Viscosímetros. Explicaciones complementarias/ Versión 0.0/ MODULO 2/ CÁTEDRA DE FÍSICA/ FFYB/ UBA/

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1 Viscosímetros, explicaciones complementarias 0.0/ M/ FISICA Viscosímetros Explicaciones complementarias/ Versión 0.0/ MODULO / CÁTEDRA DE FÍSICA/ FFYB/ UBA/ Cátedra de Física-FFYB-UBA []

2 Viscosímetros, explicaciones complementarias 0.0/ M/ FISICA VISCOSIMETRO CAPILAR - EXPLICACIONES COMPLEMENTARIAS A. Para poder comprender mejor las aproximaciones y consideraciones hechas cuando explicamos el fundamento del VISCOSIMETRO DE OSTWALD, haremos una analogía con los sistemas ya estudiados: Analicemos un sistema como el presente en la Figura. Este sistema esta compuesto por un tanque unido a un tubo lateral de radio r muy pequeño y de longitud l (l y r son similares a los del capilar del viscosímetro): Manómetro H Manómetro h=0 Figura Tubo lateral (l) La altura (H) de líquido en el tanque equivaldría en el viscosímetro al P impulsor (diferencia de altura entre sus ramas), y el tubo lateral de salida del fluido seria, en el viscosímetro, el capilar por el cual fluye el líquido. En este sistema, la perdida de energía por fricción (P fricción) a lo largo del tubo de salida (la cual tiene su equivalencia a lo largo del capilar del viscosímetro) se evidenciará como una diferencia de altura de líquido entre los manómetros. Si describimos el sistema en términos energéticos considerando el fluido real, veremos que el Teorema de Bernoulli no es suficiente, ya que este solo da cuenta de energías que se conservan. En este caso, la energía no se conserva y por lo tanto podemos describir al sistema de la siguiente manera: P h g v P h g v Ecuación Siendo: P y P las presiones en los puntos y respectivamente P = P atm + H δg y P = P atm h δ g y h δ g la energía potencial gravitatoria por unidad de volumen en los puntos y, ½ δ v y ½ δ v la energía cinética por unidad de volumen para los puntos y Si tenemos en cuenta el gasto de energía por rozamiento, la Ec. puede expresarse como: Cátedra de Física-FFYB-UBA []

3 Viscosímetros, explicaciones complementarias 0.0/ M/ FISICA P h Froz g v P h g v Ecuación vol w Donde el termino WFroz /vol representa el trabajo empleado para vencer a la fuerza de rozamiento por unidad de volumen. Como los puntos y están al mismo nivel, si tomamos como nivel de referencia la superficie donde se apoya el sistema que estamos analizando (h = 0), los términos de energía gravitatoria pueden anularse. h h 0 Ecuación 3 Analizando los valores de presión, vemos que la presión no es la misma en ambos puntos. En el punto, la presión es igual a la presión atmosférica más la presión hidrostática debido a la columna de líquido sobre dicho punto; y en el punto, la presión es simplemente la presión atmosférica. En cuanto a la velocidad en el punto se puede decir que es mucho menor que en el punto (v>>> v), considerando que el radio del tanque es muchísimo más grande que el radio del tubo, aplicando la ecuación de continuidad. Es decir, podemos considerar que la velocidad en es cero, aproximación que nos permite simplificar las ecuaciones del sistema en estudio: v 0 v 0 Ecuación 4 Sabiendo que el trabajo de la fuerza de rozamiento por unidad de volumen está definido por la ley de Poiseuille: wfroz V 8 l Q Ecuación 5 4 r Y que Q vs v r Ecuación 6 Reemplazando en la Ec. : P wfroz vol 8 l v r 4 r P 8 l v Ecuación 7 H g v atm atm Ecuación 8 r Simplificando la Presión atmosférica a ambos lados de la igualdad: H g 8 l v v Ecuación 9 r El primer miembro de la Ec. 9 representa la energía disponible del sistema, expresada por unidad de volumen. Cátedra de Física-FFYB-UBA [3]

4 Viscosímetros, explicaciones complementarias 0.0/ M/ FISICA En este caso se trata íntegramente de energía acumulada como presión. En el segundo miembro aparecen dos términos: el primero representa la energía cinética por unidad de volumen, y el segundo representa el trabajo de la fuerza de rozamiento por unidad de volumen (como se definió anteriormente). Esto significa que la energía del sistema se va a transformar parte en energía cinética, y parte se va a invertir en vencer al rozamiento. Conociendo las características del fluido como la densidad y el coeficiente de viscosidad, la altura del líquido dentro del recipiente, y la geometría de la cañería (l y r), podemos a partir de la Ec. 9 calcular la velocidad en el punto : v 8 l 8 l H g r r Ecuación 0 Analizando la Ec. 0, se puede ver que para una altura de líquido en el tanque (H) determinada, con un fluido de coeficiente de viscosidad (η) y densidad (δ) constantes, la velocidad de salida disminuye al aumentar el largo del tubo lateral de descarga o al reducir su radio. Es decir que, cuanto más largo es el recorrido que el fluido debe hacer y cuanto más estrecha es la sección del tubo por el cual fluye, el fluido en el punto de salida tiene menor energía cinética. Esto equivale a decir que se invierte más energía en vencer al rozamiento, y queda menos para transformarse en energía cinética. Podemos hacer una simulación para comprobar lo antes afirmado respecto a la distribución de energía, variando el radio del tubo de descarga y manteniendo todos los otros parámetros constantes: Coeficiente de viscosidad 0,00 poise Densidad,000 g/cm 3 Altura del líquido 0,0 cm Largo del tubo de descarga 5,0 cm g 980 cm/s Tabla Cátedra de Física-FFYB-UBA [4]

5 Viscosímetros, explicaciones complementarias 0.0/ M/ FISICA Radio (cm) E total inicial/v Ecin/V WFroz/V %Ecin/V % WFroz/V V salida (cm/s) Nº de Reynolds 0, ,6 800,4 7,44 8,576 8,3 3076,3 0, ,9 393, 67,47 3,583 4,95 758,8 0, ,4 366,6 6,67 37,373 0,79 437,4 0, ,9 44, 56,897 43,03 05,60,0 0, ,6 489,4 50,077 49,93 99,07 783,3 0, ,9 5676, 4,08 57,99 90,8 453, 0, ,4 6565,6 33,004 66,996 80,43 6,0 0, ,4 753,6 3,33 76,669 67,6 8,5 0, ,5 846,5 4,8 85,88 5,60 56,0 0, ,8 8806, 0,40 89,860 44,58 40, 0, ,3 93,7 6,809 93,9 36,53 9, 0, , 9386,8 4,6 95,784 8,75 0, 0, ,7 9568,3,365 97,635,53 9, 0, ,5 9685,5,68 98,83 5,3 75,7 0, ,6 975,4 0,485 99,55 9,75 39,0 0, , 9784,9 0,55 99,845 5,50 6,5 0, ,0 9797,0 0,03 99,969,45 4,9 0, , 9799,8 0,00 99,998 0,6 0,6 Tabla Veamos ahora el gráfico de porcentaje de trabajo invertido en vencer la fuerza de rozamiento en función del radio del tubo de descarga: Figura Cátedra de Física-FFYB-UBA [5]

6 Viscosímetros, explicaciones complementarias 0.0/ M/ FISICA Si graficamos ahora el porcentaje de energía cinética en función del radio del capilar: Figura 3 Recordar que la energía cinética en un sistema dado no varía a lo largo de todo el tubo de descarga, pues el radio permanece constante desde la entrada a la salida. Cada punto del gráfico representa un sistema diferente. Se observa en los valores de la tabla que a medida que se achica el radio, menor es la energía cinética del fluido y mayor el gasto de energía por fricción. También podemos comprobar que Nº Reynolds disminuye y que el régimen de flujo laminar recién se obtiene cuando el radio es menor a 0, cm (R menor a 000). Podemos notar que en esta simulación, para radios menores a 0,05 cm, casi el 00% de la energía impulsora se invierte para vencer el rozamiento, quedando casi nada como energía cinética. En el viscosímetro de Ostwald la situación es similar a la analogía planteada para radio de tubo de descarga muy pequeños. Por lo tanto se puede considerar, como se mencionó al principio y sin introducir mucho error, que la energía cinética es despreciable, y que todo el P impulsor se invierte en P de fricción. Cátedra de Física-FFYB-UBA [6]

7 Viscosímetros, explicaciones complementarias 0.0/ M/ FISICA VISCOSIMETRO DE CAIDA DE BOLAS - EXPLICACIONES COMPLEMENTARIAS B. Cuando se determina la viscosidad con el Método de caída de bola o METODO DE STOKES, para que la medición sea válida es importante que la velocidad de caída de la esfera en el seno del líquido sea constante durante el tiempo en que se está llevando a cabo la determinación. Es por esto que los enrases del tubo de Stokes están ubicados de manera tal que cuando la esfera pase el primer enrase ya haya alcanzado su velocidad límite. Pero: cómo sabemos si la esfera alcanzó velocidad constante? La ecuación del movimiento de la esfera es: dv F m a m F k v Ecuación dt Donde, como F es la diferencia entre el peso y el empuje F m g E, k 6 r y dv/dt es la variación de la aceleración de la esfera en el tiempo. Si integramos la ecuación del movimiento para obtener la velocidad de la esfera en función del tiempo: Obtenemos v t v dv F k v m m t 0 0 dt Ecuación ( k t / m) vlim e Ecuación 3 F P E vlim Ecuación 4 k k Esta ecuación describe como varía la velocidad de la esfera en el líquido en función del tiempo. Podemos ver que luego de un cierto tiempo se alcanza la velocidad límite. A partir de ese punto es valido el análisis matemático para calcular la viscosidad adecuadamente. Pongamos como ejemplo una situación muy similar a la del trabajo práctico: Cátedra de Física-FFYB-UBA [7]

8 Velocidad (cm / s ) Viscosímetros, explicaciones complementarias 0.0/ M/ FISICA Tiempo (s) v (cm/s) 0,000 0,000 0,005 3,5 0,00 5,786 0,05 7,4 0,00 8,78 0,05 8,780 0,030 9,67 0,035 9,46 0,040 9,576 0,045 9,679 0,050 9,745 0,055 9,787 0,060 9,85 0,065 9,83 0,070 9,844 0,075 9,85 0,080 9,856 0,085 9,859 0,090 9,860 0,095 9,86 0,00 9, g 980 cm/s Densidad de la esfera,35 g/cm 3 Densidad de la glicerina,6 g/cm 3 Viscosidad de la glicerina Radio de la esfera Tabla 3 3,93 g/cm.s 0,5 cm Velocidad de la esfera en funcion del tiempo 0 0,0 0,04 0,06 0,08 0, 0, Tiempo (s) Figura 4: Se puede observar que el gráfico tiende a un máximo, y es asintótico al valor de la velocidad límite. También vemos que alcanza dicho máximo (velocidad constante) en un tiempo muy corto ( menos de una décima de segundo!), lo que da idea de un recorrido reducido, y que nos asegura que en las condiciones del TP, la velocidad es constante durante la medición experimental del tiempo. Tabla 4 Cátedra de Física-FFYB-UBA [8]

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