6. DIAGONALIZACIÓN DE ENDOMORFISMOS

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1 Diagonalización de endomorfismos 6. DIAGONALIZACIÓN DE ENDOMORFISMOS SUMARIO: INTRODUCCIÓN OBJETIVOS INTRODUCCIÓN TEÓRICA.- Autovalores y vectores propios. Propiedades..- Multiplicidad algebraica y geométrica de un autovalor..- Matrices semejantes. Propiedades..- Matrices diagonalizables. 5.- Teorema de Cayley-Hamilton. 6.- Diagonalización por congruencia. PROBLEMAS RESUELTOS. BILIOGRAFÍA 9

2 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. INTRODUCCION Se estudió en el tema de Aplicaciones Lineales la relación de equivalencia entre matrices. Decíamos que dos matrices A mxn y B mxn son equivalentes si representaban al mismo homomorfismo f : V W x f( x) = Ax con dim(v) = n y dim(w) = m, en distintas bases y su relación era: B = Q AP, ( Q mxm y P nxn regulares) Basta particularizar al caso de los endomorfismos f : V V (con dim(v) = n) para definir la relación de semejanza. Dos matrices cuadradas A nxn y Bnxn y se dicen semejantes si representan al mismo endomorfismo en bases distintas y su relación explícita es: B = P AP. Debe hacerse notar que el cambio de base efectuado en el espacio inicial del endomorfismo es el mismo que el que se realiza en el espacio final, por lo que las dos matrices de transición o matrices cambio de base coinciden. Buscando una expresión lo más sencilla posible para representar al endomorfismo, diremos que una matriz es diagonalizable por semejanza (sobre el cuerpo K) si es semejante a alguna matriz diagonal D, de elementos de K, y se tiene por tanto la relación: D = P AP, siendo P nxn regular. Aún cuando muchas de las relaciones y resultados que se expondrán en el tema son válidos tanto para el cuerpo de los reales como para el campo complejo, los ejercicios prácticos se restringirán fundamentalmente a la diagonalización de matrices reales sobre el cuerpo. Si la igualdad matricial D = P AP se escribe en la forma AP = DP y se igualan una a una las columnas de ambos miembros se obtienen las relaciones Avi = λivi, siendo v i, la columna i-ésima de P. Esto nos lleva a definir los conceptos de autovalor y autovector de una matriz cuadrada, 9

3 Diagonalización de endomorfismos de suerte que se observa que los elementos diagonales de D son los autovalores de A mientras que las correspondientes columnas de P son autovectores asociados a aquellos. A partir aquí se trata de estudiar que matrices son diagonalizables, dicho estudio se centrará en los autovalores y en los autovectores de A. OBJETIVOS Conocer y definir adecuadamente los conceptos de autovalor y autovector. Interpretar geométricamente el significado de un autovalor y de los autovectores asociados a él, en el caso de que el espacio vectorial sea el de los vectores del plano ordinario o del espacio tridimensional. Obtener con soltura el polinomio característico de una matriz y obtener sus raíces. Asimilar que cada autovalor de un endomorfismo es una raíz de su polinomio característico. Saber, y utilizar, la propiedad que afirma que dos matrices semejantes tienen el mismo polinomio característico, y como consecuencia los mismos autovalores, la misma traza y el mismo determinante. Calcular con soltura los subespacios invariantes para un endomorfismo, y si es posible, obtener una base del espacio en la que la matriz asociada al endomorfismo sea diagonal. Conocer la caracterización de los endomorfismos o matrices cuadradas diagonalizables. Obtener la forma canónica de Jordan asociada a una matriz, así como la correspondiente matriz de cambio de base en los casos de matrices de orden dos y tres. Conocer y utilizar el Teorema de Cayley-Hamilton como un método para calcular la inversa de una matriz. 9

4 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. Reconocer la ventaja de utilizar la forma canónica de Jordan para calcular potencias y exponenciales de matrices. 9

5 INTRODUCCION TEORICA. Autovalores y vectores propios. Sea V un espacio vectorial, dim( V ) = n. Sea Diagonalización de endomorfismos f : V W, un endomorfismo, A M ( ) x f( x) = Ax nxn su matriz asociada respecto de una base B de V. Diremos que λ es un autovalor (o valor propio) de f o de A, si existe u V, u 0, tal que f ( u) = λu, o lo que es lo mismo Au = λu. El vector u diremos que es un vector propio (o autovector) de f o de A asociado al autovalor λ.. Propiedades. n n Si λ es un autovalor de A entonces λ es un autovalor de A. Si λ es un autovalor de A entonces kλ es un autovalor de ka. Si λ es un autovalor de A y A es invertible entonces es un λ autovalor de A.. Polinomio característico. Sea A M nxn ( ), llamamos polinomio característico de A al polinomio de grado n : a λ a a n a a λ an PA ( λ) = A λi = = an an ann λ n n n = ( ) λ + b λ bλ + b. n 0. Propiedades. La matriz A nxn tiene n autovalores λ, λ,..., λ n y éstos son las n raíces de su polinomio característico. Además se cumple que: 95

6 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. A = b 0 A = λ λ... λn ( ) = nn = n Traza A a a a λ λ λ Traza A ( ) ( ) n = bn. Multiplicidad algebraica y geométrica de un autovalor. Sea A M nxn ( ), la matriz asociada al endomorfismo f : V V respecto de una base B de V, sea λ i un autovalor de A, al conjunto Lλ V, de los vectores propios asociados a λ i i, lo llamaremos subespacio propio o subespacio invariante asociado a λ i respecto de A. Llamaremos multiplicidad algebraica de λ i, se simbolizará por α i, a la multiplicidad que tenga como raíz del polinomio característico. α α αi αk ( λ) = ( λ λ) ( λ λ)...( λ λ)...( λ λ). P A i k Llamaremos multiplicidad geométrica de λ i, se simbolizará por la dimensión de su subespacio propio, mi = dim( L λ ). i m i, a. Matrices semejantes. Sean AB, M nxn ( ), diremos que A y B son semejantes si existe P M nxn ( ), regular, de manera que denomina matriz de paso. B P AP =. A la matriz P se le Nota: Si A y B son semejantes se simbolizará como A B. Proposición Si A B entonces existen infinitas matrices de paso entre ellas. Si A B entonces A = B. Si A B entonces n n AB, n. 96

7 Diagonalización de endomorfismos Las matrices asociadas a un endomorfismo f respecto a dos bases diferentes son semejantes.. Propiedades. Si λ es un autovalor de A, L λ es un subespacio vectorial de V. Si λ y λ son autovalores de A, λ λ, entonces L L = {0}. ( Esto nos está diciendo que vectores propios asociados a autovalores diferentes son linealmente independientes.) Si λ, λ,..., λk son los autovalores de la matriz A, entonces: α + α αk = n. Si λ i es un autovalor de A entonces m = dim( L ) = n rango( A λ I). i λ i Si λ i es un autovalor de A entonces αi mi. Si λ = 0 es un autovalor de A, entonces: Ker( f ) = { x V / f ( x) = Ax = 0} = L t A y A tienen los mismos autovalores. Si AB entonces A y B tienen los mismos autovalores. Si u es un vector propio de A asociado a λ entonces: u es un vector propio de n A i (0) n asociado a λ. Si A es invertible, u es un vector propio de u es un vector propio de ka asociado a kλ. λ λ A asociado a λ. Si AB entonces P u es un vector propio de B asociado a λ.. Matriz diagonalizable. 97

8 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. Sea A M nxn ( ), diremos que es diagonalizable en, si es semejante a una matriz diagonal D M nxn ( ), es decir si existe P M nxn ( ), invertible, de manera que se verifique la igualdad: D = P AP o lo que es equivalente PD = AP ó A= PDP. Si esta diagonalización es posible, se dice que A es diagonalizable por semejanza.. Teorema. A M nxn ( ), es diagonalizable por semejanza en si y sólo si existe n una base de formada por vectores propios de A. Así A es semejante a la matriz diagonal D, con los autovalores de A en su diagonal. La matriz de paso P será tal que sus columnas son los vectores de la base de vectores propios de A. Nota: Si A es diagonalizable, en la diagonal de D cada autovalor aparecerá tantas veces como su multiplicidad algebraica. Cada columna de P, se corresponderá con un vector propio del autovalor λi que esté en la misma columna de la matriz D, para cada λ i los vectores propios se elegirán de forma eliminatoria de la base de L λ i.. Teorema. Sea A M nxn ( ), con autovalores λ, λ,..., λ k, es diagonalizable por semejanza en, si cumple las dos condiciones siguientes: λi, i =,..., k. Las multiplicidades algebraica y geométrica coinciden en todos los autovalores, es decir, α i = mi, λ i, i =,..., k. 5. Teorema (Cayley-Hamilton). 98

9 Diagonalización de endomorfismos Sea A M nxn ( ), entonces A es solución de su ecuación característica, es decir, si P ( λ) = ( ) n λ n + b λ n bλ + b, entonces: A n 0 ( ) A + b A b A+ b I = 0 n n n n 0 nxn 6. Diagonalización por congruencia 6. Teorema. Sea A M nxn ( ), A simétrica, entonces: A es diagonalizable por semejanza en, es decir todos sus autovalores son reales y αi = mi λi. De entre las infinitas matrices de paso entre A y D, se puede encontrar t una matriz de paso P, ortogonal, es decir, P = P, sus columnas serán vectores propios ortogonales y normalizados. Con lo cual para esa matriz t se tendrá la relación D = P AP. (Esta forma particular de diagonalización es posible si y solo si la matriz es simétrica, y se denomina diagonalización por congruencia) Vectores propios asociados a autovalores distintos son ortogonales, es decir: t λ λ, Au = λu ; Au = λ u u u = 0. Si 99

10 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. PROBLEMAS. Hallar los autovalores de la matriz A =. Tenemos que hallar su polinomio característico y luego hallar sus raíces. 0 λ pa ( λ) = A λi = λ = = 0 λ ( λ )( λ) 6 λ λ = = + + y resolvemos la ecuación característica + λ + λ = 0, obteniendo que sus raíces son λ = y λ =.. Hallar los autovalores y subespacios propios de la matriz A =. Tenemos que hallar su polinomio característico y luego hallar sus raíces. λ pa ( λ) = A λi = λ = λ ( )( )( ) = λ λ λ 6 (( λ) + ( λ) + ( λ)) = ( )( ) = + 7 = λ λ λ λ λ Los autovalores de A son λ =, simple, es decir, α = y λ =, doble, es decir, α =. Vamos a calcular los subespacios propios correspondientes a cada uno de ellos. 00

11 Para λ = ( ) { ( ( ) ) 0} L = x / A I x = = Para λ = () { x ( A ) I) x 0} = / + = = x 0 x y 0 5z 0 x 0 x 0 y 0 0 z 0 x = z x ( ) > y = z = / = = = / = = = / =<,, { ( ) 0} L = x / A I x = = { x ( A ) I) x 0} = / + = = x 0 = x / y = 0 = 0z 0 x 0 = x / y = 0 = 0z 0 x 0 = x / 0 y = 0 = 0 z 0 x = z = x / =< (,, ) >=< (,, ) > y = z Diagonalización de endomorfismos 0

12 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A.. Sabiendo que el polinomio característico de la matriz A = 0 es P λ = λ λ + λ + = ( λ)( λ)( λ) A ( ) Obtener si es posible una base de de A, formada por vectores propios Los autovalores de A son λ = 5, λ =, λ =. Si calculamos sus subespacios propios correspondientes obtenemos: ( 5) { ( 5 ) 0} L = x / A+ I x = = x 0 x 5 y 0 z 0 x 0 x y 0 5 z 0 =< (, 0, ) > = / = = = / = = { } L( ) = x / ( A+ I) x = 0 =< (, ), > { } L() = x / ( A I) x = 0 =< ( ),, > A la vista de estos resultados el conjunto {{, 0, },{,, },{,, }} es una base de, formada por vectores propios de A.. Sean AB, M ( ) 0 0 nxn, x, x. Justificar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. 0

13 Diagonalización de endomorfismos a) Si Ax = λ x y Bx = µ xentonces λ + µ es un autovalor de A+ B. b) Si Ax = λ x y Bx = µ xentonces x no es un vector propio de A B c) Si Ax = λ x y Ax = µ x entonces x + x es un vector propio asociado a λ + µ respecto de A. a) Verdadero. ( A+ B) x = Ax + Bx = λ x + µ x = ( λ + µ ) x, por tanto λ + µ es un autovalor de A + B, y x es un vector propio asociado a λ + µ respecto de A+ B. b) Falso. Basta efectuar el producto: A B x = A µ x = µ A x = µλ x ABx = µλ x, por tanto x si es un vector propio de A B, asociado al autovalor λµ. c) Falso. Ax ( + x) = Ax + Ax = λ x + µ x ( λ + µ )( x + x), en general. Otra forma de ver que es falso es que la suma de autovalores no tiene porque ser un autovalor, veamos un ejemplo: A 5 =, al ser una matriz triangular sus autovalores son los 0 8 elementos de la diagonal, es decir, λ =, λ = 8, y λ + λ = + 8=, no es un autovalor de A. 0 b c 5. De la matriz A= b e se sabe que: c e 0 i) (, 0), es un vector propio asociado a λ = ii) (,, ) es un vector propio asociado a λ = Calcular el valor de b. 0

14 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. Si (, 0, ) es un vector propio asociado a λ = tenemos que 0 b c A 0 = 0 b e c e 0 c = c = b+ e = 0 b = e c = 0 = 0 Si (,, ) es un vector propio asociado a λ = tenemos que 0 b A = b b = b 0 b+ = b = b = b = b =. b = b = 6. Sean u = ( 0,, ), v = ( 0,, ) y ( 0) endomorfismo w =,, tres autovectores del f : y se sabe además que f (,, ) = ( 0,, ). Calcular los autovalores de f Los vectores u, v y w son linealmente independientes ya que 0 0 = 0, luego forman una base de 0. El vector ( ),, se podrá poner como combinación lineal de u, v y w. Posteriormente utilizando la linealidad de un endomorfismo, podremos calcular los autovalores de f. (,, ) = α( 0,, ) + β( 0,, ) + γ ( 0,, ) 0

15 α + β = β + γ = α = β = γ = α + γ = Por otro lado ( 0,, ) = f (,, ) = f ( 0 ( ) 0 ( ) 0 ( )) f(0) f ( 0) f ( 0) λ (0) λ ( 0) λ ( 0) = λ + λ λ =,, +,, +,, = =,, +,, +,, = =,, +,, +,, = = ( λ + λ, λ + λ, λ + λ ) 0= λ + λ λ = 7, λ =, λ = = λ + Diagonalización de endomorfismos 7. Sea f un endomorfismo en y sean v, v, v tres vectores propios (no nulos) de f asociados a los valores propios λ, λ, λ respectivamente, si λ = λ λ. Justificar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. a) v v y v v b) v v = y v v c) v, vy v forman una base de. a) Verdadero. λ y λ son autovalores de f siendo λ λ. v, v L v L λ λ v v y v v ya que L L = {0} b) Falso. Basta tomar v = kv,( k 0 y k ), se tiene que v, v L λ y v v c) Falso. λ λ 05

16 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. A = 0, L( ) =< (, 0, 0 > sus autovalores son λ = ( doble) y λ = 5 L (5) =< (0,, ) > Tomamos v= (00),,, v = (00),, y v = (0,, ) {,, } v v v no forman una base de dependientes. ya que v y v son linealmente 8. Sean AB, M ( ) 0 nxn, x. Justificar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. a) Bx = x y ABx = x es un autovalor de A. b) ABx λx = λ es un autovalor de A y de B. ( A+ B) x = λx λ es un autovalor de A y de B. c) a) Verdadero. Bx = x Ax = x Ax = x es un autovalor de A. ABx = x b) Falso. ABx = λx λ es un autovalor de la matriz AB. Si tomamos: 0 0 A=, B =, x = ABx = = = x y sin embargo no es un autovalor de A. c) Falso. 06

17 Si tomamos: 0 0 A=, B =, x = y sin embargo 7 no es un autovalor de A ni de B. ( A+ B) x = = 7 = 7x Diagonalización de endomorfismos 9. Sean AB, M ( ) 0 0 nxn, x, x. Justificar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. a) Si Ax = kx y Bx = kxentonces k es un autovalor de A+ B. b) Si Ax = λx y Bx = µ x entonces λ + µ es un autovalor de A + B. c) Si Ax = λx y Ax = µ xentonces x+ x es un vector propio asociado a λ + µ respecto de A. a) Falso. Para que k sea un autovalor de A + B debemos encontrar que tiene algún vector propio asociado. Si planteamos: ( A + B) x = Ax + Bx = kx + Bx ; Bx desconocemos lo que vale y para que x fuese un vector propio tendría que valer 0, cosa que no podemos garantizar. O bien si planteamos: ( A + B)( x + x ) = Ax + Ax + Bx + Bx = k( x + x ) + Ax + Bx ; Ax + Bx desconocemos lo que vale y para que x + x fuese un vector propio tendría que valer 0, cosa que no podemos garantizar. Un sencillo ejemplo que nos garantiza que esto es falso: 07

18 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A A=, B=, x =, x = Ax = = 5x; Bx = = 5x 0 0 y sin embargo 9 0 ( A+ B) = que sus autovalores son 9 y 7, ambos distintos de b) Falso Tomando las matrices del ejemplo anterior A=, λ =, x = ; Ax = x 0 0 B =, µ =, x = ; Bx = x λ + µ = + = 6 y sin embargo no coincide con ninguno de los 9 0 autovalores de ( A+ B) =, que son 9 y 7, que ambos son 0 7 distintos de 6. c) Falso. Ax ( + x) = Ax + Ax = λ x + µ x para que fuese cierto este apartado, debía habernos dado Ax ( + x) = ( λ + µ )( x + x) (*) () En algún caso particular de Ax,, x, λ y µ puede suceder que ( λ x + µ x) = ( λ + µ )( x + x) lo cual no garantiza que esta propiedad sea cierta en general. También se puede ver con un ejemplo que esta propiedad no es cierta en general: A=, x =, x = ;

19 5 0 Ax = = 5x; Ax = = x. 0 Por otro lado Ax ( + x) = Ax+ Ax = + = ( λ + µ )( x+ x) = 7 + = 0 Ax ( + x) ( λ + µ )( x+ x) Diagonalización de endomorfismos luego x+ x no se puede afirmar que sea un vector propio asociado a λ + µ respecto de A. 0. Si λ y λ son dos autovalores reales y distintos de un n endomorfismo f : n, siendo A M nxn ( ), su matriz asociada. Justificar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. a) Si λ < λ Lλ L λ (Siendo L λ y L λ b) Si λ = 0 f no es inyectivo. c) Lλ L { 0} λ d) Si f es inyectivo Lλ = L λ los subespacios propios respectivos) a) Falso. Sabemos que la intersección de subespacios propios asociados a autovalores distintos solo es el vector nulo. Luego independientemente de que λ sea menor que λ sus subespacios propios sólo tienen en común el vector nulo. b) Verdadero. 09

20 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. λ =, tenemos el subespacio propio L(0) = { x n / Ax = 0} Si 0 y además sabemos que un subespacio propio tiene dimensión mayor o igual que uno, dim( L(0) ). Por otro lado n { } (0) Ker( f ) = x / Ax = 0 Ker( f ) = L dim( Ker( f )) f no es inyectivo. c) Falso. Como ya hemos dicho en el apartado a), la intersección de subespacios propios asociados a autovalores distintos sólo es el vector nulo. d) Falso. Aunque f sea inyectivo dos subespacios propios asociados a autovalores distintos sólo tienen en común el vector nulo, luego L L. λ λ. Dada la aplicación lineal f : definida por: f ( xyz,, ) = ( x+ y, x+ y+ zx, ). Justificar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. a) Una matriz asociada a f respecto de alguna base de es 0 0 D = b) Todos los autovalores de f son simples. c) Los subespacios propios de f son V = {( x, y, z) / y = z = 0} y V = {( x, y, z) / x = 0} d) f es inyectivo. 0

21 La matriz asociada a f es Diagonalización de endomorfismos 0 A =, su polinomio característico 0 0 es pa ( λ) = λ + λ λ + = ( λ) tenemos entonces un único autovalor triple λ = ; α = ; 0 0 m = rango( A I ) = rango = = 0 a) Falso. Las matrices asociadas a un endomorfismo respecto de diferentes bases son semejantes. La matriz A no es diagonalizable ya que α m luego no es semejante a la matriz D. b) Falso. A tiene un único autovalor triple. c) Falso. A tiene sólo un subespacio propio y no dos. d) Verdadero. f es inyectivo ya que dim( Im( f )) = rango( A) =, ya que A = y para ser inyectivo es necesario que la dimensión de la imagen sea igual que la dimensión del espacio que partida, que en este caso es.. Sea el espacio vectorial de en el que se considera la base canónica y se define un endomorfismo del que se sabe que: i ) f (6,, 5) = (6,, 5) ii ) La traza de la matriz asociada a f vale 5. iii ) E = { x / x+ y 7 z = 0 } es un subespacio propio de f. Calcular los autovalores de f.

22 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. Vamos a analizar el significado de los datos que se nos dan en i), ii) y iii ). Si f (6,, 5) = (6,, 5) λ = es un autovalor de f, pues existe el vector (6,, 5) (0, 0, 0), tal que f (6,, 5) =.(6,, 5). Por otro lado y+ 7z = { / + 7 = 0} = / = = y+ 7z y z y z ( 0) 70 E x x y z x x ( ) =,, /, =<,,,,, > dim( E) = Como la multiplicidad geométrica de un autovalor es siempre menor o igual que la multiplicidad algebraica del mismo, de aquí obtenemos que f tiene que tener un autovalor con multiplicidad algebraica. Veamos si este subespacio corresponde al autovalor λ =, una condición necesaria para ello es que (6,, 5) E, sin embargo, vemos que las coordenadas de (6,, 5) no cumplen la ecuación que define a los vectores de E, pues = 0. Como las multiplicidades algebraicas tienen que sumar = dim( ), la única posibilidad existente es que λ = sea un autovalor simple y que exista otro autovalor µ, doble. Como la traza de la matriz asociada a f nos dicen que vale 5 y se sabe que si λ, λ, λ son los autovalores de A, entonces, Traza( A) = λ + λ + λ en este caso se tendría: + µ + µ = 5 + µ = 5 µ =. Luego los autovalores de f son,,.. Sean u y u dos vectores propios de la matriz A M nn x ( ), asociados al autovalor λ. Justificar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones.

23 a) Diagonalización de endomorfismos < u, u > es el subespacio propio asociado al autovalor λ. b) u u c) u u d) u u + es un vector propio asociado al autovalor λ. es un vector propio de la matriz A A. a) Falso. Ya que la dimensión del subespacio propio, L λ, puede ser mayor que, que es lo máximo que puede valer la dimensión de < u, u >. Lo que si se podría afirmar es que < u, u >, es un subespacio del subespacio propio asociado a λ. b) Falso. Tomando u Lλ, u 0 y u = ku, ( k 0), u y u son vectores propios asociados a λ, son paralelos y no son ortogonales. c) Falso. Cualquier combinación lineal de u y u pertenece al subespacio propio asociado a λ, luego u + u también es un vector propio asociado a λ. d) Verdadero. ( A A)( u u) = Au Au + Au Au = = λ u λ u + λu λu = = λ ( u u) + λ( u u) = = ( λ λ)( u u ) ( A A)( u u) = de la matriz A. Dada la matriz λ λ u u luego u u es un vector propio ( )( ) A asociado al autovalor λ λ. 8 0 A = 0 5. Estudiar si es diagonalizable en. 0 0

24 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. Los autovalores de A son λ = 8, λ = (doble), ambos reales. λ = 8 es simple, coinciden sus multiplicidades algebraica y geométrica. λ = es doble, vamos a ver cuanto vale su multiplicidad geométrica. 6 0 m = rango( A I) = rango = = A no es diagonalizable ya que para el autovalor que no es simple no coinciden las multiplicidades. 5. Cuáles de las siguientes matrices son diagonalizables? a) 0 b) c) d) a) Diagonalizable. Esta matriz tiene sus dos autovalores simples, que al ser una matriz triangular son los elementos de su diagonal, λ =, λ =, con lo cual es diagonalizable. b) No diagonalizable. Esta matriz tiene un autovalor doble, λ =, y su multiplicidad geométrica vale, m = rango[ A I ] = rango = =. c) Diagonalizable. Al ser una matriz triangular sus autovalores son los elementos de su diagonal, es decir, λ = 5, λ =, λ = 8, sus tres autovalores sor reales y simples con lo cual es diagonalizable. d) Diagonalizable.

25 Diagonalización de endomorfismos Esta matriz tiene sus tres autovalores simples, λ = 8, λ =, λ =, con lo cual es diagonalizable. 6. Si A M nxn ( ) tiene exactamente (n-) autovectores linealmente independientes. Justificar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. a) A = 0 b) A es diagonalizable por semejanza. a) Falso. Sea por ejemplo la matriz A= Mx( ), el único autovalor 0 que posee esta matriz es el λ =, con multiplicidad algebraica. Veamos cuántos autovectores linealmente independientes admite: x 0 =, /(. ) = y 0 = 0 x 0 = ( xy, ) / = = 0 0 y 0 =, / = 0 =< (0), > L ( x y) A I {( xy) y } por lo tanto A sólo admite autovector linealmente independiente. Sin embargo, A = 0 b) Falsa. La condición necesaria y suficiente para que una matriz A M nxn ( ) sea diagonalizable por semejanza es que admita n autovectores linealmente independientes, es decir que exista una base de n de autovectores de A. En este caso sólo existen n autovectores linealmente independientes. 7. Sea Ax ( ) con autovalores, y 8. Justificar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. 5

26 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. a) f : definida por f ( x) = Ax es biyectiva. b) A es una matriz simétrica. c) A no es invertible. d) A I a) Verdadera Sabemos que A = λλλ = 8 = 0 rang( A) =. dim( Im( f )) = rang( A) = Im( f ) = f es sobreyectiva. Por otro lado, sabemos que dim( ) = dim( Ker( f )) + dim( Im( f )) = dim( Ker( f )) + { } dim( Ker( f )) = 0 Ker( f ) = 0 f es inyectiva. Como f es sobreyectiva e inyectiva, entonces f es biyectiva. b) Falsa. Sea por ejemplo la matriz 0 0 A = 0 0 cumple las condiciones del 0 8 enunciado y sin embargo no es simétrica. c) Falsa. A = λλλ = 8 = 0 A es invertible. d) Falso. Para que A I, se tiene que verificar que A tuviese solo el autovalor λ = con multiplicidad geométrica Sea A la siguiente matriz: A=, k. Estudiar 0 0 k 0 k 0 k para que valores de k es diagonalizable la matriz. 6

27 Los autovalores de A son: λ =, λ =, λ = k y λ = Diagonalización de endomorfismos Si k y k y k tendremos que A tiene autovalores simples y reales con lo cual A sería diagonalizable. Vamos a estudiar los tres casos particulares de k, que hemos excluido. a) k = En este caso la matriz quedaría de la siguiente forma: A =, tenemos que A tiene los siguientes autovalores: λ = (doble), λ = (simple), y λ = (simple). El único autovalor cuyas multiplicidades algebraicas y geométricas pueden no coincidir es el λ =. Veamos cuál es su multiplicidad geométrica: ( ) L() = { x, y, z, t / ( A I) x = 0} = x y 0 = ( xyzt,,, ) / = = z 0 0 t 0 y = 0 = ( xyzt,,, ) / = x+ z t = 0 y = 0 ( xyzt ) x z t =,,, / + = = {( z 0 t zt) zt } ( 00) ( 00) = +,,, /, =<,,,,,,, > 7

28 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. Obtenemos que m = dim( L() ) = = α Por tanto si k =, A es diagonalizable. b) k = En este caso la matriz quedaría de la siguiente forma: A =, tenemos que A tiene los siguientes autovalores: λ = (simple), λ = (doble), y λ = (simple). El único autovalor cuyas multiplicidades algebraicas y geométricas pueden no coincidir es el λ =. Veamos cuál es su multiplicidad geométrica: L x y 0 ( x y z t) z 0 0 t 0 x = 0 = ( xyzt,,, ) / = x+ z t = 0 x = 0 = ( xyzt,,, ) / = t = z () =,,, / = = {( 0 yzz) yz } ( 00 0) ( 0 0 ) =,,, /, =<,,,,,,, > Obtenemos que m = dim( L() ) = = α Por tanto si k =, A es diagonalizable. c) k = En este caso la matriz quedaría de la siguiente forma: 8

29 Diagonalización de endomorfismos A =, tenemos que A tiene los siguientes autovalores: λ = (simple), λ = (simple), y λ = (doble). El autovalor problemático es λ =, cuya multiplicidad algebraica es. Veamos cuál es su multiplicidad geométrica. { } L() = x /( A I) x = 0 = ( xyzt) x y z t 0 =,,, / = = x = 0 x = 0 = ( xyzt,,, ) / y= 0 = ( xyzt,,, ) / y= 0 = x+ z = 0 z = 0 {( 000t) t } ( 000) =,,, / =<,,, > Como m = diml() = = α, concluimos que la multiplicidad geométrica del autovalor λ = no coincide con la multiplicidad algebraica del mismo, por lo tanto A no es diagonalizable para k =. Resumiendo, A es diagonalizable k. 9. Dada la aplicación lineal f ( x, x, x ) = (x + x, x x, x + x ) Estudiar se existe alguna base de respecto de la cual la matriz asociada al endomorfismo f sea la matriz diagonal 0 0 A =

30 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. La matriz A asociada a f respecto de la base canónica es aquella cuyas columnas son las imágenes de los vectores de dicha base. f(0,, 0) = (, 0, 0), f(00),, = (,, ), f(0, 0), = (0,, ) Luego, la matriz asociada es 0 A = 0, y su polinomio 0 característico es P λ = λ + λ λ + = ( λ) ( λ) A ( ) 7 6 Tenemos entonces que sus autovalores son: λ =, α = λ =, α = = m Calculamos la multiplicidad geométrica de λ m = n rango( A λi ) = rango( A I) = 0 0 = rango 0 = =. 0 Podemos afirmar que la matriz A o al endomorfismo f no es diagonalizable en, es decir no existe ninguna base de respecto de la cual la matriz asociada a f sea una matriz diagonal. 0. Sean A y B M nxn ( ) siendo A regular (invertible). Justificar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. a) Las matrices A y B tienen el mismo polinomio característico. b) A. B y B. A tienen los mismos autovalores. c) A + B es invertible. d) A. B es diagonalizable. a) Falsa. Veamos el siguiente contraejemplo: 0

31 Diagonalización de endomorfismos 0 A = 0 y 0 B = estas dos matrices verifican el enunciado, 0 ambas son x y además A = 0 luego A es invertible. Sin embargo PA ( λ) = A λi = ( λ)( λ) = λ λ + P ( ) ( ) A λ PB λ. PB ( λ) = B λi = ( λ)( λ) = λ λ + b) Verdadera. Veamos que el polinomio característico de AB, PAB ( λ ), coincide con el de B. A, PBA ( λ ). Para ello vamos a utilizar lo siguiente: i ) A es invertible A ii ) A A = iii ) AB = A B = B A = BA AB ii) iii) P ( λ) = AB λi A A AB λi A AB λi A = = A ( AB λi) A = ( A A). B A λi) A = =. = = = IB λ( A I) A B λa A ( B λa ) A = BA ( λa ). A= BA λ( A. A) = = BA λi = P ( λ) = = BA c) Falsa Como contraejemplo usaremos el siguiente: 0 A 0 = y 0 B = estas dos matrices verifican el 0 enunciado, ambas son x y además A = 0 A es invertible.

32 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. 0 Sin embargo, se tiene que A+ B = 0 0, A + B = 0. Por lo tanto la matriz A + B no es invertible. d) Falsa. Vamos a utilizar el siguiente contraejemplo. Sea 0 0 A = y sea 0 0 B = 0 0 0, evidentemente se tiene 0 0 que AB. = B, ya que A es la matriz identidad. Veamos ahora que B no es diagonalizable. Sus autovalores son λ =, con multiplicidad algebraica y λ = 0 con multiplicidad algebraica. Vamos a comprobar que la multiplicidad geométrica de λ es, con lo ya tendríamos que B no es diagonalizable. 0 0 x 0 L0 = ( x, y, z) / y = 0 = 0 0z 0 {( xyz) x 0 y y 0} ( 0 0) =,, / = = =<,, > dim( L0 ) = = multiplicidad algebraica de 0 B no es diagonalizable AB. = I. B= B tampoco es diagonalizable.. Sea A x simétrica, λ = y λ =. Justificar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. a) A no es diagonalizable. b) Si k es impar entonces k A = A c) (, ), (, ) son vectores propios de A d) A = a) Falso.

33 Diagonalización de endomorfismos Toda matriz simétrica es diagonalizable. b) Verdadero Sabemos que A es simétrica, por lo tanto, existe una matriz ortogonal 0 C, y una matriz diagonal D = que cumplen lo siguiente: 0 k ) t k t k t t t A = C DC A = ( C DC) = ( C DC)( C DC) ( C DC) =... t CC= I t t t t t k = CDCC ( ) DCC ( ). D... ( CC) DC CDC Por otro lado, sabemos que se cumple que k k impar k 0 0 D = D k = = 0 ( ) 0 k t k t Luego, cuando k es impar, A = C D C = C DC = A. t Nota: Se cumple que CC= I porque la matriz C es ortogonal. c) Falso. Ya que el producto escalar de ellos dos es (, ) = 0, como son dos vectores propios de A, linealmente independientes, uno estaría asociado a λ = y el otro a λ =, que son autovalores diferentes. El producto escalar de vectores propios asociados a autovalores diferentes en una matriz simétrica tiene que ser nulo. d) Falso. A = λ λ = ( ) =.. Sea A M ( ), sus subespacios propios son: x x+ y z+ t = 0 L = ( x, y, z, t) / y z t = 0 y x+ y z t = 0 =

34 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. x+ y z+ t = 0 L = ( x, y, z, t) / y+ z t = 0 z t = 0 Justificar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. a) A no es diagonalizable. b) A es simétrica. c) A tiene autovalores complejos, no reales. d) Existe una base de formada por vectores propios de A dim L dim rango A rango ( ) = ( ) ( ) = 0 = dim L dim rango A rango 0 0 ( ) = ( ) ( ) = 0 = x+ y z+ t = 0 ( ) L = ( x y z t) y z t 0,,, / = = x y z t 0 + = ( ) x+ y z+ t = 0 = ( xyzt,,, ) / = y z t = 0 x= z t = ( xyzt,,, ) / = y = z+ t = (, +,, ) /, =< (0)(,,,, 0),,, > { z tz tzt zt } a a a (*) = +, podemos eliminar la tercera ecuación.

35 x+ y z+ t = 0 L = ( x y z t) y z t 0,,, / + = = z t 0 = x = t = ( xyzt,,, ) / y= t = z t = = (,,, ) / =< (,,, ) > { t t t t t } Diagonalización de endomorfismos a) Verdadero. Sólo disponemos de vectores propios linealmente independientes, los cuales no son suficientes para construir una matriz de paso de orden x que haga que A sea semejante a una matriz diagonal, ya que las columnas de la matriz de paso deben ser vectores propios linealmente independientes, para que esta tenga inversa. b) Falso, ya que los vectores del subespacio propio L no son ortogonales con los de L, cosa que debería suceder si A fuese simétrica ya que en una matriz simétrica vectores propios asociados a autovalores distintos son ortogonales. Otra forma de razonar este apartado es que habiendo visto que no es diagonalizable no puede ser simétrica. c) Falso ya que si A Mx( ), y sus vectores propios también tienen componentes reales, al multiplicar A por un vector propio es imposible que aparezca un valor no perteneciente a. d) Falso, ya que sólo disponemos de vectores propios linealmente independientes.. Sea A M ( ), sus subespacios propios son: x x+ y z+ t = 0 L = ( x, y, z, t) / y z t = 0 y x+ y z t = 0 5

36 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. x+ y z+ t = 0 L = ( x, y, z, t) / y z+ t = 0 Justificar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. a) A no es diagonalizable. b) A es simétrica. c) A tiene autovalores complejos. d) Existe una base de formada por vectores propios de A dim( L ) = rango 0 = = ; dim( L ) = rango = = ; 0 x+ y z+ t = 0 ( ) L = ( x y z t) y z t 0,,, / = = x y z t 0 + = ( ) x+ y z+ t = 0 = ( xyzt,,, ) / = y z t = 0 x= z t = ( xyzt,,, ) / = y = z+ t = (z tz, + tzt,, ) / zt, = { } =< (,,, 0),(,, 0, ) >=< u, u > a a a (*) = +, podemos eliminar la tercera ecuación. 6

37 L x+ y z+ t = 0 ( x y z t) y z t 0 + = x = t ( xyzt) y = z t =,,, /, = =,,, / = =,,, / = {( tz tzt) zt } =< (,, 0),,(0,,, 0) >=< w, w > Diagonalización de endomorfismos a) Falso. A si es diagonalizable ya que disponemos de vectores propios linealmente independientes, los cuales son suficientes para construir una matriz de paso, de orden x, que haga que A sea semejante a una matriz diagonal D, en cuya diagonal están los dos autovalores dobles de A, ya que las columnas de la matriz de paso deben ser vectores propios linealmente independientes, para que esta tenga inversa. b) Falso, ya que los vectores de subespacio propio V no son ortogonales con los de V, cosa que debería suceder si A fuese simétrica. c) Falso, ya que si A Mx( ), y sus vectores propios también tienen componentes reales, al multiplicar A por un vector propio es imposible que aparezca un valor complejo. d) Verdadero. Disponemos de vectores propios linealmente independientes ya que rango( < u u w w > ) =, que al estar en un espacio de dimensión forman una base de este espacio.. Sea f : un endomorfismo, A x su matriz asociada, λ = 5 es un autovalor de A. Justificar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. a) Si f (,, 0) = (,, 0) y A = 0 A es diagonalizable. b) Si A es diagonalizable λ = 5 es un autovalor doble de A. c) Si f (0, 0, ) = (0, 0, 0) λ = 5 es un autovalor triple de A. 7

38 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. d) Si f (00),, = (00),, y A = 0 λ = 5 es un autovalor doble de A. a) Verdadero. f(,, 0) = (,, 0) f(,, 0) = (,, 0) λ = es un autovalor de A, y (,, 0) es un vector propio de A asociado al autovalor λ =. Por otro lado A = 0 λ λ λ = 0 5 λ = 0 λ = 0, con lo cual A tiene sus tres autovalores simples, para todos ellos la multiplicidad algebraica y geométrica vale, luego A es diagonalizable. b) Falso. Basta tomar como ejemplo: A = 0 0, al ser una matriz diagonal sus autovalores son los elementos de la diagonal, λ = 5, λ =, λ = 6, A es diagonalizable por tener todos sus autovalores simples y λ = 5 no es un autovalor doble. c) Falso. f (0, 0, ) = (0, 0, 0) = 5(0, 0, ), esto solo nos dice que λ = 5, es un autovalor de A, cosa que ya sabíamos, y que (0, 0, ) es un vector propio asociado al autovalor λ = 5. Veamos que ocurre con la siguiente matriz: A= 0 0 0, x0 = f( x0) = Ax0 = =

39 Diagonalización de endomorfismos y sin embargo se tiene que λ = 5, es un autovalor simple y λ = 0 es un autovalor doble de A. d) Falso. f (00),, = (00),, f (00),, = (00),, esto nos dice que λ =, es un autovalor de A y que (0,, 0) es un vector propio asociado al autovalor λ =. Por otro lado A = 0 λ λ λ = 0 5 λ = 0 λ = Los tres autovalores de A son simples luego λ = 5 no es un autovalor doble. 5. Sean AB, M nxn ( ). Justificar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. a) Si A= B El polinomio característico de A coincide con el de B, es decir, PA ( λ ) = PB ( λ ). t b) Si A es simétrica y B es ortogonal ( B = B ) B AB diagonalizable. c) Si A y B son diagonalizables ( AB) es diagonalizable. d) Si A es semejante a B k / A= B a) Falso. Basta tomar como ejemplo: 0 0 A=, B =, A= B 0 0 λ 0 PA ( λ) = A λi = = ( λ) = λ λ + 0 λ λ 0 PB ( λ) = B λi = = ( λ) = λ + λ + 0 λ P ( λ) P ( λ). A B k es 9

40 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. b) Verdadero. Si comprobamos que B AB es una matriz simétrica, esto nos garantizaría que es diagonalizable. Sabemos que: t i) B = B, por ser B ortogonal. t ii) A = A, por ser A simétrica. t t iii)( B ) = B, B M nxn ( ). Tenemos que ver B AB, coincide con su traspuesta. t t t t t t t t t t ( B AB) = ( B AB) = B A B = B A B = B ABi) = B AB, luego B AB es simétrica por tanto es diagonalizable. c) Falso. Si A y B son diagonalizables eso no nos garantiza ni siquiera que exista ( AB), veámoslo con un ejemplo: 5 A=, B =, ambas matrices son diagonalizables, ya que 0 cada una de ellas tiene sus dos autovalores simples, λ =, λ = y 8 8 µ =, µ = 0 y sin embargo AB =, que no tiene inversa ya su 6 6 determinante vale cero. d) Falso. Basta tomar como ejemplo: 0 A=, B = A es semejante a B ya que AD = = B. 0 5 Tenemos la relación =, siendo C = y sin embargo 0 A C BC 0

41 k Diagonalización de endomorfismos k 0 0 k k B = () = A k A B k =, /, ya que () La potencia de una matriz diagonal es también una matriz diagonal con los elementos de la diagonal elevados a dicha potencia. α β 0 α β 6. Dada la matriz A = α con α, β. α + β 0 α + β Justificar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. a) A siempre es diagonalizable. b) A es diagonalizable solo si α = β. c) A es diagonalizable solo si α β. d) A es diagonalizable solo si α β =. El polinomio característico de A es: α β λ 0 α β PA ( λ) = A λi = α λ = α + β 0 α + β λ () α β λ α β = ( α λ) = α + β α + β λ = ( α λ)( βα αλ βλ + λ ) = () = ( α λ) ( β λ). () Desarrollando el determinante por la a columna. () El segundo factor se descompone resolviendo la ecuación de segundo grado en λ. Luego A, tiene dos autovalores, λ = α (doble), λ = β (simple). Si α β.

42 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. Tendremos que ver que ocurre con la multiplicidad geométrica del autovalor doble λ = α. α β 0 α β m = rango[ A α I ] = rango 0 α + β 0 α + β α β α β = rango α + β α + β () = rango α β α β = ( ) = rango = = Si α β, A es diagonalizable. () Se elimina la segunda columna ya que es toda nula. () Se elimina la tercera fila ya que es la primera cambiada de signo. () Se elimina la primera fila ya que es la segunda multiplicada por α β. Si α = β α 0 0 A = α, λ = α (triple). 0 0 α Tendremos que ver que ocurre con la multiplicidad geométrica del autovalor triple λ = α m = rango[ A α I ] = rango 0 = = Si α = β, A no es diagonalizable. a) Falso. b) Falso. () = () =

43 Diagonalización de endomorfismos c) Verdadero. d) Falso. 7. Sean AB, M nxn ( ), A y B diagonalizables, además A es invertible. Justificar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. a) A y B tienen el mismo polinomio característico. b) AB y BA tienen los mismos autovalores. c) ( AB) es diagonalizable. d) A+ B es diagonalizable. a) Falso. No hay ninguna relación entre A y B, por lo que se puede intuir que entre sus polinomios característicos tampoco la va a haber. 7 A=, B =, ambas son diagonalizables ya que ambas 0 6 tienen todos sus autovalores simples, λ =, λ = 6, µ =, µ =, A es invertible ya que A = y sin embargo, P ( λ) = ( λ)(6 λ) = 8λ+ λ A P ( ) ( )( ) 6 5 B λ = λ λ = λ+ λ b) Verdadero. P ( λ) AB λi AB λaa AB = = = = AB ( λa ) = AB λa P ( λ) P ( λ). P ( λ) = BA λi = BA λa A = ( B λa ) A = BA = ( B λa ) A = B λa A = A B λa A B P ( λ) = P ( λ) AB BA c) Falso. Ni siquiera podemos asegurar que exista ( ) AB.

44 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. 7 A=, B =, ambas son diagonalizables, A es invertible y sin embargo AB =, es evidente que no tiene inversa. 0 0 d) Falso. 7 A=, B = ambas son diagonalizables, A es invertible y sin embargo A 6 + B =, no es diagonalizable, ya que λ = (doble), tiene 0 multiplicidad algebraica y su multiplicidad geométrica es. 8. Sea A M nxn ( ) una matriz diagonalizable en. Justificar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. a) B nxn es diagonalizable A + B es diagonalizable. b) A > 0 λ > 0 i =,..., n. c) i K k / A = I 0 no es un autovalor de A. d) Existe una base de vectores propios de A ortonormales. a) Falso. Basta tomar como ejemplo: A=, B = A y B son diagonalizables ya que ambas tienen todos sus autovalores simples, λ = 5, λ =, µ =, µ = 7, que se calculan de forma inmediata al ser matrices triangulares, los autovalores son los elementos de la diagonal principal. Sin embargo

45 Diagonalización de endomorfismos 8 A+ B = que no es diagonalizable ya que tiene un autovalor 0 doble, λ =, y su multiplicidad geométrica es: ( ) m = dim( L() ) = rango A + B I = 0 8 = rango = =. 0 0 b) Falso. Basta tomar como ejemplo: A= 0 0, A = 0 > 0, y sin embargo sus autovalores son λ = 5< 0, λ = > 0, λ = 6< 0, que no son todos positivos. c) Verdadera. k k k Si k / A = I A = I A = A = A 0 λ λ... λn 0 λi 0, i, es decir, que cero no sea un autovalor de A. d) Falso. La existencia de una base formada por vectores propios ortonormales solo se puede garantizar si la matriz A fuese simétrica. 9. Sea A nxn una matriz semejante a una matriz diagonal D. Justificar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. a) A D b) A es necesariamente simétrica. c) d) k A es semejante a k D. k A no tiene porque ser diagonalizable. k 5

46 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. Si A es semejante a una matriz diagonal D, esto nos está diciendo que C M nxn, invertible de manera que A= C D C a) Falso. Si A= C D C () () = = A = C D C C D C C D = D A = D. C () P Q = P Q P, Q Mnxn. = C, invertible. b) Falso. Una matriz no necesita ser simétrica para ser diagonalizable. A 5 =, 0 es semejante a 0 D = 0 c) Verdadero. () C C Mnxn A = C D C A k k = ( C D C ) = Nota: Si k ( C D C )( C D C ) ( C D C )( C D C ) = = k = C D C C D C C D C C D C = k = C D I D I I D I D C = = La matriz k k C D C A d es semejante a la matriz diagonal ( d ) k d ( ) k k d D k d n ( dn ) D = = d) Falso. k D. 6

47 Diagonalización de endomorfismos k Como acabamos de ver en el apartado anterior, A es semejante a una k matriz diagonal, y eso es exactamente lo mismo que decir que A es diagonalizable La matriz A= 0 0 p+, p, estudiar para que valores 0 p de p es diagonalizable. Los autovalores de A son λ = 5, λ =, λ = p +. Habrá algún autovalor con multiplicidad algebraica mayor que, cuando λ coincida con λ o bien λ coincida con λ. Primer caso λ = λ 5= p+ p = Si p = A = con λ = 5 (doble), λ = m = rango( A 5 I) = rango = = 0 luego para p =, A si es diagonalizable ya que el autovalor que es doble también tiene multiplicidad geométrica igual a. Segundo caso λ = λ = p+ p = Si p = A = 0 0 con λ = 5, λ = (doble) 0 m = rango( A ( ) I) = rango( A + I) = 7

48 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A = rango 0 = = 0 luego para p =, A no es diagonalizable ya que el autovalor que es doble tiene multiplicidad geométrica igual a. En resumen A es diagonalizable p { }. Dada la matriz. 8 0 A = 0 5. Estudiar si es diagonalizable en 0 0 Los autovalores de A son λ = 8, λ = (doble), ambos reales. λ = 8, es simple, coinciden sus multiplicidades algebraica y geométrica. λ = (doble), vamos a ver cuánto vale su multiplicidad geométrica m = rango( A I) = rango = = A no es diagonalizable ya que para el autovalor que no es simple no coinciden las multiplicidades.. Sabiendo que el polinomio característico de la matriz A = 0, es ( )( )( ) P λ = λ λ + λ + = λ λ λ ( ) A Obtener una base de, formada por vectores propios de A 8

49 Diagonalización de endomorfismos A es una matriz simétrica y tiene tres autovalores simples λ = 5, λ =, λ =. Si calculamos sus subespacios propios correspondientes obtenemos: ( 5) { ( 5 ) 0} L = x / A+ I x = = x 0 x 5 y 0 z 0 x 0 x y 0 5 z 0 =< (, 0, ) > = / = = = / = = { } L( ) = x / ( A+ I) x = 0 =< (, ), > { } L() = x / ( A I) x = 0 =< ( ),, > A la vista de estos resultados el conjunto {{, 0, },{,, },{,, }} es una base de, formada por vectores propios de A.. Sean AB, M n x n ( ). Justificar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. a) Si A y B son diagonalizables entonces A + B es diagonalizable. b) Si A B = 0 entonces cero es un autovalor de A y de B. c) Si A es diagonalizable y A B entonces B es diagonalizable. a) Falso. Veámoslo con un ejemplo. 0 A=, B = 0 9

50 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. A y B son diagonalizables ya que ambas tienen dos autovalores simples λ =, λ = y µ =, µ = y sin embargo 0 A+ B = no es diagonalizable ya que sus autovalores son 0 complejos δ = i, δ = i. b) Falso. Veámoslo con un ejemplo. A=, B = 0 5 A B = = 0, y sin embargo cero no es un autovalor de B. 5 c) Verdadero. Aes diagonalizable P invertible y D diagonal tal que D = P AP A B Q invertible tal que B = Q AQ D = P AP A= PDP B = Q PDP Q= = = B Q AQ B Q AQ ( ) ( ) = P Q D P Q B es semejante a la matriz diagonal D con matriz de paso P Q B es diagonalizable. d) Falso.. Alguna de las siguientes matrices podría ser una matriz asociada al endomorfismo: f : siendo A = 0 x f( x) = Ax? a) b) c)

51 Diagonalización de endomorfismos Los autovalores y subespacios propios de A son, λ = (simple), λ = (doble) L() =< (,, ) >; L() =< (,, ) >, con lo cual A no es diagonalizable, luego no es semejante a ninguna matriz diagonal y como todas las matrices asociadas a un endomorfismo son semejantes entre si, ninguna de las matrices a), b) y c) es una matriz asociada a f. 5. Dada una matriz A Mx( ) cuyos autovalores son:,,. Justificar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. a) Si E = {( x, y, z) / y z = 0} es un subespacio propio de A entonces A es diagonalizable. b) A tiene todos sus autovalores distintos. c) A es diagonalizable. 0 0 d) A es semejante a la matriz D = a) Verdadero. dim( E) = rango(0,, ) = =, luego E = L() ya que el es el único autovalor doble. Se tendrá entonces: λ = ; α = = m λ = ; α = = m con lo cual A es diagonalizable. b) Falso. Los autovalores de A son µ = =, µ = =, µ = =, luego el es un autovalor doble de c) Falso. A.

52 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. Eso solo se podría garantizar si A fuese diagonalizable, pero no sabemos si el autovalor, tiene un subespacio propio de dimensión. d) Falso. Decir que A D es equivalente a decir que A es diagonalizable y eso no lo podemos garantizar ya que no sabemos si el autovalor, tiene un subespacio propio de dimensión. 6. Sea A M ( ). Sean los subespacios de x {( xyzt) z t } V =,,, / = 0 siguientes: x+ y+ z+ t = 0 V = ( xyzt,,, ) / y+ z+ t = 0 z+ t = 0 x+ y z t = 0 V = ( xyzt,,, ) / y z+ 5t = 0 Justificar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. a) Si V y V son los subespacios propios de A entonces A es no diagonalizable. b) Si V y V son los subespacios propios de A entonces A es diagonalizable. c) V y V podrían ser los subespacios propios de A. dim( V ) = rango 0 0 = = ( ) dim( V ) = rango 0 = = 0 0 dim( V ) = rango = = 0 5 a) Faslo.

53 Diagonalización de endomorfismos Ya que podemos construir una base de formada por vectores propios de A, de una base de V junto con uno de una base de V. b) Falso. Ya que no podemos construir una base de formada por vectores propios de A, ya que solo disponemos de vectores propios linealmente independientes uno de una base de V junto con dos de una base de V. c) Falso. V y V no podrían ser los subespacios propios de A, ya que ello es necesario que su intersección sea solo el vector nulo. Sabemos que: Como V y V son subespacios de, dim( V V ) dim( ) = Por otro lado también sabemos que: dim( V V ) = dim( V ) + dim( V ) dim( V V ) + =. Luego la intersección de V y V no es solamente el vector nulo. 7. Dada la matriz diagonalizable. 0 A= 0, k. Estudiar cuando es 0 0 k La matriz A es simétrica, luego es diagonalizable k. 8. Sean AB, M nxn ( ), A y B son diagonalizables en, de manera que ambas tienen los mismos subespacios propios. Justificar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. a) A+ B es diagonalizable. b) A B es diagonalizable. c) Los autovalores de A y B son los mismos. a) Falso. Veámoslo con un ejemplo.

54 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. 0 A= ; B = A y B son diagonalizables ya que ambas tienen dos autovalores 0 simples y sin embargo A+ B = que no es diagonalizable ya que 0 sus autovalores son λ = i, λ = i. b) Verdadero. n Una matriz es diagonalizable si existe una base de formada por vectores propios de esa matriz. n A es diagonalizable { x, x,..., x n } una base de formada por vectores propios de A. n B es diagonalizable { x, x,..., x n } una base de formada por vectores propios de B. Para ambas matrices podemos tomar la misma base de vectores propios ya que ambas tienen los mismos subespacios propios. Vamos a ver que esa también es una base de vectores propios de AB. Axi = λixi ABxi = Aµ ixi = µ iaxi = µλ i ixi Bxi = µ ixi ABx = µ λ x x es un vector propio de AB asociado al autovalor µ λ i i i i i i i n { x, x,..., x n } es una base de formada por vectores propios de AB, por tanto AB es diagonalizable. Otra forma de haber llegado a este resultado es: Si A es diagonalizable entonces A es semejante a una matriz diagonal D con matriz de paso P, teniéndose la relación D P = AP A= PDP

55 Diagonalización de endomorfismos Si B es diagonalizable entonces B es semejante a una matriz diagonal D con matriz de paso P, teniéndose la relación D P = BP B= PDP Para ambas matrices podemos tomar la misma matriz de paso ya que ambas tienen los mismos subespacios propios y las columnas de la matriz de paso son vectroes propios linealmente independientes. AB = PDP PDP = PDDP ; D = DD es una nueva matriz AB PD P diagonal. Tenemos que =, esto nos está diciendo que AB es semejante a la matriz diagonal D con matriz de paso P, luego AB es diagonalizable. c) Falso. Veámoslo con un ejemplo. 0 λ = L() =< (, 0) > A = 0 5 λ = 5 L(5) =< (0, ) > B 0 µ = L =< (, 0) > () = 0 µ = L() =< (0, ) > A y B tienen los mismos subespacios propios pero no tienen los mismos autovalores. 9. Sea A M ( ) y λ, λ, λ sus autovalores (reales). x Se sabe que: dim( V λ ) = y dim( V ) λ =. Justificar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. a) A no es diagonalizable. λ = λ b) c) λ = λ a) Falso. 5