Se utilizan tres enunciados para básicos para definir los procesos de Poisson. Sea t un t 0, entonces se tiene:

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1 9 TEORÍA DE TRÁFIO La teoría de tráfico es ua herramieta ampliamete utilizada para el aálisis del comportamieto de las redes de comuicacioes, las cuales puede ser de comutació de circuitos, como las redes telefóicas, o de comutació de paquetes como las redes de datos I. E este capítulo el efoque irá orietado pricipalmete a las primeras, ya que so la base e dode se susteta el sistema telefóico fijo. La comutació de circuitos cosiste el establecimieto de u caal dedicado físico (real), de extremo a extremo, etre los cuales existe elemetos de comutació, que e el caso de la red telefóica se trata de cetrales públicas (O etral Office) o BX (rivate Brach exchage), para el caso de empresas. Los elaces puede cosistir e rauras de tiempo e u sistema de multiplexació temporal (TDM) o badas de frecuecia para el caso de multiplexació e frecuecia (FDM). omo se verá más adelate co mayor detalle, las redes telefóicas puede operar e base a bloqueo de llamadas o a la utilizació de colas de espera, siedo la más utilizada la primera e las redes públicas debido a su equidad y eficacia. El modelamieto para este tipo de comportamieto se realiza co teorías de cola, utilizado distitas otacioes depediedo de los supuestos y modelos a aplicar para cada proceso. La otació de Kedall para u sistema geeral de formació de colas es de la forma: A / B / : A represeta la distribució de llegada de requerimietos e u comutador B repeseta la distribució de servicio e u elemeto comutador es el úmero de trocales de salida para el caso de ua cetral telefóica A cotiuació se hará ua breve descripció de los procesos de oisso para luego deducir formulas que servirá para medir el grado de servicio de los sistemas ates descritos. 9. rocesos de oisso Se utiliza tres euciados para básicos para defiir los procesos de oisso. Sea t u t 0, etoces se tiee: itervalo de tiempo pequeño ( ). La probabilidad de ua llegada e el itervalo t se defie como λ t + O( t), λ t <<, siedo λ ua costate de proporcioalidad especificada. 2. La probabilidad de cero llegadas e t es - λ t + O( t). 3. Las llegadas so procesos si memoria: cada llegada (eveto) e u itervalo de tiempo es idepediete de evetos e itervalos previos o futuros. 87

2 El termio O( t) deota los elemetos ( t) co igual o superior a 2. De acuerdo co y 2, o es posible más de ua llegada u ocurrecia de u eveto e el itervalo t, al meos a O( t). Sea u itervalo fiito T, etoces la probabilidad p() de llegadas e T está dada por: ( λt ) λt e p( )! 0,, 2,3,... A (9.) se le cooce como la distribució de oisso, e la cual se cumple: (9.) E( ) 0 2 p( ) σ λt (9.2) Ahora cosiderado u itervalo de tiempo mayor, se tedrá ua serie de evetos de oisso, los cuales estará separados e itervalos. Sea τ el tiempo etre llegadas sucesivas, siedo esta ua variable aleatoria. E la estadística de oisso, τ es ua variable aleatoria co distribució expoecial, es decir su fució desidad de probabilidad f τ (τ ) está dada por λτ τ ( τ λe (9.3) f ) A cotiuació se describe los sistemas utilizados e teoría de tráfico, secció que se basa pricipalmete e el texto Wireless ommuicatios de Theodore S. Rappaport, y específicamete e el apédice A que trata de Teoría de etrocamieto. Existe dos clases pricipales de sistemas de etrocamieto: Borrado de llamada pérdida (Lost all leared o L), si cola de espera. Retraso de llamada pérdida (Lost all Delayed o LD), co cola de espera. E el primer sistema cuado u usuario requiere servicio, existe u tiempo míimo de cofiguració, después del cual se le es otorgado el acceso a u caal si este esta dispoible. E la evetualidad de o existir caal dispoible, la llamada es iterrumpida si acceso al sistema, teiedo el usuario la oportuidad de volver a itetar después de u tiempo. Se asume que las llamadas llega co ua distribució de oisso, y además que existe u úmero casi ifiito de usuarios. La formula de Erlag B describe el grado de servicio (GOS) como la probabilidad que u usuario arbitrario experimete u bloqueo de llamada e u sistema L. Se asume que todas las llamadas bloqueadas so retoradas istatáeamete a u recipiete de usuarios ifiito, y que cada usuario puede volver a llamar e cualquier mometo. El tiempo etre llamadas sucesivas para u usuario bloqueado es u proceso aleatorio y es asumido co distribució de oisso. E el sistema LD, se utiliza colas para mateer e espera las llamadas iicialmete bloqueadas. Si u usuario llama y los caales se ecuetra ocupados, su requerimieto es retrasado hasta que u caal se desocupe. Etoces, dado que u caal o esta dispoible iicialmete, es ecesario coocer la probabilidad de que ua llamada sea 88

3 retrasada, hasta que u caal este dispoible para su uso. La probabilidad de que u caal o este imediatamete dispoible e u sistema LD esta determiada por la fórmula Erlag. E LD el GOS es medido por la probabilidad que la llamada sea retrasada e u tiempo mayor que t segudos. Se asume que existe u úmero ifiito de usuarios, y que todas las llamadas e la cola so evetualmete servidas. A cotiuació se describirá las formulas de Erlag B e L y Erlag e LD, los cuales se basa e modelos de cola M/M/, que implica proceso de llegada de oisso, estadísticas de servicio co distribució expoecial y trocales de salida (la M viee de procesos de Marov). 9.2 Erlag B La formula de Erlag B determia la probabilidad que ua llamada sea bloqueada, para sistemas que o utiliza colas de espera (L). Está basada e los siguietes supuestos: Todos los usuarios, icluso los bloqueados, puede pedir u caal e cualquier mometo (si memoria). Todos los caales libres está dispoibles para etregar servicio hasta que todos sea ocupados. La probabilidad de utilizació de u caal (tiempo de servicio) está expoecialmete distribuido. Es decir, las llamadas largas tiee meos probabilidad de ocurrecia. Hay u úmero fiito de caales dispoibles. La petició de tráfico esta descrita por ua distribució de oisso, lo cual implica u arribo de llamadas e itervalos de tiempo expoeciales. Los itervalos de llegada de peticioes de llamada so idepedietes uas de otras. El úmero de caales ocupados es igual al úmero de usuarios ocupados. Sea u sistema co: caales U usuarios λ úmero medio de llegada de llamadas por uidad de tiempo (tasa de llegada) H duració promedio de ua llamada A tráfico total ofrecido por el sistema A U tráfico promedio ofrecido para cada usuario λ tasa promedio de llegada de llamada de u usuario etoces A U λ H A UA U λh. Esta situació se muestra e la Figura 9.. La probabilidad que ua petició de caal de u usuario sea bloqueada esta dada por: [ Bloqueo] r[ Niguo delos caalesestelibre] r (9.4) 89

4 Figura 9.: Modelo geérico de cetral de comutació omo las llamadas llega de acuerdo a ua distribució de oisso se tiee λτ e r{ a( t + τ ) a( t) } ( λτ ) para 0,,2,... (9.5)! Dode a(t) es el úmero de llegadas o evetos que ha ocurrido desde t0, y τ es el itervalo de tiempo etre dos evetos sucesivos. omo se vio co aterioridad el tiempo de llegada etre evetos es expoecial del tipo descrito e (9.3). Etoces la probabilidad que el tiempo de llegada sea meor que u tiempo s esta dada por: λs r( τ s) e (9.6) El tiempo de servicio es la duració de ua llamada particular que ha sido atedida exitosamete e el sistema. El tiempo de servicio se asume expoecial co duració de llamada promedio H, co lo que µ / H es la tasa de servicio media (úmero de llamadas por uidad de tiempo). La probabilidad que el tiempo de servicio del -ésimo usuario sea meor que algú tiempo de duració s esta dada por: s { S < s} e s 0 r > Dode la fució desidad d probabilidad de tiempo de servicio es p µ (9.7) s ( S ) µ e µ (9.8) y S es el tiempo de servicio del -ésimo usuario. ara derivar la formula para Erlag B es ecesario utilizar propiedades de las cadeas de Marov. osideremos u proceso estocástico de tiempo discreto que toma valores desde u cojuto de eteros o egativos, tal que los posibles estados del proceso so i 0,, 2,...-,. E otras palabras, cada estado de la cadea de Marov correspode al úmero de trocales de salidas siedo utilizados. El proceso es ua cadea de Marov si la trasició desde el estado presete i al estado próximo i+ depede solo del estado i y o de estados previos. La operació de sistemas de etrocamieto es de 90

5 tiempo cotiuo, pero puede ser aalizado e pequeños itervalos δ ( δ 0), dode δ >0. Si N es el úmero de llamadas (caales ocupados) e el istate δ, etoces N puede ser represetado como La probabilidad de trasició está dada por N N( δ ) (9.9) { N j N i} i, j r + (9.0) Usado el euciado básico úmero 2 de procesos de oisso y permitiedo que δ 0, se tiee λδ + O( ) (9.) 00 δ ii λδ µδ + O( δ ) i (9.2) i, i λδ + O( δ ) 0 (9.3) i, i + i i µ δ + O 0 ( δ ) i (9.4) i, O( δ ) j i, j i +, j i (9.5) j Estas relacioes queda mejor graficadas e la figura 9.2. Figura 9.2: robabilidades de trasició represetada como ua cadea de Marov ara eteder la cadea supogase que al comiezo se tiee 0 caales ocupados, es decir o hay usuarios. Sobre u pequeño itervalo de tiempo, la probabilidad que el sistema cotiué si usuarios es ( - λδ). La probabilidad de que haya u cambio desde 0 a usuario esta dada por λδ. E el otro extremo, si u caal esta e uso, la probabilidad de que el sistema pase a 0 caales ocupados esta dada por µδ. Similarmete, la probabilidad que el 9

6 sistema cotiué co u caal e uso esta dada por λδ µδ. Todas las probabilidades de salida para u cierto estado suma. Sobre u gra período de tiempo, el sistema alcaza el estado de régime permaete y tiee caales e uso. Etoces bajo régime permaete se cumple λδ µδ (9.6) La ecuació (9.6) es coocida como la ecuació geeral de balace. Además 0 (9.7) Ocupado (9.6) se obtiee λ 0 (9.8) µ Evaluado (9.6) para diferetes valores se obtiee λ 0 µ! (9.9) Y Sustituyedo (9.9) e (9.20) µ 0! λ i i (9.20) 0 λ (9.2) 0 µ! E (9.9) la probabilidad de bloqueo para caales es λ c 0 (9.22) µ! Sustituyedo (9.2) e (9.22), co AλHλ/µ se tiee c A! A 0! (9.23) La cual represeta la formula para Erlag B. E la Figura 9.3 se aprecia las curvas características de probabilidad de bloqueo como fució del úmero de caales e itesidad de tráfico e Erlag. 92

7 Figura 9.3: robabilidad de bloqueo como fució del úmero de caales y la itesidad de tráfico e Erlags. * * Fuete: Wireless ommuicatios, T. Rappaport, apítulo 2 93

8 9.3 Erlag Sea u sistema co úmeros de trocales de salida, como se muestra e la figura 9.. ara derivar la formula de Erlag se procede de maera similar que e la secció aterior, excepto que ahora se asume que si a ua llamada o se le asocia u caal, esta es puesta e ua cola (o es bloqueada), la cual tiee u largo ifiito. Luego las ecuacioes (9.5), (9.6) y (9.8) sigue siedo validas. El diagrama de estado para este modelo se muestra e la Figura 9.4. Figura 9.4: robabilidades de trasició como ua cadea de Marov E estado permaete, la probabilidad que el sistema este e estado y se produzca ua trasició al estado - e el próximo itervalo de trasició es la misma que la probabilidad que el sistema esté e estado y trasite hacia el estado. Etoces desde el diagrama de estado de la figura 9.4 λδ µδ para (9.24) etoces λ µ para (9.25) y λδ µδ para (9.26) etoces λ µ para (9.27) de lo cual se puede despreder que λ 0 µ! λ! µ 0 (9.28) 94

9 Ya que 0 etoces 0 (9.29) λ µ λ +!! µ λ µ La probabilidad que ua llamada llegue cuado todos los caales esté ocupados y etoces tega que esperar puede ser determiada usado la ecuació (9.28) [ ] λ r caales este ocupados 0 (9.30)! µ λ µ λ La cual es válida para <. Sustituyedo 0 desde (9.29) y haciedo µ AUλ Hλ/µ se obtiee: r [ caales este ocupados] A A A +! A 0! (9.3) La cual correspode a la formula de Erlag. E la el gráfico de la Figura 9.5 se muestra la probabilidad de llamadas siedo retrasadas como ua fució del úmero de caales y la itesidad de tráfico e Erlags. 95

10 Figura 9.5: robabilidad que la llamada sea retrasada como ua fució del úmero de caales y la itesidad de tráfico e Erlags. * * Fuete: Wireless ommuicatios, T. Rappaport, apítulo 2 96

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