ESPACIOS VECTORIALES

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "ESPACIOS VECTORIALES"

Transcripción

1 ESPACIOS VECTORIALES Luisa Martín Horcajo U.P.M. Definición: Vector libre. Operaciones Un vector fijo es una segmento orientado, que queda caracterizado por su origen A y su extremo B y se representa por AB. Los vectores tienen: Módulo (distancia entre A y B) Dirección (recta que pasa por A y B) Sentido (el que va de A a B) Observaciones:.- Al conjunto formado por un vector y todos los equivalentes a él (mismo módulo, dirección y sentido) se le llama vector libre..- Se llama vector cero, 0, a aquél cuyo origen y extremo coinciden, su módulo es cero y no tiene dirección ni sentido.

2 Vector libre. Operaciones Definición: Para sumar dos vectores u y v, (u+v): Para multiplicar un vector u por un escalar λ, λu: Vectores de R y R 3 R = {(a,b) / a, b R } Diremos que (x,y) son las coordenadas Del punto P del plano y del vector u=op, y escribiremos P(x,y) y u=(x,y). Aplicando el teorema de Pitágoras se Puede obtener el módulo del vector u=(x,y): u = x + y R 3 = {(a,b,c) / a, b,c R } Diremos que (x,y,z) son las coordenadas Del punto P del espacio y del vector u=op, y escribiremos P(x,y,z) y u=(x,y,z). El módulo del vector u=(x,y,z): u = x + y + z

3 Vectores de R y R 3 Suma En R : (x, y ) + (x, y ) = (x +x, y +y ) En R 3 : (x, y, z ) + (x, y, z ) = (x +x, y +y, z +z ) Multiplicación por un escalar En R : λ (x, y) = (λ x, λ y) En R 3 : λ (x, y, z) = (λ x, λ y, λ z) Hay vectores especiales que se utilizan para representar cualquier otro vector llamados vectores canónicos En R : los vectores (,0) y (0,) se representan por i y por j. En R 3 : los vectores (,0,0), (0,,0) y (0,0,) representados por i, j y k. Así u = (x,y,z) = xi + yj + zk Producto escalar de dos vectores En R : el producto escalar de u=(x,y ) y v=(x,y ) es el número real u v = x x + y y En R 3 : el producto escalar de u=(x,y,z ) y v=(x,y,z ) es el número real u v = x x + y y + z z Propiedades Para vectores arbitrarios u, v, w R ó R 3 y para λ R se cumple: u v = v u u (v+w) = u v + u w (λ u) v = λ(u v) = u (λ v) u u = u 0. Además u u = 0 u = 0 u 0 = 0 Observación: Si u v = 0 no implica que u=0 ó v=0. 3

4 Ángulo entre dos vectores El ángulo entre dos vectores no nulos u y v es el ángulo θ, 0 θ π, definido por representantes de ambos vectores con el mismo origen. u v cos θ = u v Dos vectores u y v son ortogonales cuando su producto escalar es cero, u v = 0. Si ambos vectores son no nulos se dice que son vectores perpendiculares, siendo el ángulo entre u y v igual a π/. Dos vectores no nulos u y v son paralelos cuando forman un ángulo de 0 ó π radianes, lo que ocurre si existe un número real λ tal que u=λv, es decir las coordenadas de u y v son proporcionales. Producto vectorial de dos vectores en R 3 El producto vectorial de u = (x,y,z ) = x i + y j + z k y v = (x,y,z ) = x i + y j + z k es el vector i j k y z x z u v = x y z = i j + y z x z x y z Propiedades: x x y y k u v = (v u) ( αu) v = α(u v) = u ( αv) u (v + W) = (u v) + (u w) u v = u v u v = u v senθ (u v) 4

5 Producto vectorial de dos vectores en R 3 Propiedades: Si u y v son paralelos, entonces u x v = 0. Si u x v = 0, entonces u y v son paralelos o alguno de ellos es el vector 0. El producto vectorial (u x v) es un vector ortogonal a u y a v. El sentido de (u x v) viene dado por el avance del sacacorchos que gira de u a v, o bien por la regla de la mano derecha Producto vectorial de dos vectores en R 3 Interpretación geométrica: El producto vectorial de los vectores u y v es un vector cuyo módulo es igual al área del paralelogramo que tiene a u y a v como lados adyacentes Área del paralelogramo = base x altura = u v senθ Área = u x v 5

6 Producto mixto de tres vectores en R 3 Dados los vectores u = (x,y,z ) v = (x,y,z ) y w = (x 3,y 3,z 3 ) Su producto mixto es el número real Interpretación geométrica: u (v w) = El valor absoluto del producto mixto de u, v y w es igual al volumen del paralelepípedo que tiene a dichos vectores con lados adyacentes x x x 3 y y y 3 z z z 3 Espacio Vectorial Un espacio vectorial sobre R es un conjunto E donde se define la operación suma, +, que cumple: para u, v, y w E y λ, µ R ) u + v E (es operación interna) ) (u + v) + w = u + (v + w) (asociativa) 3) u + v = v + u (conmutativa) 4) 0 E tal que u + 0 = u (vector cero) 5) u E, -u E tal que u + (-u) = 0 (vector opuesto) Y una operación producto que cumple: ) λ u E (es operación externa) ) λ (u + v) = λ u + λ v 3) (λ + µ) v = λ v + µ v 4) λ (µ u) = (λ µ) u 5) u = u 6

7 Espacio Vectorial Los elementos de un espacio vectorial se llaman vectores y los números reales escalares. Propiedades: I) λ u = 0 λ = 0 ó u = 0 II) (-) u = -u Subespacio Vectorial (subconjunto que conserva la estructura de e.v.) Un subespacio vectorial de un e.v. E es un subconjunto S de E, que es espacio vectorial con la suma y el producto de E. Caracterización S, subconjunto de E distinto del vacío, es subespacio vectorial de E si y sólo si se cumple que u + v S y λ u S siempre que u, v S y λ R Dependencia Lineal Definiciones: Sea A={v, v,, v n } vectores de un e.v. E, llamaremos combinación lineal de A a todo vector w E que puede expresarse de la forma w = α v + α v + + α n v n con α, α,, α n R Teorema: Al conjunto de todos los vectores que son combinación lineal de la familia A, le llamaremos clausura lineal de A y se nota L(A) = { α v + α v + + α n v n / α i R} En las condiciones de la definición, el conjunto L(A) es subespacio vectorial de E 7

8 Dependencia Lineal Diremos que la familia de vectores A genera el subespacio L(A). Corolarios: ) Existen infinitas familias de vectores que generan el mismo subespacio vectorial que una familia dada. Es decir, todo subespacio vectorial tiene infinidad de familias generadoras. ) Sea S un subespacio vectorial y A= {v, v,, v n } vectores del e.v. E. Entonces A genera a S todo vector de S es v,v,...,v S n combinación lineal de { v,v,...,v } n Definiciones: Dependencia Lineal ) Diremos que v, v,, v n E e.v. son linealmente independientes (forman una familia libre) si la ecuación α v + α v + + α n v n = 0 tiene como única solución α = α = = α n = 0. ) En caso contrario, algún escalar es distinto de cero por lo que algún vector es combinación lineal del resto, y en ese caso diremos que son linealmente dependientes (forman una familia ligada). Propiedades: - Toda familia que contenga el vector 0 es ligada. - Un solo vector w E, w 0 es linealmente independiente. 8

9 Dependencia Lineal Observaciones:. Un método para estudiar la dependencia lineal de k vectores de R n es el basado en que el máximo número de vectores linealmente independientes es igual al rango de la matriz que tiene por filas (ó columnas) a dichos vectores.. Más de n vectores de R n siempre son linealmente dependientes. 3. Exactamente n vectores de R n son linealmente independientes si, y sólo si el determinante formado por sus coordenadas es distinto de cero. Definición: Bases y Dimensión Sea E e.v., B= {v, v,, v n } es base de E si es una familia libre y generadora de E. Teorema: Todas las bases de un e.v. tienen el mismo número de vectores. Definición: Se llama dimensión de un e.v. E al número de vectores de una cualquiera de sus bases. Observaciones: El e.v. nulo {0} no tiene base y su dimensión es 0. Si S es subespacio v. de E, entonces dim(s) dim(e). Si dim(s) = dim(e), entonces S = E. Si cambiamos el orden de los vectores tenemos otra base. 9

10 Bases y Dimensión Teorema: Teorema: Sea E un e.v. tal que dim(e) = n y {v, v,, v k } una familia libre de vectores de E, donde k < n. Entonces existen vectores v k+,, v n tales que {v, v,, v k,v k+,,v n } es una base de E. Es decir, la familia puede ampliarse hasta formar una base de E. Si dim(e) = n entonces toda familia libre de n vectores de E es base. Definiciones: Sea B= {v, v,, v n } una base de un espacio vectorial E ) B es base ortogonal de E si u i u j = 0 i j. ) B es base ortonormal de E si es base ortogonal y u i = para i=,..n. Por ejemplo las bases canónicas. Coordenadas Teorema: Dada una base B = {v, v,, v n } del e.v. E, todo vector v E se puede expresar, de forma única, como combinación lineal de los vectores de B, es decir v = α v + α v +,, + α n v n Los n números reales α, α,, α n se llaman coordenadas del vector v en la base B. Notación: v B = (α, α,, α n ) 0

11 Donde Ecuación del cambio de base. Cambio de base Esta ecuación relaciona las coordenadas de un vector v respecto una base B con las coordenadas del mismo vector respecto de otra base B X = P Y X: vector columna de las coordenadas de v respecto de B. Y: vector columna de las coordenadas de v respecto de B. P: matriz cuya columna i-ésima son las coordenadas del vector i-ésimo de la base B respecto de la base B.

TEMA 11. VECTORES EN EL ESPACIO

TEMA 11. VECTORES EN EL ESPACIO TEMA 11. VECTORES EN EL ESPACIO Dados dos puntos y, se define el vector como el segmento orientado caracterizado por su módulo, su dirección y su sentido. Dos vectores son equipolentes si tienen el mismo

Más detalles

MATEMÁTICASII Curso académico BLOQUE GEOMETRÍA. TEMA 1: VECTORES

MATEMÁTICASII Curso académico BLOQUE GEOMETRÍA. TEMA 1: VECTORES MATEMÁTICASII Curso académico 2015-2016 BLOQUE GEOMETRÍA. TEMA 1: VECTORES 1.1 VECTORES DEL ESPACIO. VECTORES LIBRES DEL ESPACIO Sean y dos puntos del espacio. Llamaremos vector (fijo) a un segmento orientado

Más detalles

El espacio euclídeo El espacio vectorial R n. Definición. Conjunto de todas las n-uplas de números reales:

El espacio euclídeo El espacio vectorial R n. Definición. Conjunto de todas las n-uplas de números reales: Lección 1 El espacio euclídeo 1.1. El espacio vectorial R n Definición. Conjunto de todas las n-uplas de números reales: R n = {(x 1,x 2,...,x n ) : x 1,x 2,...,x n R} Nos interesan los casos n = 2 y n

Más detalles

1. Si están situados en rectas paralelas: la recta que une los orígenes, deja sus extremos en un mismo semiplano.

1. Si están situados en rectas paralelas: la recta que une los orígenes, deja sus extremos en un mismo semiplano. CAPÍTULO 1 El plano vectorial Consideremos P como el plano intuitivo de puntos: A,,C... 1.1. El espacio vectorial de los vectores Definición 1.1 Vectores fijos Dado dos puntos cualesquiera A e del espacio

Más detalles

Espacios vectoriales reales.

Espacios vectoriales reales. Tema 3 Espacios vectoriales reales. 3.1 Espacios vectoriales. Definición 3.1 Un espacio vectorial real V es un conjunto de elementos denominados vectores, junto con dos operaciones, una que recibe el nombre

Más detalles

Espacios Vectoriales. Matemáticas. Espacios Vectoriales CARACTERIZACION COMBINACIONES LINEALES REDUCCION DE GAUSS SISTEMA GENERADOR, BASES

Espacios Vectoriales. Matemáticas. Espacios Vectoriales CARACTERIZACION COMBINACIONES LINEALES REDUCCION DE GAUSS SISTEMA GENERADOR, BASES Espacios Vectoriales Matemáticas Espacios Vectoriales CARACTERIZACION COMBINACIONES LINEALES REDUCCION DE GAUSS SISTEMA GENERADOR, BASES 5 ESPACIO VECTORIAL Dados: (E,+) Grupo Abeliano (K,+, ) Cuerpo :

Más detalles

Tema 2: Espacios Vectoriales

Tema 2: Espacios Vectoriales Tema 2: Espacios Vectoriales José M. Salazar Octubre de 2016 Tema 2: Espacios Vectoriales Lección 2. Espacios vectoriales. Subespacios vectoriales. Bases. Lección 3. Coordenadas respecto de una base. Ecuaciones.

Más detalles

Rectas, planos e hiperplanos

Rectas, planos e hiperplanos Semestre -8, Algebra Lineal 37 Rectas, planos e hiperplanos Recta P punto de la recta L, d vector no nulo de R n (vector director de la recta) X punto de la recta L PX paralelo a d (PX = td) PX = OX OP

Más detalles

Tema 1. Espacios Vectoriales Definición de Espacio Vectorial

Tema 1. Espacios Vectoriales Definición de Espacio Vectorial Tema 1 Espacios Vectoriales. 1.1. Definición de Espacio Vectorial Notas 1.1.1. Denotaremos por N, Z, Q, R, C, a los conjuntos de los números Naturales, Enteros, Racionales, Reales y Complejos, respectivamente.

Más detalles

ALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- Espacios vectoriales

ALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- Espacios vectoriales Resumen teoría Prof. Alcón ALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- Espacios vectoriales Sea (K, +,.) un cuerpo con característica 0. Podemos pensar K = Q, R o C. Si V es un conjunto cualquiera en el que

Más detalles

CONCEPTOS BÁSICOS DE ESPACIOS VECTORIALES Alumno. Cristina Mª Méndez Suero

CONCEPTOS BÁSICOS DE ESPACIOS VECTORIALES Alumno. Cristina Mª Méndez Suero Fundamento Científico del Currículum de Matemáticas en Enseñanza Secundaria CONCEPTOS BÁSICOS DE ESPACIOS VECTORIALES Alumno. Cristina Mª Méndez Suero ESPACIOS VECTORIALES DEFINICIÓN... 1 PROPIEDADES DE

Más detalles

Algebra Lineal. Gustavo Rodríguez Gómez. Verano 2011 INAOE. Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE) Algebra Lineal Verano / 21

Algebra Lineal. Gustavo Rodríguez Gómez. Verano 2011 INAOE. Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE) Algebra Lineal Verano / 21 Algebra Lineal Gustavo Rodríguez Gómez INAOE Verano 2011 Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE) Algebra Lineal Verano 2011 1 / 21 Espacios Vectoriales Espacios Vectoriales INAOE Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE)

Más detalles

520142: ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL

520142: ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL 520142: ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL Segundo Semestre 2008, Universidad de Concepción CAPITULO 10: Espacios Vectoriales DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas 1 Definición

Más detalles

GEOMETRÍA EN EL ESPACIO.

GEOMETRÍA EN EL ESPACIO. GEOMETRÍA EN EL ESPACIO. Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X e Y. Cada punto viene determinado por tres coordenadas

Más detalles

Espacios Vectoriales www.math.com.mx

Espacios Vectoriales www.math.com.mx Espacios Vectoriales Definiciones básicas de Espacios Vectoriales www.math.com.mx José de Jesús Angel Angel jjaa@math.com.mx MathCon c 007-009 Contenido. Espacios Vectoriales.. Idea Básica de Espacio Vectorial.................................

Más detalles

TEMA 8. GEOMETRÍA ANALÍTICA.

TEMA 8. GEOMETRÍA ANALÍTICA. TEMA 8. GEOMETRÍA ANALÍTICA. 8..- El plano. Definimos el plano euclideo como el conjunto de puntos ( x, y) R. Así, cada punto del plano posee dos coordenadas. Para representar puntos del plano utilizaremos

Más detalles

Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas

Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas real de con Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas, Grupo de Innovación Didáctica Departamento de Matemáticas Universidad de Extremadura real de con Índice real de con real de con.

Más detalles

Resuelve. Unidad 4. Vectores en el espacio. BACHILLERATO Matemáticas II. Diagonal de un ortoedro y volumen de un paralelepípedo.

Resuelve. Unidad 4. Vectores en el espacio. BACHILLERATO Matemáticas II. Diagonal de un ortoedro y volumen de un paralelepípedo. Resuelve Página Diagonal de un ortoedro y volumen de un paralelepípedo. Expresa la diagonal de un ortoedro en función de sus dimensiones, a, b y c. c b a c c b b a Diagonal = a + b + c. Calcula el volumen

Más detalles

Espacios Vectoriales

Espacios Vectoriales Espacios Vectoriales Espacios Vectoriales Verónica Briceño V. noviembre 2013 Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 1 / 47 En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Espacios

Más detalles

Tema 4. Vectores en el espacio (Productos escalar, vectorial y mixto)

Tema 4. Vectores en el espacio (Productos escalar, vectorial y mixto) Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Geometría del espacio: Vectores 75 Espacios vectoriales Tema 4 Vectores en el espacio (Productos escalar, vectorial y mixto) Definición de espacio vectorial Un

Más detalles

Tema 3: Espacios vectoriales

Tema 3: Espacios vectoriales Tema 3: Espacios vectoriales K denotará un cuerpo. Definición. Se dice que un conjunto no vacio V es un espacio vectorial sobre K o que es un K-espacio vectorial si: 1. En V está definida una operación

Más detalles

Problemas métricos. Ángulo entre rectas y planos

Problemas métricos. Ángulo entre rectas y planos Problemas métricos Ángulo entre rectas y planos Ángulo entre dos rectas El ángulo que forman dos rectas es el ángulo agudo que determinan entre sí sus vectores directores. Dos rectas son perpendiculares

Más detalles

Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matemáticas Álgebra Lineal - Grupo 5 Resumen Unidad n 3

Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matemáticas Álgebra Lineal - Grupo 5 Resumen Unidad n 3 Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matemáticas 1000003-5 Álgebra Lineal - Grupo 5 Resumen Unidad n 3 Vectores en R n Definición. El conjunto de las n-tuplas ordenadas de números reales se

Más detalles

Algebra lineal y conjuntos convexos

Algebra lineal y conjuntos convexos Apéndice A Algebra lineal y conjuntos convexos El método simplex que se describirá en el Tema 2 es de naturaleza algebraica y consiste en calcular soluciones de sistemas de ecuaciones lineales y determinar

Más detalles

EJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA 1 ESPACIOS VECTORIALES

EJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA 1 ESPACIOS VECTORIALES EJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA ESPACIOS VECTORIALES Formas reducidas y escalonada de una matriz SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ) Encuentre una sucesión de matrices elementales E, E,..., E k tal que

Más detalles

1. Producto escalar. Propiedades Norma de un vector. Espacio normado. 1.2.Ortogonalidad. Ángulos. 1.4.Producto escalar en V 3.

1. Producto escalar. Propiedades Norma de un vector. Espacio normado. 1.2.Ortogonalidad. Ángulos. 1.4.Producto escalar en V 3. . Producto escalar. Propiedades... Norma de un vector. Espacio normado...ortogonalidad. Ángulos..3.Producto escalar en V..4.Producto escalar en V 3.. Producto vectorial de dos vectores de V 3...Expresión

Más detalles

ESPACIOS VECTORIALES

ESPACIOS VECTORIALES ESPACIOS VECTORIALES Un espacio vectorial sobre K es una conjunto V que cumple: 1) Existe una regla que asocia a dos elementos u, v V su suma que se denota por u + v, que es también elemento de V y que

Más detalles

Problemas de Espacios Vectoriales

Problemas de Espacios Vectoriales Problemas de Espacios Vectoriales 1. Qué condiciones tiene que cumplir un súbconjunto no vacío de un espacio vectorial para que sea un subespacio vectorial de este? Pon un ejemplo. Sean E un espacio vectorial

Más detalles

Espacios Vectoriales

Espacios Vectoriales Leandro Marín Octubre 2010 Índice Definición y Ejemplos Paramétricas vs. Impĺıcitas Bases y Coordenadas Para definir un espacio vectorial tenemos que empezar determinando un cuerpo sobre el que esté definido

Más detalles

Trabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES

Trabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES Trabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES Ejercicio 1: Determine si los siguientes conjuntos con las operaciones definidas en cada caso son o no espacios vectoriales. Para aquellos que no lo sean, indique

Más detalles

Vectores. en el plano

Vectores. en el plano 7 Vectores 5 en el plano LECTURA INICIAL ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Los vectores nos dan información en situaciones como el sentido de avance de una barca o la dirección de un trayecto en bicicleta. INICIO

Más detalles

Espacios Vectoriales. AMD Grado en Ingeniería Informática. AMD Grado en Ingeniería Informática (UM) Espacios Vectoriales 1 / 21

Espacios Vectoriales. AMD Grado en Ingeniería Informática. AMD Grado en Ingeniería Informática (UM) Espacios Vectoriales 1 / 21 Espacios Vectoriales AMD Grado en Ingeniería Informática AMD Grado en Ingeniería Informática (UM) Espacios Vectoriales 1 / 21 Objetivos Al finalizar este tema tendrás que: Saber si unos vectores son independientes.

Más detalles

3.1 El espacio afín R n

3.1 El espacio afín R n 3. Geometría analítica 3.1 El espacio afín R n Consideremos el conjunto R n, formado por las listas ordenadas (x 1,...,x n ) de números reales. Convengamos en llamar puntos a los elementos de R n. Pero

Más detalles

Tema 2: Álgebra vectorial

Tema 2: Álgebra vectorial Tema 2: Álgebra vectorial FISICA I, 1º Grado en Ingeniería Civil Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla 1 Índice Magnitudes escalares y vectoriales Definición de vector Vectores

Más detalles

Geometría del plano y el espacio

Geometría del plano y el espacio Geometría del plano y el espacio AMD Grado en Ingeniería Informática AMD Grado en Ingeniería Informática (UM) Geometría del plano y el espacio 1 / 21 Objetivos Al final de este tema tendréis que Conocer

Más detalles

Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matemáticas Álgebra Lineal - Grupo 1 Resumen Unidad n 3

Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matemáticas Álgebra Lineal - Grupo 1 Resumen Unidad n 3 Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matemáticas 1000003-5 Álgebra Lineal - Grupo 1 Resumen Unidad n 3 Vectores en R n Definición. El conjunto de las n-tuplas ordenadas de números reales se

Más detalles

Capítulo 8: Vectores

Capítulo 8: Vectores Capítulo 8: Vectores 1. Lección 30. Operaciones con vectores 1.1. Vectores El concepto de vector aparece en Física para describir magnitudes, tales como la fuerza que actúa sobre un punto, en las que no

Más detalles

ESPACIOS VECTORIALES

ESPACIOS VECTORIALES MATEMÁTICA I - - Capítulo 8 ------------------------------------------------------------------------------------ ESPACIOS VECTORIALES.. Espacios Vectoriales y Subespacios... Definición. Un espacio vectorial

Más detalles

Ecuaciones de la recta en el espacio

Ecuaciones de la recta en el espacio Ecuaciones de la recta en el espacio Ecuación vectorial de la recta Sea P(x 1, y 1 ) es un punto de la recta r y uu su vector director, el vector PPXX tiene igual dirección que uu, luego es igual a uu

Más detalles

Espacios vectoriales

Espacios vectoriales Espacios vectoriales [Versión preliminar] Prof. Isabel Arratia Z. Algebra Lineal 1 En el estudio de las matrices y, en particular, de los sistemas de ecuaciones lineales realizamos sumas y multiplicación

Más detalles

Introducción a los espacios vectoriales

Introducción a los espacios vectoriales 1 / 64 Introducción a los espacios vectoriales Pablo Olaso Redondo Informática Universidad Francisco de Vitoria November 19, 2015 2 / 64 Espacios vectoriales 1 Las 10 propiedades de un espacio vectorial

Más detalles

Matrices. Operaciones con matrices.

Matrices. Operaciones con matrices. Matrices. Operaciones con matrices. Ejercicio. Dadas las matrices ( ) ( ) 4 A = B = ( ) C = D = 4 5 ( ) 4 E = F = seleccione las que se pueden sumar y súmelas. Ejercicio. Dadas las matrices ( ) ( ) A =

Más detalles

Espacios Vectoriales Asturias: Red de Universidades Virtuales Iberoamericanas 1

Espacios Vectoriales Asturias: Red de Universidades Virtuales Iberoamericanas 1 Espacios Vectoriales 201 6Asturias: Red de Universidades Virtuales Iberoamericanas 1 Índice 1 Espacios Vectoriales... 4 1.1 Definición de espacio vectorial... 4 1.2 Definición de subespacio vectorial...

Más detalles

Capítulo 7. Espacios vectoriales. 7.1 Definición y ejemplos

Capítulo 7. Espacios vectoriales. 7.1 Definición y ejemplos Capítulo Espacios vectoriales.1 Definición y ejemplos Un espacio vectorial sobre un cuerpo K (que supondremos conmutativo es un conjunto no vacío junto con 1. una operación interna, +, a la que llamaremos

Más detalles

son dos elementos de Rⁿ, definimos su suma, denotada por

son dos elementos de Rⁿ, definimos su suma, denotada por 1.1 Definición de un vector en R², R³ y su Interpretación geométrica. 1.2 Introducción a los campos escalares y vectoriales. 1.3 La geometría de las operaciones vectoriales. 1.4 Operaciones con vectores

Más detalles

Trabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES. Ejercicio 1:

Trabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES. Ejercicio 1: 6 Trabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES Ejercicio : Determine si los siguientes conjuntos con las operaciones definidas en cada caso son o no espacios vectoriales. Para aquellos que no lo sean, indique

Más detalles

Espacios Vectoriales

Espacios Vectoriales Espacios y subespacios vectoriales Espacios Vectoriales 1. Demuestre que con la suma y multiplicación habituales es un espacio vectorial real.. Considere el conjunto C de los números complejos con la suma

Más detalles

APUNTES DE FÍSICA I Profesor: José Fernando Pinto Parra UNIDAD 2 ÁLGEBRA VECTORIAL

APUNTES DE FÍSICA I Profesor: José Fernando Pinto Parra UNIDAD 2 ÁLGEBRA VECTORIAL Vectores y escalares. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA APUNTES DE FÍSICA I Profesor: José Fernando Pinto Parra UNIDAD 2 ÁLGEBRA VECTORIAL Las magnitudes escalares son aquellas magnitudes físicas que

Más detalles

Espacios Vectoriales Euclídeos. Métodos de los mínimos cuadrados

Espacios Vectoriales Euclídeos. Métodos de los mínimos cuadrados Capítulo 5 Espacios Vectoriales Euclídeos. Métodos de los mínimos cuadrados En este tema iniciamos el estudio de los conceptos geométricos de distancia y perpendicularidad en K n. Empezaremos con las definiciones

Más detalles

EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD DE GEOMETRIA

EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD DE GEOMETRIA EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD DE GEOMETRIA 2003 (4) Ejercicio 1. Considera los vectores u = (1,1,1), v = (2,2,a) y w = (2,0,0), (a) [1'25 puntos] Halla los valores de a para que los vectores u, v y w sean

Más detalles

I.E.S. Miguel de Cervantes (Granada) Departamento de Matemáticas GBG 1

I.E.S. Miguel de Cervantes (Granada) Departamento de Matemáticas GBG 1 PRODUCTO ESCALAR INTRODUCCIÓN El espacio vectorial de los vectores libres del plano se caracteriza por tener definidas dos operaciones: una interna, suma de vectores, y otra externa, producto de un número

Más detalles

Las variedades lineales en un K-espacio vectorial V pueden definirse como sigue a partir de los subespacios de V.

Las variedades lineales en un K-espacio vectorial V pueden definirse como sigue a partir de los subespacios de V. Capítulo 9 Variedades lineales Al considerar los subespacios de R 2, vimos que éstos son el conjunto {(0, 0)}, el espacio R 2 y las rectas que pasan por el origen. Ahora, en algunos contextos, por ejemplo

Más detalles

Elementos de geometría lineal en R n

Elementos de geometría lineal en R n Tema 2 Elementos de geometría lineal en R n 2.1. Estructura vectorial de R n. Subespacios vectoriales En el tema de introducción (tema 0) se comentó cómo se puede identificar el conjunto R de los números

Más detalles

y cualquier par (x, y) puede escalarse, multiplicarse por un número real s, para obtener otro vector (sx, sy).

y cualquier par (x, y) puede escalarse, multiplicarse por un número real s, para obtener otro vector (sx, sy). UNIDAD II: VECTORES EN DOS Y TRES DIMENSIONES Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en la rama de la matemática llamada álgebra lineal. A los elementos de los espacios

Más detalles

Tema 2. Aplicaciones lineales. Diagonalización de endomorfismos.

Tema 2. Aplicaciones lineales. Diagonalización de endomorfismos. Tema 2. Aplicaciones lineales. Diagonalización de endomorfismos. Álgebra Lineal Escuela Politécnica Superior Universidad de Málaga Emilio Muñoz-Velasco (Basado en los apuntes de Jesús Medina e Inmaculada

Más detalles

Matrices. Álgebra de matrices.

Matrices. Álgebra de matrices. Matrices. Álgebra de matrices. 1. Definiciones generales Definición 1.1 Si m y n son dos números naturales, se llama matriz de números reales de orden m n a una aplicación A : {1, 2, 3,..., m} {1, 2, 3,...,

Más detalles

Base y Dimensión de un Espacio Vectorial

Base y Dimensión de un Espacio Vectorial Base y Dimensión de un Espacio Vectorial 201 6Asturias: Red de Universidades Virtuales Iberoamericanas 1 Índice 1 Qué es un sistema generador?... 4 2 Base de un espacio vectorial... 4 3 Dimensión de un

Más detalles

CÁLCULO VECTORIAL I. B, es un nuevo vector que se define del siguiente modo: Si A ybson (LI), entonces el vector A. B se caracteriza por:

CÁLCULO VECTORIAL I. B, es un nuevo vector que se define del siguiente modo: Si A ybson (LI), entonces el vector A. B se caracteriza por: PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES El producto vectorial de dos vectores A y, y escribimos A, es un nuevo vector que se define del siguiente modo: Si A yson (LI), entonces el vector A se caracteriza por:

Más detalles

Tema 1. 1 Álgebra lineal. Aurea Grané Departamento de Estadística Universidad Carlos III de Madrid. 1.1 Vectores de R n. 1. Vectores. 2.

Tema 1. 1 Álgebra lineal. Aurea Grané Departamento de Estadística Universidad Carlos III de Madrid. 1.1 Vectores de R n. 1. Vectores. 2. Aurea Grané. Máster en Estadística. Universidade Pedagógica. 1 Aurea Grané. Máster en Estadística. Universidade Pedagógica. 2 Tema 1 Álgebra lineal 1. Vectores 2. Matrices 1 Álgebra lineal Aurea Grané

Más detalles

INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VECTORIAL

INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VECTORIAL 1. INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VECTORIAL Este capítulo es una revisión condensada de los principales conceptos del cálculo vectorial a modo de repaso de un tema que se supone más o menos conocido

Más detalles

Tema 2: Vectores libres

Tema 2: Vectores libres Tema 2: Vectores libres FISICA I, 1º Grado en Ingeniería Aeroespacial Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla 1 Índice Magnitudes escalares y vectoriales Definición de vector Vectores

Más detalles

TEMA 11: VECTORES EN EL ESPACIO

TEMA 11: VECTORES EN EL ESPACIO Matemáticas º Bachillerato. Geometría Analítica TEMA : VECTORES EN EL ESPACIO. VECTORES EN EL ESPACIO OPERACIONES CON VECTORES. BASE DEL CONJUNTO DE VECTORES DEL ESPACIO. PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES

Más detalles

ESPACIOS VECTORIALES

ESPACIOS VECTORIALES 1. Introducción: 1.1 Grupo Abeliano 1. Cuerpo. Estructura de espacio vectorial 3. Propiedades 4. Subespacio vectorial 5. Combinación lineal de vectores 5.1 Propiedades 6. Dependencia e independencia lineal

Más detalles

Un vector geométrico es un segmento de recta dirigido en el plano o el espacio euclidiano.

Un vector geométrico es un segmento de recta dirigido en el plano o el espacio euclidiano. ectores n vector geométrico es un segmento de recta dirigido en el plano o el espacio euclidiano. Diremos que dos vectores son iguales si tienen la misma dirección, magnitud (tamaño) y sentido, sin importar

Más detalles

BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN

BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN 1 BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN BANCO DE PREGUNTAS CURSO: ALGEBRA LINEAL LICENCIATURA EN CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN MC Fco. Javier Robles Mendoza Otoño

Más detalles

1. ESPACIOS DE HILBERT Y OPERADORES

1. ESPACIOS DE HILBERT Y OPERADORES 1. ESPACIOS DE HILBERT Y OPERADORES 1. DEFINICIÓN, PROPIEDADES Y EJEMPLOS Definición. Sea H un espacio vectorial sobre el cuerpo C de los números complejos, un producto escalar sobre H es una aplicación

Más detalles

CLASIFICACIÓN AFÍN DE CÓNICAS

CLASIFICACIÓN AFÍN DE CÓNICAS Álgebra lineal y Geometría I Gloria Serrano Sotelo Departamento de MATEMÁTICAS CLASIFICACIÓN AFÍN DE CÓNICAS Sea E un R-espacio vectorial de dimensión. Sean E = e 1, e un plano vectorial de E y e 0 un

Más detalles

MISCELANEA DE EJERCICIOS algebra lineal

MISCELANEA DE EJERCICIOS algebra lineal OpenStax-CNX module: m23671 1 MISCELANEA DE EJERCICIOS algebra lineal daniela vega This work is produced by OpenStax-CNX and licensed under the Creative Commons Attribution License 3.0 Abstract es una

Más detalles

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA EJERCICIOS DE GEOMETRÍA 1. Se consideran las rectas r x 2 = 0 x 2z = 1, s y + 3 = 0 y + z = 3 a) Estudiar la posición relativa de r y s. b) Hallar la mínima distancia entre ambas. Se pide: Sol: Se cruzan

Más detalles

2.1 Proyección ortogonal sobre un subespacio. El teorema de la proyección ortogonal

2.1 Proyección ortogonal sobre un subespacio. El teorema de la proyección ortogonal Tema 2- Proyecciones, simetrías y giros ÍNDICE 21 Proyección ortogonal sobre un subespacio El teorema de la proyección ortogonal 22 Simétría ortogonal respecto de un subespacio 23 Matrices de Householder

Más detalles

Algebra Lineal Xa: Álgebra Vectorial en R3

Algebra Lineal Xa: Álgebra Vectorial en R3 Algebra Lineal Xa: Álgebra Vectorial en R3 José María Rico Martínez Departamento de Ingeniería Mecánica Facultad de Ingeniería Mecánica Eléctrica y Electrónica Universidad de Guanajuato email: jrico@salamanca.ugto.mx

Más detalles

Algebra Lineal y Geometría.

Algebra Lineal y Geometría. Algebra Lineal y Geometría. Unidad n 6: Subespacios Vectoriales. Algebra Lineal y Geometría Esp. Liliana Eva Mata 1 Contenidos. Subespacios Vectoriales. Operaciones con Subespacios: Intersección, unión,

Más detalles

GEOMETRÍA. (x 1) 2 +(y 2) 2 =1. Razónalo. x y + z = 2. :3x 3z +1= 0 es doble de la distancia al plano π 2. : x + y 1= 0. Razónalo.

GEOMETRÍA. (x 1) 2 +(y 2) 2 =1. Razónalo. x y + z = 2. :3x 3z +1= 0 es doble de la distancia al plano π 2. : x + y 1= 0. Razónalo. GEOMETRÍA 1. (Junio, 1994) Sin resolver el sistema, determina si la recta x +3y +1= 0 es exterior, secante o tangente a la circunferencia (x 1) +(y ) =1. Razónalo.. (Junio, 1994) Dadas las ecuaciones de

Más detalles

Fundamentos matemáticos. Tema 3 Geometría del plano y del espacio

Fundamentos matemáticos. Tema 3 Geometría del plano y del espacio Fundamentos matemáticos Grado en Ingeniería agrícola y del medio rural Tema 3 Geometría del plano y del espacio José Barrios García Departamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna jbarrios@ull.es

Más detalles

Tema III. Espacios vectoriales

Tema III. Espacios vectoriales Tema III. Espacios vectoriales 1. Espacios vectoriales 2. Dependencia e independencia lineal 3. Sistemas generadores. Bases 4. Cambio de base 5. Subespacios vectoriales. Ecuaciones. 6. Interpretación geométrica

Más detalles

Matrices, Determinantes y Sistemas Lineales.

Matrices, Determinantes y Sistemas Lineales. 12 de octubre de 2014 Matrices Una matriz A m n es una colección de números ordenados en filas y columnas a 11 a 12 a 1n f 1 a 21 a 22 a 2n f 2....... a m1 a m2 a mn f m c 1 c 2 c n Decimos que la dimensión

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2011 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2011 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 0 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva, Ejercicio 4, Opción A Reserva, Ejercicio 4,

Más detalles

Problemas métricos. 1. Problemas afines y problemas métricos

Problemas métricos. 1. Problemas afines y problemas métricos . Problemas afines y problemas métricos Al trabajar en el espacio (o análogamente en el plano) se nos pueden presentar dos tipos de problemas con los elementos habituales (puntos, rectas y planos): Problemas

Más detalles

Verifique los resultados analíticos mediante la resolución gráfica usando un software de Matemática.

Verifique los resultados analíticos mediante la resolución gráfica usando un software de Matemática. Álgebra Geometría Analítica Prof. Gisela Saslavsk Vectores en R en R 3. Rectas planos en el espacio Verifique los resultados analíticos mediante la resolución gráfica usando un software de Matemática..

Más detalles

102 EJERCICIOS DE ALGEBRA LINEAL por Francisco Rivero Mendoza Ph.D.

102 EJERCICIOS DE ALGEBRA LINEAL por Francisco Rivero Mendoza Ph.D. 102 EJERCICIOS DE ALGEBRA LINEAL por Francisco Rivero Mendoza Ph.D. Tema 1. Espacios Vectoriales. 1. Dar la definición de cuerpo. Dar tres ejemplos de cuerpos. Dar un ejemplo de un cuerpo finito 2. Defina

Más detalles

1. Operaciones con vectores

1. Operaciones con vectores 1. OPERACIONES CON VECTORES Academia Nakis (Lugones)684-61-61-03. 1 Resumen Geometría en 3D 1. Operaciones con vectores Sean los vectores W 1 = (a 1, b 1, c 1 ),W 2 = (a 2, b 2, c 2 ),W 3 = (a 3, b 3,

Más detalles

ANALISIS VECTORIAL. Vectores concurrentes: cuando se interceptan en un mismo punto.

ANALISIS VECTORIAL. Vectores concurrentes: cuando se interceptan en un mismo punto. ANALISIS VECTORIAL Vector: Es un operador matemático que sirve para representar a las magnitudes vectoriales. Vectores concurrentes: cuando se interceptan en un mismo punto. Vectores iguales: cuando tienen

Más detalles

Matemáticas II Bachillerato Ciencias y Tecnología 2º Curso ESPACIO AFÍN Introducción Ecuaciones de la recta...

Matemáticas II Bachillerato Ciencias y Tecnología 2º Curso ESPACIO AFÍN Introducción Ecuaciones de la recta... Unidad 5 ESPACIO AFÍN 5.. Introducción.... - - 5.. Ecuaciones de la recta.... - - 5.3. Ecuaciones del plano.... - 4-5.4. Posiciones relativas (Incidencia y paralelismo).... - 6 - Anexo I.- EJERCICIOS...

Más detalles

INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN

INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO Examen-Modelo para el curso 2014-2015 MATERIA: MATEMÁTICAS II INSTRUCCIONES GENERALES

Más detalles

Algebra Lineal * Working draft: México, D.F., a 17 de noviembre de 2010.

Algebra Lineal * Working draft: México, D.F., a 17 de noviembre de 2010. Algebra Lineal * José de Jesús Ángel Ángel jjaa@mathcommx Working draft: México, DF, a 17 de noviembre de 2010 Un resumen de los principales temas tratados en un curso de Álgebra Lineal Contenido 1 Sistemas

Más detalles

Julio C. Carrillo E. Profesor Escuela de Matemáticas Universidad Industrial de Santander. Monday, November 5, 2007 at 8:44 am (FA07.

Julio C. Carrillo E. Profesor Escuela de Matemáticas Universidad Industrial de Santander. Monday, November 5, 2007 at 8:44 am (FA07. Julio C. Carrillo E. Profesor Escuela de Matemáticas Universidad Industrial de Santander Monday, November 5, 2007 at 8:44 am (FA07.01,02) Para uso exclusivo en el salón de clase. 2007 c Julio C. Carrillo

Más detalles

Diagonalización. Tema Valores y vectores propios Planteamiento del problema Valores y vectores propios

Diagonalización. Tema Valores y vectores propios Planteamiento del problema Valores y vectores propios 61 Matemáticas I : Álgebra Lineal Tema 6 Diagonalización 61 Valores y vectores propios 611 Planteamiento del problema Problema general de diagonalización Dado un operador lineal f sobre un espacio vectorial

Más detalles

un conjunto cuyos elementos denominaremos vectores y denotaremos por es un espacio vectorial si verifica las siguientes propiedades:

un conjunto cuyos elementos denominaremos vectores y denotaremos por es un espacio vectorial si verifica las siguientes propiedades: CAPÍTULO 2: ESPACIOS VECTORIALES 2.1- Definición y propiedades. 2.1.1-Definición: espacio vectorial. Sea un cuerpo conmutativo a cuyos elementos denominaremos escalares o números. No es necesario preocuparse

Más detalles

Tema 1: Matrices. El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de datos como en el cálculo numérico.

Tema 1: Matrices. El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de datos como en el cálculo numérico. Tema 1: Matrices El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de datos como en el cálculo numérico. 1. Terminología Comenzamos con la definición de matriz

Más detalles

Matrices y determinantes. Sistemas de ecuaciones lineales

Matrices y determinantes. Sistemas de ecuaciones lineales Tema 0 Matrices y determinantes Sistemas de ecuaciones lineales 01 Introducción Definición 011 Se llama matriz a un conjunto ordenado de números, dispuestos en filas y columnas, formando un rectángulo

Más detalles

VECTORES. también con letras sobre las cuales se coloca una flechita ( a ). A = módulo de A. modulo o magnitud, dirección y sentido. vector.

VECTORES. también con letras sobre las cuales se coloca una flechita ( a ). A = módulo de A. modulo o magnitud, dirección y sentido. vector. VECTORES Según su naturaleza las cantidades físicas se clasifican en magnitudes escalares y magnitudes vectoriales Las magnitudes como el tiempo, la temperatura, la masa y otras, son magnitudes escalares

Más detalles

VECTORES EN EL ESPACIO RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO PROBLEMAS MÉTRICOS EJERCICIOS

VECTORES EN EL ESPACIO RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO PROBLEMAS MÉTRICOS EJERCICIOS VECTORES EN EL ESPACIO RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO PROBLEMAS MÉTRICOS EJERCICIOS Matemáticas 2º de Bachillerato Ciencias y Tecnología Profesor: Jorge Escribano Colegio Inmaculada Niña Granada www.coleinmaculadanina.org

Más detalles

ALGEBRA. Escuela Politécnica Superior de Málaga

ALGEBRA. Escuela Politécnica Superior de Málaga ALGEBRA. Escuela Politécnica Superior de Málaga Tema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones. Espacio vectorial. Espacios vectoriales R n. Dependencia e independencia lineal. Base. Matrices y determinantes.

Más detalles

MÓDULO 8: VECTORES. Física

MÓDULO 8: VECTORES. Física MÓDULO 8: VECTORES Física Magnitud vectorial. Elementos. Producto de un vector por un escalar. Operaciones vectoriales. Vector unitario. Suma de vectores por el método de componentes rectangulares. UTN

Más detalles

ELEMENTOS DE GEOMETRÍA. Eduardo P. Serrano

ELEMENTOS DE GEOMETRÍA. Eduardo P. Serrano ELEMENTOS DE GEOMETRÍA Eduardo P. Serrano Este Apunte de Clase está dirigido a los alumnos de la materia Elementos de Cálculo Numérico para Biólogos. Tiene por objeto exponer algunos conceptos básicos

Más detalles

TEMA 6. Ángulos, distancias, simetrías Problemas Resueltos

TEMA 6. Ángulos, distancias, simetrías Problemas Resueltos Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Soluciones de los problemas propuestos Tema 6 88 Ángulos entre rectas y planos TEMA 6 Ángulos, distancias, simetrías Problemas Resueltos Dadas las rectas r y s

Más detalles

Aplicaciones Lineales. Diagonalización de matrices.

Aplicaciones Lineales. Diagonalización de matrices. Tema 2 Aplicaciones Lineales. Diagonalización de matrices. 2.1. Definiciones y propiedades Nota 2.1.1. En este tema trabajaremos con los Espacios Vectoriales R n y R m definidos sobre el cuerpo R. Definición

Más detalles

Es trivial generalizar la definición al caso de varios conjuntos: A B C, etc.

Es trivial generalizar la definición al caso de varios conjuntos: A B C, etc. Tema 1 Espacios Vectoriales 1.1 Introducción Estas notas están elaboradas pensando simplemente en facilitar al estudiante una guía para el estudio de la asignatura, y en consecuencia se caracterizan por

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 01 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A Reserva 1, Ejercicio

Más detalles

1. Si están situados en rectas paralelas: la recta que une los orígenes, deja sus extremos en un mismo semiplano.

1. Si están situados en rectas paralelas: la recta que une los orígenes, deja sus extremos en un mismo semiplano. CAPÍTULO El plano vectorial Consideremos P como el plano intuitivo de puntos: A,,C..... El espacio vectorial de los vectores Definición. Vectores fijos Dado dos puntos cualesquiera A e del espacio nos

Más detalles