Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura Universidad Nacional de Rosario DEPARTAMENTO DE SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN.

Transcripción

1 Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura Universidad Nacional de Rosario DEPARTAMENTO DE SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN Cálculo Gráfico Aplicaciones de la Representación Gráfica a la resolución de problemas geométricos con Herramientas CAD Cuadernillo de problemas Abril 2015

2 Temas GEOMETRÍA PLANA Trazado de curvas. Construcciones geométricas. Tangentes y normales. Derivación e integración gráfica GEOMETRÍA DEL ESPACIO Representación axonométrica ortogonal. Coeficientes de reducción. Proyección y dibujo axonométrico. Representación isométrica, dimétrica y trimétrica. Representación axonométrica oblicua. Proyecciones oblicuas caballera y militar. Posición relativa de dos rectas: concurrentes, paralelas, alabeadas. Ángulo que forma una recta con un plano. Rumbo y pendiente de recta. Puntos y rectas pertenecientes a planos. Perpendicularidad. Verdadera magnitud de rectas, figuras y ángulos diedros Distancia entre rectas alabeadas Poliedros regulares y semi-regulares. Prismas y pirámides. Superficies de transición. Secciones planas. Operaciones de Intersección, Unión y diferencia. Desarrollos. Mediciones: distancias, ángulos, superficies, volúmenes. Curvas. Cónicas. Otras curvas. Superficies curvas Cilindro, cono, esfera, toro, superficies de transición. Superficies complejas (toroide, conoide, cilindroide, paraboloides, hiperboloides). Secciones planas. Operaciones de Intersección, Unión y diferencia. Desarrollos Mediciones: distancias, ángulos, superficies, volúmenes. 2

3 GEOMETRÍA PLANA Trazado de curvas con CAD Longitudes de curvas Problema 1: Stewart, pag 307 Sección 4.5 RESUMEN TRAZO DE CURVAS Secc. 4.7 PROBLEMAS DE OPTIMIZACION Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry 3

4 Construcciones geométricas. Tangentes y normales. Derivación e integración gráfica Problema 2: Trazado de tangente a la curva En los problemas que siguen, tomados de CÁLCULO - James Stewart, se pide encontrar gráficamente la curva que representa la pendiente de la recta tangente a la curva. Comparar con la curva trazada por medios analíticos. 4

5 Stewart, pag.207 Derivación implícita 5

6 Stewart, pag Ilustre dibujando la curva y la recta tangente. Stewart, pag 214 Problema 3: Tangente común a dos curvas Problema 4: Tangentes con pendiente predeterminada Determine los puntos P y Q sobre la parábola =1 de modo que el triángulo ABC formado por el eje x y las rectas tangentes en P y Q sea un triángulo equilátero. Ref.[1]-pag 269 Problema 5: Longitud de la escalera Cuál es la longitud máxima que puede tener una escalera que podemos guardar en el galpón? Las figuras muestran un croquis (a mejorar) con las dimensiones y la situación de la entrada al galpón. 6

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8 Stewart, pag. 265 Stewart, pag 267. Notable de facil con desfase 8

9 Cálculo de áreas CARACOLES ( Limacon ) En un rayo arbitrario OA desde el punto A cruzándola con un círculo en ambos lados de los segmentos se establecen Caracol Pascal - un conjunto de puntos M me. (Tomado de algún libro ruso) Integración gráfica 9

10 Geometría del Espacio 2.1 La recta Rumbo y pendiente de recta Puntos y rectas pertenecientes a planos Distancia entre dos puntos dados en el espacio Division de un segmento en el espacio en una razon dada Cosenos directores de una recta en el espacio Numeros directores de una recta en el espacio Angulo formado por dos rectas dirigidas en el espacio Numeros directores de una recta perpendicular a dos dadas Ecuación del plano Posicion relativas de dos planos Familias de planos Ecuaciones de la recta Planos proyectantes de una recta Posiciones de una recta y un plano Ángulo que forma una recta con un plano Perpendicularidad distancia entre rectas alabeadas Verdadera magnitud de rectas, figuras y ángulos diedros; 3 POLIEDROS 3.1 Poliedros regulares y semi-regulares. 3.2 Prismas y pirámides. Superficies de transición. 3.3 Secciones planas. 3.4 Operaciones de Intersección, Unión y diferencia. 3.5 Desarrollos. 3.6 Mediciones: distancias, ángulos, superficies, volúmenes. 4 SUPERFICIES CURVAS 4.1 Discusion de la ecuacion de una superficie 4.2 Construccion de una superficie 4.3 Ecuación de la superficie esférica 4.4 Ecuacion de una superficie cilindrica 4.5 Ecuacion de una superficie cónica Problema 6: Encontrar la ecuación de la superficie formada por las rectas que contienen al punto 2,0,2 y son tangentes a la superficie esférica de ecuación =1 Ref: [2], problema Superficies de revolución 4.7 Superficies regladas 4.8 Cuádricas 5 CURVAS EN EL ESPAClO 5.1 Curvas planas en el espacio 5.2 Curva de interseccion de las superficies de dos c~~indros rectos 5.3 Cilindros proyectantcs de una curva del espacio 5.4 ConstrucciCn de las curvas del espacio 5.5 Ecuaciones paramétricas de una curva del espacio 10

11 5.6 Construcción de volúmenes Problema 7: Encontrar el volumen del cono circular recto más grande que se pueda inscribir en una esfera de radio 3. Ref: Thomas, Secc 4.5, probl. 12 Problema 8: Diseño de caja con tapa Una pieza de cartulina mide 250 x 375 mm. Como se muestra en la figura, se quitan dos cuadrados y dos rectángulos de manera que las cejas puedan doblarse para formar una caja rectangular con tapa. Utilizar un método gráfico para encontrar el volumen máximo y el valor x que lo consigue. Ref: Thomas, Secc 4.5, probl. 16 Problema 9: Ref Thomas, Seccion 6.2, ejemplo 1 11

12 Superficies complejas (toroide, conoide, cilindroide, paraboloides, hiperboloides). Secciones planas. Operaciones de Intersección, Unión y diferencia. Desarrollos Mediciones: distancias, ángulos, superficies, Cálculo de volúmenes Problema 10: Centro de masa de una placa no uniforme Determinar el centro de masa de una placa no uniforme (densidad variable). La placa ocupa la región rectangular del plano XY con x entre 0 y 2 e y entre -1 y 1. La densidad en cada punto de la placa está dada por f(x,y)=x*y^2. Pautas de resolución No existe, hasta donde yo conozco, un método para determinar el centro de masa de una placa no uniforme. Sin embargo contamos con los elementos para simular la situación. Ya que la placa tiene dos dimensiones, aprovechamos la tercera dimensión para representar el efecto de la densidad variable. Dividimos la placa en partes tan pequeñas como se quiera e igual superficie. La masa de cada pequeña región estaría representada por un prisma de altura igual a f(x,y). Tendríamos entonces un poliedro cuya masa se aproximaría a la de la placa. Si hacemos que los sectores en que se divide la placa sean cada vez más pequeños, en el límite alcanzaríamos un volumen de tipo prismático limitado por una superficie que responde a la ecuación f(x,y). Cada punto de la superficie representa la densidad de la placa. El volumen encerrado es igual a la masa de la placa. El centro de masa del volumen nos permite, desechando la tercer coordenada, conocer el centro de masa de la placa. Consultando las propiedades físicas del volumen modelado encontramos el siguiente resultado: Centro de masa: (1.333, 0.000) Masa: Solución en d:\dropbox\investigacion\matematica\centro-de-masa\ 12

13 Problema 11: Área proyección Calcular el área de la proyección ortogonal del triángulo de vértices A 3,0,0, B 0,6,0 y C(0,0,0) sobre el plano de ecuación x + y + z = 12 Ref.: Geometría Analítica con Software, Katz R., Sabatinelli P. / capitulo 2 Problema 12: Perpendicularidad entre rectas x = t y = 2 t La recta z = t interseca al plano ( x + 3 y z = 4 en un punto P. Encontrar, si existen, las ecuaciones de la recta 's' que contiene a P, está contenido en π y es perpendicular a 'r' Problema 13: Representación de planos Tres de los vértices de un tetraedro son A(1,0,0), B(2,0,0), C(0,2,0). El cuarto vértice, D, pertenece al plano de ecuación x + y + z = 0. Determinar el lugar geométrico de los puntos descriptos por el vértice D cuando el volumen del tetraedro es igual a 2. Problema 14: Superficie cilindrica Dados los puntos O(0,0,0) y A(1,2,1), hallar el lugar geométrico del tercer vértice para que el triángulo OAB tenga área igual a 4. Problema 15: Representación de superficies Verifique que para t 0 las rectas r t de la forma 2 2 = = Están contenidas en la superficie de ecuación =0 Representar gráficamente la superficie Problema 16: Ángulo plano Los puntos A(3,-1,-1), B(1,2,-7) y C(-5,14,3) son los vértices de un triángulo. Halle la ecuación del ángulo interior con vértice en B. Problema 17: Intersección recta-plano Hallar las coordenadas de un punto P, del plano de ecuación =0, tal que la suma de las distancias a los puntos A(3,-4,7) y B(-5,-14,17) sea mínima. Ref.: Geometría Analítica con Software, Katz R., Sabatinelli P. / capitulo 2 / 8 Katz 9 Katz 10 13

14 Problema 18: Superficie esférica Encuentre el punto de la esfera de ecuación =0 Más próximo al punto 9, 4, 3. A qué distancia de P se encuentra? Ref.: Geometría Analítica con Software, Katz R., Sabatinelli P. / capitulo 2 / 11 Problema 19: Plano y Superficie esférica Determine analíticamente y gráficamente como está situado el plano de ecuación z=3 respecto a la esfera de ecuación =0 Ref.: Geometría Analítica con Software, Katz R., Sabatinelli P. / capitulo 2 / 12 Katz 13 Katz 14 Katz 15 Problema 20: Distancia de superficie esférica a un plano Halle en la esfera ecuación (x - 1)*2 + (y + 2)*2 + (z - 3)*2= 1, el punto M más próximo al plano de ecuación 3x-4z= 0. Calcule dicha distancia y encuentre el punto del plano que realiza dicha distancia y hallar el volumen de dicha esfera. Ref.: Geometría Analítica con Software, Katz R., Sabatinelli P. / capitulo 2 / 16 Problema 21: Katz 17 Katz 18 Katz 19 14

15 Problema 22: Katz 20 Problema 23: Katz 21 Problema 24: Sección plana de elipsoide Halle los planos de la forma z=kx, con R que cortan el elipsoide E de ecuación =6 Ref.: Geometría Analítica con Software, Katz R., Sabatinelli P. / capitulo 2 / 22 Problema 25: Katz 24 15

16 Problema 26: Tetraedro entre rectas alabeadas Dos rectas alabeadas y perpendiculares sostienen aristas opuestas de un tetraedro regular. Se pide representar el mencionado poliedro. Problema 27: Recta en el espacio Representar gráficamente y calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto 2,2,2, es coplanaria con la recta : 1= 2 = +1 4 y es paralela al plano : +2 + =0. Problema 28: Llenado de un cono recto circular Un cono recto circular se llena con agua a un ritmo de 15 cm 3 /min. Se pide: 1. Representar gráficamente (y describir analíticamente) la velocidad de subida del nivel de líquido y 2. Determinar a que velocidad sube el nivel de líquido cuando la altura alcanzada es h = 20 cm Pautas Representar la ecuación de volumen en función de la altura h en el rango que va de 0 a 30 cm Utilizar eje X para las alturas del cono y el eje Y para los volúmenes. La velocidad de subida del nivel de líquido será: h = h 16

17 Problema 29: Representación de superficie Representar gráficamente la superficie de ecuación: =0 Modelado Tridimensional Problema 30: Maximizar diámetro Determinar el diámetro de la esfera más grande que tiene lugar en el poliedro de la figura. Problema 31: En la Escalera Caracol En una torre circular, cuyo diámetro interior es de 2 m hay una escalera de caracol de 6 m de altura. La altura de cada escalón es de 0,15 m. En una proyección horizontal los escalones forman sectores circulares contiguos de 18. Los extremos más estrechos de los escalones se fijan en una columna circular con un diámetro de 0,64 m, cuyo eje coincide con el eje de la torre. Encuentra la mayor longitud de una barra rectilínea que podía ser transportado por las escaleras desde el pie de la torre a su parte superior. Se asume que el espesor de la barra es despreciable. 17

18 Contenido DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN GRÁFICA... 3 GEOMETRÍA DEL ESPACIO...10 MODELADO TRIDIMENSIONAL...17 Referencias...18 Referencias [1] STEWART J. Cálculo de una variable, Séptima edición, [2] KATZ R., SABATINELLI P. "Geometría Analítica con Software". UNR Editora [3] SELZER S. Elementos de Análisis Matemático. Editorial Alsina [4] VERGER G. Representación gráfica sin corbata. COAD Editora,

19 Apéndice 1 Apoyo teórico para la resolución de los problemas de derivación e integración gráfica. Extraido de SELZER S. Elementos de Análisis Matemático. Editorial Alsina. Capítulo V. 19

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21 Contenido DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN GRÁFICA... 3 Stewart, pag Stewart, pag Stewart, pag.207 Derivación implícita... 5 Stewart, pag GEOMETRÍA DEL ESPACIO...10 MODELADO TRIDIMENSIONAL...17 Referencias