UNIDAD 2 DERIVADAS Y APLICACIONES. 1. TASA DE VARIACIÓN MEDIA. Se define la tasa de variación media de una función f ( x) y = en un intervalo [ b]

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1 IES Padre Poveda (Guadi UNIDAD DERIVADAS Y APLICACIONES.. TASA DE VARIACIÓN MEDIA. Se deine la tasa de variación media de una unción ( y en un intervalo [ b] T. V. M. [ a, b] a, como: ( ( a b a ( a, a, B ( b, b, Si considero la recta que une A ( ( su pendiente es: [ a b] m tgα T. V. M., Es usual escribir [ a, b] [ a, a + ], Con lo cual: siendo a Etremo inerior del intervalo. a + Etremo superior del intervalo. Longitud del intervalo. m tgα T. V. M., [ a a + ] ( a + ( a 5 en: a Los intervalos [, ]; [, ]; [, 4]. El intervalo [, + ]. Ejemplo: Halla la T.V.M. de la unción ( Proesor: Ramón Lorente Navarro. Unidad : Derivadas y Aplicaciones

2 IES Padre Poveda (Guadi. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. FUNCIÓN DERIVADA. DERIVADAS SUCESIVAS. Una unción y ( es derivable en a, si eiste el siguiente ite y es inito: ( ( a a a En cuyo caso al valor de este ite se le llama derivada de en a, y se escribe ( a. a ( ( a a ( a d (También se escribe (a d a Si tomamos a + entonces con lo cual, la deinición anterior de a a 0 0 derivada de una unción en un punto equivale a que eista: 0 ( a + ( a Ejemplo: Sea la unción ( Calcula, usando la deinición de derivada, ( ( a y (. Como emos visto en el ejemplo anterior, ay que calcular un ite para obtener la derivada de una unción en cada uno de los puntos en los que se nos pida, lo cual es un trabajo molesto y engorroso. Es preerible obtener la unción derivada de (, es decir (, que nos permita obtener ácilmente el valor de la derivada de esa unción en un punto cualquiera simplemente sustituyendo. Ejemplo: Halla la unción derivada de ( y úsala para calcular de nuevo ( y (. Proesor: Ramón Lorente Navarro. Unidad : Derivadas y Aplicaciones

3 IES Padre Poveda (Guadi También se pueden calcular las derivadas sucesivas de una unción: Si derivamos dos veces la unción ( obtenemos la derivada segunda ( y así sucesivamente (también se escribe y, y, y... Dico de un modo más ormal: (es decir, acemos la derivada de la unción derivada ( ; si derivamos tres veces obtenemos la derivada tercera ( Si es una unción derivable en todos los puntos de un intervalo abierto ( a,, entonces la unción: : ( a, a R ( se llama unción derivada de. : Si a su vez es derivable en ( a, obtenemos su derivada ( : ( a, R a ( que se llama unción derivada segunda de. Análogamente se pueden deinir, iv v,... Sin embargo, para derivar unciones NO es necesario acerlo resolviendo ites como en el ejemplo anterior. Eisten sencillas reglas prácticas con las que se pueden allar ácilmente las derivadas de las unciones elementales. Veamos cuales son esas reglas.. REGLAS DE DERIVACIÓN. REGLAS DE DERIVACIÓN Suma y resta ( + g ( ( + ( ( g ( ( ( Producto y cociente ( g ( ( g( + ( ( ( Producto por un número ( k ( k ( Composición de unciones y unción recíproca ( g ( ( ( ( o ( ( Regla de la cadena g ( g( ( g ( [ g( ] con ( y ( y Proesor: Ramón Lorente Navarro. Unidad : Derivadas y Aplicaciones

4 IES Padre Poveda (Guadi TABLA DE DERIVADAS DE FUNCIONES ELEMENTALES Funciones simples Funciones compuestas ( k ( 0 ( ( ( k k g k g k ( ( ( n n ( ln ( loga ( e ( ( ( ( ( n ( n g ( ( n n ( n ( ( ( g ( ( ( g ( g ( n ( ( ( n n n n n n ( ( g( ln ( ( ( ( ( g( loga ( ( ( ln a ( ln a ( e ( g ( e ( ( e ( ( a ln ( g ( a ( ( a ( ln a ( cos g ( sen ( g ( cos [ ( ] ( ( sen g( cos ( g ( sen [ ( ] ( ( + tg sec g ( tg ( [ ( ] ( ( g ( + tg sec [ ( ] ( cos cos ( ( ( cos ec g( cot g ( g ( cosec [ ( ] ( sen sen ( ( sen ( a a ( cos ( tg ( cot g ( sec ( tg sec ( ( g( sec ( g ( tg ( sec[ ( ] ( ( cosec ( cot g cosec g( cosec ( g ( cot g ( cos ec [ ( ] ( ( arcsen ( arccos arctg ( ( arccot g ( + ( g arcsen ( ( ( g( arccos ( ( ( ( ( g ( arctg ( ( ( + + ( ( ( ( ( ( ( + ( g arccot g ( Derivación potencial - eponencial: y ( g ( º Se aplican logaritmos a los dos miembros y se usan sus propiedades. º Se derivan ambos miembros. º Se despeja y y se sustituye y por su valor. Ejemplo: ln ln y lny ln lny ln ln ln y ln y ln ln ln ln y y y y ln y ln ( Proesor: Ramón Lorente Navarro. 4 Unidad : Derivadas y Aplicaciones

5 IES Padre Poveda (Guadi 4. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA. Qué a ocurrido en la gráica de ( Todas estas rectas son secantes a la unción con un punto común A ( a, ( a. y al tomar este ite en la tasa de variación media? Si 0 entonces P i A, con lo cual la recta i tangente a en ( a ( a A, se obtiene como ite de las rectas secantes. Pero además, la pendiente m de la recta tangente a la unción en ( a ( a ( ( a + ( a m tg α tg α ( a El resultado anterior ( que m ( a i αi α 0 A, es:, es decir: se conoce como Interpretación geométrica de la derivada y nos dice que: Pendiente de la recta tangente a la gráica Derivada de una uncion en a de la unción en el punto A( a, ( a 5. RECTAS TANGENTE Y NORMAL A UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. 5.. RECTA TANGENTE A UNA FUNCIÓN y ( EN UN PUNTO A ( a, ( a. La ecuación de la recta tangente en su orma punto pendiente es y ( a m( a. Pero m ( a (Por la interpretación geométrica de la Por tanto: y m ( a ( a ( a ( a derivada. [ a + ] Ecuación de la recta tangente a la gráica de en el punto A( a, ( a 5.. RECTA NORMAL A UNA FUNCIÓN y ( EN UN PUNTO A ( a, ( a. La ecuación de la recta normal en su orma punto pendiente es y ( a m ( a ( a + ( a m AP tgα T. V. M a, m AP m AP tgα T V M a.., [ a + ] tgα T V M a..,. Las rectas tangente y normal son perpendiculares entre sí. Condición de perpendicularidad: m m m m ( a Por tanto: Ecuación de la recta normal y ( a ( ( a a a la gráica de en el punto A( a, ( a [ a + ] ( a + ( a ( a + ( a Proesor: Ramón Lorente Navarro. 5 Unidad : Derivadas y Aplicaciones

6 Demostración: derivable en a ( ( a a a a a a IES Padre Poveda (Guadi Ejemplo : Sea ( tg( ln Proesor: Ramón Lorente Navarro. 6. Calcula la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráica de en el punto de abscisa e. (Navarra. Junio Solución: Tangente: y e Normal: y e 4 + e + para > 0,.Calcula la ecuación de la recta ln( tangente y de la recta normal a la gráica de en el punto de abscisa e. Solución: Tangente: y e Normal: e Ejemplo : (0-M-A- Sea ( 6. DERIVADAS LATERALES. A los siguientes ites, si eisten y son initos, se les llama: + ( ( a + ( a a a + a a Derivada por la dereca de en a. Derivada por la izquierda de en a. ( ( ( Ambos ites reciben el nombre de derivadas laterales de la unción en a. Propiedad: + es derivable en a Eisten ( a a + a a a En cuyo caso, ( ( ( +, son initas y ( a ( a Ejemplo: Estudia la derivabilidad de ( derivadas laterales. Solución: ( 0+ ( 0 ( ( 0 en 0 obteniendo el valor de sus 0 ( ( ( 0+ ( 0 ( ( ( 0 ( 0 y además no son initas no es derivable en 0. g en 0. Qué conclusión sacas? Es g + e continua en 0? Se debe eigir que aya continuidad para estudiar la derivabilidad? Ejercicio: Obtén las derivadas laterales de ( 7. DERIVABILIDAD Y CONTINUIDAD. Si observas el ejemplo anterior está claro que: ( ( ( ( 0 (En caso contrario ind. k No inito. 0 a a ( ( continua en a. Una unción continua en a NO tiene por qué ser derivable en a (podrá serlo o no. Si es continua en a pero no derivable en a, tendremos puntos angulosos (con pico como en las dos primeras iguras, o puntos de tangente vertical como en la tercera: Sin embargo: Propiedad: Si es derivable en Por tanto: Si NO es continua en a es continua en a. a NO puede ser derivable en a. Una unción derivable tendrá una gráica suave sin puntos angulosos. Funciones continuas en a pero no derivables en a. Función no continua en a y, por tanto, no derivable en a. Unidad : Derivadas y Aplicaciones

7 IES Padre Poveda (Guadi Ejemplo : Estudie la continuidad y derivabilidad de las unciones: ( si a si < ( ( 6 5. si > + 0 si (Canarias. Junio 006 a + si < Ejemplo : (0-M6-A- Sea la unción derivable :R R deinida por (. b a + si Calcula los valores de a y b. Solución: a / 4; b /. Ejemplo : (0-M-B- Sea :,4 R e la unción deinida por ( Calcula a y b para que sea derivable en el intervalo ( ln( + a si e. b+ ln si < 4 / e, 4. Solución: a 0 ; b /. Ejemplo 4: Estudia la derivabilidad de: a ( b ( c ( 4. Ejemplo 5: Estudia la derivabilidad de ( + +. Esboza la gráica de. 8. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS. 8.. MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS (EXTREMOS RELATIVOS. tiene un máimo relativo (o local en a si eiste un entorno de a, ( a r, a + r, en el cual: si < a ( < ( a si > a ( < ( a tiene un mínimo relativo (o localen a si eiste un entorno de a, ( a r, a + r, en el cual: si < a ( > ( a si > a ( > ( a Si presenta un máimo o un mínimo relativo en a diremos que presenta un etremo relativo en a. Si alcanza un etremo relativo en a La recta tangente (si eiste, es decir, si es derivable en a a en ese punto es orizontal y tendrá pendiente cero a 0 (. Puntos críticos o singulares: son aquellos en los que ( a 0, es decir, los candidatos a máimos o mínimos relativos. Los puntos críticos se obtienen resolviendo la ecuación ( 0. Propiedad: (Condición necesaria pero NO suiciente para la eistencia de etremos relativos a Si es derivable en a y tiene un etremo relativo en a ( 0 Sin embargo, que ( a 0 NO implica que tenga un etremo relativo en a como podemos observar en la gráica de esta unción (Pero SÍ proporciona los candidatos. Proesor: Ramón Lorente Navarro. 7 Unidad : Derivadas y Aplicaciones

8 IES Padre Poveda (Guadi a.. Propiedad: Si ( 0 entonces: a Si ( a < 0 tiene un máimo relativo en a b Si ( a > 0 tiene un mínimo relativo en a Ejemplo : Estudiar los etremos relativos de la unción ( + Solución: Máimo relativo en con valor ( 4 M (, 4 Mínimo relativo en con valor ( 0 m(, 0 Ejemplo : Estudiar los etremos relativos de la unción ( Solución: Máimo relativo en con valor ( 7 M (,7 Mínimo relativo en 4 con valor ( 4 m( 4, 8.. CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO (MONOTONÍA. es estrictamente creciente en un intervalo abierto ( a,, si para cualquier pareja de números reales c, d ( a, se cumple que si c < d c < d ( (. es estrictamente decreciente en un intervalo abierto ( a,, si para cualquier pareja de números reales c, d ( a, se cumple si c < d c > d que ( (. Observa la gráica adjunta de una unción derivable: Si es estrictamente creciente o estrictamente decreciente en un intervalo abierto ( a,, diremos que es estrictamente monótona en ( a,. Si es estrictamente creciente en un intervalo abierto, las rectas tangentes en los puntos de ese intervalo también lo serán sus pendientes serán positivas > 0 en ese intervalo. Por otro lado, si > 0 en un intervalo abierto en el que es derivable Las pendientes de las rectas tangentes serán positivas Las rectas tangentes serán estrictamente crecientes es estrictamente creciente en ese intervalo abierto. Análogamente, si es estrictamente decreciente en un intervalo abierto, las rectas tangentes en los puntos de ese intervalo también lo serán y por tanto sus pendientes serán negativas < 0 en ese intervalo. Por otro lado, si < 0 en un intervalo abierto en el que es derivable Las pendientes de las rectas tangentes serán negativas Las rectas tangentes serán estrictamente decrecientes es estrictamente decreciente en ese intervalo abierto. Propiedad: Sea una unción derivable en un intervalo abierto ( a,. a Si > 0 en ( a, es estrictamente creciente en ( a,. Si < 0 en ( a, es estrictamente decreciente en ( a,. c Si 0 en ( a, es constante en ( a,. Proesor: Ramón Lorente Navarro. 8 Unidad : Derivadas y Aplicaciones

9 IES Padre Poveda (Guadi Para determinar los intervalos de monotonía de una unción derivable así como sus etremos relativos, tendremos en cuenta el signo de la primera derivada de acuerdo con el siguiente esquema de la recta real. En el caso de que eistan puntos en los que no es continua o no es derivable, también abrá que considerarlos al acer el esquema anterior. Propiedad: Si a es un punto singular de (es decir, ( 0 a > 0 a su izquierda ( est. creciente < 0 a su dereca ( est. decrecient e < 0 a su izquierda ( est. decrecient e > 0 a su dereca ( est. creciente a y tiene un máimo relativo en a tiene un mínimo relativo en a Ejemplo : Estudia la monotonía y los etremos relativos de las siguientes unciones: a ( ( + 4 ln c ( ( c (0-M;Sept-B- Solución: a Estr. creciente en (, 0 (, + ; Estr. decreciente en ( 0, Máimo relativo en 0 con valor ( 0 0 M ( 0,0 Mínimo relativo en con valor ( m(, Estr. creciente en ( (, +,0 Máimo relativo en con valor ( 4 M (, 4 Mínimo relativo en con valor ( 4 m(,4 c Estr. creciente en ( 0, e ; Estr. decreciente en ( e, + Máimo relativo en e e e M e, e, ; Estr. decreciente en ( ( 0, con valor ( ( Ejemplo : Halla a y b para que la unción ( + a + b + en el punto P (, 5. tenga un mínimo relativo Solución: a 0; b. ( + Ejemplo : Determina p y q para que la gráica de ( + p + q pase por (, tenga un mínimo relativo en. p 6; q Solución: ( 9 A y Ejemplo 4: Halla un polinomio mónico de tercer grado sabiendo que alcanza un mínimo relativo en P (, y que la recta de ecuación y + es tangente a la gráica en el punto de abscisa 0. Solución: ( CONVEXIDAD Y CONCAVIDAD (CURVATURA. es convea en un intervalo abierto ( a,, si para cualquier pareja de números reales c, d ( a, se cumple que, la cuerda que une los puntos C ( c, ( c y D ( d, ( d se mantiene por encima de la gráica de la unción. α c + αd α c + α d 0 < α < (( ( ( ( Proesor: Ramón Lorente Navarro. 9 Unidad : Derivadas y Aplicaciones

10 Deinición equivalente. es convea en 0 si en un entorno de 0, ( 0 r, 0 +r, la gráica de la unción se mantiene por encima de la recta tangente a en 0. IES Padre Poveda (Guadi es cóncava en un intervalo abierto ( a,, si para cualquier pareja de números reales c, d ( a, se cumple que, la cuerda que une los puntos C ( c, ( c y D ( d, ( d se mantiene por debajo de la gráica de la unción. α c + αd α c + α d 0 < α < (( ( ( ( Para determinar los intervalos de conveidad y de concavidad de una unción tendremos en cuenta el signo de la segunda derivada de acuerdo con el siguiente esquema de la recta real: es cóncava en 0 en caso contrario. En el caso de que eistan puntos en los que no es continua o no es derivable, también abrá que considerarlos al acer el esquema anterior. Por tanto: Propiedad: Si > 0 en un intervalo abierto ( a, es convea en ( a,. Si < 0 en un intervalo abierto ( a, es cóncava en ( a,. Además, diremos que presenta en a un punto de inleión si en ( ( a a, la unción pasa de ser convea a cóncava o viceversa (la recta tangente atravesará la curva. Propiedad: Si ( a ( a... n... ( a 0 n y ( a 0. Entonces: Si n es par Etremo relativo en a. Si n es impar Punto de inleión en a. Candidatos a puntos de inleión: son aquellos en los que ( 0 puntos de inleión se obtienen resolviendo la ecuación ( 0. Proesor: Ramón Lorente Navarro. 0 a. Es decir, los posibles El cambio de curvatura nos asegurará que, en eecto, estamos en presencia de un punto de inleión siempre que la unción sea, al menos, continua en a. También podemos aplicar la siguiente propiedad: Propiedad: Si ( a 0 y ( a 0 tiene un punto de in leión en a. 4 Ejemplo : Estudia la curvatura y puntos de inleión de ( Solución: Convea en (, (, + ; Cóncava en (, Punto de inleión en con valor ( 5 P (,5 Punto de inleión en con valor ( 4 P (,4 Ejemplo : Estudia la monotonía y curvatura de las siguientes unciones. Esboza sus gráicas. a ( + ( 4 Solución: a Estr. creciente en (, ( 0, + ; Estr. decreciente en (,0 Máimo relativo en con valor ( 4 M (,4 Mínimo relativo en 0 con valor ( 0 0 m( 0,0 Convea en (,+ ; Cóncava en (, Punto de inleión en con valor ( P(, Estr. decreciente en (, ; Estr. creciente en (,+ Mínimo relativo en m, 7 con valor ( ( 6 Unidad : Derivadas y Aplicaciones 6

11 IES Padre Poveda (Guadi Convea en (, 0 (, + ; Cóncava en ( 0, Punto de inleión en 0 con valor ( 0 0 P ( 0,0 Punto de inleión en con valor ( P (, Ejemplo : (004-M-B- Sea :[ 0, ] R la unción deinida por ( e ( + sen cos. a Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de. Halla los etremos relativos (locales y absolutos (globales de. c (008-M5-A- Calcula los puntos de inleión de la gráica de. Solución: a Estr. creciente en ( 0, (, ; Estr. decreciente en (, Máimo relativo en e M, e Mínimo rel. y absoluto en Máimo absoluto en c P (, e ; P ( 5, e. 4 con valor ( ( con valor ( ( e m, e con valor ( e M (, e 4 Ejemplo 4: Calcula a, b y c para que ( + a + b + c corte al eje X en y tenga un punto de inleión en B (,. Solución: a 9; b 4; c 6. ( OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES. En matemáticas y en otras disciplinas cientíicas se trata con recuencia de optimizar una unción (acer máimos o mínimos unos costes, un volumen o área, unos beneicios... Para resolverlos: º Construimos la unción a maimizar o minimizar y se epresa con una sola variable. º Se allan los máimos y/o mínimos de esa unción. Si es continua en un intervalo cerrado [ a, b], abrá que tener en cuenta el valor que toma la unción en a y b. º Se interpretan los resultados recazando los no posibles por la naturaleza del problema. Ejemplo : Hallar dos números positivos cuya suma es 0 sabiendo que su producto es máimo. Solución: 0 ; y 0. Ejemplo : Una empresa quiere abricar cajas de cartón sin tapa con piezas cuadradas dem. de lado recortándoles las cuatro esquinas. Calcular las dimensiones de los cortes para obtener un volumen máimo. Solución: m; V m má. Ejemplo : Hallar las dimensiones del rectángulo de mayor área que se puede inscribir en una circunerencia de 0 cm. de diámetro. Solución: y 5 cm. Un cuadrado. Ejemplo 4: De todos los triángulos isósceles de 0 cm. de perímetro, cuál es el de área máima? Solución: Equilátero de 0 cm de lado. Ejemplo 5: Determina el cilindro de mayor volumen que puede inscribirse en una esera de radio cm. Solución: r 6cm; cm. Ejemplo 6: (006-M;Sept-B- Un alambre de longitud m. se divide en dos trozos, con uno se orma un cuadrado y con otro una circunerencia. Calcule las longitudes de los dos trozos para que la suma de las áreas de ambos recintos sea mínima. Solución: Primer trozo 4 + 4; Segundo trozo + 4 Ejemplo 7: Halla el punto de la parábola 6 7 y más cercano a (,0. A Solución: P(, Ejemplo 8: Un espejo rectangular mide m de alto y 70cm de anco. Se rompe un pico con orma de triángulo rectángulo de catetos 9cm y 6cm. Cómo ay que cortar el espejo para que siga siendo rectangular y tenga área máima? Solución: 96 cm; y 98 cm. Proesor: Ramón Lorente Navarro. Unidad : Derivadas y Aplicaciones

12 IES Padre Poveda (Guadi 9. TEOREMAS SOBRE FUNCIONES DERIVABLES. 9.. TEOREMA DE ROLLE. Sea una unción continua en [ a, b] y derivable en ( a,. Si además ( a ( Eiste c ( a, tal que ( c 0. Interpretación geométrica: Hay al menos un punto ( c ( c orizontal (su pendiente es cero, con c ( a, P, de la gráica de la unción en el que la recta tangente es. Ejemplo : Comprobar que la unción ( sen en el intervalo [ 0, ], y encontrar el valor c ( 0, tal que ( c 0. Solución: c. Ejemplo : Comprobar que la unción ( Rolle en el intervalo [,]. Encontrar el valor (, cumple las ipótesis del Teorema de Rolle cumple las ipótesis del Teorema de c tal que ( c 0. Solución: c 5. Ejemplo : Prueba que la ecuación e, tiene una única solución en el intervalo ( 0,. Ejemplo 4: Prueba que la ecuación, tiene una única solución en el intervalo (,. 9.. TEOREMA DEL VALOR MEDIO DE LAGRANGE (INCREMENTOS FINITOS. Sea una unción continua en [ a, b] y derivable en ( a,. Entonces eiste ( ( ( a c a, b tal que ( c. b a Interpretación geométrica: Hay al menos un punto ( c ( c paralela a la cuerda que une los puntos A ( a, ( a y B b, ( P, de la gráica de la unción en el que la tangente a la curva es (. Ejemplo : Dada la unción : [ 0, ] R deinida por ( + sen, comprueba que cumple las ipótesis del Teorema del valor medio y alle todos los puntos a los que ace reerencia. Solución: c y c. Ejemplo : Se puede aplicar el Teorema del valor medio a la unción ( en [,]? Proesor: Ramón Lorente Navarro. Unidad : Derivadas y Aplicaciones

13 IES Padre Poveda (Guadi Ejemplo : Aplicando el Teorema de Lagrange, demuéstrese que para > 0 se veriica: arctg arctg < + (Castilla y León. Junio 005 Solución: Se considera la unción ( arctg,. continua en Como: < c < c en el intervalo [ ] [, ] y derivable en (, c (, tal que ( ( + < + c TVM arct < arct + c ( c + c < + arct < arct < + Observación: (Fórmula de los Incrementos Finitos a Etremo inerior del intervalo. Si escribimos [ a, b] [ a, a + ], siendo b a + Etremo superior del intervalo (b - a. Longitud del intervalo. Entonces c a + θ con 0 < θ <, y el teorema del valor medio tendrá la orma: ( a ( a + ( a + + θ Fórmula de los incrementos initos Y nos proporciona el valor de la unción en un entorno de a. Ejemplo : Usando la órmula de los incrementos initos obtén una aproimación de 69. Solución: Se considera la unción ( 64, 69. Fíjate: 5. en el intervalo [ ] [ 64, 69] y derivable en ( 64, 69 θ ( 0, tal que continua en FIF θ 8 Además, podemos acotar el error cometido: < < ya que 64 < θ < 8 (raíces eactas más cercanas θ 64 Ejemplo : Usando la órmula de los incrementos initos demuestra que < 66 8 <. 9 8 Solución: Se considera la unción ( 64, 66. Fíjate:. ( 69 ( 64 + ( 64 + θ continua en en el intervalo [ ] [ 64, 66] y derivable en ( 64, 66 θ ( 0, tal que ( 66 ( 64 + ( 64 + θ Además 64 < θ < 8 < 8 FIF 64 + θ < 64 + θ 64 9 < 64 + θ < 64 + θ Sumando 8 en los tres miembros de la desigualdad y teniendo en cuenta : + 8 < 8 + < < 66 < + 8 < 66 8 < θ Proesor: Ramón Lorente Navarro. Unidad : Derivadas y Aplicaciones

14 IES Padre Poveda (Guadi Fíjate: Si además ( a g( a ( c ( b g( b ( c ( c ( c Es decir, en esos dos puntos las tangentes son paralelas ya que tienen la misma pendiente. 9.. TEOREMA DEL VALOR MEDIO GENERALIZADO O DE CAUCHY. Sean y g dos unciones continuas en [ a, b] y derivables en ( a,. Entonces eiste c ( a, tal que b a ( c g b g a ( c Interpretación geométrica: ( ( ( ( ( (. Si g( a g( y ( ( ( a ( c c 0 g( b g( a ( c ( c k ( c con k R. Eisten dos puntos (c, (c y (c, g(c de las curvas ( y g(, tales que la pendiente de la tangente a la curva ( en el primer punto es k veces la pendiente de la tangente a la curva g( en el segundo punto. Ejemplo : Comprueba si se cumplen las condiciones del teorema de Caucy para las unciones ( y g( en el intervalo [ 0, ] y, en caso airmativo, allar el valor del punto intermedio c. Solución: c. Ejemplo : Comprueba si se cumplen las condiciones del teorema de Caucy para las unciones ( sen y g ( cos en el intervalo [ 6, ] y, en caso airmativo, allar el valor del punto intermedio c. Solución: c REGLA DE L HÔPITAL. Si dos unciones y g son derivables en un entorno de a y: Entonces: Si eiste a g a ( ( ( 0 ( ( ( ( Eiste a g g a 4 ( 0 0 y además son iguales: ( a a g 0 ( Observaciones: ª La Regla de L Hôpital puede también aplicarse a indeterminaciones de la orma ± e igualmente cuando + o. ± También es válida en el cálculo de ites laterales. 0 0 ª También es aplicable a indeterminaciones del tipo 0,,,0. 0 Para ello deberemos transormar en cocientes de la orma o bien. 0 Ejemplo: Calcula, aplicando la regla de L Hôpital, los siguientes ites: e e sen e e sen a c d 0 sen 0 0 sen 0 sen tg e g ( ln 0 sen 0 sen sen i tg 5 e ln j + sec + 4 arcsen k 0 tg Soluciones: a ; ; c ; d 0; e 0; -; g 0; 0; i 0; j ; k. α sen Ejemplo :(005-M-A- Se sabe que es inito. Determina el valor de α y calcula 0 el ite. Solución: α y el ite toma el valor 0. Proesor: Ramón Lorente Navarro. 4 Unidad : Derivadas y Aplicaciones

15 IES Padre Poveda (Guadi 0. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES. Para llevar a cabo la representación gráica de una unción estudiaremos los siguientes puntos:. Dominio de la unción.. Puntos de corte con los ejes. (Esto nos permitirá, además, conocer el signo de la unción.. Simetrías. 4. Periodicidad. 5. Continuidad, discontinuidades y asíntotas. 6. Monotonía. Etremos relativos. 7. Curvatura. Puntos de inleión. 8. Si es necesario, cálculo de otros puntos de la gráica construyendo una tabla de valores. Ejemplos: Representa gráicamente las siguientes unciones: 4 a ( ( 6 c ( 0 d Soluciones: a c ( e e ( ln ( sen + d e Proesor: Ramón Lorente Navarro. 5 Unidad : Derivadas y Aplicaciones

16 IES Padre Poveda (Guadi Ejercicio: Representa gráicamente las siguientes unciones: a ( ( + ( ln ( 9 Soluciones: a c c d ( 4 e e ( cos( d e Proesor: Ramón Lorente Navarro. 6 Unidad : Derivadas y Aplicaciones