1.3 EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Transcripción

1 4 CAPÍTULO Fundmentos 0. Distnci de l Tierr l Sol Se deduce de l Tercer Ley de Kepler del movimiento plnetrio, que el promedio de distnci de un plnet l Sol (en metros) es d GM 4p /3 T /3 donde M kg es l ms del Sol, G N m /kg es l constnte grvitcionl, y T es el período de l órit del plnet (en segundos). Use el dto de que el período de l órit de l Tierr es de lrededor de dís pr llr l distnci de l Tierr l Sol. DESCUBRIMIENTO DISCUSIÓN REDACCIÓN 03. Cuánto es mil millones? Si usted tuvier un millón (0 6 ) de dólres en un mlet, y gstr mil dólres (0 3 ) l dí, cuántos ños trdrí en gstrse todo el dinero? Gstndo l mismo pso, cuántos ños trdrí en vcir l mlet llen con mil millones (0 9 ) de dólres? 04. Potencis fáciles que se ven difíciles Clcule mentlmente ests epresiones. Use l ley de eponentes como yud. 8 5 ( ) () 0 6 # Límite del comportmiento de potencis Complete ls tls siguientes. Qué ocurre l n ríz de cundo n se ce grnde? Qué se puede decir cerc de l n ríz de? n /n n A B /n Construy un tl similr pr n /n. Qué ocurre l n ríz de n cundo n se ce grnde? 06. Comprción de ríces Sin usr clculdor, determine cuál número es más grnde en cd pr. () / o /3 () A B / o A B /3 (c) 7 /4 o 4 /3 (d) 3 5 o 3.3 EXPRESIONES ALGEBRAICAS Sum y rest de polinomios Multiplicción de epresiones lgerics Fórmuls de productos notles Fctorizción de fctores comunes Fctorizción de trinomios Fórmuls especiles de fctorizción Fctorizción por grupción de términos Un vrile es un letr que puede representr culquier número tomdo de un conjunto de números ddo. Si empezmos con vriles, por ejemplo, y y z, y lgunos números reles, y ls cominmos usndo sum, rest, multiplicción, división, potencis y ríces, otenemos un epresión lgeric. Vemos continución lgunos ejemplos: y z y 4 Un monomio es un epresión de l form k, donde es un número rel y k es un entero no negtivo. Un inomio es un sum de dos monomios y un trinomio es un sum de tres monomios. En generl, un sum de monomios se llm polinomio. Por ejemplo, l primer epresión citd línes ntes es un polinomio, pero ls otrs dos no lo son. POLINOMIOS Un polinomio en l vrile es un epresión de l form n n n n... 0 donde 0,,..., n son números reles, y n es un entero no negtivo. Si n 0, entonces el polinomio tiene grdo n. Los monomios k k que conformn el polinomio recien el nomre de términos del polinomio. Oserve que el grdo de un polinomio es l potenci más lt de l vrile que prece en el polinomio.

2 SECCIÓN.3 Epresiones lgerics 5 Polinomio Tipo Términos Grdo 3 4 trinomio, 3, inomio 8, cutro términos 3,,, inomio 5, 9 5 monomil monomil 6 0 Propiedd Distriutiv c c c Sum y rest de polinomios Summos y restmos polinomios usndo ls propieddes de números reles que vimos en l Sección.. L ide es cominr términos semejntes (esto es, términos con ls misms vriles elevdos ls misms potencis) usndo l Propiedd Distriutiv. Por ejemplo, Pr restr polinomios, tenemos que recordr que si un signo menos precede un epresión en préntesis, entonces se cmi el signo de cd término dentro del préntesis cundo quitemos el préntesis: c c 3Éste es simplemente el cso de l Propiedd Distriutiv, ( c) c, con.4 EJEMPLO Sum y rest de polinomios () Encuentre l sum () Encuentre l diferenci () () AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 5 Y 7 Agrupe términos semejntes Comine términos semejntes Propiedd Distriutiv Agrupe términos semejntes Comine términos semejntes El crónimo FOIL nos yud recordr que el producto de dos inomios es l sum de los productos de los primeros (First) términos, los términos eternos (Outer), los términos internos (Inner) y los últimos (Lst). Multiplicción de epresiones lgerics Pr llr el producto de polinomios o de otrs epresiones lgerics, es necesrio usr repetidmente l Propiedd Distriutiv. En prticulr, usándol tres veces en el producto de dos inomios, otenemos c d c d c d c d c d Esto dice que multiplicmos los dos fctores l multiplicr cd término de un fctor por cd término del otro fctor y summos estos productos. Esquemáticmente, tenemos c d c d c d F O I L

3 6 CAPÍTULO Fundmentos En generl, podemos multiplicr dos epresiones lgerics usndo pr ello l Propiedd Distriutiv y ls Leyes de Eponentes. EJEMPLO Multiplicción de inomios usndo FOIL F O I L AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 3 Propiedd Distriutiv Comine términos semejntes Cundo multiplicmos trinomios u otros polinomios con más términos, usmos l Propiedd Distriutiv. Tmién es útil comodr nuestro trjo en form de tl. El siguiente ejemplo ilustr mos métodos. EJEMPLO 3 Multiplicción de polinomios Encuentre el producto: : Usndo l Propiedd Distriutiv # # 5 # 4 3 # 3 # 5 3 # Propiedd Distriutiv Propiedd Distriutiv Leyes de Eponentes Comine términos semejntes : Usndo form de tl Multiplique 5 4 por Multiplique 5 4 por Sume términos AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 45 Fórmuls de productos notles Ciertos tipos de productos se presentn con tnt frecuenci que es necesrio prenderlos. Se pueden verificr ls siguientes fórmuls l ejecutr ls multiplicciones. Ve en el Proyecto de descurimiento, citdo en l págin 34, un interpretción geométric de lguns de ests fórmu ls. FÓRMULAS DE PRODUCTOS NOTABLES Si A y B son números reles culesquier o epresiones lgerics, entonces. A BA B A B Sum y producto de términos igules. A B A AB B Cudrdo de un sum 3. A B A AB B Cudrdo de un diferenci 4. A B 3 A 3 3A B 3AB B 3 Cuo de un sum 5. A B 3 A 3 3A B 3AB B 3 Cuo de un diferenci

4 SECCIÓN.3 Epresiones lgerics 7 L ide clve en el uso de ests fórmuls (o culquier otr fórmul en álger) es el Principio de Sustitución: podemos sustituir culquier epresión lgeric por culquier letr en un fórmul. Por ejemplo, pr llr ( y 3 ) usmos l Fórmul de Productos, sustituyendo por A y y 3 por B, pr otener y 3 y 3 y 3 (A B) A AB B EJEMPLO 4 Uso de ls fórmuls de productos notles Use ls fórmuls de productos notles pr llr cd producto. () 3 5 () 3 () Sustituyendo A 3 y B 5 en l Fórmul de Productos, otenemos: () Sustituyendo A y B en l Fórmul 5 de Productos, otenemos: AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 9 Y 4 EJEMPLO 5 Encuentre cd producto. Uso de ls fórmuls de productos notles ( ) y y () y y () Sustituyendo A y B y en l Fórmul de Productos, otenemos: y y y 4 y () Si grupmos y y l vemos como un epresión lgeric, podemos usr l Fórmu l de Productos con A y B. y y 3 y 43 y 4 y y y Fórmul de Producto Fórmul de Producto AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 55 Y 59 Fctorizción de fctores comunes Usmos l Propiedd Distriutiv pr epndir epresiones lgerics. A veces necesitmos invertir este proceso (de nuevo usndo l Propiedd Distriutiv) l fctorizr un epresión como un producto de otrs más sencills. Por ejemplo, podemos escriir 4 Decimos que y son fctores de 4.

5 8 CAPÍTULO Fundmentos El tipo más sencillo de fctorizción se present cundo los términos tienen un fctor común. EJEMPLO 6 Fctorice lo siguiente. () 3 6 (c) Fctorizción de fctores comunes () 8 4 y 6 3 y 3 y 4 VERIFIQUE SU RESPUESTA L multiplicción d () El máimo fctor común en los términos 3 y 6 es 3, de modo que tenemos VERIFIQUE SU RESPUESTA L multiplicción d y y y 8 4 y 6 3 y 3 y 4 () Oservmos que 8, 6 y tienen el máimo fctor común 4, y 3 y tienen el máimo fctor común y, y 3 y y 4 tienen el máimo fctor común y Por tnto, el máimo fctor común de los tres términos del polinomio es y, y tenemos 8 4 y 6 3 y 3 y 4 y 4 3 y 3 y y y y y y (c) Los dos términos tienen el fctor común Propiedd Distriutiv 3 Simplifique AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 6, 63 Y 65 Fctorizción de trinomios Pr fctorizr un trinomio de l form c, oservmos que r s r s rs por lo que necesitmos escoger números r y s tles que r s y rs c. VERIFIQUE SU RESPUESTA L multiplicción d EJEMPLO 7 Fctorizr c por ensyo y error. Fctorice: 7 Necesitmos llr dos enteros cuyo producto se y cuy sum se 7. Por ensyo y error encontrmos que los dos enteros son 3 y 4. Entonces, l fctorizción es fctores de AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 67 fctores de c Óp rôóq sô fctores de c Pr fctorizr un trinomio de l form c con, uscmos fctores de l form p r y q s: c p rq s pq ps qr rs Por tnto, trtmos de llr números p, q, r y s tles que pq y rs c, ps qr. Si estos números son enteros todos ellos, entonces tendremos un número limitdo de posiiliddes de intentr conseguir p, q, r y s.

6 SECCIÓN.3 Epresiones lgerics 9 EJEMPLO 8 Fctorizción de c por ensyo y error Fctorice: Podemos fctorizr 6 como 6 o 3 y 5 como 5 o 5 (). Al trtr ests posiiliddes, llegmos l fctorizción fctores de 6 VERIFIQUE SU RESPUESTA L multiplicción d fctores de 5 AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 69 EJEMPLO 9 Fctorice lo siguiente. Reconocer l form de un epresión () 3 () () 3 3 () Est epresión es de l form Ensyo y error 3 donde represent 5. Ést es l mism form que l epresión de l prte (), de modo que se fctoriz como AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 7 Fórmuls especiles de fctorizción Alguns epresiones lgerics notles se pueden fctorizr usndo ls fórmuls que siguen. Ls tres primers son simplemente Fórmuls de Productos Notles escrits l invers. FÓRMULAS ESPECIALES DE FACTORIZACIÓN Fórmul Nomre. A B A BA B Diferenci de cudrdos. A AB B A B Cudrdo perfecto 3. A AB B A B Cudrdo perfecto 4. A 3 B 3 A BA AB B Diferenci de cuos 5. A 3 B 3 A BA AB B Sum de cuos EJEMPLO 0 Fctorice lo siguiente. () 4 5 () y z Fctorizción de diferencis de cudrdos

7 30 CAPÍTULO Fundmentos LAS MATEMÁTICAS EN EL MUNDO MODERNO Cmio de plrs, sonido e imágenes en números Imágenes, sonido y teto se trnsmiten rutinrimente de un lugr otro por l Internet, prtos de f o módem. Cómo pueden ests coss trnsmitirse por cles telefónicos? L clve pr cer esto es cmirls en números o its (los dígitos 0 o ). Es fácil ver cómo cmir teto números. Por ejemplo, podrímos usr l correspondenci A , B , C , D , E , y sí sucesivmente. L plr BED (CAMA) se convierte entonces en Al leer los dígitos en grupos de oco, es posile trnsformr este número de nuevo l plr BED. Cmir sonidos its es más complicdo. Un ond de sonido puede ser grficd en un osciloscopio o en compu tdor. L gráfic se descompone continución mtemáticmente en componentes más sencillos correspondientes ls diferentes frecuencis del sonido originl. (Aquí se us un rm de ls mtemátics de nomre Análisis de Fourier.) L intensidd de cd componente es un número, y el sonido originl puede reconstruirse prtir de estos números. Por ejemplo, se lmcen músic en un CD como un sucesión de its; puede verse como (Un segundo de músic requiere.5 millones de its). El reproductor de CD reconstruye l músic prtir de los números presentes en el CD. Cmir imágenes números comprende epresr el color y rillntez de cd punto (o píel) en un número. Esto se ce en form muy eficiente usndo un rm de ls mtemátics llmd teorí ondultori. El FBI emple trenes de onds como form compct de lmcenr en rcivo millones de uells dctilres que necesitn. () Usndo l fórmul de Diferenci de Cudrdos con A y B 5, tenemos A B (A B)(A B) () Usmos l fórmul de Diferenci de Cudrdos con A y y B z. y z y z y z AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 75 Y 09 EJEMPLO Fctorice cd polinomio. () 7 3 () 6 8 Fctorizción de diferencis y sums de cuos () Usndo l fórmul de l Diferenci de Cuos con A 3 y B, otenemos () Usndo l fórmul de Sum de Cuos con A y B, tenemos AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 77 Y 79 Un trinomio es un cudrdo perfecto si es de l form A AB B o A AB B Por lo tnto, reconocemos un cudrdo perfecto si el término medio (AB o AB) es más o menos dos veces el producto de ls ríces cudrds de los dos términos eternos. EJEMPLO Fctorice cd trinomio. Reconocer cudrdos perfectos () 6 9 () 4 4y y () Aquí A y B 3, de modo que AB 3 6. Como el término medio es 6, el trinomio es un cudrdo perfecto. Por l fórmul del Cudrdo Perfecto tenemos () Aquí A y B y, de modo que AB y 4y. Como el término medio es 4y, el trinomio es un cudrdo perfecto. Por l fórmul del Cudrdo Perfecto tenemos 4 4y y y AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 05 Y 07 Cundo fctorizmos un epresión, veces el resultdo puede fctorizrse ún más. En generl, primero fctorizmos fctores comunes y luego inspeccionmos el resultdo pr ver si puede ser fctorizdo por culquier de los otros métodos de est sección. Repetimos este proceso st que ymos fctorizdo completmente l epresión.

8 SECCIÓN.3 Epresiones lgerics 3 EJEMPLO 3 Fctorice por completo cd epresión. () 4 8 () 5 y y 6 Fctorizr por completo un epresión () Primero fctorizmos l potenci de que teng el eponente más pequeño El fctor común es Fctorice 4 como un diferenci de cudrdos () Primero fctorizmos ls potencis de y de y que tengn los eponentes más pequeños. 5 y y 6 y 4 y 4 y y y y y y y El fctor común es y Fctorice 4 Fctorice AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 5 Y 7 y 4 como un diferenci de cudrdos y como un diferenci de cudrdos En el siguiente ejemplo fctorizmos vriles con eponentes frccionrios. Este tipo de fctorizción se present en cálculo. Pr fctorizr / de 3/, restmos eponentes: 3/ / 3/ / / 3/ / / EJEMPLO 4 Fctorice lo siguiente. Fctorizr epresiones con eponentes frccionrios ( ) 3 3/ 9 / 6 / () /3 /3 () Fctorice l potenci de que teng el eponente más pequeño, es decir, /. 3 3/ 9 / 6 / 3 / 3 3 / Fctorice 3 / Fctorice l ecución de segundo grdo 3 () Fctorice l potenci de que teng el eponente más pequeño, es decir, ( ) /3 /3 /3 /3 3 4 /3 /3 Fctorice Simplifique Fctorice VERIFIQUE SUS RESPUESTAS Pr ver que y fctorizdo correctmente, multiplique usndo ls Leyes de Eponentes. /3 () 3 / 3 () / / 9 / 6 / /3 /3 AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 9 Y 93 Fctorizción por grupción de términos Los polinomios con l menos cutro términos pueden fctorizrse veces por grupción de términos. El siguiente ejemplo ilustr l ide. EJEMPLO 5 Fctorizción por grupción Fctorice lo siguiente. ( ) () 3 3 6

9 3 CAPÍTULO Fundmentos () () Agrupe términos Fctorice fctores comunes Fctorice de cd término Agrupe términos Fctorice fctores comunes Fctorice de cd término AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 83.3 EJERCICIOS CONCEPTOS. Considere el polinomio Cuántos términos tiene este polinomio? Enliste los términos: Cuál fctor es común cd término? Fctorice el polinomio: Pr fctorizr el trinomio 7 0, uscmos dos enteros cuyo producto se y cuy sum se. Estos enteros son y, de modo que el trinomio se fctoriz como. 3. L fórmul de productos notles pr l sum de un cudrdo es (A B). Por tnto, ( 3). 4. L fórmul de productos notles pr l sum y diferenci de los mismos términos es (A B)(A B). Entonces (5 )(5 ). 5. L fórmul de fctorizción especil pr l diferenci de cudrdos es A B. Entonces, 4 5 se fctoriz como. 6. L fórmul de fctorizción especil pr un cudrdo perfecto es A AB B. Entonces 0 5 se fctoriz como. HABILIDADES 7- Complete l tl siguiente diciendo si el polinomio es un monomio, inomio o trinomio; continución, g un list de sus términos y eprese su grdo. Polinomio Tipo Términos Grdo Polinomio Tipo Términos Grdo Encuentre l sum, diferenci o producto t t t t 4. 53t 4 t tt Multiplique ls epresiones lgerics usndo el método FOIL y simplifique. 3. 3t 7t s s y 3y 7. 3y y y3 y 9-44 Multiplique ls epresiones lgerics usndo un fórmu l de producto notle y simplifique y 3. u 3. 3y 33. 3y 34. r s y 3y y 5y y y

10 SECCIÓN.3 Epresiones lgerics y r y Ejecute ls operciones indicds y simplifique / / 5. y /3 y /3 y 5/3 5. /4 3/4 / / y / / y / y 3 y y z y z 6-66 Fctorice el fctor común yy 6 9y z 5z 65. y 6y 3y y 4y 3 y Fctorice el trinomio y y Use un fórmul de fctorizción especil pr fctorizr l epresión y s 3 5t y z 4z Fctorice l epresión grupndo términos Fctorice por completo l epresión. Empiece por fctorizr l potenci más j de cd fctor común / / 90. / / 3 4 3/ 9. 3/ / / 9. 7/ 3/ 93. / / 94. / / / / 95-4 Fctorice por completo l epresión y 04. 4t 9s 05. t 6t y y 08. r 6rs 9s y 3 y y 3 y y 4 y 3 y 5 y Fctorice por completo l epresión. (Este tipo de epresión prece en cálculo cundo se us l Regl del Producto.) / 3 A B / 3 7. / / / 3 4 / 3 / 3 4 / 9. () Demuestre que 3 4. () Demuestre que 4. (c) Demuestre que c d c d d c (d) Fctorice por completo: 4 c c. 30. Verifique ls fórmuls especiles de fctorizción 4 y 5 l epndir sus ldos derecos. APLICACIONES 3. Volumen de concreto Se construye un lcntrill con grndes cps cilíndrics vcids en concreto, como se muestr en l figur. Usndo l fórmul pr el volumen de un cilindro dd l finl de este liro, eplique por qué el volumen de l cp cilíndric es V pr pr Fctorice pr demostrr que V π rdio promedio ltur grosor Use el digrm desenrolldo pr eplicr por qué esto tiene sentido geométricmente lndo. R r

11 34 CAPÍTULO Fundmentos 3. Podr un cmpo Cd semn, un cmpo cudrdo de cierto prque esttl es poddo lrededor de los ordes. El resto del cmpo se mntiene sin podr pr que sirv como áitt pr ves y nimles pequeños (ve l figur). El cmpo mide pies por pies, y l frnj podd es de pies de nco. () Eplique por qué el áre de l prte podd es ( ). () Fctorice l epresión de l prte () pr demostrr que el áre de l prte podd tmién es 4( ). 35. Diferencis de potencis pres () Fctorice por completo ls epresiones: A 4 B 4 y A 6 B 6. () Verifique que 8, y que,868, (c) Use los resultdos de ls prtes () y () pr fctorizr los enteros 8,335 y,868,335. A continución demuestre que en ests dos fctorizciones todos los fctores son números primos. 36. Fctorizción de A n Verifique ests fórmuls l epndir y simplificr el ldo dereco. A A A A 3 A A A A 4 A A 3 A A Con se en el ptrón mostrdo en est list, cómo piens usted que serí posile fctorizr A 5? Verifique su conjetur. Aor generlice el ptrón que y oservdo pr otener un fórmul de fctorizción pr A n, donde n es un entero positivo. DESCUBRIMIENTO DISCUSIÓN REDACCIÓN 33. Grdos de sums y productos de polinomios Forme vrios pres de polinomios y, continución, clcule l sum y producto de cd pr. Con se en sus eperimentos y oservciones, conteste ls siguientes pregunts. () Cómo está relciondo el grdo del producto con los grdos de los polinomios originles? () Cómo está relciondo el grdo de l sum con los grdos de los polinomios originles? 34. El poder de ls fórmuls lgerics Use l fórmu l de un diferenci de cudrdos pr fctorizr 7 6. Nótese que es fácil clculr mentlmente l form fctorizd pero no es tn fácil clculr l form originl en est form. Evlúe mentlmente cd epresión: () () 0 (c) A continución, use l fórmul de productos notles A BA B A B pr evlur mentlmente estos productos: (d) 79 5 (e) Fctorizción de 4 A veces se puede fctorizr con fcilidd un trinomio de l form 4. Por ejemplo, Pero no se puede fctorizr sí. En cmio, podemos usr el siguiente método. Sume y reste Fctorice el cudrdo perfecto Diferenci de cudrdos Fctorice lo siguiente, usndo culquier método propido. () 4 () 4 9 (c) (d) 4 PROYECTO DE DESCUBRIMIENTO Visulizción de un fórmul En este proyecto descurimos interpretciones geométrics de lguns fórmuls de productos notles. El lector puede llr el proyecto en el sitio we del liro:

12 SECCIÓN.4 Epresiones rcionles 35.4 EXPRESIONES RACIONALES Dominio de un epresión lgeric Simplificción de epresiones rcionles Multiplicción y división de epresiones rcionles Sum y rest de epresiones rcionles Frcciones compuests Rcionlizción del denomindor o el numerdor Evitr errores comunes El cociente de dos epresiones lgerics se denomin epresión frccionri. A continución vemos lgunos ejemplos: 3 y y 4 Epresión Dominio Un epresión rcionl es un epresión frccionri donde el numerdor y el denomindor son polinomios. Por ejemplo, ls siguientes son epresiones rcionles: En est sección prendemos ejecutr operciones lgerics de epresiones rcionles. Dominio de un epresión lgeric En generl, un epresión lgeric puede no estr definid pr todos los vlores de l vrile. El dominio de un epresión lgeric es el conjunto de números reles que se permite teng l vrile. L tl l mrgen de est págin d lguns epresiones ásics y sus dominios. EJEMPLO Hllr el dominio de un epresión Encuentre los dominios de ls siguientes epresiones. () 3 () (c) () Este polinomio está definido pr tod. Entonces, el dominio es el conjunto números reles. () Primero fctorizmos el denomindor de El denomindor serí 0 si o 3 Como el denomindor es cero cundo o 3, l epresión no está definid pr estos números. El dominio 5 0 y 36. (c) Pr que el numerdor esté definido, deemos tener 0. Tmpoco podemos dividir entre 0, de modo que 5. Asegúrese de tener 0 pr tomr l ríz cudrd 5 El denomindor serí 0 si 5 Entonces, el dominio es y 56. AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO

13 36 CAPÍTULO Fundmentos Simplificción de epresiones rcionles Pr simplificr epresiones rcionles, fctorizmos el numerdor y el denomindor y usmos l siguiente propiedd de frcciones: AC BC A B Esto nos permite cncelr fctores comunes del numerdor y el denomindor. EJEMPLO Simplificción de epresiones rcionles por cncelción Simplifique: No podemos cncelr ls en porque no es un fctor. Fctorice Cncele fctores comunes AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 7 Multiplicción y división de epresiones rcionles Pr multiplicr epresiones rcionles, usmos l siguiente propiedd de frcciones: A B # C D AC BD Esto dice que pr multiplicr dos frcciones multiplicmos sus numerdores y multiplicmos sus denomindores. EJEMPLO 3 Multiplicción de epresiones rcionles Ejecute l multiplicción indicd y simplifique: 3 # Primero fctorizmos. 3 # # Fctorice Propiedd de frcciones Cncele fctores comunes AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 5 Pr dividir epresiones rcionles, usmos l siguiente propiedd de frcciones: A B C D A B # D C

14 SECCIÓN.4 Epresiones rcionles 37 Esto dice que pr dividir un frcción entre otr frcción, invertimos el divisor y multiplicmos. EJEMPLO 4 División de epresiones rcionles Ejecute l división indicd y simplifique: # Inviert y multiplique Fctorice 3 Cncele fctores comunes AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 3 Evite cer el siguiente error: A A A B C B C Por ejemplo, si cemos A, B y C, entonces vemos el error: 4 Error! Sum y rest de epresiones rcionles Pr sumr o restr epresiones rcionles, primero encontrmos un denomindor común y continución usmos l siguiente propiedd de frcciones: A C B C A B C Aun cundo funcionrá culquier denomindor común, es mejor usr el mínimo común denomindor (MCD) como se eplic en l Sección.. El MCD se encuentr l fctorizr cd denomindor y tomr el producto de los distintos fctores, usndo l potenci superior que prezc en culquier de los fctores. EJEMPLO 5 Sumr y restr epresiones rcionles Ejecute ls operciones indicds y simplifique: () 3 () () Aquí el MCD es simplemente el producto de ( )( ). 3 3 Escri frcciones usndo el MCD 3 6 Sume frcciones 6 Comine los términos del numerdor

15 38 CAPÍTULO Fundmentos () El MCD de y es. 3 Fctorice Comine frcciones usndo el MCD Propiedd Distriutiv Comine los términos del numerdor AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 43 Y 45 Frcciones compuests Un frcción compuest es un frcción en l que el numerdor, el denomindor, o mos, son epresiones frccionris. EJEMPLO 6 Simplifique: y Simplificción de un frcción compuest y Cominmos los términos del numerdor en un sol frcción. Hcemos lo mismo con el denomindor. A continución invertimos y multiplicmos. y y y y # y y y y y y y LAS MATEMÁTICAS EN EL MUNDO MODERNO Cortesí de NASA Códigos pr corregir errores Ls imágenes envids por l nve Ptfinder (Eplordor) desde l superficie de Mrte el 4 de julio de 997, ern somrosmente clrs. Pero pocs persons que vieron ests imágenes estn conscientes de ls complejs mtemátics utilizds pr logrr est zñ. L distnci Mrte es enorme, y el ruido de fondo (o estátic) es mucs veces más fuerte que l señl originl emitid por l nve espcil. Entonces, cundo los científicos recien l señl, está llen de errores. Pr otener un imgen clr, los errores deen llrse y corregirse. Este mismo prolem de errores se encuentr en form rutinri en l trnsmisión de registros ncrios cundo un person us un cjero utomático o de voz cundo l por teléfono. Pr entender l form en que los errores se loclizn y corrigen, primero deemos entender que pr trnsmitir imágenes o teto los trnsformmos en its (los dígitos 0 o ; ve págin 30). Pr yudr l receptor reconocer errores, el mensje se codific l insertr its dicionles. Por ejemplo, supong que usted dese trnsmitir el mensje 000. Un código muy sencillo es como sigue: enví cd dígito un millón de veces. L person que recie el mensje lo lee en loques de un millón de dígitos. Si el primer loque es principlmente de números, concluye que es prole que usted esté trtndo de trnsmitir un, y sí sucesivmente. Decir que este código no es eficiente es un poco modesto; requiere envir un millón de veces más dtos que el mensje originl. Otro método insert dígitos de comproción. Por ejemplo, cd loque de oco dígitos insert un noveno dígito; el dígito insertdo es 0 si y un número pr de números en el loque y si y un número impr. Por lo tnto, si un solo dígito está ml (un 0 cmido un, o vicevers), los dígitos de prue nos permiten reconocer que ocurrido un error. Este método no nos dice dónde está el error, de modo que no podemos corregirlo. Los modernos códigos que corrigen errores usn interesntes lgoritmos mtemáticos que requieren insertr reltivmente pocos dígitos pero permiten l receptor no sólo reconocer errores, sino tmién corregirlos. El primer código corrector de errores fue inventdo en l décd de 940 por Ricrd Hmming en el MIT. Es interesnte oservr que el idiom inglés tiene un mecnismo corrector de errores y integrdo; pr prorlo, trte de leer est orción crgd de errores: Gve mo lity o iv ne det.

16 SECCIÓN.4 Epresiones rcionles 39 Encontrmos el MCD de tods ls frcciones en l epresión y, continución, lo multiplicmos por el numerdor y denomindor. En este ejemplo, el MCD de tods ls frcciones es y. Por lo tnto y y y y y y y y y y # y y Multiplique numerdor y denomindor por y Simplifique Fctorice AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 59 Y 6 Los siguientes dos ejemplos muestrn situciones en cálculo que requieren l cpcidd pr trjr con epresiones frccionris. EJEMPLO 7 Simplificción de un frcción compuest Simplifique: Empezmos por cominr ls frcciones del numerdor usndo un denomindor común. # # # Comine frcciones del numerdor Propiedd de frcciones (inviert divisor y multiplicr) Propiedd Distriutiv Simplifique Propiedd 5 de frcciones (cncele fctores comunes) AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 69 EJEMPLO 8 Simplificción de un frcción compuest / / Simplifique: Fctorice ( + ) / del numerdor. Fctorice l potenci de con el eponente más pequeño, en este cso ( ) /. / / / 3 4 / 3/

17 40 CAPÍTULO Fundmentos Como / / / es un frcción, podemos eliminr tods ls frcciones l multiplicr numerdor y denomindor por ( + ) /. / / / / # / AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 77 3/ 3/ / Rcionlizción del denomindor o el numerdor Si un frcción tiene un denomindor de l form A B C, podemos rcionlizr el denomindor l multiplicr numerdor y denomindor por el rdicl conjugdo A B C. Esto funcion ien, por l fórmul de productos notles de l Sección.3, el producto del denomindor y su rdicl conjugdo no contienen rdicl: A B C A B C A B C L Fórmul de Productos Notles es (A B)(A B) A B L Fórmul de Productos Notles es (A B)(A B) A B EJEMPLO 9 Rcionlizción del denomindor: Rcionlizción del denomindor Multiplicmos numerdor y denomindor por el rdicl conjugdo de, que es. # AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 8 EJEMPLO 0 Multiplique numerdor y denomindor por el rdicl conjugdo Fórmul de productos notles Rcionlizción del numerdor 4 Rcionlice el numerdor: Multiplicmos numerdor y denomindor por el rdicl conjugdo # 4 4 Multiplique numerdor y denomindor por el rdicl conjugdo Fórmul de Productos Notles 4 4 Propiedd 5 de frcciones (cncele fctores comunes) AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 87

18 Evitr errores comunes SECCIÓN.4 Epresiones rcionles 4 No comet el error de plicr propieddes de l multiplicción l operción de dición. Mucos de los errores comunes en álger son por est rzón. L tl siguiente indic vris propieddes de l multiplicción e ilustr el error l plicrls l dición. Propiedd correct de multiplicción # # #, 0 Error común con l dición # #, 0 # # # # Pr verificr que ls ecuciones de l column derec están en error, simplemente sustituy los números y y clcule cd ldo. Por ejemplo, si tommos y en el curto error, encontrmos que el ldo izquierdo es mientrs que el ldo dereco es Como 4, l ecución indicd está en error. Del mismo modo, el lector dee convencerse del error en cd un de ls otrs ecuciones. (Ve Ejercicio 05.) 4.4 EJERCICIOS CONCEPTOS. De lo siguiente, cuáles son epresiones rcionles? 3 () () (c) 3 3. Pr simplificr un epresión rcionl, cncelmos fctores que son comunes l y. Por tnto, l epresión se simplific Pr multiplicr dos epresiones rcionles, multiplicmos sus y multiplicmos sus. Por tnto, # es lo mismo que Considere l epresión () Cuántos términos tiene est epresión? () Encuentre el mínimo común denomindor de todos los términos. (c) Ejecute l dición y simplifique. HABILIDADES 5- Encuentre el dominio de l epresión t t

19 4 CAPÍTULO Fundmentos 3- Simplifique l epresión rcionl y y y y 3y 8 y 5y Ejecute l multiplicción o división y simplifique # # t 3 # t 3 t 9 t 9 7 # y y # y y y y y y 9 y 9y 8 3 /y z y y 3 y 5y 6 5 # # # y/z Ejecute l dición o sustrcción y simplifique u u u Simplifique l epresión frccionri compuest. c c y y y y y y y y y y Simplifique l epresión frccionri. (Epresiones como ésts precen en cálculo.) B B Simplifique l epresión. (Este tipo de epresión p rece en cálculo cundo se us l regl del cociente.)

20 SECCIÓN.4 Epresiones rcionles / / 3 /3 /3 7 3 / Rcionlice el denomindor y 3 y / /3 / / Rcionlice el numerdor r y y Dig si l ecución dd es verdder pr todos los vlores de ls vriles. (No considere ningún vlor que g que el denomindor se cero.) c y y y APLICACIONES y c 0. Resistenci eléctric Si dos resistores eléctricos con resistencis R y R se conectn en prlelo (ve l figur), entonces l resistenci totl R está dd por R R R () Simplifique R de l epresión. () Si R 0 oms y R 0 oms, cuál es l resistenci R totl? R R 0. Costo promedio Un fricnte de rop encuentr que el costo de producir cmiss es dólres. () Eplique por qué el costo promedio por cmis está ddo por l epresión rcionl A () Complete l tl l clculr el costo promedio por cmis pr los vlores ddos de Costo promedio DESCUBRIMIENTO DISCUSIÓN REDACCIÓN 03. Comportmiento límite de un epresión rcionl L epresión rcionl 9 3 no está definid pr 3. Complete ls tls y determine cuál vlor se proim l epresión cundo se cerc más y más 3. Por qué es esto rzonle? Fctorice el numerdor de l epresión y simplifique pr ver por qué Es esto rcionlizción? En l epresión / eliminrímos el rdicl si fuérmos elevr l cudrdo tnto el numerdor como el denomindor. Esto es lo mismo que rcionlizr el denomindor? 05. Errores lgericos L column de l izquierd en l tl de l págin siguiente es un list de lgunos errores lgericos comunes. En cd cso, dé un ejemplo usndo números que muestren que l fórmul no es válid. Un ejemplo de este tipo, que muestr que un enuncido es flso, se llm contrejemplo.

21 44 CAPÍTULO Fundmentos m / n Error lgerico /n n 3 3 /3 m/n Contrejemplo 06. L form de un epresión lgeric Un epresión lgeric puede precer complicd, pero su form siempre es fácil; dee ser un sum, un producto, un cociente o un potenci. Por ejemplo, considere ls epresiones siguientes: A 5 4 Con elecciones propids pr A y B, l primer tiene l form A B, l segund AB, l tercer A/B y l curt A /. Reconociendo l form de un epresión nos yud epndirl, simplificrl o fctorizrl correctmente. Encuentre l form de ls siguientes epresiones lgerics. () (c) A () (d) 3.5 ECUACIONES Solución de ecuciones lineles Solución de ecuciones cudrátics Otros tipos de ecuciones Un ecución es un enuncido de que dos epresiones mtemátics son igules. Por ejemplo, es un ecución. Csi tods ls ecuciones que estudimos en álger contienen vriles, que son símolos (por lo generl literles) que representn números. En l ecución 3 es un solución de l ecución 4 7 9, porque sustituir 3 ce verdder l ecución: l letr es l vrile. Considermos como l incógnit de l ecución, y nuestro ojetivo es llr el vlor de que g que l ecución se verdder. Los vlores de l incógnit que gn que l ecución se verdder se denominn soluciones o ríces de l ecución, y el proceso de llr ls soluciones se llm resolver l ecución. Dos ecuciones con ectmente ls misms soluciones recien el nomre de ecuciones equivlentes. Pr resolver un ecución, trtmos de llr un ecución equivlente más sencill en l que l vrile está sólo en un ldo del signo igul. A continución vemos ls propieddes que usmos pr resolver un ecución. (En ests propieddes, A, B y C representn culesquier epresiones lgerics, y el símolo 3 signific es equivlente.) PROPIEDADES DE LA IGUALDAD Propiedd Descripción. A B 3 A C B C Sumr l mism cntidd mos ldos de un ecución d un ecución equivlente.. A B 3 CA CB (C 0) Multiplicr mos ldos de un ecución por l mism cntidd diferente de cero d un ecución equivlente.