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1 Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones II Luis Alvarez León Univ. de Las Palmas de G.C. Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Univ. Tema de Las 7 Interpolación Palmas de G.C. de funciones 1 / 42II

2 Contenido 1 Interpolación de Hermite 2 Interpolación por splines cúbicos. 3 Interpolación utilizando la función seno cardinal 4 Interpolación de funciones periódicas utilizando polinomios trigonométricos 5 Aproximación por mínimos cuadrados. Regresión lineal Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Univ. Tema de Las 7 Interpolación Palmas de G.C. de funciones 2 / 42II

3 Contenido 1 Interpolación de Hermite 2 Interpolación por splines cúbicos. 3 Interpolación utilizando la función seno cardinal 4 Interpolación de funciones periódicas utilizando polinomios trigonométricos 5 Aproximación por mínimos cuadrados. Regresión lineal Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Univ. Tema de Las 7 Interpolación Palmas de G.C. de funciones 3 / 42II

4 El problema de interpolación Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Univ. Tema de Las 7 Interpolación Palmas de G.C. de funciones 4 / 42II

5 Interpolación Lineal Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Univ. Tema de Las 7 Interpolación Palmas de G.C. de funciones 5 / 42II

6 Interpolación a través del polinomio de Lagrange Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Univ. Tema de Las 7 Interpolación Palmas de G.C. de funciones 6 / 42II

7 Interpolación de Hermite. Se interpola tanto la función como su derivada Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Univ. Tema de Las 7 Interpolación Palmas de G.C. de funciones 7 / 42II

8 Interpolación de Hermite. Se interpola tanto la función como su derivada. Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Univ. Tema de Las 7 Interpolación Palmas de G.C. de funciones 8 / 42II

9 La interpolación de Hermite En la interpolación de Lagrange ajustamos el polinomio interpolador P(x) para que P(x i ) = f (x i ). En el caso de Hermite además de ajustar el valor de la función f (x), ajustamos sus derivadas es decir: P(x i ) = f (x i ) y P (x i ) = f (x i ) Ejemplo: Buscar un polinomio P(x) tal que P( 1) = 1, P(1) = 0 y P ( 1) = 0, P (1) = 0. El grado del polinomio buscado debe ser 3. Por tanto P (x) = a(x + 1)(x 1) = ax 2 a P(x) = a x 3 Si exigimos que P( 1) = 1 y P(1) = 0 llegamos al sistema 3 ax + b { a/3 + a + b = 1 a/3 a + b = 0 { a = 3/4 b = 1/2 P(x) = 3 12 x x Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Univ. Tema de Las 7 Interpolación Palmas de G.C. de funciones 9 / 42II

10 Interpolación de Hermite. Polinomios base de Hermite en los puntos de interpolación -1,1.. Polinomio de Hermite H 0 1 (x) Polinomio de Hermite H0 1 (x) Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Univ. Tema de Las 7 Palmas Interpolación de G.C. de funciones 10 / 42II

11 Interpolación de Hermite. Polinomios base de Hermite en los puntos de interpolación -1,1.. Polinomio de Hermite H 1 1 (x) Polinomio de Hermite H1 1 (x) Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Univ. Tema de Las 7 Palmas Interpolación de G.C. de funciones 11 / 42II

12 Interpolación de Hermite. Polinomios base de Hermite en los puntos de interpolación -1,1.. Vamos a calcular H 1 1 (x) que verifica que P( 1) = P(1) = P (1) = 0 y P ( 1) = 1. Como P(x) vale 0 en 1, 1 se tiene que P(x) = (x + 1)(x 1)(ax + b) P(x) = ax 3 + bx 2 ax b derivando obtenemos P (x) = 3ax 2 + 2bx a Si exigimos que P ( 1) = 1 y P (1) = 0 llegamos al sistema { 3a 2b a = 1 3a + 2b a = 0 { a = 1/4 b = 1/4 H1 1 (x) = (x 2 1)( 1 4 x ) En función de los polinomios base de Hermite H 1 0 (x), H0 1 (x), H1 1 (x), H1 1 (x), el polinomio que interpola a una función en f ( 1), f (1), f ( 1) y f (1) es P(x) = f ( 1)H 0 1 (x) + f (1)H0 1 (x) + f ( 1)H 1 1 (x) + f (1)H 1 1 (x) Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Univ. Tema de Las 7 Palmas Interpolación de G.C. de funciones 12 / 42II

13 Contenido 1 Interpolación de Hermite 2 Interpolación por splines cúbicos. 3 Interpolación utilizando la función seno cardinal 4 Interpolación de funciones periódicas utilizando polinomios trigonométricos 5 Aproximación por mínimos cuadrados. Regresión lineal Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Univ. Tema de Las 7 Palmas Interpolación de G.C. de funciones 13 / 42II

14 Interpolación por splines cúbicos Los polinomios de grado alto tienden a oscilar. Ejemplo El polinomio base de Lagrange que verifica P(0) = 1 y P(x i ) = 0 sobre los puntos x i = 5, 4, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 4, 5 es P(x) = (x 2 1)(x 2 4)(x 2 9)(x 2 16)(x 2 25) ( 5)( 4)( 3)( 2)( 1)(1)(2)(3)(4)(5) Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Univ. Tema de Las 7 Palmas Interpolación de G.C. de funciones 14 / 42II

15 Interpolación por splines cúbicos Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Univ. Tema de Las 7 Palmas Interpolación de G.C. de funciones 15 / 42II

16 Interpolación por splines cúbicos Cuando se trabaja con muchos puntos de interpolación, se suele interpolar la función utilizando polinomios a trozos, definiendo un polinomio distinto para cada intervalo [x i, x i+1 ]. La técnica más conocida son los splines cúbicos, que son polinomios de grado 3. Por tanto, tendremos un polinomio de grado 3 distinto P i 3 (x) = d i(x x i ) 3 + c i (x x i ) 2 + b i (x x i ) + a i para cada intervalo [x i, x i+1 ]. Si hay N + 1 puntos, el número de polinomios es N. Para definir estos polinomios, se imponen las siguientes condiciones: P i 3 (x i) = f (x i ) i = 0,.., N 1 P i 3 (x i+1) = f (x i+1 ) i = 0,..., N 1 P i 3 x (x i+1) = Pi+1 3 x (x i+1) i = 0,.., N 2 2 P3 i x 2 (x i+1) = 2 P i+1 3 x 2 (x i+1 ) i = 0,..., N 2 Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Univ. Tema de Las 7 Palmas Interpolación de G.C. de funciones 16 / 42II

17 Interpolación por splines cúbicos Teorema Si P i 3 (x) = d i(x x i ) 3 + c i (x x i ) 2 + b i (x x i ) + a i, i = 0,.., N 1, satisface las condiciones anteriores, entonces a i = f (x i ) i = 0,.., N d i = c i+1 c i 3h i i = 0,.., N 1 (1) b i = a i+1 a i h i (2c i + c i+1 ) h i 3 i = 0,.., N 1 h i 1 c i 1 + 2(h i 1 + h i )c i + h i c i+1 = 3(a i+1 a i ) h i 3 (a i a i 1 ) h i 1 para i = 1,.., N 1. donde h i = x i+1 x i.. La última relación determina un sistema de ecuaciones en las variables c i. Dicho sistema tiene N + 1 incognitas (c 0,..., c N ) y N 1 ecuaciones. Para completar dicho sistema, se suele imponer que c 0 = c N = 0. Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Univ. Tema de Las 7 Palmas Interpolación de G.C. de funciones 17 / 42II

18 Interpolación por splines cúbicos Ejemplo Vamos a utilizar splines cúbicos al interpolar la función f (x) en los puntos x = 0, 1, 2, y 3, sabiendo que f (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 0, f (3) = 2, tomando c 0 = c 3 = 0. En este caso h i = 1. Debemos definir 3 Polinomios distintos que corresponden a los intervalos [0, 1], [1, 2], y [2, 3]. Los términos a i se calculan utilizando la relación a i = f (x i ) : a 0 = 0 a 1 = 1 a 2 = 0 a 3 = 2 Los términos c i se calculan utilizando la relación h i 1 c i 1 + 2(h i 1 + h i )c i + h i c i+1 = 3(a i+1 a i ) h i 3 (a i a i 1 ) lo que lleva al sistema { 4c1 + c 2 = 6 c 1 + 4c 2 = 9 ( c1 c 2 ) = h i 1 ( 2,2 2,8 ) Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Univ. Tema de Las 7 Palmas Interpolación de G.C. de funciones 18 / 42II

19 Interpolación por splines cúbicos Los valores b i se calculan utilizando b i = a i+1 a i h i h i (2c i +c i+1 ) 3 b 0 = 1,733 b 1 = 0,467 b 2 = 0,133 Los valores d i se calculan utilizando d i = c i+1 c i 3h i Por tanto, los polinomios son d 0 = 0,733 d 1 = 1,667 d 2 = 0,933 P 0 (x) = 0,733x 3 + 1,733x P 1 (x) = 1,667 (x 1) 3 2,2 (x 1) 2 0,467 (x 1) + 1 P 2 (x) = 0,933 (x 2) 3 + 2,8 (x 2) 2 + 0,133 (x 2) Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Univ. Tema de Las 7 Palmas Interpolación de G.C. de funciones 19 / 42II

20 Interpolación por splines cúbicos a continuación se muestra una gráfica con los 3 polinomios concatenados en el intervalo [0, 3]. Como puede observarse no se aprecia nada irregular en las uniones de los intervalos. Parece una única función Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Univ. Tema de Las 7 Palmas Interpolación de G.C. de funciones 20 / 42II

21 Interpolación por splines cúbicos Presentamos ahora las gráficas de la función derivada y derivada segunda de la misma función: derivada primera derivada segunda Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Univ. Tema de Las 7 Palmas Interpolación de G.C. de funciones 21 / 42II

22 Contenido 1 Interpolación de Hermite 2 Interpolación por splines cúbicos. 3 Interpolación utilizando la función seno cardinal 4 Interpolación de funciones periódicas utilizando polinomios trigonométricos 5 Aproximación por mínimos cuadrados. Regresión lineal Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Univ. Tema de Las 7 Palmas Interpolación de G.C. de funciones 22 / 42II

23 Interpolación utilizando la función seno cardinal Una base de funciones interpolantes muy utilizada en la teoría de Fourier es la base formada a partir de la función seno cardinal, definida por sin c(x) = sin(x) x Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Univ. Tema de Las 7 Palmas Interpolación de G.C. de funciones 23 / 42II

24 Interpolación utilizando la función seno cardinal Esta función tiene la propiedad de que en x = 0, sin c(0) = 1, y para cualquier entero i distinto de 0, sin c(πi) = 0. Dada una función f (x), su función interpolante en los puntos x i = a i para i = M,..., N viene dada por la función f (x) = N i=m f (x i ) sin(π ( x a i) ) π ( x a i) Esta base de funciones se suele utilizar cuando a partir de una señal muestreada (por ejemplo una señal de sonido que se muestrea guardando el valor de la señal cada cierto intervalo de tiempo) queremos recuperar la señal original (por ejemplo para oir el sonido almacenado digitalmente). Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Univ. Tema de Las 7 Palmas Interpolación de G.C. de funciones 24 / 42II

25 Interpolación utilizando la función seno cardinal Ejemplo Si f (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 0, f (3) = 2. La interpolación utilizando la función seno cardinal es: f (x) = 1 sin(π (x 1)) π(x 1) sin(π (x 3)) + 2 π(x 3) Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Univ. Tema de Las 7 Palmas Interpolación de G.C. de funciones 25 / 42II

26 Interpolación utilizando la función seno cardinal Comparación del sin x (en azul) con su aproximación utilizando sin c(x) (en rojo) tomando como puntos de interpolación x= π, π 2, 0, π 2, π. Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Univ. Tema de Las 7 Palmas Interpolación de G.C. de funciones 26 / 42II

27 Comparación de la interpolación de Lagrange, los splines cúbicos y seno cardinal. Polinomio de Lagrange (línea verde), splines cúbicos (línea azul), y la interpolación por sin c(x) (línea roja). Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Univ. Tema de Las 7 Palmas Interpolación de G.C. de funciones 27 / 42II

28 Contenido 1 Interpolación de Hermite 2 Interpolación por splines cúbicos. 3 Interpolación utilizando la función seno cardinal 4 Interpolación de funciones periódicas utilizando polinomios trigonométricos 5 Aproximación por mínimos cuadrados. Regresión lineal Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Univ. Tema de Las 7 Palmas Interpolación de G.C. de funciones 28 / 42II

29 Interpolación por polinomios trigonométricos para aproximar funciones ondulatorias periódicas f (x) = 2 cos(x) 2 cos(2x) + 6 cos(4x) Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Univ. Tema de Las 7 Palmas Interpolación de G.C. de funciones 29 / 42II

30 Interpolación por polinomios trigonométricos. Funciones base f (x) = 2 }{{} amplitud cos( 1 }{{} frecuencia x) 2 }{{} amplitud cos( 2 }{{} frecuencia x) + 6 }{{} amplitud cos( }{{} 4 x) frecuencia azul cos 1x rojo cos 2x verde cos 4x Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Univ. Tema de Las 7 Palmas Interpolación de G.C. de funciones 30 / 42II

31 Interpolación por polinomios trigonométricos. Polinomios trigonométricos Polinomio trigonométrico : P k (x) = e ikx = cos kx + i sin kx cos kx = eikx + e ikx 2 sin kx = eikx e ikx 2 f (x) = 2 cos(x) 2 cos(2x) + 6 cos(4x) = = 1e ix + 1e ix 1e i2x 1e i2x + 3e i4x + 3e i4x Descomposición general de una función periódica (de periodo 2π) usando polinomios trigonométricos f (x) N c k e ikx k= N Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Univ. Tema de Las 7 Palmas Interpolación de G.C. de funciones 31 / 42II

32 Interpolación por polinomios trigonométricos. Cálculo de los coeficientes de los polinomios trigonométricos Teorema Los coeficientes c k que minimizan el error cuadrático medio E(c N,.., c N ) = π π ( f (x) N k= N c k e ikx ) 2 dx son c k = π π f (x)e ikx dx 2π Demostración Un mínimo de E(c N,..., c N ), debe verificar : ( ) E π N (c N,..., c N ) = 2 f (x) c k c l e ilx e ikx dx = 0 π l= N la demostración del teorema se concluye teniendo en cuenta que ] π π π { e ilx e ikx dx = e i(l+k)x dx = ei(l+k)x 2π si l = k = i(l + k) 0 si l = k π π π Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Univ. Tema de Las 7 Palmas Interpolación de G.C. de funciones 32 / 42II

33 Interpolación por polinomios trigonométricos. Ejemplo de aproximación Consideremos la función f (x) = { 1 si x [ π 2, π 2 ] 0 si x / [ π 2, π 2 ] Vamos a calcular el polinomio trigonométrico interpolante para N = 3. Los valores de c k son π π c 0 = f (x)dx = 1 π π c 1 = f (x)e ix dx = 1 2π 2 2π π = c 1 π π c 2 = f π (x)e 2ix dx π = 0 = c 2 c 3 = f (x)e 3ix dx 2π 2π Por tanto, el polinomio trigonométrico interpolador es P 3 (x) = π cos(x) 2 3π cos(3x) = 1 3π = c 3 Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Univ. Tema de Las 7 Palmas Interpolación de G.C. de funciones 33 / 42II

34 Interpolación por polinomios trigonométricos. Ejemplo de aproximación La siguiente gráfica muestra la aproximación entre f (x) y P 3 (x): Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Univ. Tema de Las 7 Palmas Interpolación de G.C. de funciones 34 / 42II

35 Contenido 1 Interpolación de Hermite 2 Interpolación por splines cúbicos. 3 Interpolación utilizando la función seno cardinal 4 Interpolación de funciones periódicas utilizando polinomios trigonométricos 5 Aproximación por mínimos cuadrados. Regresión lineal Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Univ. Tema de Las 7 Palmas Interpolación de G.C. de funciones 35 / 42II

36 Aproximación por mínimos cuadrados Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Univ. Tema de Las 7 Palmas Interpolación de G.C. de funciones 36 / 42II

37 Aproximación por mínimos cuadrados Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Univ. Tema de Las 7 Palmas Interpolación de G.C. de funciones 37 / 42II

38 Aproximación por mínimos cuadrados La aproximación mínimo cuadrática aproxima, a través de una función, un conjunto de valores de forma global, sin exigir que la función aproximante pase exactamente por ese conjunto de puntos. Dado un conjunto de valores {(x i, y i )} i=1,..,n, la aproximación mínimo cuadrática lineal consiste en buscar la recta y = ax + b, tal que la función de error cuadrático E(a, b) = N (ax i + b y i ) 2 i=1 sea mínima. Esta aproximación en estadística se denomina regresión lineal Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Univ. Tema de Las 7 Palmas Interpolación de G.C. de funciones 38 / 42II

39 Aproximación por mínimos cuadrados Teorema Los valores a y b que minimizan el error cuadrático anterior son a = N N 1 x iy i N i x i N 1 y i ( ) 2 y b = N 1 x i 2 N 1 y i N 1 x iy i N 1 x i ( ) 2 N N 1 x i 2 N 1 x i N N 1 x i 2 N 1 x i Demostración Primero, observamos que, dada la forma cuadrática que tiene el funcional, debe poseer un mínimo. Además, en un mínimo de E(a, b), las derivadas parciales son cero, y por tanto N E a (a, b) = 2 (ax i + b y i ) x i = 0 i=1 y N E b (a, b) = 2 (ax i + b y i ) i=1 Esto da lugar a un sistema lineal de ecuaciones cuyas incógnitas son a y b, y cuya resolución lleva al resultado establecido en el teorema. Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Univ. Tema de Las 7 Palmas Interpolación de G.C. de funciones 39 / 42II

40 Aproximación por mínimos cuadrados Efectívamente si partimos de N (ax i + b y i ) x i = 0 i=1 y N (ax i + b y i ) = 0 i=1 esto nos lleva al sistema : { a N i=1 xi 2 + b N i=1 x i = N i=1 y ix i a N i=1 x i + b N i=1 1 = N i=1 y i cuya solución por el método de Cramer es N i=1 y ix i N i=1 x i N i=1 a = y i N N i=1 x i 2 N i=1 x b = i N i=1 x i N N i=1 x i 2 N i=1 x i N i=1 x i 2 N i=1 x i N i=1 x iy i N i=1 y i N i=1 x iy i N Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Univ. Tema de Las 7 Palmas Interpolación de G.C. de funciones 40 / 42II

41 Aproximación por mínimos cuadrados Problema La evolución de altura de un niño ha sido la siguiente : al nacer : 50 cm, a los 3 meses 60 cm, a los 6 meses 67 cm y a los 9 meses 71 cm. Calcular la tasa de variación del peso del niño utilizando una aproximación mínimo cuadrática. Solución: Tenemos que calcular Cálculando cada término por separado tenemos N x i y i = 1221 i=1 N N x i y i = 4464 i=1 i=1 Por tanto la tasa de variación es a = a = N N i=1 x i y i N i=1 x i N i=1 y i N N i=1 x 2 i ( N i=1 x i) 2 N xi 2 = 126 i=1 ( N ) 2 x i = 324 i= = 7 3 Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Univ. Tema de Las 7 Palmas Interpolación de G.C. de funciones 41 / 42II

42 Interpolación de funciones II Aproximación por mínimos cuadrados. Gráficas de crecimieno de niños Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Univ. Tema de Las 7 Palmas Interpolación de G.C. de funciones 42 / 42II