Introducción a la Matemática Discreta. Boletín de problemas. Temas 1, 2 y 3. Grado en Ingeniería Informática. Ingeniería del Software

Transcripción

1 Introducción a la Matemática Discreta Boletín de problemas Temas 1, 2 y 3 Grado en Ingeniería Informática Ingeniería del Software Curso 2010/2011. Grupos 1 y 2

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3 Teoría de conjuntos. Lógica proposicional. Álgebras de Boole. Técnicas de demostración 1 Teoría de conjuntos Ejercicio 1.1 Dados dos conjuntos X, A se define la diferencia entre X y A como X A = {x X ; x / A}. Dados los conjuntos A, B, X, probar que: a) X (A B) = (X A) (X B) b) X (A B) = (X A) (X B). Ejercicio 1.2 Dados dos conjuntos A, B, se define su diferencia simétrica A B como A B = {x A B tales que x / A B}. a) Es cierto que A B A? b) Demostrar que A B = (A B) (Ā B). c) Demostrar que A B = (Ā B) (A B).

4 2 Conjuntos. Lógica. Álgebras de Boole. Técnicas de demostración Lógica proposicional Ejercicio 1.3 Hallar la tabla de verdad de p q. Ejercicio 1.4 Hallar la tabla de verdad de (p q). Ejercicio 1.5 Hallar la tabla de verdad de (p q). Ejercicio 1.6 Verificar que la proposición p (p q) es una tautología. Ejercicio 1.7 Verificar que la proposición (p q) (p q) es una contradicción. Ejercicio 1.8 Probar la propiedad distributiva: p (q r) (p q) (p r). Ejercicio 1.9 Probar que la disyunción puede ser escrita en términos de las operaciones de conjunción y negación; es decir, que son equivalentes: Ejercicio 1.10 Se pide: p q ( p q). 1. Demostrar que p implica q q implica p. es lógicamente equivalenate al bicondicional p si y sólo si q ; es decir, (p q) (q p) p q. 2. Demostrar que p q ( p q) ( q p). 2 Ejercicio 1.11 Consideremos la proposición condicional p q y otras proposiciones simples que contienen p y q: q p, p q y q p que se llaman respectivamente recíproca, inversa y contrarecíproca de la proposición original p q. Cuál de estas proposiciones, si la hay, es lógicamente equivalente a p q?. Ejercicio 1.12 El conector proporcional se llama disyunción exclusiva; p q y se lee p o q pero no ambos. Se pide: 1. Construir una tabla de verdad para p q. 2. Probar: p q (p q) (p q) (es decir, puede escribirse en términos de los tres conectores originales, y ).

5 3 Álgebras de Boole Ejercicio 1.13 Construir un circuito para cada una de las siguientes funciones de conmutación a) x + yz; c) x(y + z); e) (x + y) (z + k); b) xy + zk; d) (x + y) (x + zy ); f) (xy + z) (k + x y). Ejercicio 1.14 Construir un circuito para cada una de las siguientes funciones de conmutación a) xy + x (y + x + y); b) (x + y)z(x + y + z ). Ejercicio 1.15 Halla las funciones de conmutación que producen los siguientes circuitos:

6 4 Conjuntos. Lógica. Álgebras de Boole. Técnicas de demostración

7 5 Técnicas de demostración Ejercicio 1.16 Se puede probar directamente, por inducción matemática, que una propiedad es cierta para cualquier n Z? Justifíquese la respuesta. Ejercicio 1.17 Probar que (2n 1) = n 2 n Z + Ejercicio 1.18 Usar el principio de inducción para probar que para todo n 0 se tiene: a) n 2 + 3n es divisible por 2. b) n 3 + 3n 2 + 2n es divisible por 6. Ejercicio 1.19 Utilizar el método de inducción para probar que para cualquier entero n 2 se verifica que 2 n > n + 1. Ejercicio 1.20 Utilizar el método de inducción para demostrar que para todo n 1 se cumple que: n 3 = n2 (n + 1) 2 4 Ejercicio 1.21 Sean a,b y n números enteros positivos verificando que n = a b. Demostrar por reducción al absurdo que o bien a o bien b es menor o igual que n. Ejercicio 1.22 Sean A y B dos conjuntos finitos y f : A B una función. Demostrar por reducción al absurdo: a) Si f es inyectiva entonces A B. b) Si f es sobreyectiva entonces A B.

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9 Técnicas de contar 2 Ejercicio 2.1 Se recibe de Secretaría la siguiente información: cada alumno de una determinada titulación está matriculado en cuatro de las siete asignaturas que se ofertan, las listas de alumnos por asignaturas están constituidas por 52, 30, 30, 20, 25, 12 y 18 alumnos respectivamente. A qué conclusión nos lleva dicha información? Ejercicio 2.2 En una clase de música con 73 alumnos hay 52 que tocan el piano, 25 el violín, 20 la flauta, 17 tocan piano y violín, 12 piano y flauta, 7 violín y flauta y sólo hay 1 que toque los tres instrumentos. Hay algún alumno que no toque ninguno de los tres instrumentos? Ejercicio 2.3 Una multinacional tiene empleados de los cuales 5600 hablan inglés, 4400 francés y 2200 castellano. Se sabe que cualquiera de ellos habla, al menos, uno de los tres idiomas, que 1600 hablan inglés y francés, 200 francés y castellano y 100 hablan los tres idiomas. Si el director general habla inglés y castellano, con cuantos empleados puede comunicarse sin necesidad de intérprete? Cuántos empleados hablan únicamente castellano? Ejercicio 2.4 Probar que en cualquier grupo de 6 personas, o hay 3 que se conocen entre sí o hay 3 que son mutuamente desconocidos. Ejercicio 2.5 Sea C un conjunto de 5 enteros positivos no superiores a 9. Demostrar que existen, al menos, dos subconjuntos de C cuyos elementos suman lo mismo.

10 8 Técnicas de contar Ejercicio 2.6 De cuántas maneras puede un fotógrafo de boda ordenar un grupo de 6 personas si a) los novios deben salir juntos en la foto? b) los novios no pueden salir juntos en la foto? c) la novia debe salir en algún puesto a la izquierda del novio? Ejercicio 2.7 Cuántas matrículas se pueden formar utilizando bien tres letras mayúsculas seguidas de tres dígitos o bien cuatro letras mayúsculas seguidas de dos dígitos? (Las letras se extraen del alfabeto inglés que consta de 26 letras) Ejercicio 2.8 En un grupo hay n hombres y n mujeres. De cuántas formas se pueden ordenar estas personas en una fila si los hombres y las mujeres se debe alternar? Ejercicio 2.9 Cuántas cadenas de diez bits contienen a) exactamente cuatro unos? b) como mucho cuatro unos? c) al menos cuatro unos? d) una cantidad igual de unos que de ceros? Ejercicio 2.10 De cuántas formas se puede seleccionar una comisión para diseñar el programa de un curso de matemática discreta en la escuela de informática si la comisión debe estar compuesta por tres miembros del departamento de informática (que tiene nueve miembros en total) y cuatro del departamento de matemáticas (que tiene once)? Ejercicio 2.11 De cuántas maneras se pueden ordenar las letras de la palabra XSIAON de modo que las palabras ASI y NO nunca aparezcan? Ejercicio 2.12 Una empresa posee seis ordenadores y los quiere colocar en red. Si cada ordenador debe conectase con otros dos, y sólo con otros dos, cuánto tiempo tardarán en estudiar todas las configuraciones posibles, para encontrar la más adecuada, si emplean dos minutos en analizar cada una de ellas por separado? Ejercicio 2.13 Por un canal de comunicación, se va a transmitir un mensaje usando 12 símbolos diferentes. Además de estos 12 símbolos, el transmisor también enviará un total de 45 espacios en blanco entre los símbolos, con tres espacios como mínimo entre cada par de símbolos consecutivos de cuántas formas se puede mandar el mensaje? Ejercicio 2.14 a) De cuántas formas se pueden colocar diez bolas iguales en ocho cajas distintas?

11 9 b) En cuántas de ellas queda al menos una caja vacía? Ejercicio 2.15 Cuántas cadenas de 8 bits comienzan por 101 o tienen el cuarto bit igual a 1? Ejercicio 2.16 Cuántos números de teléfono de 5 dígitos tienen un dígito que aparece más de una vez? Ejercicio 2.17 Determinar el número de formas en que podemos ordenar las letras de la palabra EXAMEN teniendo en cuanta que las dos letras E no pueden ir juntas. Ejercicio 2.18 Cuántas palabras de longitud 3 (sin repetir signos) pueden escribirse con un alfabeto de 256 letras teniendo en cuenta que dos determinados signos (por ejemplo, las letras a y b ) no figuren nunca juntos (consecutivos)? Ejercicio 2.19 La cuadrícula de la figura representa las calles de una pequeña ciudad. 1. Qué características debe tener un camino de A a B de forma que no exista otro más corto que él? 2. Cuántos caminos distintos puede seguir un ladrón que roba una joyería situada en la esquina A para ir a su casa, situada en la esquina B, teniendo que cuenta que pretende ir por uno de los caminos más cortos y que debe evitar pasar por las esquinas P 1 y P 2 en las que se encuentran las dos comisarías de policía de la ciudad? Ejercicio Los padres de una familia de 3 hijos deciden repartir semanalmente entre ellos 32 euros para sus gastos. Si desean dar un número entero de euros, no menor de 4, a cada hijo salvo al mayor, al que desean darle no menos de 10 de cuántas maneras distintas pueden hacer la asignación semanal? 2. Si además, desean darle no más de 10 euros a los dos más pequeños, ni más de 15 al mayor, de cuántas formas diferentes pueden hacer ahora la asignación? 3. Si además de las restricciones del primer apartado, no quieren que los dos pequeños tengan la misma asignación, cuál sería ahora en número de asignaciones posibles?

12 10 Técnicas de contar Ejercicio 2.21 Cómo se pueden distribuir 25 caramelos entre cuatro niños? Y si se añade la condición de que cada niño recibe al menos tres caramelos y no más de ocho? Ejercicio 2.22 Probar las igualdades: ( ) ( ) r r 1 a) = k r k k 1 ( ) ( ) r 1 r b) r = (r k) k k Ejercicio 2.23 Utilizar el método de inducción para probar la identidad: ( ) ( ) ( ) ( ) r r + 1 r + n r + n = 0 1 n n para cualquier n N. Ejercicio 2.24 Hallar el coeficiente de x 7 en: a) (1 + x + x 2 + ) 15 b) (1 + x + x 2 + ) k, k N +

13 Recursión 3 Ejercicio 3.1 Demostrar por inducción que si u n es la sucesión definida por: entonces, u n = 2 n + 1 n Z +. u 1 = 3, u 2 = 5, u n = 3u n 1 2u n 2 n 3 Ejercicio 3.2 Demostrar por inducción que si F n es la sucesión de Fibonacci definida por: F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n 1 + F n 2 ( n 2), entonces para cualquier n N se cumple que ( F n = ) n ( ) n 5 2 Ejercicio 3.3 Encontrar una fórmula explícita para los términos de la sucesión definida por: u 0 = 0, u 1 = 1, u n = 5u n 1 6u n 2 (n 2) Ejercicio 3.4 Hallar una fórmula explícita para los términos de la sucesión definida por:. u 0 = 1, u 1 = 0, u n = 6u n 1 8u n 2 (n 2)

14 12 Recursión Ejercicio 3.5 Hallar una fórmula explícita para los términos de la sucesión definida por: u 0 = 1, u 1 = 2, u 2 = 3 u n = 5u n 1 8u n 2 + 4u n 3 (n 3). Ejercicio 3.6 Hallar una fórmula explícita para el término general de la sucesión definida mediante a 0 = 0, a 1 = 1, a 2 = 3, a n a n 1 = 4 ((a n 1 a n 2 ) (a n 2 a n 3 )) (n 3) Ejercicio 3.7 Hallar el término general de las sucesiones definidas por: a) u n+1 u n = 2n + 3 para n 0 con u 0 = 1. b) u n+1 u n = 3n 2 n para n 0 con u 0 = 3. c) u n+1 2u n = 5 para n 0 con u 0 = 1. d) u n+1 2u n = 2 n para n 0 con u 0 = 1. Ejercicio 3.8 Hallar el término general de las sucesiones definidas por: a) u n+2 + 3u n+1 + 2u n = 3 n (n 0) con u 0 = 0 y u 1 = 1. b) u n+2 + 4u n+1 + 4u n = 7 (n 0) con u 0 = 1 y u 1 = 2. Ejercicio 3.9 a) Determinar una fórmula explícita para el término general de la sucesión u n definida por la recurrencia lineal y homogénea u 0 = 1, u 1 = 6 u n = 6u n 1 9u n 2 n 2 b) Determinar una fórmula explícita para el término general de la sucesión u n definida por la recurrencia lineal no homogénea u 0 = 1, u 1 = 6 u n = 4n + 6u n 1 9u n 2 n 2 Ejercicio 3.10 Nos regalan tres sellos y decidimos iniciar una colección. El año siguiente, la incrementamos con 8 sellos más (tendríamos entonces 11 sellos). Si cada año compramos un número de sellos igual al doble de los que compramos el año anterior, al cabo de cuántos años habremos superado el millón de sellos? Ejercicio 3.11 Los dos primeros términos de una sucesión valen, respectivamente, 1 y 2. Sabiendo que cada término es la media aritmética del anterior con la media aritmética de los dos adyacentes (anterior y posterior), se pide: 1. Hallar una fórmula explícita para los términos de dicha sucesión.

15 13 2. Describir un procedimiento para calcular el término 40 realizando, a lo más, 10 operaciones (sumas, restas, multiplicaciones o divisiones). Ejercicio 3.12 Sea u n el número de palabras de longitud n en el alfabeto {0, 1} con la propiedad de no tener ceros consecutivos. Probar que: u 1 = 2, u 2 = 3, u n = u n 1 + u n 2 (n 3) Ejercicio 3.13 Llamamos D n al número de formas en que pueden distribuirse n cartas en n sobres sin que ninguna esté en el sobre correcto. Demostrar que para todo n > 2 se verifica la relación D n = (n 1)(D n 1 + D n 2 ). Ejercicio 3.14 Hallar una fórmula explícita para los términos de la sucesión definida por: u 0 = 1, u n 3u n 1 = n (n 1)