Temas 1 y 2: Cálculo Diferencial y Optimización ENUNCIADO Y RESPUESTA AL EJERCICIO: ENUNCIADO

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1 CÁLCULO II. Ejercicio de Examen Final Temas 1 y : Cálculo Diferencial y Optimización Calificación: FECHA: 1/06/1 TIEMPO RECOMENDADO: 40 m Puntuación/TOTAL:,5/10 ENUNCIADO Y RESPUESTA AL EJERCICIO: ENUNCIADO x y si ( xy, ) (0,0) Se considera la función real de variables reales f ( x, y) x y 0 si ( xy, ) (0,0) 1. Estudiar su continuidad.. Calcular las derivadas parciales en un punto genérico ( xy, ) y en particular en el punto (0,0). Obtener f (0,0).. Estudiar la diferenciabilidad de la función f ( x, y ). En particular analizar si es diferenciable en el punto (0,0) 4. Calcular la derivada direccional Df u (0,0), siendo u cosi sen j un vector unitario. Calcular también Df v (1,1) siendo v i j. 5. Dado el punto P (1,1,1) de la gráfica de f ( x, y ), hallar utilizando técnicas de optimización la mínima distancia de dicho punto al plano x y z 1. Comprobar que se trata de un mínimo absoluto. NOTA: Los apartados 1,, y 4 valen en conjunto 1,5 puntos. El apartado 5 vale 1 punto. Sólo puntúan los resultados que vayan acompañados de justificaciones teóricas. RESULTADOS 1. CONTINUIDAD La función f ( x, y ) es continua ( xy, ) (0,0). Ya que se trata del cociente de funciones continuas. Estudiemos la continuidad en el punto (0,0) x y cos sen lim lim lim cos sen 0 ( xy, ) (0,0) x y 0 cos sen 0 Acotado La función es continua en (0,0).. DERIVADAS PARCIALES x y x y x y x y x y x x y x x y 4 x x y xy f ( x, y) y x y y x y 4 y x y yx f ( x, y) h 0 f ( h,0) f (0,0) (0, 0) lim lim h f x 1 h0 h h0 h (0,0) f i j k 0 f (0, k) f (0,0) f y (0, 0) lim lim k 1 k0 k k0 k Cálculo II. Graduado en Ingeniería Prof. Manuel Hervás Página 1 de

2 . DIFERENCIABILIDAD La función f ( x, y ) es diferenciable ( xy, ) (0, 0) ya que se trata del cociente dos funciones diferenciables. La función aunque es continua en (0,0) pero las derivadas parciales en (0,0) no lo son por lo que no se verifica la condición suficiente de diferenciabilidad, por tanto hay que utilizar el criterio que da la condición necesaria y suficiente de diferenciabilidad. lim f ( x, y) f (0,0) fx(0,0) ( x 0) f y(0,0) ( y 0) 0 x y ( xy, ) (0,0) lim x y x y f ( x, y) f (0,0) f x(0,0) ( x 0) f y(0,0) ( y 0) x y lim x y x y ( x, y) (0,0) ( x, y) (0,0) x xy yx cos sen sen cos lim lim cos cos ( xy, ) (0,0) / 0 y Como el límite no es 0 la función no es diferenciable en (0,0). sen sen 4. DERIVADA DIRECCIONAL Al no ser diferenciable f ( x, y ) en (0,0) para calcular Df (0, 0) se debe hacer, de acuerdo con la definición, mediante límite. cos sen f ( cos, sen ) f (0,0) sen 0 0 Du f (0, 0) lim lim cos v Sin embargo f ( x, y ) es diferenciable en (1,1) por lo que se puede usar Dv f (1,1) f (1,1) v 1 1 v f (1,1) fx (1,1) i f y (1,1) j i j; Dv f (1,1) f (1,1) i j i j v 5. DISTANCIA Si no se exigiese realizar el problema mediante técnicas de optimización resultaría Ax0 By0 Cz0 D dp (, ) A B C 1 Mediante optimización se exige que sea mínima la distancia de un punto genérico ( x, y, z) al punto P(1,1,1) d x y z ( 1) ( 1) ( 1) Al sustituir la z del plano: 1 u z x y y teniendo en cuenta que la raíz es una función creciente que tiene los mismos extremos que el radicando se obtiene como función a optimizar: h( x, y) d ( x 1) ( y 1) 1 x y 1 ( x 1) ( y 1) 4 x y hx ( x 1) 8( x y) 0 10 x8y 1 Punto crítico: x y hy ( y 1) 8( x y) 0 8x10 y 9 Se comprueba que es un mínimo relativo mediante el test de las derivadas segundas hxx hxy 8 H, 6 0 ; hxx 10 0 MÍNIMO RELATIVO hyy 10 Intuitivamente se observa que el mínimo relativo debe ser un mínimo absoluto ya que debe haber un punto en el plano que esté más cerca del punto P (1,1,1) de la superficie. 1 x Sustituyendo en z f ( x, y) se obtiene z Q,, d y 9 Cálculo II. Graduado en Ingeniería Prof. Manuel Hervás Página de

3 CÁLCULO II. Final convocatoria ordinaria de Junio Tema : Funciones vectoriales Calificación: FECHA: 1/06/1 TIEMPO RECOMENDADO: 1/ Hora Puntuación/TOTAL:,5/10 ENUNCIADO Y RESPUESTA AL EJERCICIO: ENUNCIADO Una partícula se mueve a lo largo de una curva γ(t)=r(t) definida por: γ : R + R t γ ( t) = t, t, t Para el instante t=1, determinar: a) Su velocidad, rapidez y aceleración (0,5 puntos) b) Los vectores tangente, normal y binormal a la trayectoria en ese instante (1 punto) c) La curvatura y la torsión de la curva en ese punto (1 punto) RESULTADOS Cálculo II. Graduado en Ingeniería Prof. Ramón Rodríguez Página 1 de

4 O bien, ( t ) ( 6,1, 1) T ( t) T (1) 1 Nt = N(1) = = =,,, ya que: T'( t) T'(1) 4 t 8t + 16t t 8t+ 16t 8t+ 16t t + 1 4t t + 1 t + 1 t + 1 t + 1 T ( t) =,, = t + 1 t + 1 t + 1 = T'( t) = 4 8t 4t + 8t 4t 8t,, + 1 t + 1 t + 1 ( t + 1) t + t + t + t Bt () = TtxNt () () =,, O bien, T t T kt () = k(1) r ( t) = r (1) = = 9 (1) 18 / ( ) r ( t) r ( t) r ( t) 8 τ() t = τ(1) = = r ( t) r ( t) 6 9 BUEN TRABAJO!! Utilice la parte trasera para desarrollar en ella un resumen los cálculos correspondientes Cálculo II. Graduado en Ingeniería Prof. Ramón Rodríguez Página de

5 CÁLCULO II. Examen Final Convocatoria Ordinaria Tema 4: Integración Múltiple Calificación: FECHA: 1/06/1 TIEMPO RECOMENDADO: 1/ Hora Puntuación/TOTAL:,5/10 ENUNCIADO Y RESPUESTA AL EJERCICIO: ENUNCIADO Hállese el momento de inercia de un disco homogéneo de radio unidad con respecto a un eje perpendicular a él y pasando por su circunferencia. Nota: Se recomienda tomar el eje en el origen de coordenadas, pero no es absolutamente necesario hacerlo así. RESULTADOS BUEN TRABAJO!! Utilice la parte trasera para desarrollar en ella un resumen los cálculos correspondientes Cálculo II. Graduado en Ingeniería Prof. Santiago de Vicente Página 1 de

6 Ejemplos 4 (p.105) y (p. 101) del Capítulo 15 del Libro de Texto Se toma como eje de giro el situado en el origen de coordenadas y perpendicular al plano donde se sitúa el disco (eje ). Entonces, el momento de inercia con respecto a este eje de giro es: Donde es la densidad en cada punto (constante al ser el disco homogéneo) y: es el cuadrado de la distancia del punto de coordenadas ( ) al eje situado en el origen. El dominio plano de integración es el círculo limitado por la circunferencia. Dada la geometría del dominio de integración, lo lógico es trabajar en polares, de manera que la ecuación de la circunferencia queda: Entonces, el momento de inercia pedido viene dado por: [ ] ( ) Cálculo II. Graduado en Ingeniería Prof. Santiago de Vicente Página de

7 GRUPO: EXAMEN de CÁLCULO II. Convocatoria Ordinaria Tema 5: Cálculo Vectorial Calificación: FECHA: 1/06/1 TIEMPO RECOMENDADO: 0 Minutos Puntuación / Total:.5 / 10 ENUNCIADOS Y RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS: Nº ENUNCIADO PUNTUACIÓN RESULTADO Calcule de dos formas distintas el trabajo que realiza una partícula sometida al campo de fuerzas: 4 F(x,y,z) = (y-z)i+(z-x)j+(x-y)k cuando da una vuelta sobre la trayectoria descrita por la intersección de las superficies: x +4y =1 z=x +y SOLUCION,5 Puntos Cálculo II. Graduado en Ingeniería

8 GRUPO: Cálculo II. Graduado en Ingeniería