ESPACIOS VECTORIALES

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1 ESPACIOS VECTORIALES Luisa Martín Horcajo U.P.M. Definición: Vector libre. Operaciones Un vector fijo es una segmento orientado, que queda caracterizado por su origen A y su extremo B y se representa por AB. Los vectores tienen: Módulo (distancia entre A y B) Dirección (recta que pasa por A y B) Sentido (el que va de A a B) Observaciones:.- Al conjunto formado por un vector y todos los equivalentes a él (mismo módulo, dirección y sentido) se le llama vector libre..- Se llama vector cero, 0, a aquél cuyo origen y extremo coinciden, su módulo es cero y no tiene dirección ni sentido.

2 Vector libre. Operaciones Definición: Para sumar dos vectores u y v, (u+v): Para multiplicar un vector u por un escalar λ, λu: Vectores de R y R 3 R = {(a,b) / a, b R } Diremos que (x,y) son las coordenadas Del punto P del plano y del vector u=op, y escribiremos P(x,y) y u=(x,y). Aplicando el teorema de Pitágoras se Puede obtener el módulo del vector u=(x,y): u = x + y R 3 = {(a,b,c) / a, b,c R } Diremos que (x,y,z) son las coordenadas Del punto P del espacio y del vector u=op, y escribiremos P(x,y,z) y u=(x,y,z). El módulo del vector u=(x,y,z): u = x + y + z

3 Vectores de R y R 3 Suma En R : (x, y ) + (x, y ) = (x +x, y +y ) En R 3 : (x, y, z ) + (x, y, z ) = (x +x, y +y, z +z ) Multiplicación por un escalar En R : λ (x, y) = (λ x, λ y) En R 3 : λ (x, y, z) = (λ x, λ y, λ z) Hay vectores especiales que se utilizan para representar cualquier otro vector llamados vectores canónicos En R : los vectores (,0) y (0,) se representan por i y por j. En R 3 : los vectores (,0,0), (0,,0) y (0,0,) representados por i, j y k. Así u = (x,y,z) = xi + yj + zk Producto escalar de dos vectores En R : el producto escalar de u=(x,y ) y v=(x,y ) es el número real u v = x x + y y En R 3 : el producto escalar de u=(x,y,z ) y v=(x,y,z ) es el número real u v = x x + y y + z z Propiedades Para vectores arbitrarios u, v, w R ó R 3 y para λ R se cumple: u v = v u u (v+w) = u v + u w (λ u) v = λ(u v) = u (λ v) u u = u 0. Además u u = 0 u = 0 u 0 = 0 Observación: Si u v = 0 no implica que u=0 ó v=0. 3

4 Ángulo entre dos vectores El ángulo entre dos vectores no nulos u y v es el ángulo θ, 0 θ π, definido por representantes de ambos vectores con el mismo origen. u v cos θ = u v Dos vectores u y v son ortogonales cuando su producto escalar es cero, u v = 0. Si ambos vectores son no nulos se dice que son vectores perpendiculares, siendo el ángulo entre u y v igual a π/. Dos vectores no nulos u y v son paralelos cuando forman un ángulo de 0 ó π radianes, lo que ocurre si existe un número real λ tal que u=λv, es decir las coordenadas de u y v son proporcionales. Producto vectorial de dos vectores en R 3 El producto vectorial de u = (x,y,z ) = x i + y j + z k y v = (x,y,z ) = x i + y j + z k es el vector i j k y z x z u v = x y z = i j + y z x z x y z Propiedades: x x y y k u v = (v u) ( αu) v = α(u v) = u ( αv) u (v + W) = (u v) + (u w) u v = u v u v = u v senθ (u v) 4

5 Producto vectorial de dos vectores en R 3 Propiedades: Si u y v son paralelos, entonces u x v = 0. Si u x v = 0, entonces u y v son paralelos o alguno de ellos es el vector 0. El producto vectorial (u x v) es un vector ortogonal a u y a v. El sentido de (u x v) viene dado por el avance del sacacorchos que gira de u a v, o bien por la regla de la mano derecha Producto vectorial de dos vectores en R 3 Interpretación geométrica: El producto vectorial de los vectores u y v es un vector cuyo módulo es igual al área del paralelogramo que tiene a u y a v como lados adyacentes Área del paralelogramo = base x altura = u v senθ Área = u x v 5

6 Producto mixto de tres vectores en R 3 Dados los vectores u = (x,y,z ) v = (x,y,z ) y w = (x 3,y 3,z 3 ) Su producto mixto es el número real Interpretación geométrica: u (v w) = El valor absoluto del producto mixto de u, v y w es igual al volumen del paralelepípedo que tiene a dichos vectores con lados adyacentes x x x 3 y y y 3 z z z 3 Espacio Vectorial Un espacio vectorial sobre R es un conjunto E donde se define la operación suma, +, que cumple: para u, v, y w E y λ, µ R ) u + v E (es operación interna) ) (u + v) + w = u + (v + w) (asociativa) 3) u + v = v + u (conmutativa) 4) 0 E tal que u + 0 = u (vector cero) 5) u E, -u E tal que u + (-u) = 0 (vector opuesto) Y una operación producto que cumple: ) λ u E (es operación externa) ) λ (u + v) = λ u + λ v 3) (λ + µ) v = λ v + µ v 4) λ (µ u) = (λ µ) u 5) u = u 6

7 Espacio Vectorial Los elementos de un espacio vectorial se llaman vectores y los números reales escalares. Propiedades: I) λ u = 0 λ = 0 ó u = 0 II) (-) u = -u Subespacio Vectorial (subconjunto que conserva la estructura de e.v.) Un subespacio vectorial de un e.v. E es un subconjunto S de E, que es espacio vectorial con la suma y el producto de E. Caracterización S, subconjunto de E distinto del vacío, es subespacio vectorial de E si y sólo si se cumple que u + v S y λ u S siempre que u, v S y λ R Dependencia Lineal Definiciones: Sea A={v, v,, v n } vectores de un e.v. E, llamaremos combinación lineal de A a todo vector w E que puede expresarse de la forma w = α v + α v + + α n v n con α, α,, α n R Teorema: Al conjunto de todos los vectores que son combinación lineal de la familia A, le llamaremos clausura lineal de A y se nota L(A) = { α v + α v + + α n v n / α i R} En las condiciones de la definición, el conjunto L(A) es subespacio vectorial de E 7

8 Dependencia Lineal Diremos que la familia de vectores A genera el subespacio L(A). Corolarios: ) Existen infinitas familias de vectores que generan el mismo subespacio vectorial que una familia dada. Es decir, todo subespacio vectorial tiene infinidad de familias generadoras. ) Sea S un subespacio vectorial y A= {v, v,, v n } vectores del e.v. E. Entonces A genera a S todo vector de S es v,v,...,v S n combinación lineal de { v,v,...,v } n Definiciones: Dependencia Lineal ) Diremos que v, v,, v n E e.v. son linealmente independientes (forman una familia libre) si la ecuación α v + α v + + α n v n = 0 tiene como única solución α = α = = α n = 0. ) En caso contrario, algún escalar es distinto de cero por lo que algún vector es combinación lineal del resto, y en ese caso diremos que son linealmente dependientes (forman una familia ligada). Propiedades: - Toda familia que contenga el vector 0 es ligada. - Un solo vector w E, w 0 es linealmente independiente. 8

9 Dependencia Lineal Observaciones:. Un método para estudiar la dependencia lineal de k vectores de R n es el basado en que el máximo número de vectores linealmente independientes es igual al rango de la matriz que tiene por filas (ó columnas) a dichos vectores.. Más de n vectores de R n siempre son linealmente dependientes. 3. Exactamente n vectores de R n son linealmente independientes si, y sólo si el determinante formado por sus coordenadas es distinto de cero. Definición: Bases y Dimensión Sea E e.v., B= {v, v,, v n } es base de E si es una familia libre y generadora de E. Teorema: Todas las bases de un e.v. tienen el mismo número de vectores. Definición: Se llama dimensión de un e.v. E al número de vectores de una cualquiera de sus bases. Observaciones: El e.v. nulo {0} no tiene base y su dimensión es 0. Si S es subespacio v. de E, entonces dim(s) dim(e). Si dim(s) = dim(e), entonces S = E. Si cambiamos el orden de los vectores tenemos otra base. 9

10 Bases y Dimensión Teorema: Teorema: Sea E un e.v. tal que dim(e) = n y {v, v,, v k } una familia libre de vectores de E, donde k < n. Entonces existen vectores v k+,, v n tales que {v, v,, v k,v k+,,v n } es una base de E. Es decir, la familia puede ampliarse hasta formar una base de E. Si dim(e) = n entonces toda familia libre de n vectores de E es base. Definiciones: Sea B= {v, v,, v n } una base de un espacio vectorial E ) B es base ortogonal de E si u i u j = 0 i j. ) B es base ortonormal de E si es base ortogonal y u i = para i=,..n. Por ejemplo las bases canónicas. Coordenadas Teorema: Dada una base B = {v, v,, v n } del e.v. E, todo vector v E se puede expresar, de forma única, como combinación lineal de los vectores de B, es decir v = α v + α v +,, + α n v n Los n números reales α, α,, α n se llaman coordenadas del vector v en la base B. Notación: v B = (α, α,, α n ) 0

11 Donde Ecuación del cambio de base. Cambio de base Esta ecuación relaciona las coordenadas de un vector v respecto una base B con las coordenadas del mismo vector respecto de otra base B X = P Y X: vector columna de las coordenadas de v respecto de B. Y: vector columna de las coordenadas de v respecto de B. P: matriz cuya columna i-ésima son las coordenadas del vector i-ésimo de la base B respecto de la base B.

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