SISTEMA DE COORDENADAS EN EL PLANO
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- Vanesa Naranjo Sevilla
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1 Mtemáti Diseño Inustril Coorens en el lno Ing. Avil Ing. Moll SISTEMA DE CRDENADAS EN EL LAN SISTEMA UNIDIMENSINAL Es sio que es posile soir los números reles on los puntos e un ret reípromente. Es lo que llmmos representr números reles en l ret numéri A 1 p De mner que número rel le orrespone uno solo un punto e l ret reípromente. Se elige sore l ret un punto ritrrio o, llmo origen, l que se le soi el vlor ero. Se sign un ireión l ret tomno l ireión positiv hi l ereh, negtiv hi l izquier. Se elige un punto A l que se le sign el vlor 1 que eterminrá l uni e mei A. Al número p soio l punto se le llm ooren e. SISTEMA DE CRDENADAS CARTESIANAS RTGNALES Bsánose en l representión e los números reles, René Desrtes ieó un sistem e os rets perpeniulres uo origen se enuentr en el punto e interseión e ls misms. Este sistem se llm sistem rtesino ortogonl. Dihs rets se llmn ejes oorenos. Hitulmente l eje horizontl se lo llm eje, l eje vertil eje. Sore uno e ellos se elige, prtir el origen, un uni, que puee o no ser l mism pr e. Ls proeiones e un punto ulquier el plno sore uno e los ejes ; reie el nomre e oorens e. L proeión sore el eje será un número rel llmo sis l proeión sore el eje será un número rel llmo oren. Que sí estlei un orresponeni uno uno entre los puntos el plno los pres orenos e números reles. 1
2 Mtemáti Diseño Inustril Coorens en el lno Ing. Avil Ing. Moll CRDENADAS LARES EN EL LAN L posiión e un punto en el plno puee quer etermin no solo por ls oorens rtesins, sino tmién por el llmo sistem e oorens polres. Éste se emple on freueni es útil pr l euión e ls euiones e ierts urvs que resultn senills referis un sistem polr. por ejemplo AutoC trj sí. Se elige en el plno un punto o, llmo polo un semirret llm eje polr, on origen el punto o. Eje polr L posiión e un punto el plno se etermin por os números: φ. El primero ini l istni e l polo el seguno el ángulo formo por el segmento on el eje polr. Como sentio positivo el ángulo se onsier el ontrrio ls gujs el reloj. Los números se enominn oorens polres el punto ; en el polo 0 puee tener ulquier vlor. El rio vetor se onsier siempre positivo. Si el ángulo vrí entre 0 < < π punto el plno, istinto el polo, le orrespone un pr ien etermino e números. Si puee tomr ulquier vlor, punto el plno l orresponen infinitos pres e l form, + kπ on k perteneiente Z números enteros. / I I / RELACIÓN ENTRE SISTEMA DE CRDENADAS CARTESIANAS LARES Si en el plno se onsiern os sistems e oorens oeistentes uno polr otro rtesino ortogonl, e moo que el eje polr se el semieje positivo e siss, esto permitirá estleer l relión entre ls oorens e mos sistems. Se un punto ulquier el plno e oorens rtesins ortogonles, e oorens polres,.
3 Mtemáti Diseño Inustril Coorens en el lno Ing. Avil Ing. Moll De l figur se eue: os. os sen. sen que permite, onois ls oorens polres, enontrr ls rtesins. Reípromente, s ls oorens rtesins se pueen hllr ls oorens polres meinte: tg r.tg DISTANCIA ENTRE DS UNTS º R 90º Semos que por un punto eterior un ret R psn infinits rets que l ortn un sol prlel. De ls rets que l ortn eiste un sol perpeniulr R. Ls emás son olius. Se llm istni e un punto un ret, l segmento e perpeniulr omprenio entre el punto l ret. En generl, se llm istni entre os puntos, l segmento más orto que los un. en el so e punto ret será l perpeniulr. º 90º Si nlizmos l figur veremos que ulquier ret oliu será l hipotenus e un triángulo retángulo, que siempre es mor que ulquier teto el triángulo, por ene, el mino más orto posile entre l ret es su perpeniulr.
4 Mtemáti Diseño Inustril Coorens en el lno Ing. Avil Ing. Moll En generl, pr hllr l istni entre os puntos B, A, utilizremos el teorem e itágors: A, B + UNT MEDI DE UN SEGMENT Culquier punto e l meitriz e un segmento equiist e los etremos el segmento, por lo tnto one l meitriz ort l segmento tenremos su punto meio. m 1 B m º A 1 m Supongmos os puntos B, A 1, 1 el punto meio entre ellos m. Ls oorens el punto meio m resultrán ser el promeio e ls oorens en e, es eir: + 1 m + 1 m EJERCICIS CRDENADAS CARTESIANAS 1 En un sistem e oorens rtesins, hllr l istni entre los puntos siguientes: m ; n 5 ; n n - m m n - m 5 Vemos que se form un triángulo retángulo en el ul l istni entre m n es l hipotenus, entones: m, n n m + n m
5 Mtemáti Diseño Inustril Coorens en el lno Ing. Avil Ing. Moll p ; - q 5 ; q q - p 5 - p q - p q, p q p + q p k - ; - h ; h k, h h k + h k - k - h- k h- k Hllr l longitu e l igonl el retángulo e vérties: -1-1 ; ; ; -1 ; igonl ist
6 Mtemáti Diseño Inustril Coorens en el lno Ing. Avil Ing. Moll Clulr el perímetro el triángulo e vérties: ; 5 ; 5 5 ; r lulr el perímetro, eemos primero onoer l longitu e los los,, ,1 perímetro + +,7 + +,1 11,59 Clulr l superfiie el írulo e entro: o ; un punto p ; perteneiente l írulo.,7 o r p Rio r + p o p o r + r Superfiie π. r,116. 6,8 5 Verifir si el triángulo e vérties: ; ; 1 6 ; es isóseles, esleno o equilátero. r ello eo lulr,, 1 6 6
7 Mtemáti Diseño Inustril Coorens en el lno Ing. Avil Ing. Moll Vemos que los tres los tienen istints longitues, por lo tnto el triángulo es esleno. AS DE CRDENADAS CARTESIANAS A LARES VICEVERSA os.os sen. sen 6 Ds ls oorens polres el punto hllr ls oorens rtesins. ; 5 ; 5º. os 5. os 5º,5. sen 5. sen 5º,5 5 5º Q ; 10 ; 15º. os 10. os 15º -7,07. sen 10. sen 15º 7,07 Q 10 15º - 7
8 Mtemáti Diseño Inustril Coorens en el lno Ing. Avil Ing. Moll 7 Ds ls oorens rtesins e los siguientes puntos, lulr ls oorens polres. A 7 ; 5 B ; - C - ; - 5 r. tg r. tg 5º 15" os 8,60 os os 5º 15" 7 A 8,60 ; 5º 15 1 r. tg r. tg º1 " 60º - º 1 6º 18 6 os os 6º18 6" B,60 ; 6º 18 6, r. tg r. tg º1 " 180º º + º 1 1º 1,60 os 0,81 C,60 ; 1º Do un triángulo us oorens rtesins e los vérties son: 8
9 Mtemáti Diseño Inustril Coorens en el lno Ing. Avil Ing. Moll 1 ; ; ; hllr ls oorens polres e los vérties. 1 r. tg r. tg 6º6 6" 1 1, os os 6º6 6", ; 6º 6 6 r. tg r. tg 6º 5",7 os os 6º 5",7 ; 6º 5 r. tg r. tg 5º7 8" os os 5º7 8" 5 5 ; 5º 7 8 9
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m 2 9 8 La fórmula cuadrática que se usó para construir el ejemplo anterior es un caso particular
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