de la varable q a p y se conservaron q y t. Al utlzar la ecuacón de Euler-Lagrange, (5), con l = y la defncón del momento generalzado, (8), se obtene L q = d dt Por lo tanto, la ecuacón (30) toma la forma ( ) L = dp q dt = ṗ ṗ = H q (33) En el apéndce A se dscute la transformada de Legendre. j Por convencón, H se defne como el negatvo de la transformada de Legendre respecto a su uso en otras áreas como la termodnámca o mecánca estadístca. k Alternatvamente, se puede obtener la dferencal total de H a partr de (9) y llegar a (30)-(3); ver la referenca.

18 9. ECUACIONES DE HAMILTON. 8 Las ecuacones (3), (3) y (33) se conocen como las ecuacones de Hamlton. Ahora, se extende este resultado al caso en que hay más de un grado de lbertad. De acuerdo con (A.9) y tomando en cuenta el pe de págna j, la transformada de Legendre de las varables { q, q,..., q N } a {p,p,...,p N } es: H(q,q,...,q N,p,p,...,p N,t) = l p k q k L (34) k Un caso partcular mportante es aquél donde las coordenadas generalzadas, (3), no dependen explíctamente del tempo. En esta stuacón, de acuerdo con la regla de la cadena, las componentes de la velocdad en coordenadas generalzadas se reducen a: v = dr dt = k 0 r r q k + q k t = k r q k q k Por lo tanto, la energía cnétca es K = ( ) m r q k q k k Al estar elevados al cuadrado los térmnos entre paréntess, se trata de productos de las velocdades generalzadas de la forma q q j multplcados por un coefcente a k. Para los fnes de esta dscusón, no es necesaro conocer la forma explícta l de estos coefcentes; basta con reconocer que la energía cnétca es una combnacón de térmnos cuadrátcos: m S, además, el potencal V no depende explíctamente de las velocdades, entonces: K = a k q k q (35) k l Los coefcentes a k pueden consultarse en la referenca. m Se trata de una forma cuadrátca pues la suma de los exponentes de cada producto q k q es gual a dos.

19 9. ECUACIONES DE HAMILTON. 9 0 p k = L {K V} = = K V q k q k q k q [ ] k = a j q j q = { q j q } a j q k q j j k = ( ) q q j a j q j + q q k q k j Dado que las velocdades generalzadas son ndependentes entre sí, entonces q / q k = δ k. Como resultado, sólo persste una de las sumatoras andadas en la expresón de p k, msma que puede separarse en dos sumas: [ ] p k = a jk q j + a k q j Además, como a kj = a jk, entonces las sumas anterores sólo dferen en la letra usada como índce (j en la prmera e en la segunda) y valen lo msmo. Por lo tanto: p k = Al susttur (35) y (36) en (34) se obtene: a k q (36) H = p k q k L = a k q k q a k q k q V k k k }{{} K V = a k q k q +V k Es decr, cuando las coordenadas generalzadas no dependen explíctamente del tempo y el potencal no depende explíctamente de las velocdades, debdo (35), el Hamltonano es la energía mecánca del sstema: H = K +V (37)

20 0. ESPACIO DE FASE Espaco de fase. El conocmento del espaco de confguracón, descrto en la seccón 6, no es sufcente para analzar la dnámca de un sstema. Esto se debe a que se requere nformacón ya sea sobre las velocdades generalzadas en el caso de las ecuacones de Lagrange, o de los momentos generalzados en el caso de las ecuacones de Hamlton. En este últmo caso, es convenente defnr el espaco de fase como el conjunto de valores posbles de las coordenadas y momentos generalzados {p,q }. Un punto en el espaco de fase corresponde a un estado dnámco del sstema y la evolucón temporal de este se descrbe como una trayectora que sea consstente con las restrccones físcas mpuestas. Ejemplo: Para el osclador armónco en una dmensón, la funcón de energía potencal no depende explíctamente de la velocdad n del tempo y está dada por V(x) = k x. Además, la coordenada generalzada es x y no depende explíctamente del tempo. Por lo tanto, el Lagrangano y el Hamltonano no dependen del tempo y son: L(x,ẋ) = T V = m ẋ k x, H(x,p) = pẋ L = mẋẋ m ẋ + k x = mẋ + k x = p m + k x (c) Es decr, el Hamltonano es gual a la energía mecánca del osclador. Al usar las ecuacones de Hamlton (3) y (33) en (c), se obtene: ẋ = H p = p m ṗ = H x = kx

21 0. ESPACIO DE FASE. Nótese que la prmera de estas ecuacones se reduce a p = mẋ y, medante (), la segunda ecuacón es la ley de Hooke. Además, al dervar la prmera respecto al tempo, se obtene: y al combnar con la ley de Hooke: ẍ = ṗ m ẍ = k m x Se trata de la ecuacón de movmento del osclador armónco expresada como aparece con frecuenca en lbros ntroductoros de físca: ẍ+ω x = 0 donde ω = k/m. Una trayectora partcular en el espaco de fase de este sstema es aquella donde la energía mecánca del osclador es constante, H = H 0, lo que conduce a la ecuacón de una elpse: p mh 0 + x H 0 k =

22 A. TRANSFORMADA DE LEGENDRE. Apéndce. A. Transformada de Legendre. Sea la funcón de una varable: y = y(x) (A.) En ocasones, es de nterés expresar la nformacón contenda en esta expresón de manera dferente. En la transformada de Legendre, n en lugar de utlzar a x como varable ndependente, se usa su dervada, p: ñ p = dy (A.) dx Una posbldad consste en despejar x = x(p) a partr de (A.) y susttur en (A.). Por otro lado, en la transformada de Legendre no sólo se camba la varable ndependente sno que tambén se utlza otra cantdad dstnta a y como varable dependente. Se dce que se hace un cambo de representacón que resulta convenente en muchas stuacones físcas, en partcular, en mecánca analítca, termodnámca, mecánca estadístca y mecánca cuántca. Para realzar el cambo de x a p como varable ndependente, se ha de cumplr que:. y(x) sea una funcón convexa. Es decr, y (x) > 0, x D, donde D es el domno de y(x).. y(x) sea suave en D. Es decr, debe tener dervadas contnuas. f(x) x p(x) Dado que y(x) es convexa, p(x) es monótona. En consecuenca, exste una relacón : entre p y x, es decr, p(x) es unvaluada. Por esta razón, es posble x usar a p como varable ndependente. Además, es posble regresar a y[p(x)]. n Se recomenda consultar la referenca 5 sobre la transformada de Legendre. ñ En este apéndce, la notacón utlzada es ndependente de la del resto del documento. En partcular, p no necesaramente representa al momento lneal sno a la dervada de la ndetermnada x.

23 A. TRANSFORMADA DE LEGENDRE. 3 Gráfcamente, el cambo de varable nvolucrado en la transformada de Legendre lleva a representar a la funcón en térmnos de sus envolventes; una ecuacón que represente a las envolventes determna la curva y(x). La ecuacón de la recta de una de las envolventes se obtene a partr de su pendente, p, y su ordenada al orgen, ψ, medante: p = y ψ x 0. y y(x) (x,y) x La transformada de Legendre de y es ψ = y px. Dado que y = y(x) y x = x(p) medante (A.), entonces ψ(p) = y[x(p)] px[(p).] (0,ψ) x (A.3) Es decr, ψ es funcón de p. Geométrcamente, la transformada de Legendre consste en el conjunto de ordenadas al orgen de las envolvente de la curva de y = y(x) en funcón de las pendentes. Además, como la dferencal de ψ es dψ = dy d(px) = pdx (pdx+xdp) = xdp, entonces (ver la nota c): dψ dp = x. (A.4) En el caso de una funcón de varas varables la dferencal total es con y = y(x,x,...,x n ), dy = n p k dx k k= p k = y x k (A.5) (A.6) (A.7)

24 B. APLICACIONES EN TERMODINÁMICA. 4 Los pares {x,p } se conocen como varables conjugadas. La transformada de Legendre con p como varable natural es ψ[p ] = y p x (A.8) donde ψ[p ] es una notacón abrevada para ψ(x 0,...,x,p,x +,...,x n ). Por extensón, la transformada de Legendre de las varables {x,x,...,x s } a {p,p,...,p s } es ψ[p,...,p s ] = y s p k x k. k= (A.9) Es decr, a la funcón orgnal, se le resta la suma de productos de las varables conjugadas nvolucradas. La dferencal total de ψ es dψ[p,...,p s ] = donde, por extensón de (A.4): s ( x k )dp k + k= n k=s+ p k dx k (A.0) ψ[p,...,p s ] p k = x k, k =,...,s (A.) para las dervadas de ψ respecto a las nuevas varables, y ψ[p,...,p s ] x k = p k, k = s+,...,n (A.) en el caso de las dervadas respecto a las varables que se conservan. B. Aplcacones en termodnámca. La ecuacón fundamental en la representacón energétca para un sstema multcomponente sobre el que sólo se realza trabajo de expansón tene como varables macroscópcas báscas a la entropía, S, el volumen, V, y la composcón, dada por los números de moles, {N k k =,...,m}: U = U(S,V,N,...,N m ) U(S,V,N ). (B.) En la últma expresón se denota a un elemento representatvo de la composcón para acortar la notacón.

25 B. APLICACIONES EN TERMODINÁMICA. 5 La dferencal total de U es du = TdS pdv + m µ k dn k k donde la temperatura, la presón y los potencales químcos de las especes están dadas por: ( ) U T = S ( ) U p = V ( ) U µ k = N k V,N S,N S,V,N j ;j k Estas expresones muestran los pares de varables conjugadas: {S, T} {V, p} {N k, µ k }. (B.) (B.3) (B.4) Aquí, a la zquerda aparece una propedad extensva y a la derecha la ntensva correspondente. Ahora, se procede a realzar, como ejemplos, dos transformadas de Legendre. (a) Energía lbre de Helmholtz. Se hace una prmera transformada de Legendre donde se camba a S por su varable conjugada T. De acuerdo con (B.), (A.8) y (B.), la transformada de legendre correspondente es la energía lbre de Helmholtz A = U TS y, de acuerdo con (B.), es posble expresar S = S(T,V,N ). Por lo tanto, A(T,V,N ) = U(S[T,V,N ],V,N ) TS[T,V,N ] (B.5) por lo que las varables naturales de la representacón energía lbre de Helmholtz son {T,V,N }. Además, de acuerdo con (A.) S = ( ) A T V,N

26 B. APLICACIONES EN TERMODINÁMICA. 6 y de (A.) p = ( ) ( ) A A, µ k = V T,N N k T,V,N j ;j k A partr de estas relacones, la ecuacón (A.0) toma la conocda forma que aparece en los lbros sobre el tema: da = SdT pdv + k µ k dn k. (b) Energía lbre de Gbbs. Se hace una segunda transformada de Legendre en la que se camban S y V por sus varables conjugadas T y p, respectvamente. De acuerdo con (A.9), (B.), (B.) y (A.), la transformada de Legendre es la energía lbre de Gbbs: G = U TS ( p)v = U TS +pv (B.6) Además, las ecuacones (B.) y (B.3) conforman un sstema de ecuacones a partr del cual S = S(T,p,N ) y V = V(T,p,N ), por lo que G(T,p,N ) =U(S[T,p,N ],V[T,p,N ],N ) { T S[T,p,N ]} +p{v[t,p,n ])} de donde se concluye que la energía lbre de Gbbs tene por varables naturales al conjunto {T,p,N }. Además, de acuerdo con (A.) S = ( ) ( ) ( ) G G G ; V = = T p,n ( p) T,N p T,N y por (A.): ( ) A µ k = N k T,p,N j ;j k. En este caso, la ecuacón (A.0) toma la forma dg = SdT +Vdp+ k µ k dn k.

27 B. APLICACIONES EN TERMODINÁMICA. 7 Bblografía. H. Goldsten, Ch. Pole, J. Safko, Classcal Mechancs 3rd. edton, Addson Wesley, 04.. D. T. Greenwood, Classcal Dynamcs Dover, L. N. Hand, J. D. Fnch, Analytcal mechancs Cambrdge Unversty Press, T. L. Chow, Classcal Mechancs nd edton, CRC Press, H. B. Callen, Thermodynamcs and an ntroducton to thermostatstcs nd. edton, John Wley & Sons, 985.

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