Resolución numérica de sistemas de ecuaciones. Introducción

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1 Motivación La cercha de la figura se carga con una fuerza uniforme repartida sobre el cordón superior Resolución numérica de sistemas de ecuaciones. Introducción El planteamiento del problema conduce a un sistema lineal de ecuaciones de dimensión n=50 y en el que la matriz tiene la siguiente estructura Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN) Departament de Matemàtica Aplicada III Universitat Politècnica de Catalunya (Spain) Al resolver el sistema, obtenemos la deformada de la estructura SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 3 Índice Objetivos Motivación Objetivos Condiciones de existencia de solución Perspectiva numérica Clasificación de los métodos de resolución La formulación de problemas de ingeniería a menudo conduce a sistemas lineales de ecuaciones. Estos sistemas pueden llegar a tener cientos o miles de grados de libertad. El objetivo de este tema es desarrollar estrategias numéricas que permitan resolver sistemas de ecuaciones relativamente grandes de una manera eficiente. Además, se analizarán con detalle algunos métodos directos. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 4 1

2 Existencia y unicidad de soluciones Consideremos una matriz cuadrada Las siguientes condiciones son equivalentes: 1. Para cualquier el sistema tiene solución 2. Si tiene solución, ésta es única 3. Para cualquier, 4. Las columnas (filas) de la matriz son linealmente independientes 5. Existe una matriz cuadrada (matriz inversa) tal que 6. La matriz tiene determinante no nulo SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 5 De hecho, métodos clásicos como el de Cramer tampoco sirven para resolver sistemas grandes. El número total de operaciones para resolver un sistema de dimensión n con este método es n T C T C = (n+1) 2 n! x Mflops x años!!! Des del punto de vista numérico buscaremos algoritmos eficientes en diferentes aspectos: Número de operaciones necesarias (tiempo CPU) Necesidades de almacenamiento (memoria) Rango de aplicabilidad (sobre que tipo de matrices se pueden aplicar) SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 7 Perspectiva numérica Las condiciones de existencia y unicidad no son útiles des del punto de vista numérico Determinantes El cálculo de un determinante es muy costoso. Además, es difícil decidir si es cero o no Matriz inversa El cálculo directo de la matriz inversa es muy costoso. Para calcularla se tienen que resolver n sistemas de ecuaciones de dimensión n: donde es la i-ésima columna de la matriz inversa y es el i-ésimo vector de la base canónica. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 6 Clasificación de los métodos de resolución 1. Sistemas con solución inmediata Sistemas con matriz diagonal o triangular 2. Métodos directos Mediante operaciones de fila o columna transformamos el sistema en uno de solución inmediata. La solución exacta (salvo errores de redondeo) se obtiene en un número finito de pasos. métodos de eliminación (Gauss) métodos de descomposición (Crout, Txolesqui) Descomponemos la matriz del sistema en un producto de matrices triangulares triangular inferior triangular superior SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 8 2

3 Entonces podemos resolver el sistema haciendo dos sustituciones Índice 3. Métodos iterativos calculamos con una sustitución hacia adelante calculamos con una sustitución hacia atrás Dada una aproximación inicial, calculamos nuevas aproximaciones Introducción Clasificación de los métodos directos Sistemas con solución inmediata Matrices diagonales Matrices triangulares Método de Gauss Método de Crout Método de Cholesky Llenado (fill-in) hasta converger a la solución del sistema. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 9 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 11 Introducción Resolución numérica de sistemas de ecuaciones. Métodos directos Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN) Departament de Matemàtica Aplicada III Universitat Politècnica de Catalunya (Spain) Objetivo: encontrar algoritmos eficientes: Número de operaciones necesarias (tiempo CPU) Necesidades de almacenamiento (memoria) Rango de aplicabilidad (sobre que tipo de matrices se pueden aplicar) para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Características de los métodos directos: Mediante operaciones de fila o columna se transforma el sistema de ecuaciones en uno de solución inmediata (con matriz diagonal o triangular) llenado (fill-in) La solución exacta (salvo errores de redondeo) se obtiene en un número finito de pasos. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 12 3

4 Clasificación de métodos directos 1. Métodos de eliminación (Gauss) Transformamos la matriz del sistema y el vector de términos independientes hasta obtener un sistema con matriz triangular superior. 2. Métodos de descomposición (Crout, Cholesky) Descomponemos la matriz del sistema en un producto de matrices triangulares triangular inferior triangular superior y resolvemos el sistema haciendo dos sustituciones calculamos con una sustitución hacia adelante calculamos con una sustitución hacia atrás SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 13 Sistemas con matriz triangular superior Empezamos resolviendo la última ecuación Las ecuaciones restantes pueden resolverse a partir de ésta. Para i = n-1, n-2, 1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 15 Sistemas con solución inmediata Sistemas con matriz diagonal El algoritmo para resolver un sistema con matriz triangular superior (sustitución hacia atrás) se puede escribir: Cada ecuación del sistema se escribe y por tanto podemos resolver Algoritmo para resolver un sistema con matriz diagonal T D = n operaciones Es necesario que d ii 0 per i=1,2, n (es decir, es necesario que la matriz del sistema sea regular) SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 14 Es necesario que u ii 0 para i=1,2, n (es decir, que la matriz del sistema sea regular) Podemos contar las operaciones necesarias para resolver un sistema con matriz triangular superior de dimensión n 1+2+ (n-1) = n(n-1)/2 sumas 1+2+ (n-1) = n(n-1)/2 productos T U = n 2 operaciones n divisiones SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 16 4

5 Sistemas con matriz triangular inferior Método de Gauss La idea del método de Gauss es transformar un sistema con matriz llena en un sistema con matriz triangular superior, que se puede resolver de forma inmediata. Empezamos resolviendo la primera ecuación Las ecuaciones restantes pueden resolverse a partir de ésta. Para i = 2, 3, n 1. Eliminación 1.1 Ponemos ceros en la primera columna (fila 2) = (fila 2) a 21 /a 11 (fila 1) = (fila 2) 2(fila 1) (fila 2) = (fila 3) a 31 /a 11 (fila 1) = (fila 3) 4(fila 1) SISTEMAS(2). MÉTODOS DIRECTOS 17 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 19 El algoritmo para resolver un sistema con matriz triangular inferior (sustitución hacia adelante) se puede escribir: 1.2 Ponemos ceros en la segunda columna (fila 3) = (fila 3) a 31 /a 21 (fila 2) = (fila 3) 1(fila 2) Es necesario que l ii 0 para i=1,2, n (es decir, que la matriz del sistema sea regular) 2. Sustitución Podemos contar las operaciones necesarias para resolver un sistema con matriz triangular superior de dimensión n 1+2+ (n-1) = n(n-1)/2 sumas 1+2+ (n-1) = n(n-1)/2 productos T L = n 2 operaciones n divisiones SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 18 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 20 5

6 Proceso de eliminación gaussiana Consideremos un sistema que inicialmente escribiremos como Tras este segundo paso el sistema queda 1. Ponemos ceros en la columna k=1 i: fila en la que ponemos 0 3. Ponemos ceros en la columna k=3 i: fila en la que ponemos 0 (fila i) (1) = (fila i) (0) m i1 (fila 1) (0) (fila i) (3) = (fila i) (2) m i3 (fila 3) (2) SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 21 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 23 Tras estas operaciones el sistema queda En general, al final del paso k-1 tendremos un sistema 2. Ponemos ceros en la columna k = 2 i: fila en la que ponemos 0 k. Ponemos ceros en la columna k i: fila en la que ponemos 0 (fila i) (2) = (fila i) (1) m i2 (fila 2) (1) (fila i) (k) = (fila i) (k-1) m ik (fila k) (k-1) SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 22 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 24 6

7 El funcionamiento del método de Gauss se puede describir en las dos fases siguientes: 1. Eliminación En cada paso k hacemos cero las componentes de la columna k que quedan por debajo de la diagonal: Para k = 1,2,...,n-1 Para i = k+1,...,n m ik = a ik / a kk (fila i) (k) = (fila i) (k-1) m ik (fila k) (k-1) 2. Sustitución Al acabar el proceso de eliminación, tenemos un sistema con matriz triangular superior, que se puede resolver mediante una sustitución hacia atrás. Pivotamiento Por ejemplo, tomamos el paso k=3 de la eliminación del método de Gauss. Pivotamiento parcial: se permutan filas para conseguir que akk aik para i>k Pivotamiento total: se permutan filas y columnas para conseguir que akk aij para i,j k SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 25 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 27 El algoritmo para describir el proceso de eliminación gaussiana se puede escribir como: Un sistema de dimensión n se puede resolver mediante el método de Gauss (eliminación + sustitución) haciendo sólo T G = (4n 3 + 9n 2 7)/6 (2/3)n 3 operaciones n T C T G x x10 8 (K-1) Es necesario que a kk 0 para i=1,2,...,n Si no, será necesario pivotar para poder seguir con el proceso SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 26 El proceso de eliminación gaussiana permite calcular el determinante de una matriz de una forma eficiente. Una vez triangulada la matriz, el determinante se puede calcular multiplicando los coeficientes de la diagonal: A = a 11 a 22 a 33 a nn SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 28 7

8 Si queremos resolver varios sistemas con la misma matriz y diferentes términos independientes (conocidos a priori), podemos hacer eliminación sobre la matriz y todos los términos independientes a la vez Una vez finalizado el proceso de eliminación, basta con hacer tantas sustituciones como términos independientes haya. Este procedimiento se puede utilizar para calcular matrices inversas. Sólo se tienen que considerar como términos independientes los vectores que forman la base canónica Descomposición LU Descomponemos la matriz del sistema A como producto de una matriz triangular inferior L por una matriz triangular superior U Para que la descomposición sea única, es necesario que U tenga diagonal unitaria La factorización se hace de forma recursiva, descomponiendo sucesivamente los menores principales de la matriz A SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 29 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 31 Método de Crout La idea del método de Crout es descomponer la matriz del sistema como producto de matrices triangulares triangular inferior triangular superior k = 1 k > 1 Para un paso cualquiera k, conviene escribir el menor por bloques Entonces, para resolver el sistema basta con realizar dos sustituciones (una hacia adelante y una hacia atrás) calculamos con una sustitución hacia adelante de manera que podemos escribir la descomposición como calculamos con una sustitución hacia atrás SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 30 incógnitas SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 32 8

9 Multiplicando los bloques de esta descomposición se tiene: Descomposición del paso anterior Sistema con matriz triangular inferior que permite calcular el vector u [k] mediante una sustitución hacia delante Sistema con matriz triangular inferior que permite calcular el vector l [k] mediante una sustitución hacia delante Una vez calculados u [k] y l [k], se puede obtener el término de la diagonal l k,k. Una vez factorizada la matriz, es necesario hacer dos sustituciones para resolver el sistema. La descomposición de la matriz puede almacenarse sobre A, de manera que no es necesario guardar espacio adicional para las matrices L y U. El número de operaciones necesarias para resolver un sistema con este método es el mismo que el de Gauss T LU = (4n 3 + 9n 2 7)/6 (2/3)n 3 La ventaja de este método respecto del de Gauss es que, una vez factorizada la matriz, puede utilizarse la descomposición para resolver varios sistemas, sin necesidad de conocer a priori los términos independientes. De este modo, para resolver cada sistema adicional sólo se tienen que hacer dos sustituciones (2n 2 operaciones). SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 33 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 35 Algoritmo de descomposición LU Resolución del sistema L [k-1] u [k] = c [k] Resolución del sistema U T [k-1]l [k] = f [k] Teorema: si A es invertible y se puede factorizar como A = LU, donde L tiene la diagonal unitaria, entonces la factorización es única Teorema: si A es invertible existe una matriz de permutación P tal que PA=LU Con pivotamiento total, siempre es posible hacer una factorización LU (o Gauss) de una matriz regular Teorema: la condición necesaria y suficiente para que una matriz regular A se pueda descomponer como A = LU es que todos los menores principales tengan determinante no nulo SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 34 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 36 9

10 Método de Cholesky Para el caso de matrices simétricas y definidas positivas, se puede descomponer la matriz como Llenado en métodos de factorización Al factorizar una matriz pueden aparecer coeficientes no nulos donde inicialmente había ceros Se mantiene el skyline de la matriz con L triangular inferior. Como en el método de Crout, la factorización se hace descomponiendo sucesivamente los menores principales de la matriz A En este caso, al aprovechar las características de la matriz, se realizan aproximadamente la mitad de operaciones que con el de Crout T Chol (1/3)n 3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 37 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 39 Algoritmo de la descomposición de Cholesky Estructura de barras 2D 50 grados de libertad SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 38 nz = 288 nz = 215 nz: nº de componentes 0 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 40 10

11 Estructura de barras 3D 111 grados de libertad nz = 1327 nz = 2135 nz = 1327 nz = 3877 Índice Introducción Métodos iterativos estacionarios Consistencia y convergencia Velocidad de convergencia Métodos clásicos: Richardson, Jacobi, Gauss-Seidel Métodos iterativos no estacionarios Máximo descenso Gradientes conjugados Precondicionamiento GMRES Ejemplos SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 41 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 43 Objetivo: resolver con regular Introducción Resolución numérica de sistemas de ecuaciones. Métodos iterativos Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN) Departament de Matemàtica Aplicada III Universitat Politècnica de Catalunya (Spain) Notación: residuo solución Esquema iterativo A partir de una aproximación inicial, se genera una sucesión que converja a la solución del sistema La aproximación se calcula a partir de las anteriores, utilizando operaciones con vectores o productos matriz por vector. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 44 11

12 La sucesión de aproximaciones se genera a partir de una expresión de la forma Habitualmente, los esquemas son que es un caso particular con Cálculos cálculo del residuo Métodos iterativos estacionarios resolución de un sistema actualización de la aproximación La matriz C debe ser fácilmente invertible y cumplir ciertas propiedades SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 45 Convergencia Definición: Un esquema iterativo es convergente si y sólo si el error en la iteración k,, cumple para cualquier. Análisis de convergencia Se asume consistencia del esquema El error cumple El esquema es convergente si o, equivalentemente, si radio espectral < SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 47 Consistencia Definición: Un esquema iterativo es consistente si y sólo si x* es el único punto fijo. 1. Es punto fijo: 2. Es el único punto fijo: consideremos tal que, entonces Puede comprobarse que la condición es necesaria y suficiente < Corolario: Una condición suficiente para convergencia es El sistema tiene solución única,, si y sólo si es regular Fácil de comprobar con las normas matriciales Para esquemas de la forma 1. x* es punto fijo por construcción 2. es el único punto fijo por ser C regular SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 46 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 48 12

13 Velocidad de convergencia Consideramos una aproximación con q cifras significativas correctas Cuántas iteraciones ν hay que hacer para conseguir m cifras correctas más? Métodos clásicos Por construcción, son métodos consistentes y la convergencia está asegurada si Observación: si C=A el esquema converge en una sola iteración consideramos C A pero fácilmente invertible Para definir C se considera la descomposición aditiva Para conseguir las m cifras correctas más basta con o, equivalentemente, SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 49 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 51 Así, para conseguir basta con donde (velocidad) Tomando el límite para ν, se define la velocidad de convergencia como Método de Richardson Corresponde a Condición de convergencia ( ) demasiado restrictiva y no se utiliza Método de Jacobi Corresponde a para para para grande (conv. rápida) >0 pequeña (conv. lenta) <0 (conv. no asegurada) SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 50 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 52 13

14 Método de Gauss-Seidel Corresponde a Los métodos vistos también se pueden aplicar por bloques Gauss-Seidel por bloques: Métodos SOR (Sobrerelajaciones sucesivas): C=C(ω) donde el parámetro se elige para optimizar la convergencia SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 53 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 55 Condiciones de convergencia El método de Jacobi es convergente si A es diagonalmente dominante El método de Gauss-Seidel es convergente si A es diagonalmente dominante, o A es simétrica y definida positiva Métodos iterativos no estacionarios El esquema cambia con las iteraciones Para empezar, consideremos una matriz A simétrica y definida positiva. Entonces, es solución del sistema si y sólo si es el mínimo del funcional cuadrático: Observaciones: Las iteraciones de Gauss-Seidel dependen de la ordenación de las incógnitas. Se puede alternar con A definida positiva A definida negativa A singular A indefinida SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 54 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 56 14

15 Máximo descenso Idea: avanzar en la dirección de máxima pendiente La dirección del gradiente es la de máximo crecimiento de la función y, dado que se quiere resolver un problema de minimización, la dirección de avance será Esquema iterativo: se determina resolviendo un problema de minimización unidimensional SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 57 Superficie definida por el funcional φ(x) y sus curvas de nivel con los vectores gradiente SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 59 Máximo descenso: representación gráfica Iteraciones del método de máximo descenso Sólo se tiene en cuenta el comportamiento local de la función Se repiten direcciones de avance El comportamiento del método depende del condicionamiento de la matriz (para matrices SDP, del cociente entre el mayor y el menor autovalor) Figuras de The Conjugate Gradient Method Without the Agonizing Pain, J.R. Shewchuk SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 58 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 60 15

16 Gradientes conjugados Gradientes conjugados: propiedades Idea: no repetir direcciones de avance Esquema iterativo: se determina resolviendo un problema de minimización en la dirección de avance Convergencia en n iteraciones como máximo Las direcciones de avance en cada iteración se escogen A-conjugadas y se definen como con SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 61 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 63 Gradientes conjugados: algortimo Gradientes conjugados: algoritmo mejorado Operaciones: 2 matriz x vector 3 productos escalares 2 (escalar x vector) + vector Operaciones: 1 matriz x vector 2 productos escalares 3 (escalar x vector) + vector SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 62 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 64 16

17 Con esta estructura se pierde la simetría de la matriz, de manera que para precondicionar gradientes conjugados se utiliza otra estrategia. Se resuelve un sistema con Iteraciones de gradientes conjugados Converge en como máximo n iteraciones, siendo n la dimensión del sistema Aunque en sentido estricto es un método directo (se llega a la solución en un número finito de pasos), se utiliza como iterativo porque normalmente converge mucho antes de n iteraciones. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 65 Si es una matriz SDP, su raíz cuadrada es la única matriz SDP que verifica. Si diagonaliza como, se define En la práctica el algoritmo se simplifica para evitar el cálculo de P 1/2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 67 Precondicionamiento Gradientes conjugados precondicionado La convergencia de un método iterativo depende del número de condición de la matriz del sistema, que para matrices SDP se define como Idea: reducir el número de condición de la matriz del sistema Se considera una matriz (precondicionador) tal que sea fácilmente inversible y se resuelve el sistema equivalente No se calcula P 1/2. Sólo es necesario resolver un sistema con matriz P SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 66 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 68 17

18 Método iterativo para matrices regulares cualesquiera. GMRES En cada iteración x k minimiza la norma euclídea del residuo en x 0 +K k : donde el k-ésimo espacio de Krylov se define como Observación: K k R n es de dimensión k, de manera que en la iteración n se calcula la minimización del error en R n proporciona la solución x* (es decir, se obtiene la solución en n iteraciones como máximo) Para resolver el problema de minimización se hacen varias reformulaciones. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 69 Referencias Métodos directos A. Huerta, J. Sarrate, A. Rodríguez-Ferran, Métodos numéricos. Introducción, aplicaciones y programación, Edicions UPC, 1998 J. D. Hoffman, Numerical Methods for Engineers and scientists, McGraw Hill, 1993 Ll. N. Trefethen and D. Bau, Numerical Linear Algebra, SIAM, 1997 Métodos iterativos Ll. N. Trefethen and D. Bau, Numerical Linear Algebra, SIAM, 1997 G.H. Golub and C.F. Van Loan, Matrix computations, The Johns Hopkins University Press, 1996 J.R. Shewchuk, An Introduction to the Conjugate Gradient Method Without the Agonizing Pain, Technical Report CMU-CS , Carnegie Mellon University, 1994 Y. Saad, Iterative methods for sparse linear systems (1st edition), SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 70 18

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