Unidad I. Sistemas de Medición de ángulos. Mtra. Claudia García Pérez

Tamaño: px

Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Unidad I. Sistemas de Medición de ángulos. Mtra. Claudia García Pérez"

Juana Revuelta Miranda
hace 6 años
Vistas:

1 Unidad I Sistemas de Medición de ángulos Mtra. Claudia García Pérez 1

2 PRESENTACIÓN Los ángulos desde hace muchos años se han utilizado para resolver una gran cantidad de problemas del área de la astronomía, de ingeniería e incluso de la vida cotidiana, por ejemplo para construir una escalera, una calle, un mueble, ruedas o llantas, etc. Los ángulos se pueden medir en grados o radianes y parten del centro de un círculo. En el presente material se indican los sistemas de medición que se pueden utilizar para calcular los ángulos así como las conversiones entre ellos. 2

3 Conceptos. Sistemas de Medición En la siguiente tabla se indican los sistemas con los que se pueden medir los ángulos y algunos ejemplos: Sistema Descripción/Medida Ejemplo Sexagesimal La circunferencia se considera Si un ángulo ABC mide dividida en 360 partes iguales y un minutos 12 ángulo de un grado es el que tiene el vértice en el centro y sus lados pasan segundos, se escribe: por dos divisiones consecutivas. Cada división de la circunferencia se llama también grado. Cada grado se considera dividido en 60 partes iguales llamadas minutos y cada minuto en 60 partes iguales llamadas segundos. Los símbolos para estas unidades son: Grado Minuto Segundo Medida: Grado Centesimal Se considera también a veces a la Si un ángulo ABC mide circunferencia dividida en grados 50 minutos partes iguales, llamadas grados 18 segundos centesimales. Cada grado tiene 100 centesimales, se 3

4 Circular minutos centesimales y cada minuto tiene 100 segundos centesimales. Medida: Grado centesimal Un radián es el ángulo cuyos lados comprenden un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia. Así, si la longitud del arco AB es igual a r, entonces AOB = 1 radián. escribe: 72 g 50 m 18 s 360 = 6.28 radianes = 1 radián Como la longitud de una circunferencia es 2 radios, resulta que un ángulo de 360 equivale a 2 radianes, es decir: 6.28 radianes, dándole a el valor de Un radián equivale a (se obtiene dividiendo 360 entre 2 ). Medida: Radián 4

5 Relación entre grado sexagesimal y el radián Si se representa por S la medida de un ángulo en grados sexagesimales y por R la medida del mismo ángulo en radianes, se puede establecer la siguiente proporción: Simplificando queda: Donde Ejemplo1: Convertir en radianes un ángulo de 90. Por lo tanto, R = Ejemplo 2: Convertir en grados sexagesimales un ángulo de 6.28 radianes. Por lo tanto, S = 5

Tipos de ángulos A continuación se mencionan los tipos de ángulos: Nombre Descripción Ángulos adyacentes Son los que están formados de manera que un lado es común y los otros dos lados

Ángulo llano Es aquel en el cual un lado es la prolongación del otro. Mide 180. Ángulos complementarios MON = 1 llano = 180. Son dos ángulos que sumados valen un ángulo recto, es decir, 90.

6 Tipos de ángulos A continuación se mencionan los tipos de ángulos: Nombre Descripción Ángulos adyacentes Son los que están formados de manera que un lado es común y los otros dos lados pertenecen a la misma recta. Ejemplo: y, están sobre la misma recta ; es común. Por lo tanto, AOC y BOC son ángulos adyacentes. Ángulo recto Es el que mide 90. AOB = 1 recto = 90. Ángulo llano Es aquel en el cual un lado es la prolongación del otro. Mide 180. Ángulos complementarios MON = 1 llano = 180. Son dos ángulos que sumados valen un ángulo recto, es decir, 90. Ejemplo: Si AOB = 60, BOC = 30. Sumando AOB + BOC = 90 y los ángulos AOB y BOC son complementarios. Complemento de un ángulo Se llama complemento de un ángulo a lo que le falta a éste para valer un 6

7 ángulo recto. El complemento del AOB es 30 y el complemento del BOC es 60. Ángulos suplementarios Suplemento de un ángulo Son los ángulos que sumados valen dos ángulos rectos, o sea, 180. Ejemplo: si MON = 120, NOP = 60. Sumando MON + NOP = 180 y los ángulos MON y NOP son suplementarios. Dos ángulos adyacentes son suplementarios. Es lo que le falta al ángulo para valer dos ángulos rectos. El suplemento del MON es 60 y el suplemento del NOP es 120. Ángulos opuestos por el vértice Ángulos consecutivos Son dos ángulos tales que los lados de uno de ellos, son las prolongaciones de los lados del otro. AOC y BOD; AOD y BOC. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales. Dos ángulos se llaman consecutivos si tienen un lado común que separe a los otros dos. Varios ángulos son consecutivos si el 7

Los ángulos AOB, BOC, COD, DOE, EOF y FOA son consecutivos.

8 primero es consecutivo del segundo, éste del tercero y así sucesivamente. Ejemplo: los ángulos COD y DOE son consecutivos. Los ángulos AOB, BOC, COD, DOE, EOF y FOA son consecutivos. Los ángulos consecutivos formados a un lado de una recta, suman 180. La suma de los ángulos consecutivos alrededor de un punto, vale cuatro ángulos rectos. Ejemplos resueltos 1. Trazar los ángulos de 90, 45 y 405 8

9 2. Convertir en radianes los siguientes ángulos: a) 60 b) 35 Por lo tanto, R = Por lo tanto, R = c) 405 Por lo tanto, R = 3. Expresar en grados los siguientes ángulos: a) Por lo tanto, S = 9

10 b) Por lo tanto, S = c) 1.2 radianes Por lo tanto, S = 4. Hallar los complementos de los siguientes ángulos: a) 18 Complemento = = 72 b) Complemento = = = 8 c) Complemento = = = = 45 10

5. Si un ángulo mide 32 y el otro x, x cuánto debe medir para que los dos ángulos sean complementarios? x = 90-32 = 58 6. Si en la siguiente figura, el ángulo BOC = 35 y AOC = 145.

11 5. Si un ángulo mide 32 y el otro x, x cuánto debe medir para que los dos ángulos sean complementarios? x = = Si en la siguiente figura, el ángulo BOC = 35 y AOC = 145. Cuánto deben medir los ángulos BOD y AOD? Exprese también los resultados en radianes. Como los ángulos BOC y AOD son ángulos opuestos por el vértice, son iguales. También los ángulos AOC y BOD son opuestos por el vértice, por lo que son iguales. Por lo tanto, se tiene que BOC = AOD = 35 y AOC = BOD = 145, entonces, la suma de los ángulos consecutivos alrededor de un punto debe valer cuatro ángulos rectos, estos es 360. La suma de los ángulos BOC + AOD + AOC + BOD = =

12 Se tienen que 35 y 145 equivalen en radianes a y, respectivamente. RESUMEN Existen 3 sistemas de medición que permiten indicar la medida de los ángulos en radianes (sistema circular), grados (sexagesimal) y en grados centesimales (sistema centesimal). Entre estos sistemas se pueden hacer conversiones para representar los valores de los ángulos en el que mejor se adapte a las necesidades. Existen diferentes tipos de ángulos, que permiten obtener el valor de uno o varios ángulos a partir de uno ya conocido. Se tienen: adyacentes, recto, llano, complementarios, suplementarios, opuestos por el vértice y los consecutivos. 12

13 REFERENCIAS Baldor, J.A. Geometría Plana y del Espacio con una Introducción a la Trigonometría. Publicaciones Cultural, S. A. México, Silvia, J.M & Lazo, Adriana. Fundamentos de Matemáticas. Editorial LIMUSA, S. A de C.V. México,

Documentos relacionados

Angulo Obtuso: Es el que mide más de 90 y menos de 180

Angulo Obtuso: Es el que mide más de 90 y menos de 180 AREA: MATEMATICA AIGNATURA: GEOMETRIA PERIODO: I DOCENTE: ANDRA MILENA ZANGUÑA RUIZ ETANDARE: Conjeturo y verifico propiedades de congruencias y semejanzas entre figuras bidimensionales y entre objetos