6 Relaciones Binarias

Transcripción

1 6 Relaciones Binarias 21 Sean A = {a, b, c, d}, B = {2, 3, 4, 5} y C = {6,, 8,, 10}. Sean R1 A B y R2 B C definidas por R1 = {(a, 2), (a, 5), (b, 4), (c, 2), (c, 3), (d, 3)} y x R2 y x divide a y. a) Hallar el conjunto R2. Alguna de las dos relaciones es una función?, por qué? b) Encontar R1 R2. c) Describir R 1 1, R 1 2 y (R1 R2) 1. Comprobar que (R1 R2) 1 = R 1 1. d) Construir las matrices de R1, R2 y R1 R2 y de sus inversas. Comprobar que M R1 M R2 = M R1 R2. e) Probar, analíticamente, que para cualesquiera conjuntos A, B y C y cualesquiera relaciones R1 A B y R2 B C se verifica que (R1 R2) 1 = R 1 1. a) R2 = {(2, 6), (2, 8), (2, 10), (3, 6), (3, ), (4, 8), (5, 10)}. R1 no es función pues a está relacionado por R1 con más de un elemento de B y tampoco R2 lo es al estar 2 relacinado por R2 con más de un elemento de C. b) a, c R1 2 y 2 R2 6, 8, 10 luego (a, 6), (a, 8), (a, 10), (c, 6), (c, 8) y (c, 10) están en R1 R2. c, d R1 3 y 3 R2 6, luego (c, 6), (c, ), (d, 6), y (d, ) están en R1 R2. b R1 4 y 4 R2 8 luego (b, 8) está en R1 R2. a R1 5 y 5 R2 10 luego (a, 10) está en R1 R2. entonces, R1 R2 = {(a, 6), (a, 8), (a, 10), (b, 8), (c, 6), (c, 8), (c, ), (c, 10), (d, 6), (d, )}. c) R1 1 = {(2, a), (5, a), (4, b), (2, c), (3, c), (3, d)} = {(2, a), (2, c), (3, c), (3, d), (4, b), (5, a)} R2 1 = {(6, 2), (6, 3), (8, 2), (8, 4), (, 3), (10, 2), (10, 5)} (R1 R2) 1 = {(6, a), (8, a), (10, a), (8, b), (6, c), (8, c), (, c), (10, c), (6, d), (, d)}. Construyamos R 1 1 y veamos que coincide con lo anterior: 6, 8, 10 R y 2 R 1 1 a, c; 6, R y 3 R 1 1 c, d; 8 R y 4 R 1 1 b; 10 R y 5 R 1 1 a. Luego R 1 1 = {(6, a), (6, c), (8, a), (8, c), (10, a), (10, c), (6, d), (, c), (, d), (8, b)} = (R1 R2) d) M (R1 ) = M (R2 ) = 1 0 M (R1 R2) = y las matrices de las inversas que son las matrices traspuestas: M (R 1 1 ) = M t (R1) Además, M (R1 )M (R2 ) = M (R 1 2 ) = e) Veamos que (R1 R2) 1 = R 1 1 por la doble contención: M (R1 R2) 1 = M (R1 R2). (c, a) (R1 R2) 1 (a, c) R1 R2 b B tal que (a, b) R1 y (b, c) R2 b B tal que (b, a) R 1 1 y (c, b) R 1 2 (c, b) R 1 1 como es una cadena de equivalencias, hemos probado simultáneamente ambas contenciones luego la igualdad. Soluciones a los Ejercicios Entregados (Curso ). 1/6

2 22 Sea U = {a, b, c, d} y sea T 0 = {a, b} U un subconjunto fijo. Consideremos en P(U) la relación A R B A T 0 B T 0 Es una relación de orden parcial u orden parcial estricto? Es una relación de equivalencia? Justificar las respuestas. Veamos cuales de las propiedades verifica: Reflexiva: Para todo A P(U), se tiene que A T 0 A T 0, luego A R A y es reflexiva. No es antirreflexiva. Simétrica: Si A R B = A T 0 B T 0 B T 0 A T 0. Por ejemplo para A = {a} y B = {a, b} se tiene que A R B pero B T 0 = {a, b} {a} = A T 0 luego B R A. Antisimétrica: Si A R B y B R A = A T 0 B T 0 y B T 0 A T 0 = A T 0 = B T 0, pero esto A = B. Por ejemplo, A = {a, c} y B = {a, d} verifican que A T 0 = {a} = B T 0 siendo A B. Luego no es antisimétrica. Transitiva: Si A R B y B R C = A T 0 B T 0 y B T 0 C T 0 = A T 0 C T 0 = A R C. Luego es transitiva. En consecuencia, no es de orden parcial (no es antisimétrica) ni de orden estricto (no es antirreflexiva) ni es de equivalencia (no es simétrica). 23 El dibujo anejo representa el diagrama de Hasse de un conjunto parcialmente ordenado (A, R). a) Hallar, en su caso, si existen: 18 (i) Los maximales, minimales, mínimo y máximo de A. 16 (ii) Las cotas superiores y el supremo de B = {, 11}. (iii) Las cotas inferiores y el ínfimo de C = {, 14} b) Sea D = {3,,, 14, 18}. Describir R D y dibujar su diagrama de Hasse. Es una cadena?, es un retículo? c) Sea E = {3, 4,,,,, 14, 18, 1}, dibujar el diagrama 15 de Hasse de R E. Encontrar todos los elementos notables 6 5 de (E, R E ). Si no es un orden total en E, construir uno que contenga a R E a) (i) Maximales = 5,14,18. Minimales = 1,2,3,4,8. Luego no tiene ni máximo ni mínimo. (ii) Cotas superiores de B =14,18. No tiene supremo pues 14 R 18 y 18 R 14. (iii) Cotas inferiores de C =,2,3. El ínfimo es, pues 2 R y 3 R. b) R D = {(3, ), (3, ), (3, 14), (3, 18), (, ), (, 14), (, 18), (, 18)} {(3, 3), (, ), (, ), (14, 14), (18, 18)} (A la derecha aparece el diagrama de Hasse.) No es una cadena, pues R 14 y 14 R ; No es un retículo pues {14, 18} no tiene supremo. c) Maximales = 14,18. Minimales = 3,4,. No tiene máximo ni mínimo. (A la derecha tenemos su diagrama de Hasse.) No es un orden total (3 R 4 y 4 R 3). Construimos un orden total que lo contenga: Tomamos un minimal (3) y quitamos las flechas que salen de él. Tomamos un minimal de lo que queda (4) y quitamos las.... (D, R D ) (E, R E ) Soluciones a los Ejercicios Entregados (Curso ). 2/6

3 Relaciones Binarias Hemos construido el orden total: 3 > 4 > > > > > 14 > 1 > Una organización tiene personal de tres categorías 1 ā, 2 ā y 3 ā y dentro de cada categoría los hay de nivel 1, de nivel 2 y de nivel 3. Para establecer el modelo de relación jerarquico entre los empleados se plantean cuatro posibilidades, que en lenguaje de relaciones binarias, siendo Ri = es jefe de, se expresan de la forma siguiente: cn R1 c n c < c cn R3 c n c c y n n cn R2 c n c c y n < n cn R4 c n [c < c ] o [c = c y n n ] a) Encontrar cuáles de ellas son en efecto relaciones de orden (parcial o parcial estricto). b) Como es irrelevante que uno sea jefe de si mismo, obtener para cada relación de orden parcial Ri la relación de orden parcial estricto R e i asociada. Dar la definición de las nuevas relaciones R e i. c) En cuáles de los casos hay un pringao que es mandado por todos?. d) Si se desea que haya un Superjefe que mande a todos y pueda dirimir los problemas que surjan, con cuáles de las posibilidades nos quedaríamos? e) Para evitar que los problemas, después de una cascada de enfrentamientos, lleguen al Superjefe seria conveniente que dos cualesquiera tuvieran uno que los mandara y que pudiera decidir en primera instancia. En alguno de los casos se da esta condición? f) Claro que para evitar problemas entre los empleados lo ideal es que entre dos de ellos uno siempre sea el jefe del otro. Alguno de los casos contempla esta solución? a) R1 No es reflexiva: cn R1 cn pues c c; pero sí es antirreflexiva. Es transitiva, pues si c 1 n 1 R1 c 2 n 2 y c 2 n 2 R1 c 3 n 3 = c 1 < c 2 y c 2 < c 3 = c 1 < c 3 = c 1 n 1 R1 c 3 n 3. Como es antirreflexiva y transitiva (y antisimétrica por vacuidad), es una relación de orden parcial estricto. R2 No es reflexiva: cn R2 cn pues c c pero n n; pero sí es antirreflexiva. Es transitiva, pues si c 1 n 1 R2 c 2 n 2 y c 2 n 2 R2 c 3 n 3 = (c 1 c 2 y n 1 < n 2 ) y (c 2 c 3 y n 2 < n 3 ) = c 1 c 3 y n 1 < n 3 = c 1 n 1 R2 c 3 n 3. Luego como es antirreflexiva y transitiva es una relación de orden parcial estricto. R3 Es reflexiva: c c y n n luego cn R3 cn; y no es antirreflexiva. Es antisimétrica: si c 1 n 1 R3 c 2 n 2 y c 2 n 2 R3 c 1 n 1 = (c 1 c 2 y n 1 n 2 ) y (c 2 c 1 y n 2 n 1 ) = c 1 = c 2 y n 1 = n 2, luego c 1 n 1 = c 2 n 2. Es transitiva, pues si c 1 n 1 R3 c 2 n 2 y c 2 n 2 R3 c 3 n 3 = (c 1 c 2 y n 1 n 2 ) y (c 2 c 3 y n 2 n 3 ) = c 1 c 3 y n 1 n 3 = c 1 n 1 R3 c 3 n 3. Luego es una relación de orden parcial. R4 Es reflexiva: c = c y n n luego cn R4 cn; y no es antirreflexiva. Es antisimétrica: si c 1 n 1 R4 c 2 n 2 y c 2 n 2 R4 c 1 n 1 = [c 1 = c 2 y n 1 n 2 ] y [c 2 = c 1 y n 2 n 1 ] (no puede ser que c 1 < c 2, pues entonces c 2 c 1 y c 2 c 1 y c 2 n 2 R4 c 1 n 1 ) = c 1 = c 2 y n 1 = n 2. Es transitiva, pues si c 1 n 1 R4{ c 2 n 2 y c 2 n 2 R4 c 3 n 3 = ([c 1 < c 2 ] ó [c 1 = c 2 y n 1 n 2 ]) y ([c 2 < c 3 ] Si [c ó [c 2 = c 3 y n 2 n 3 ]) = 1 < c 2 ] ó [c 2 < c 3 ] = c 1 < c 3 Si [c 1 = c 2 y n 1 n 2 ] y [c 2 = c 3 y n 2 n 3 ] = [c 1 = c 3 y n 1 n 3 ] luego [c 1 < c 3 ] ó [c 1 = c 3 y n 1 n 3 ] = c 1 n 1 R4 c 3 n 3. Luego es una relación de orden parcial. b) Evidentemente, R e 1 = R1 y R e 2 = R2 pues son ya relaciones de orden parcial estricto. R e 3 = R3, luego hemos de eliminar la diagonal, es decir, hemos de eliminar la igualdad, luego cn R e 3 c n [c < c y n n ] ó [c c y n < n ] R e 4 = R4, luego eliminando la diagonal, nos queda cn R e 4 c n [c < c ] ó [c = c y n < n ] Soluciones a los Ejercicios Entregados (Curso ). 3/6

4 c) Para responder a esta pregunta y las siguientes, construiremos los diagramas de Hasse (aunque sin respetar la colocación de abajo hacia arriba) de las relaciones: R1 R2 R3 R Luego el pringao existe (uno es mandado por todos o todos son jefes suyos) si con la relación de orden existe el máximo; como en R3 y en R4 y es 33 en ambos casos. d) El superjefe existe si existe mínimo, luego también en R3 y R4 y es 11. e) La respuesta a esta cuestión es si el conjunto con la relación forma un retículo. Lo es si tomamos R3 y R4, no en los otros casos. f) La solución pedida es que haya un orden total. Y esto sucede con R4. 25 Sea A = {a, b, c, d} a) Encontar, si es posible, relaciones binarias en A que sean: (i) reflexiva y no transitiva, (ii) no reflexiva y no antirreflexiva, (iii) reflexiva y antirreflexiva, (iv) reflexiva y simétrica pero no transitiva, (v) simétrica y transitiva pero no reflexiva, (vi) antirreflexiva, simétrica y transitiva, (vii) una relación de orden parcial, (viii) una relación de orden parcial estricto, (ix) una relación de orden total, (x) una relación de equivalencia. b) Sea M = la matriz de una relación R en A. R = {(a, b), (b, c)} R = {(a, a), (b, b)} No existe. R = {(a, b), (b, c), (b, a), (c, b)} R = {(a, a), (b, b), (a, b), (b, a)} R = (es la única que existe) R = {(a, b), (c, d)} R = {(a, b), (c, d)} R = {(a, b), (a, c), (a, d), (b, c), (b, d), (c, d)} R = {(a, b), (b, a)} (i) Usar la matriz, para probar si R es o no reflexiva, antirreflexiva, simétrica, antisimétrica y transitiva. (ii) Es una relación de orden parcial? (iii) Usar matrices para construir la menor relación de equivalencia que contenga a R. a) La solución a este apartado aparece arriba, a la derecha de cada enunciado. b) (i) Reflexiva I M. Pero i 22 = 1 0 = m 22, luego I M. Antirreflexiva M I = 0. Pero M I = Simétrica M = M t. Pero M = M t 0 Soluciones a los Ejercicios Entregados (Curso ). 4/6

5 Antisimétrica M M t I. Como M M t = sí es antisimétrica. Transitiva M 2 M. Como MM = I = M sí es transitiva. (ii) No es una relación de orden parcial por no ser reflexiva, ni de orden parcial estricto por no ser antirreflexiva. (iii) La relación buscada es tsr(r). Usando matrices, r(m) = M + I = sr(m) = s(m 1 ) = M 1 + M t 1 = tsr(m) = t(m 2 ) = 4 k=1 pues M 2 2 = M 3 2 = M M k 2 = M 2 + M M M 4 2 = M 1 + M 2 26 Sea A un conjunto y R1 y R2 relaciones binarias en A. Probar que: a) Si R1 y R2 son reflexivas, R1 R2 y R1 R2 también lo son. b) Si R1 y R2 son simétricas, R1 R2 y R1 R2 también lo son. c) Si R1 y R2 son transitivas, R1 R2 también lo es. d) Dar un ejemplo de dos relaciones R1 y R2 transitivas y que R1 R2 no lo sea. a) Como R1 y R2 son reflexivas, para todo x A, (x, x) R1 y (x, x) R2 luego (x, x) R1 R2 y esta es reflexiva. (También R1 y R2 = R1 R2.) Como R1 R1 R2 esta última también es reflexiva. b) Si (x, y) R1 R2 = (x, y) R1 y (x, y) R2 (y como ambas son simétricas) = (y, x) R1 e (y, x) R2 = (y, x) R1 R2. Luego R1 R2 es simétrica. Si (x, y) R1 R2 = (x, y) R1 ó (x, y) R2 (y como ambas son simétricas) = (y, x) R1 ó (y, x) R2 = (y, x) R1 R2. Luego R1 R2 es simétrica. c) Si (x, y) R1 R2 e (y, z) R1 R2 = [(x, y) R1 y (x, y) R2] e [(y, z) R1 e (y, z) R2] = [(x, y) R1 e (y, z) R1] y [(x, y) R2 e (y, z) R2] (y como ambas son transitivas) = (x, z) R1 y (x, z) R2 = (x, z) R1 R2. Luego R1 R2 es transitiva. d) Para resolver este, veamos por donde falla la demostración del resultado análogo al anterior ( Si R1 y R2 son transitivas, R1 R2 también lo es ) para tener alguna pista de los ejemplo que hemos de buscar. Si (x, y) R1 R2 e (y, z) R1 R2 = [(x, y) R1 ó (x, y) R2] e [(y, z) R1 ó (y, z) R2] donde puede darse (x, y) R1 e (y, z) / R1 y (x, y) / R2 e (y, z) R2, que no garantiza que (x, z) R1 R2. Luego, para A = {a, b, c} podemos tomar las relaciones R1 = {(a, b)} y R2 = {(b, c)}, que son transitivas mientras que R1 R2 = {(a, b), (b, c)} no lo es. Soluciones a los Ejercicios Entregados (Curso ). 5/6

6 2 Sean A = {0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4} y las relaciones en A x R1 y x y(mod 4) y x R2 y x y(mod 2). a) Hallar los conjuntos cociente A R1 = {[x] 4 : x A} y A R2 = {[x] 2 : x A}. b) Probar que para todo x A se verifica que [x] 4 [x] 2. Qué relación tienen entonces, las particiones P 1 y P 2 asociadas a R1 y R2? { } c) Sea P 3 = {0, 4}, {1, 4, 3}, {2, 3, 1}, { 2} otra partición de A. Hallar el inf{p 2, P 3} y sup{p 2, P 3} en el retículo de las particiones de A dado por la relación de refinamiento. a) [0] 4 = {0, 4, 4} = [4] 4 = [ 4] 4, [1] 4 = {1, 3} = [ 3] 4, [2] 4 = {2, 2} = [ 2] 4 y [3] 4 = {3, 1} = [ 1] 4, luego A R1 = {[0] 4, [1] 4, [2] 4, [3] 3 } = {{0, 4, 4}, {1, 3}, {2, 2}, {3, 1}} [0] 2 = {0, 2, 2, 4, 4} = [2] 2 = [ 2] 2 = [4] 2 = [ 4] 2, y [1] 2 = {1, 1, 3, 3} = [ 1] 2 = [3] 2 = [ 3] 2, luego A R2 = {[0] 2, [1] 2 } = {{0, 2, 2, 4, 4}, {1, 1, 3, 3}} b) Sea y [x] 4 y x(mod 4) k Z con y x = 4k = 2k Z con y x = 2(2k) y x(mod 2) y [x] 2 Luego [x] 4 [x] 2, y es cierto para cualquier x A. En términos de particiones, esto quiere decir que cada conjunto de la partición P 1 (las clases [x] 4 ) está contenido en alguno de los conjuntos que forman la partición P 2 (las clases [x] 2 ), luego que P 1 es más fina que P 2. c) inf{p 2, P 3 } es la partición asociada a la relación inf{r2, R3} = R2 R3 y sup{p 2, P 3 } es la partición asociada a la relación sup{r2, R3} = t(r2 R3). Luego, ordenando los elementos del conjunto A en la { forma 3 1 { 2 }} 2 }}} 0 4 { 4 { 1 3 (los dos primeros y los dos últimos pertenecen a la misma clase }}} de R2), las matrices de las relaciones serán: M 2 3 = M 2 = M 3 = M 2 3 = Luego inf{p 2, P 3 } = {{3, 1}, {2}, { 2}, {0, 4}, {4}, {1, 3}} y sup{p 2, P 3 } = {A}. t(m 2 3 ) = 1 Soluciones a los Ejercicios Entregados (Curso ). 6/6