Si solo tenemos en cuenta las relaciones existentes entre los puntos del espacio y los vectores de V

Transcripción

1 IES Pae Poea (Guaix) UNIDAD 0 GEOMETRÍA MÉTRICA Si olo tenemo en cuenta la elacione exitente ente lo punto el epacio y lo ectoe e V, la geometía etingiá u etuio a la poicione elatia e punto, ecta y plano Dicha geometía e la que e conoce con el nombe e geometía afín Ahoa bien, i aemá conieamo el poucto ecala en V, e poible efini itancia y ángulo La pate e la geometía que etuia el epacio bajo ete punto e ita e la que e enomina geometía mética o euclíea MEDIDA DE ÁNGULOS ENTRE RECTAS Y PLANOS ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS Si o ecta on paalela o coinciente foman un ángulo e 0 º Si o ecta on ecante eteminan cuato ángulo iguale o a o Se efine el ángulo que foman la o ecta como el meno e ello Si o ecta e cuzan, e efine el ángulo que foman como el ángulo que eteminan una e ella y la paalela a la ota que la cota El ángulo que foman o ecta coincie con el ángulo que foman u ectoe iectoe u y i éte e aguo, o con u uplementaio i e obtuo Po tanto, i α, y y on lo ectoe iectoe e y epectiamente: co α co (, ) Pemite obtene el ángulo que foman y E neceaio toma alo aboluto ya que co α coincie, alo el igno, con el coeno el ángulo fomao po u ectoe iectoe Ejemplo: Calcula el ángulo que foman la ecta y x + y + y + z : z : 5 x y z Hallamo un ecto iecto e y oto e Un ecto iecto e e ( 5,,) Paa halla un ecto iecto e hacemo el poucto ectoial i j k n n i + j k (,, ) coα ( ) + ( ) α 695º 0 4 Depatamento e Matemática Bloque III: Geometía en el Epacio Pofeo: Ramón Loente Naao Unia 0: Geometía Mética

2 IES Pae Poea (Guaix) Obea: Do ecta on pepeniculae cuano lo on u ectoe iectoe Po tanto: Conecuencia: Recta pepeniculae Sean y ectoe iectoe e la ecta y epectiamente Entonce: Ejemplo : La ecta : ( x, z) ( 0,0,0) + λ(,,4) y : ( x, z) (,, ) + μ( 0,, ) 0 on pepeniculae, pueto que u ectoe iectoe epectio eifican:,,4 0,, 0 Ejemplo : Detemina la ecuación ectoial e la ecta que paa po el punto A (,0, ) y cota pepeniculamente a la ecta : ( x, z) (,,0 ) + λ(,, ) P AP A Solo exite una ecta que paa po A y cota pepeniculamente a Llamemo a eta ecta y P al punto común a y Expeamo P como punto genéico e la ecta : P ( + λ,+ λ, λ) El ecto AP ( + λ,+ λ, λ ), que e un ecto iecto e e pepenicula a ecto iecto e, po tanto, u poucto ecala e 0: AP 0 ( + λ,+ λ, λ ) (,, ) 0 + 9λ + + 4λ + λ 0 λ AP ( 4, 7, 4 ) Tomamo 4AP(5,8, ) como ecto iecto e La ecta e : ( x, z) (,0, ) + μ( 5,8, ) ÁNGULO ENTRE DOS PLANOS Solo tiene entio coniea el cao e o plano ecante, ya que i on paalelo o coinciente foman un ángulo e 0 º El ángulo que foman o plano ecante e el meno e lo ángulo ieo que eteminan Paa obtene la meia e ee ángulo α π, π utilizamo lo ectoe nomale n y n e caa uno e lo plano π y π : n n co α co( n, n ) Pemite obtene el ángulo que foman π y π n n De nueo hay que toma alo aboluto ya que co α coincie, alo el igno, con el coeno el ángulo fomao po lo ectoe nomale a ambo plano Depatamento e Matemática Bloque III: Geometía en el Epacio Pofeo: Ramón Loente Naao Unia 0: Geometía Mética

3 IES Pae Poea (Guaix) Ejemplo: Dao lo plano π : x y + z + 0 y π : x + y 5z 0, etemina el ángulo que foman Ecibimo un ecto nomal a π, n (,, ), y oto a π, n (,, 5) Calculamo el ángulo que foman n y n : + ( ) + ( 5) ( ) ( 5) 5 co α 044 α 7588º Obea: Do plano on pepeniculae cuano u ectoe nomale lo ean Po tanto: Conecuencia: Plano pepeniculae Sean n y n ectoe nomale e lo plano π y π epectiamente Entonce: π n n 0 π Ejemplo : Lo plano π : x y + z 4 0 y π : y + z 0 on pepeniculae, pueto que u ectoe nomale epectio n (,,) y n ( 0,, ) eifican: n n,, 0,, 0 Ejemplo : Dao lo plano π : x y + 5z 0 y π : kx + 7 y + z 0, halla el alo e k paa que ean pepeniculae Lo ectoe nomale on n (,,5) y n ( k,7, ); luego, paa que ean otogonale e ebe cumpli n n 0 (,,5) ( k,7,) 0 k k Ejemplo : Aeigua i π : x + y + z + 0 e pepenicula a π : ( x, z) (,5,0) + λ(,,0 ) + μ(,,) Lo ectoe nomale a π y n,, i j k n u 0 i j k n,, π epectiamente on n n,,,, π e pepenicula a π Como 0 ÁNGULO ENTRE RECTA Y PLANO Una ecta puee eta incluia en un plano, e paalela a éte o ecante y En lo o pimeo cao ecta y plano foman un ángulo e 0º Depatamento e Matemática Bloque III: Geometía en el Epacio Pofeo: Ramón Loente Naao Unia 0: Geometía Mética

4 IES Pae Poea (Guaix) El ángulo α, π ente una ecta y un plano e el ángulo que foma la ecta con u poyección otogonal obe el plano Si obeamo el ibujo: en α co β co, n n ( n) en α n n Pemite obtene el ángulo que foman y π Ejemplo : Calcula el ángulo que foman la ecta y el plano π + k : y + k π : x 4y + 5z 0 5,,0 Un ecto iecto e la ecta e y un ecto nomal al plano (, 4,5) + ( 4) en α 0 α 574º ( 4) n Ejemplo : Halla el ángulo fomao po el plano π : x + y z 0 y la ecta x y z + : Vecto nomal el plano n (,, ) Vecto iecto e la ecta (,, ) + + ( ) en α 05 α 0º Obea: Una ecta y un plano on pepeniculae cuano el ecto iecto e la ecta ea paalelo al ecto nomal el plano Po tanto: Conecuencia: Recta y plano pepeniculae,, Sean un ecto iecto e una ecta y ( A,B,C ) ecto nomal e un plano π Entonce: n un π //n E eci: π A B C Ejemplo : La ecta : ( x, z) (,0, ) + λ(,,5 ) on pepeniculae, ya que el ecto iecto (,,5 ) y el plano π : x y 5z + 0 n 5 (,, 5) eifican: 5 y el ecto nomal Depatamento e Matemática 4 Bloque III: Geometía en el Epacio Pofeo: Ramón Loente Naao Unia 0: Geometía Mética

5 IES Pae Poea (Guaix) Ejemplo : Detemina la ecuación continua e la ecta que contiene al punto (,4,0 ) A y e pepenicula al plano cuya ecuación e π : 5x y + z + 0 Cualquie ecto nomal el plano eá un ecto iecto e la ecta Como n ( 5,,), tomo x y 4 z ( 5,,) Po tanto, : 5 A,0, y e pepenicula a x + y z la ecta : 5 Cualquie ecto iecto e la ecta eá un ecto nomal el plano Como (,5, ), tomo n (,5, ) Aí pue, el plano eá π : x + 5y + z + D 0 Aemá A (,0,) π D 0 D 5 Po tanto, la ecuación el plano e π : x + 5y + z 5 0 Ejemplo : Halla la ecuación el plano que contiene al punto DISTANCIA ENTRE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS a,a, B b,b, o punto el epacio e efine la itancia ente A y Dao A y a b B como el móulo el ecto AB : ( A,B) AB ( b a ) + ( b a ) + ( b ) a Veifica la iguiente popieae: ( A, B) 0 y ( A, B) 0 A B ( A, B) ( B, A) A, B A, C + C, B (Deiguala tiangula) Ejemplo : Calcula la itancia ente lo punto A ( 0,,0) y C ( 7,, ) A continuación, etemina el peímeto P e un cuaao cuyo étice conecutio on A ( 0,,0), B(,, 4), C( 7,, ) y D ( 4,,) ( A, C) AC ( 7 0) + ( ) + ( 0) 50 5 u Hallamo la itancia ente o étice conecutio, po ejemplo A ( 0,,0) y B (,, 4), y la multiplicamo po cuato, ya que e un cuaao: ( A, B) AB ( 0) + ( ) + ( 4 0) 5 u P u Fíjate: Paa iualiza el eaeo cuaao teníamo que epeentalo en te imenione Ejemplo : Calcula el peímeto el tiángulo e étice A (,,0 ), B (,, ) y (,0,5 ) ( A, B) AB ( ) + ( ) + ( 0) ( A, C ) AC ( ) + ( 0 ) + ( 5 0) 4 u 0 u ( B, C ) BC ( ) + ( 0 ) + ( 5 ( ) ) 68 7 u Po tanto, P u C Depatamento e Matemática 5 Bloque III: Geometía en el Epacio Pofeo: Ramón Loente Naao Unia 0: Geometía Mética

6 IES Pae Poea (Guaix) Ota foma e obtene P π x y z 5 : y 0 : x + z 0 Sitema fomao po y π y 0 x + z 0 P (,,4 ) x y + z + 0 Ejemplo : La itancia el punto (,,) P a oto A el eje OX e 7 Halla la cooenaa el punto A A x,0,0 po petenece al eje e abcia ( P, A) ( x ) + ( 0 ) + ( 0 ) 7 ( x ) + 49 ( x ) 6 x ± 6 x 7 ó x 5 Lo punto poible on: A ( 7,0,0) y ( 0, 0) DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA Daa una ecta ( A, ) como la mínima itancia e P a un punto cualquiea e y un punto P, e efine la itancia e P a, y e ecibe ( P,) ( P,) ( P,P ) A P e le llama poyección otogonal e P obe la ecta Obea: Eta itancia coincie con la longitu el egmento pepenicula el punto a la ecta Si el punto P petenece a la ecta ( P, ) 0 y ecípocamente, PRIMER MÉTODO: A pati e la poyección otogonal e un punto obe una ecta º) Se halla el plano π pepenicula a y que contiene a P º) Se obtiene P como inteección e π y º) Se halla ( P, P ) Fíjate: Ete métoo no pemite obtene P y la ecta pepenicula a que contiene a P λ P a la ecta : y λ 5 + λ Obtén, aemá, la ecuación e la ecta pepenicula a que contiene a P º) Plano π pepenicula a y que contiene a P Ejemplo: Calcula la itancia el punto ( 5,,6 ) Po e π, u ecto iecto (,,) e un ecto nomal e π Tomano n (,, ) π : x y + z + D 0 Como π ha e contene al punto P, e tiene: 5 ( ) + 6+ D 0 D La ecuación e π e: π : x y + z + 0 º) Obtención e P π Como P P ( λ, λ, 5 + λ) punto genéico e Peo P π ( λ) ( λ) + ( 5 + λ) λ + λ λ + 0 λ P,, 4 Po tanto: º) ( P, ) ( P, P ) PP ( 5) + ( ( ) ) + ( 4 6) u Obtención e la ecta pepenicula a que contiene a P: PP,, Po tanto: Un ecto iecto e la ecta e : ( x, z) ( 5,,6 ) + λ(,, ) λ R Depatamento e Matemática 6 Bloque III: Geometía en el Epacio Pofeo: Ramón Loente Naao Unia 0: Geometía Mética

7 IES Pae Poea (Guaix) Ota foma: Tomo: λ y λ λ λ : y λ λ R λ Po tanto: A( 0, 0, 0) SEGUNDO MÉTODO: Utilizano el poucto ectoial (Má fácil y ápio) Sabemo que: A A Paalelogamo Paalelogamo ( P,) AP AP h AP h h AP Ditancia e un punto P a una ecta Inconeniente: No e obtiene la poyección otogonal e P obe ( P ) ni la ecta pepenicula a que contiene a P Ejemplo : Calcula la itancia ente el punto P (,4,) y la ecta : ( x, z) (,, ) + λ(,,),, A e un punto e la ecta y (,,) i un ecto iecto AP ( 0,, ); AP 0 i + j k AP (,, ) AP ( P, ) u j k y 0 P a la ecta : x + y z 0 Un punto e la ecta e A ( 0,0,0) y un ecto iecto n n ieno n y n lo ectoe nomale e lo plano que efinen la ecta i j k n n 0 i + j + k (,, ) Ejemplo : Calcula la itancia el punto (,, ) (,, ) i AP (,, ) ; AP 7i j k AP ( 7,, ) AP j ( P, ) u k Ejecicio: Sea el tiángulo eteminao po lo punto A (,4, ), B ( 0,0,) y (,, ) Halla la itancia el punto B a la ecta eteminaa po A y C A continuación, calcula el peímeto y el áea e ete tiángulo B, P u A u u 5 5 C Depatamento e Matemática 7 Bloque III: Geometía en el Epacio Pofeo: Ramón Loente Naao Unia 0: Geometía Mética

8 IES Pae Poea (Guaix) Ota foma e obtene P π x + y z : 4 4 y + 0 x + z 0 Sitema fomao po y π y x + z 0 P,, x + y 4z + 0 TERCER MÉTODO: Ota foma e obtene P Si etomamo el ejemplo el pime métoo: P λ, λ, 5 + λ e un punto genéico e la ecta P P( 4 + λ, + λ, λ) El ecto que no inteea e pepenicula a la ecta : P P P P 0 Po tanto: (,, ) (4 + λ, + λ, λ) λ + λ + λ λ 0 P P(,,) y P (,,4 ) ( P, ) ( P, P ) PP + ( ) + u DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO La itancia e un punto P a un plano π, e la mínima itancia ente P y un punto cualquiea el plano π Se ecibe ( P,π) ( P,π) ( P,P ) A P e le llama poyección otogonal e P obe el plano π Si el punto P petenece al plano ( P, π ) 0 y ecípocamente PRIMER MÉTODO: A pati e la poyección otogonal e un punto obe un plano º) Se halla la ecta pepenicula a π que contiene a P º) Se calcula P como inteección e y π º) Se calcula ( P, P ) Fíjate: Ete métoo no pemite obtene P y la ecta pepenicula a π que contiene a P P al plano π : 4x + y 4z + 0 Obtén paa ello la poyección otogonal el punto P obe el plano π º) Recta pepenicula a π que contiene a P Po e π, el ecto nomal e π eá el ecto iecto e o uno popocional + λ n ( 4,, 4) (,, ) : y λ λ º) Obtención e P π Como P P ( + λ, λ, λ) punto genéico e Peo P π 4( + λ) + λ 4( λ) λ + λ + 8λ + 0 λ Po tanto: P,, º) ( P, π ) ( P, P ) PP (( 9) ( ) ) + ( 8 0) + ( 9 ) u 8 6 Ejemplo: Calcula la itancia el punto (,0,) Depatamento e Matemática 8 Bloque III: Geometía en el Epacio Pofeo: Ramón Loente Naao Unia 0: Geometía Mética

9 IES Pae Poea (Guaix) SEGUNDO MÉTODO: Má fácil y ápio Bata aplica la fómula: Ap + Bp + Cp + D ( P,π) Ditancia e un punto P a un planoπ A 44 + B n 4+ 4C ieno ( p, p p ) P y π : Ax + By + Cz + D 0, Inconeniente: No e obtiene la poyección otogonal e P obe π ( P ) ni la ecta pepenicula a que contiene a P P al plano π : 4x + y 4z + 0 Ap + Bp + Cp + D 4 ( ) P, π u A + B + C Ejemplo : Calcula la itancia el punto (,0,) Ejemplo : Calcula la itancia el punto P (,5,0 ) al plano π : (, z) (,0,) + λ(,, ) + μ( 5,, ) x y z 5 x 0 π : 4x 6y + 7z 6 0 ( P, π ) Ap + Bp + Cp + D A + B + C ( 6) u DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS La itancia ente o ecta y e la mínima itancia ente un punto cualquiea e y un, punto cualquiea e Se ecibe Cao º: Recta coinciente o ecante En ete cao e clao que (,) 0 Ejemplo: Calcula la itancia ente la ecta : ( x, z) (,,) + λ(,,) : ( x, z) (,,4 ) + μ(,, ) En pime luga eteminamo u poición elatia (,,) (,, ) y la ecta y e cotan o e cuzan Sean A(,, ) y B(,, 4) AB (,,) et (,, AB) 0 ang(,, AB) y e cotan (, ) 0 Depatamento e Matemática 9 Bloque III: Geometía en el Epacio Pofeo: Ramón Loente Naao Unia 0: Geometía Mética

10 IES Pae Poea (Guaix) Cao º: Recta paalela Si //, tomamo un punto e una e ella y calculamo u itancia a la ota (itancia e un punto a una ecta) Ejemplo: Halla la itancia ente la ecta y, ieno: x y z x y z : : En pime luga eteminamo u poición elatia: (,, ) y on paalela o coinciente (,, ) Sea A(,0,) Veamo i A eifica la ecuación e 0 A y on paalela Calculamo la itancia el punto B a la ecta Sea B(,,) AB 0,,0 i j k AB 0 0 i + 0 j k AB (,0, ) AB (, ) ( B, ) u Cao º: Recta que e cuzan Sabemo que: [ Paalelepípeo AB,, ] V V Paalelepípeo (, ) A bae Altua (, ) (, ) [ AB,, ] [ ] (, ) AB,, Ditancia ente o ecta que e cuzan Cao : Ota foma Ejemplo: Calcula la itancia ente la ecta y : Daa y que e cuzan: 5 + λ 4 + μ Se calcula el plano π paalelo a : y : y μ que contiene a 8 + λ 5 + 4μ Se calcula (,π ) (,) (,π ) En pime luga eteminamo u poición elatia: Nota: Paa aplica ete (,0, ) 0 métoo e neceaio el y e cotan o e cuzan apatao 6 Ditancia (,,4 ) 4 ente ecta y plano Sean A( 5,, 8) y B(,, 5) AB,4, et 4 (,, AB) ang( AB,, ) 4 y e cuzan Depatamento e Matemática 0 Bloque III: Geometía en el Epacio Pofeo: Ramón Loente Naao Unia 0: Geometía Mética

11 IES Pae Poea (Guaix) Calculamo la itancia ente la ecta: 4 (E el mimo eteminante e ante peo [ AB,, ] 0 9 ; con lo ectoe pueto po fila) 4 i j k 0 i + j k (,, ) 4 [ AB,, ] 9, u DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS Si lo plano on coinciente o ecante, u itancia e ceo, ( π, ) 0 π Si lo plano on paalelo, u itancia e calcula tomano un punto e uno e lo plano y hallano u itancia al oto plano: ( π,π ) ( P,π ), con P π utilizano cualquiea e lo o métoo que e han etuiao Ejemplo: Halla la itancia ente lo plano π : x 4y + 4z + 0 y π : x y + z Como Lo plano π y π on paalelo Tomamo un punto el plano π Si y 0, z 0 x Po tanto, P (,0, 0) π ( π, π ) ( P, π ) u Nota: No obtante, exite oto encillo métoo e calcula la itancia ente o plano paalelo iempe que u coeficiente A, B y C COINCIDAN En cao contaio ebemo igualalo peiamente: ( π,π ) o bien ( π,π ) A D D + B + C D D n Ejemplo: Halla la itancia ente lo plano π : x + y 6z 4 0 y π : x + y 6z ( π, π ) + + ( 6) Depatamento e Matemática Bloque III: Geometía en el Epacio Pofeo: Ramón Loente Naao Unia 0: Geometía Mética 5 4 u

12 IES Pae Poea (Guaix) 6 DISTANCIA ENTRE RECTA Y PLANO Si la ecta etá incluia en el plano o i la ecta y el plano on ecante, u itancia e ceo,, π 0 Si la ecta y el plano on paalelo, u itancia e calcula tomano un punto cualquiea e la ecta y hallano u itancia al plano (,π) ( P,π), con P x y z+ Ejemplo : Calcula la itancia e la ecta : al plano π : x y z Sean ( 5,, ) y n (,, ) n ( 5,, ) (,, ) n // π o bien π Tomamo el punto P(,, ), ( ) (, π ) ( P, π ) 4u y //π + 9 +, π 0 Fíjate: Si hubiee etao contenia en el plano π entonce Ejemplo : Halla la itancia ente la ecta : ( x, z) (,,0 ) + λ(,4, ) y el plano π : x + y + z 0 Sean (,4, ) y n (,, ) Po tanto, n (,4, ) (,, ) La ecta y el plano e cotan en un punto, po tanto, (, π ) 0 y 0 Ejemplo : Halla la itancia ente la ecta : y el plano π : x + y z + 0 x z 0 λ P( 0,, ) Tomo x λ : y + λ Po tanto + λ,, n,,,, + 0 y π on paalelo 0 ( ) + ( π ) ( P, π ) 7 7 6, 86 u Ota foma Poición elatia: Sitema fomao po la ecuacione e y π : x y 0 0 ang M x z M 0 ( M b) 0 y π on paalelo ang( M b) x + y z Se calcula un punto e la ecta Tomo x 0 y ; z P( 0,, ) ( ) (, π ) ( P, π ) 86 u Depatamento e Matemática Bloque III: Geometía en el Epacio Pofeo: Ramón Loente Naao Unia 0: Geometía Mética

13 IES Pae Poea (Guaix) PLANO MEDIADOR Y PLANO BISECTOR PLANO MEDIADOR Se llama plano meiao e un egmento, al plano pepenicula a éte en u punto meio E el luga geomético e lo punto el epacio que equiitan e lo extemo el egmento: Ota foma: Ejemplo: Detemina el plano meiao el egmento AB cuyo extemo on lo punto Calcula el plano π A (,,0 ) y B (,0,) que paa po el punto Sea P ( x z) A, P B, P meio e AB, y que tiene como ecto AP BP ( x + ) + ( y ) + ( z 0) ( x ) + ( y 0) + ( z ) nomal n AB x + 6x y y + + z x 4x y + z 6z + 9 Ejecicio: El mimo po ete métoo π : 0x y + 6z 0 PLANO BISECTOR, un punto cualquiea el plano meiao π Se llama plano biecto e o plano π y π al luga geomético e lo punto el epacio que equiitan e ambo plano: ( P,π ) ( P, ) ( A,P) ( B,P) π Fíjate: En ealia exiten o plano biectoe que iien a lo itinto ángulo ieo en o pate iguale a b a b o bien Ejemplo: Coniea lo plano π : x + y z + 0 y π : x 4y 5 0, y etemina la ecuación e u plano biectoe x + y z + x 4y 5 ( P, π ) ( P, π ) x + y z + x 4y 5 5 De aquí obtenemo o plano: 5 x + y z + x 4y 5 a b π : x + y 5z x + 0y 5z + 5 ± ( 9x y 5) π :9x y 5z 0 4 PERPENDICULAR COMÚN Se llama pepenicula común e o ecta que e cuzan a ota ecta ecante a éta y pepenicula a amba Fíjate: Hay infinita ecta pepeniculae a o ecta que e cuzan peo ólo una que la cota Poceimiento paa obtene la pepenicula común t : Daa o ecta que e cuzan ( A, ) y ( B, ) º) Calculamo w ecto otogonal a y º) Hallamo lo plano ( π A, ) 44, w y π ( B, ) 44, w contiene a contiene a º) La pepenicula común iene aa po la inteección e π y π Po tanto, expeamo éta con u ecuacione implícita, a pati e la ecuacione e π y π Fíjate: w e un ecto iecto e la pepenicula común t Depatamento e Matemática Bloque III: Geometía en el Epacio Pofeo: Ramón Loente Naao Unia 0: Geometía Mética

14 P Q IES Pae Poea (Guaix) Ejemplo : Halla la pepenicula común a la ecta : ( x, z) (,,) + λ(,, ) : ( x, z) (,,) + μ(,,5) En luga e ete ecto, tomamo (,, ) º) Calculamo ( π A,, w) y π ( B,, w) y º) Calculamo w ecto otogonal a y i j k 8i + 8 j + 4k 5 w popocional a x π : y z x π : y z 44 contiene a 44 contiene a 0 π : 7x 4 y z 0 0 π : x 4 y + z ( 8,8,4) º) Pepenicula común t: 7x 4 y z 0 t : x 4 y + z + 0 Pepenicu la común a y Ota foma: El iguiente ejemplo no mueta una aiante el anteio, que a a pemiti aboa el poblema el cálculo e la pepenicula común ee oto punto e ita: + μ Ejemplo : Sabieno que la ecta : x y z y : y + μ e cuzan, halla lo μ punto P y Q, e y epectiamente, que etán a mínima itancia λ + μ A( 0,0,0) B(,,0 ) Como : x y z : y λ ; : y + μ (,, ) λ (,, ) μ Punto genéico e : P ( λ, λ, λ) Punto genéico e : Q + μ, + μ, μ Sea t la pepenicula común a y P y Q etán ituao en t, e eci, P t y Q t Po tanto un ecto iecto e t, PQ ( + μ λ, + μ λ, μ λ), eifica: PQ PQ 0 ( + μ λ, + μ λ, μ λ)(,, ) 0 PQ 0 ( + μ λ, + μ λ, μ λ) (,, ) 0 PQ + μ λ + + μ λ μ λ 0 λ + μ 4 λ ; μ + μ λ + + μ λ + μ + λ 0 λ + μ 4 P Aemá PQ (,, 0) Con lo que lo punto bucao on (,,, ); Q( 0,,) La pepenicula común t, a y, iene aa po t :( x, z) (,, ) + α(,,0 ) Fíjate: ( ) ( P, Q),, po tanto ete métoo pemite calcula fácilmente la itancia ente o ecta que e cuzan: (, ) ( P, Q) PQ ( ) u Depatamento e Matemática 4 Bloque III: Geometía en el Epacio Pofeo: Ramón Loente Naao Unia 0: Geometía Mética

15 IES Pae Poea (Guaix) 5 SIMÉTRICO DE UN PUNTO RESPECTO A UN PLANO Ejemplo: Halla el punto imético e (,0,) π : x y + z º) Se halla la ecta que paa po P y e pepenicula a π + λ Tomo n(,,) : y λ P epecto el plano + λ º) Se obtiene el punto e cote M e π y M M ( + λ, λ, + λ) punto genéico e M π + λ ( λ) + + λ λ λ M(,, ) º) P ( x, z) e el imético e P epecto a M (M e el punto meio e P P ) x + y z +,,,, P,, 6 SIMÉTRICO DE UN PUNTO RESPECTO A UNA RECTA Ejemplo: Detemina el punto imético e (,, 7) x + y z + : P epecto e la ecta º) Se halla el plano π que contiene a P y e pepenicula a Tomo n (,,) x+ y+ z + D D 0 D 5 Po tanto, π : x + y + z º) Se obtiene el punto e cote M e y π x + λ : y + λ Como M M ( + λ, + λ, + λ) Punto genéico e la ecta + λ M π + λ+ ( + λ) + ( + λ) λ λ + 4λ λ λ M(,, 5) P x, z e el imético e P epecto a M º) El punto x y + z 7,, (,, 5) P (,, ) 7 RECTA QUE SE APOYA SOBRE OTRAS DOS 7 RECTA QUE SE APOYA EN OTRAS DOS Y QUE PASA POR UN PUNTO Paa etemina la ecuación e la ecta que e apoya en ota o y que paa po un punto P: º) Se obtiene el plano π que contiene a y a P º) Se obtiene el plano π que contiene a y a P º) La ecta bucaa t iene aa po la inteección e π y π 7 RECTA QUE SE APOYA EN OTRAS DOS Y QUE ES PARALELA A UNA DADA Paa etemina la ecuación e la ecta que e apoya en ota o y y que e paalela a ota ecta t ( t e un ecto iecto e la ecta t): º) Se obtiene el plano π que contiene a y a t (paalelo a t) º) Se obtiene el plano π que contiene a y a t (paalelo a t) º) La ecta bucaa iene aa po la inteección e π y π Depatamento e Matemática 5 Bloque III: Geometía en el Epacio Pofeo: Ramón Loente Naao Unia 0: Geometía Mética

16 IES Pae Poea (Guaix) Ejemplo: Detemina la ecuación e la ecta que paa po (,, ) P y e apoya en: x y z + x y z : : A(,0, ) B( 0,,) : : (,, ) (,, ) º) Plano π que contiene a y a P x 0 AP( 0,,) π : y 0 π :x + y + z 0 z + º) Plano π que contiene a y a P x BP,,0 π : y z 0 0 π :9x + y 5z º) Ecuación e la ecta bucaa: + y + z 0 t : 9x + y 5z Depatamento e Matemática 6 Bloque III: Geometía en el Epacio Pofeo: Ramón Loente Naao Unia 0: Geometía Mética