Universidad Tecnológica Nacional Regional Académica Reconquista. Carrera: Técnico Superior en Programación

Transcripción

1 1 Relaciones inarias PRODUCTO CRTESINO ENTRE CONJUNTOS El producto cartesiano aplicado a dos conjuntos y da como resultado el conjunto cuyos elementos son los pares ordenados que tienen como primera componente los elementos de y como = x, y / x y segunda componente los elementos de. ( ) Ejemplo: = { a, b} { 1,2,3} = ( a,1 );( a, 2 );( a,3 );( b,1 );( b, 2 );( b,3) = Expresado por extensión, el producto cartesiano es: Ejercicios: 1) Expresar el producto anterior por: Diagrama, Tabla de doble entrada y Gráfico cartesiano. 2) Realizar lo mismo con el producto 3) Expresar los productos C D, D C, C C y D D D= { m, n, s} siendo los conjuntos: { 2,4,6,8} C= y RELCIONES ENTRE DOS CONJUNTOS, eatriz, Carmen y Daniela saben un secreto. Se encuentran con Martín, Norberto,, y Quique. le cuenta el secreto a Martín, a Norberto y a. Carmen se lo cuenta a, Daniela a. Quién es el más chismoso?, Quién sabe guardar secretos?, quién se lo contaron dos veces? Vamos a tratar de organizar la información, para ello formamos dos conjuntos: = {, eatriz, Carmen, Daniela} = {Martín, Norberto,,, Quique} hora vinculamos los elementos de con los elementos de a través de la siguiente relación: R:... le contó el secreto a... Expresamos esta relación mediante diagrama: eatriz Carmen Daniela Martín Norberto Quique es el conjunto de partida o dominio, es el conjunto de llegada o codominio. Una relación entre dos conjuntos y es una ley que liga los elementos del conjunto con los elementos del conjunto Definición: Una relación R de en es cualquier subconjunto de x. Si (x; y) R entonces se dice que x está relacionado con y y se escribe xry o R(x; y). La notación xry es muy común en matemática, por ejemplo para decir que 3 y 5 están vinculados por la relación menor que se escribe 3 < 5. La notación R(x; y) a veces se usa sin paréntesis, como Rxy. Si = entonces en lugar de relación de en simplemente se dice relación en. Ejemplo: Sea F = {na, erta, Carlos, Diana, Ernesto} una familia en la cual na es la madre de erta, erta es la madre de Carlos y Diana, y Diana es la madre de Ernesto. Entonces M = {(na, erta), (erta, Carlos), (erta,diana), (Diana,Ernesto)} es una relación de F en F que corresponde al concepto intuitivo de la relación es madre de. Ejemplo: Dos ejemplos triviales de relaciones de en son la relación vacía, en la cual no hay ningún par de elementos relacionados, y la relación total x en la cual cualquier elemento de está relacionado con cualquier elemento de.

2 2 Dominio de la relación: Es el conjunto formado por los elementos del conjunto de partida que se vinculan con los elementos del conjunto de llegada. En nuestro primer ejemplo: el dominio está formado por el conjunto de personas que realmente han trasmitido el secreto. Dm= x / x x R y Dm= {, Carmen, Daniela} Codominio o Imagen de la relación: Es el conjunto formado por los elementos del conjunto de llegada que se vinculan con los elementos del conjunto de partida. En nuestro primer ejemplo: es el conjunto de personas que se enteraron del secreto. Cdm= y / y x R y Cdm= { Martín, Norberto,, } FORMS DE EXPRESR UN RELCION: Coloquial: Enunciando la propiedad que vincula los elementos R:.. le contó el secreto a... Por extensión : R = { (, Martín), (, Norberto), (, ), (Carmen, ), (Daniela, )} Por tabla Martín Norberto Carmen Daniela Por diagrama (Dibujar ambos diagramas y unir con flechas los elementos relacionados) Por tabla de doble entrada: Martín X Roberto X X X X Quique eatriz Carmen Daniela Por fórmula o símbolos: En matemática es muy común ver una relación expresada mediante fórmulas o Símbolos. Ejemplo: R:.. x... es el doble de.. y.. R: ={ (x, y)/ x y y = 1/2 x } Matricial: Las relaciones pueden representarse también mediante matrices. Para ello, si = {a 1 ; a 2 ; ; a m } y = {b 1 ; b 2 ; ; b n }, se construye una matriz (es decir, un arreglo rectangular) que en la intersección de la fila i con la columna j tiene un 1 si (a i ; b j ) Є R y un 0 en caso contrario. Ejemplo: Si = {a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 ; a 5 }, = {b 1 ; b 2 ; b 3 ; b 4 } y R = {(a 1 ; b 1 ), (a 2 ; b 1 ), (a 2 ; b 3 ), (a 4 ; b 4 ), (a 5 ; b 3 )}, la matriz M R correspondiente a R es: M R = RELCION INVERS Si volvemos al primer ejemplo R:... le contó el secreto a... Su relación inversa será: R -1 :... se enteró del secreto por... hora el conjunto de partida es y el conjunto de llegada es En símbolos: R -1 : = { ( y, x)/ y x y R x }

3 3 COMPOSICION DE RELCIONES Sean los conjuntos ={ Juan, María} = { Pedro, na, Luís } C= { José, Carlos} y las relaciones: R 1 =... es hermano de... R 2 =... es padre de... R 1 o R 2 :... es el tío de... ( R 1 o R 2 se lee R 1 compuesta con R 2 ) PROPIEDDES DE LS RELCIONES Reflexiva o Idéntica: Todo elemento se relaciona consigo mismo a R a Ejemplo: a // a Simétrica o recíproca: Si un elemento está relacionado con otro, éste está relacionado con el primero. Si a R b b R a Ejemplo: Si a b b a Transitiva: Si un elemento está relacionado con otro y éste está relacionado con un tercero entonces el primero está relacionado con el tercero Si a R b b R c a R c Ejemplo: Si a // b b // c a // c rreflexiva o Irreflexiva: Ningún elemento del conjunto se relaciona consigo mismo a no R a Ejemplo: a no > a simétrica : si un elemento se relaciona con otro, éste no se relaciona con el primero Si a R b b no R a Si a > b b no > a ntisimétrica: si un elemento se relaciona con otro y éste se relaciona con el primero entonces los elementos son iguales. Si a R b b R a a = b RELCIONES DE EQUIVLENCI Las relaciones de equivalencia verifican las propiedades: reflexiva, simétrica y transitiva Ejemplo 1: R:... es paralela a... Ejemplo 2: Sea un conjunto cualquiera y R = {(x; x): x }. Esta relación no es otra cosa que la igualdad, ya que x R x si y sólo si x = y, y es inmediato verificar que es una relación de equivalencia. Ejemplo 3: Sea Z el conjunto de los números enteros y sea R una relación de Z en Z definida así: xry si y sólo si x-y es par. Es claro que R es reflexiva, pues x- x = 0 es par para todo x Z, es simétrica pues si x - y es par también lo es y - x = - (x - y), y es transitiva pues si (x y) es par y (y z) es par, entonces x - z = (x - y) + (y - z) es par por ser suma de dos números pares. RELCIONES DE ORDEN MPLIO Las relaciones de orden amplio verifican las propiedades: reflexiva, antisimétrica y transitiva Ejemplo: R... es mayor o igual que... RELCIONES DE ORDEN ESTRICTO Las relaciones de orden estricto verifican las propiedades: arreflexiva, asimétrica y transitiva Ejemplo: R:... es mayor que... Páginas en Internet:

4 4 Ejercicios de Relaciones inarias 1. Sea = {a, b, c, d}. Qué propiedades tiene cada una de las siguientes relaciones de en? Hacer la representación matricial. a) R = {(a, b), (b, a), (b, c), (c, b)}, b) R = {(a, b), (b, c), (a, c), (d, d)}, c) R = {(a, a), (a, c), (c, a), (b, b), (c, c), (d, d)}, 2. Sean = {a, b, c, d, e}, = {u, v, w, x, y}, C = {a, c}, D = {v, y}, R = {(a, u), (b, u), (b,w), (d, x), (c, u)}. Halle R(), R(C), R -1 () y R -1 (D). Sean = {a, b, c, d, e}, = {v, w, x, y}, C = {1, 2, 3}, R = {(b,w), (b, y), (c, x), (c, y), (d, v)} y S = {(v, 2), (w, 2), (w, 3), (y, 1)}. Hallar R -1, S -1, S o R, R -1 o S -1 y (S o R) En el conjunto de los seres humanos sea R la relación es hermano o hermana de y sea H la relación es hijo o hija de. Exprese cada una de las siguientes relaciones a partir de R y H, utilizando composición e inversas. a) es nieto o nieta de, b) es abuelo o abuela de, c) es sobrino o sobrina de, d) es tío o tía de, e) es primo o prima de. 4. Si arrojamos simultáneamente 2 dados, uno rojo y otro blanco podemos formar 2 conjuntos = {x/x es resultado del dado rojo} = {y/y es resultado del dado blanco } a) Cuáles y cuántos resultados posibles podemos obtener al sumar los elementos de y los elementos de. b) Expresar por extensión los conjuntos y c) Expresar por extensión el producto cartesiano entre y. 5. Dadas las relaciones: R 1 : = {(x, y)/ x + y = 8} R 2 :... es la mitad de... R 3 :... es mayor que... R 4 :... es igual a... a) Expresar por : extensión, diagrama, tabla,tabla de doble entrada. b) Escribir el dominio, Imagen y relación inversa. 6. Dado el conjunto de segmentos = { a, b, c, d, e, f } b a) Definir por extensión las relaciones R 1 :... es paralelo a... R 2 :... es congruente con... R 3 :... es perpendicular a... R 4 :... es oblícuo a... R 5 :... es secante a... b) Representar en diagrama de Venn, indicando en cada caso Dominio, Imagen y relación inversa. c) Expresar en forma coloquial las siguientes relaciones: c1. R 1 R 2: c2. R 1 R 3: c3. R 1 R 4: c4. R 2 R 4: c5. R 3 R 2: 7. En los números reales, Considerar la relación R definida por: (x, y) R x y Z a) Enunciar coloquialmente R b) Escribir 5 pares que pertenezcan a R c) Investigar con ejemplos que propiedades cumple d) Representar R en un gráfico cartesiano 8. Sean los conjuntos ={ x/x N 1 x 5 } y = { 3,4,5} y la relación (x, y) R x + y 5 a) Definir por extensión x y R b) Representar R por: diagrama, tabla, matricial, tabla de doble entrada. c) Expresar coloquialmente d) Expresar en símbolos y por extensión R Dado el conjunto = {a, b, c, d} a) Cuáles son los elementos del conjunto definido por la relación x R y x precede a y en el alfabeto? a e d f c

5 5 b) Representar la relación en forma cartesiana, por tablas, matricial y por un cuadro de doble entrada. 10. Dado el conjunto ={1, 2, 3, 4, 5, 6} Cuáles son los elementos del conjunto definido por la relación x R y si: a) R 1 : x es menor que y b) R 2 : x es mayor que y c) R 3: x es igual a y d) R 4 : x es divisor de y e) R 5 : x es sucesivo de y f) R 6 : x es múltiplo de y g) R 7 : x difiere de y en 2 h) R 8 : x es el doble de y i) R 9 : x es la mitad de y Representarlas mediante diagramas e indicar en cada caso Dominio y Codominio Determinar si es posible la relación inversa. 11. Dar una relación entre los elementos del conjunto = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} que sea: a) Reflexiva b) Simétrica c) Transitiva d) Reflexiva y simétrica e) rreflexiva f) simétrica g) ntisimétrica 12. Representar las siguientes relaciones, clasificarlas. (si colocamos x e y nos referimos a números reales ). Establecer el Dominio y Codominio de cada una. Enunciar la relación inversa. a) R 1 : a es hermano de b b) R 2 : a nació el mismo día que b c) R 3 : a es perpendicular a b d) R 4 : es la madre de b e) R 5: a es el médico d f) R 6 : y es el cubo de x g) R 7: y es la raíz cuadrada de x h) R 8 : y es el doble de x i) R 9 : y es la mitad de x aumentada en En el conjunto = {1, 2, 3, 4, 5} se definen las siguientes relaciones binarias a) R1 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 5), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (5, 1)} b) R2 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 4), (5, 5)} c) R3 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (4, 5), (5, 4), (5, 5)} d) R4 = R2 o R3 Estudiar las propiedades de cada una e indicar si alguna de ellas es de equivalencia o de orden. 14. Completar el siguiente cuadro indicando en cada relación cuales son las propiedades que se cumplen. clarar si se trata de relación de Equivalencia, de orden amplio o estricto. Relación < = // > Reflexiva o Idéntica Simétrica o Recíproca Transitiva rreflexiva o Irreflexiva simétrica ntisimétrica