MINITAB y MODELOS DE REGRESIÓN

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1 Prácticas de Fudametos Matemáticos para el estudio del Medio Ambiete MINITAB y MODELOS DE REGRESIÓN 1. Itroducció Ua de las cuestioes de mayor iterés e las Ciecias Experimetales cosiste e obteer u modelo matemático que relacioe dos o más variables a partir de u úmero limitado de observacioes experimetales. E la mayor parte de los feómeos que so objeto de ivestigació experimetal o es posible deducir ua relació exacta etre las variables ivolucradas pues la depedecia perfecta o existe e la Naturaleza. E cualquier caso, es frecuete observar ua depedecia aproximada etre las variables que es posible expresar de forma aalítica (por medio de ua fució). Este tipo de depedecia se deomia correlació; de esta forma, dos variables (por ejemplo, peso y estatura) se dice que guarda o que tiee correlació cuado es posible ecotrar ua relació fucioal que expresa aproximadamete ua e térmios de la otra. Los casos extremos de esta situació so la depedecia fucioal exacta e la que la fució describe fielmete las observacioes y la idepedecia que es la situació opuesta: o existe ua fució que se ajuste a los datos observados. Supogamos que teemos dos variables x e y que represeta el peso (e kilos) y la estatura (e cetímetros) respectivamete. Si e la clase somos exactamete = 80 alumos, etoces dispoemos de 80 observacioes de la forma (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x, y ) que se correspode co putos e el plao xy (se suele llamar a esta cofiguració geométrica ua ube de putos). Nuestro objetivo cosiste e ecotrar ua relació fucioal del tipo y = f(x) que se adapte lo mejor posible a esta distribució de putos e el plao, de forma que el valor de la fució e cada uo de los putos x i (esto es, el úmero f(x i )) esté razoablemete próximo a y i para i = 1, 2,..., 80. Como esto será posible para uos putos sí y para otros o, lo deseable es que se dé esta proximidad e media (ya se verá lo que esto sigifica porque o es exactamete ua media, sio ua variaza lo que mide la bodad del ajuste). La fució y = f(x) que aproxima los datos se deomia fució de regresió y puede ser de distitos tipos: lieal, poliómica, potecial, expoecial, etc. depediedo del feómeo que estemos estudiado. Por otro lado, los valores y i so los valores observados o empíricos mietras que los valores f(x i ) so los valores predichos o teóricos. A cotiuació, vamos a estudiar alguos prelimiares de estadística que so imprescidibles para abordar el problema de la regresió. 2. Covariaza y Correlació Partimos de observacioes efectuadas para las variables x e y. Podemos orgaizarlas e la siguiete tabla x i x 1 x 2... x y i y 1 y 2... y

2 y se defie etoces las medias de las variables x e y como x = x 1 + x x = x i, y = Además se defie las variazas de x e y respectivamete como y i. Sx 2 = (x i x) 2 y Sy 2 = (y i y) 2. Por último, se defie la covariaza etre x e y como S xy = (x i x)(y i y). Hecho: La covariaza es ua medida del grado de depedecia lieal etre las variables x e y. Así, si S xy 0 podemos afirmar que existe depedecia etre x e y y ésta es, e fució del sigo de la covariaza, Directa (cuado S xy > 0) e la cual icremetos positivos de x se correspode co icremetos positivos de y. Iversa (cuado S xy < 0) e la cual icremetos positivos de x se correspode co icremetos egativos de y. Cuado S xy = 0 etoces x e y so idepedietes y o guarda relació lieal algua. Nota: La covariaza se expresa e las mismas uidades que las variables a partir de las cuales se calcula. Así, por ejemplo, si x es el peso (e kilos) e y la estatura (e cm) la covariaza se expresa e kilos por cetímetros. Nota 2: U problema que preseta la covariaza es que es ua magitud absoluta y o idica si el grado de depedecia etre las variables es elevado o o. Ta sólo os dice si existe depedecia (o o) y su tipo (directa o iversa). Para solvetar esta última dificultad, se itroduce el coeficiete de correlació lieal etre x e y de la forma r = S xy S x S y siedo S x y S y las raíces cuadradas (positivas) de las variazas S 2 x y S 2 y. Este coeficiete es ua medida adimesioal del grado de depedecia/idepedecia lieal etre las variables x e y. Tiee el mismo sigo que la covariaza S xy y además cumple 1 r 1. Fialmete, cuato más se aproxime r a 1 o 1 mayor será la depedecia lieal etre las variables (el sigo idica si la depedecia es directa o iversa). E tal caso, ua recta aproximará casi de forma perfecta la relació etre ambas variables. Si r es próximo a cero, o existirá ua depedecia lieal etre las variables, auque bie podría existir otro tipo de depedecia: poliómica, potecial, expoecial, etc.

3 3. Ajuste por míimos cuadrados Para buscar ua fució f que aproxime los datos observados para las variables x e y u primer paso cosiste e determiar qué tipo de fució ecesitamos. Salvo que se tega, a priori, algua iformació sobre el tipo de depedecia que existe etre las variables, resulta muy útil represetar e el plao la ube de putos (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x, y ) y observar cómo se sitúa para aticipar qué clase de fució es la que mejor se adapta. Ua vez seleccioado el posible tipo de fució de ajuste (lieal, potecial...) el siguiete paso cosiste e determiar dicha fució, esto es, determiar los parámetros que la caracteriza por completo. Por ejemplo: si se trata de ua recta, f(x) = a + bx, se trata de determiar el valor de la pediete b y la ordeada e el orige a; si se trata de u poliomio f(x) = a 0 +a 1 x+ +a x se trata de determiar los coeficietes a 0, a 1,..., a ; si se trata de ua expoecial, f(x) = ae bx, se trata de determiar el valor de las costates a, b. Existe diversos métodos para el cálculo de los parámetros de las fucioes de ajuste (osotros veremos e el próximo epígrafe como calcular los valores a, b para ua fució lieal). E geeral, se aplica el deomiado método de los míimos cuadrados que cosiste e impoer a la fució f la codició de que la suma de los cuadrados de las diferecias etre los valores observados (los valores empíricos y i ) y los valores teóricos (valores predichos f(x i )) sea míima. E otras palabras, lo que se pide es que la catidad (y i f(x i )) 2 sea míima. A partir de esta imposició, se obtiee los coeficietes que determia a la fució de ajuste (veremos esto e la próxima secció para el caso de ua fució lieal f(x) = a + bx). Ua vez obteida la fució de aproximació, la maera de medir la precisió (la bodad) del ajuste cosiste e calcular el error típico o error estádar, que depede de cada fució de ajuste f y se defie como e(f) = (y i f(x i )) 2. De esta forma, si teemos dos posibles fucioes para ajustar uos datos experimetales, basta calcular el error típico asociado a cada ua de ellas y el meor será el que os dará la mejor fució de ajuste. Nota: El úmero e(f) o es ua medida absoluta de lo bueo que es el ajuste por la fució f, sio que es ua medida que os sirve para comparar si, dada otra fució de ajuste g, ésta es mejor o peor que la f. 4. Regresió lieal Queremos buscar ua fució de ajuste que sea lieal, esto es, ua fució del tipo f(x) = a + bx para represetar la relació existete etre las variables x e y partiedo de uos datos experimetales (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x, y ). Se trata de calcular los míimos de la fució F (a, b) dode F (a, b) = (y i f(x i )) 2 = (y i (a + bx i )) 2

4 y el míimo (a, b) obteido os dará la fució lieal f(x) = a + bx que mejor se aproxima a la ube de putos. Después de uas cuetas (que o vamos hacer) se calcula a y b y se obtiee que y que b = S xy S 2 x a = y bx. Por tato, la ecuació de la recta de regresió (por el método de míimos cuadrados) de y sobre x es y y = S xy Sx 2 (x x). Esta recta es el mejor ajuste lieal para la ube de putos (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x, y ). Los úmeros (a, b) los calcula el software MINITAB.. Regresió parabólica E esta ocasió, el ajuste se realiza mediate ua fució poliómica de segudo grado (ua parábola). Ésta puede escribirse como f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2. Por tato, hay que buscar el míimo de la fució F (a 0, a 1, a 2 ) = ( yi a 0 a 1 x i a 2 x 2 ) 2 i y resulta que el míimo (a 0, a 1, a 2 ) se obtiee resolviedo el sistema a 0 a 0 a 0 + a 1 x i + a 2 x 2 i = x i + a 1 x 2 i + a 1 x 2 i + a 2 x 3 i + a 2 x 3 i = x 4 i = y i x i y i x 2 i y i Evidetemete, esto lo hace tambié el software MINITAB. 6. Regresió o poliómica: potecial y expoecial Se reduce siempre a ua regresió lieal por lo que tambié admite u tratamieto secillo co el programa MINITAB. Vamos a ocuparos de dos tipos Regresió expoecial Se trata de ajustar mediate ua fució f(x) = y = ae bx co a > 0. El problema se hace lieal tomado logaritmos pues así ly = l(ae bx ) ly = la + l(e bx )

5 y fialmete de la última se obtiee que ly = la + bx. Si llamamos y = ly basta hacer la regresió lieal ahora para la ube de putos dada por (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x, y ) obteiedo la recta de ajuste y = a 0 + a 1 x. Como y = ly etoces y(x) = e y = e a 0+a 1 x = e a 0 e a1x de suerte que a = e a 0 y b = a 1 y el mejor ajuste expoecial para las variables x, y viee dado por la fució f(x) = ae bx Regresió potecial Ahora se trata de ajustar mediate ua fució f(x) = y = ax b co a > 0 co x i > 0. El problema se hace lieal tomado logaritmos pues así y fialmete de la última se obtiee que ly = l(ax b ) ly = la + l(x b ) ly = la + blx. Si llamamos y = ly y x = lx basta hacer la regresió lieal ahora para la ube de putos dada por (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x, y ) obteiedo la recta de ajuste y = a 0 + a 1 x. Como y = ly etoces y(x) = e y = e a 0+a 1 x = e a 0 e a 1x = e a 0 x a 1 y el mejor ajuste potecial para las variables x, y viee dado por la fució f(x) = ae bx dode, de uevo, a = e a 0 y b = a 1.. Problemas Resueltos Problema 1. Teemos que calcular la recta de regresió y = a + bx de los datos obteidos. x i y i x 2 i yi 2 x i y i Suma E la recta de regresió y = a + bx, los coeficietes a y b vale: b = S XY 0,268 0,0369 X = 4,3 11 = 1,0 Y = 4 4 = 2, S XY = 1 x i y i XY = 12,9 1,0 2, 0,268 4 SX 2 = 1 x 2 i X 2 = 4, 4 1,02 0,0369,283 y a = Y bx 2,,283 1,0,084. Por lo tato, la recta es y =,084 +,283x. Para calcular lo que podemos esperar que cueste u automóvil de 1,1 Tm, basta sustituir e la recta de regresió la x por 1,1: y(1,1) =,084 +,283 1,1 = 2,9266 milloes. Para saber si la predicció es fiable, calculamos el coeficiete de correlació lieal r: S 2 Y = 1 y 2 i Y 2 = ,2 2,18, luego r = S XY S X S Y que es bastate próximo a 1. Por tato, los resultados se puede cosiderar fiables. 0,268 0,0369 2,18 0,949, Problema 4. Si represetamos los datos como putos de coordeadas (x i, y i ) e el plao, vemos que, efectivamete, éstos podría ajustarse a ua recta, lo que os idica que la velocidad de reacció aumeta liealmete co la cocetració de glucogeasa.

6 60 x i y i x 2 i yi 2 x i y i Suma Así pues, calculamos los coeficietes a y b de la recta de regresió y = a + bx: X = 6, = 14,29 de dode b = S XY 131 = 1,34 Y = = 26,2 S XY = 24,6 3,8 = 19,812 1,34 2 = 1,0624 S 2 Y = ,2 2 = 36,18 = 19,812 = 18, y a = Y bx = 26,2 18, ,34 = 1, ,0624 La recta de regresió es y = 1, ,648343x ; e la figura se ve cómo se ajusta los datos a ella. Para calcular la velocidad de reacció a ua cocetració de 2, milimoles/litro, basta sustituir x por 2, e la recta de regresió: y(2,) = 1, , , = 4,83208 micromoles/miuto. Fialmete, vemos si el ajuste lieal es bueo calculado el coeficiete de correlació lieal r: r = S XY S X S Y = 19,812 1, ,18 0,99, que es muy próximo a 1. Por tato, la depedecia lieal es buea.

7 Problema. La represetació de la ube de putos os da la idea de que el mejor ajuste va a ser el lieal (a) Ajuste por ua fució lieal: x i y i x 2 i yi 2 x i y i Suma X = 81 60,8 = 8,1 Y = = 6,08 S XY = 4,3 8,1 6,08 = 26,182 = 16 8,12 = 90,89 Luego: b = S XY = 26,182 90,89 = 0,288 a = Y bx = 6,08 0,288 8,1 = 3,46 Por tato, la recta de regresió es y = 3,46 + 0,288x. (b) Ajuste por ua fució expoecial: Como la fució buscada es y = ae bx, tomado logaritmos teemos que log y = log a + bx. Llamamos y = log y y a = log a. Teemos etoces que calcular la recta de regresió y = a + bx, para la ueva variable y y x. x i y i y i = log y i x 2 i (y i )2 x i y i Suma X = 8,1 Y = 16,84 = 1,684 S XY = 184,1 8,1 1,684 = 4,696 = 90,89 Luego: b = S XY = 4,696 90,89 = 0,02 a = Y bx = 1,684 0,02 8,1 = 1,29 El valor que buscamos para la fució expoecial es a, o a ; pero a = e a = e 1,29 = 3,22. Luego la fució expoecial es y = 3,22e 0,02x.

8 (c) Ajuste por ua fució parabólica del tipo y = a + bx + cx 2. Los coeficietes a, b y c viee determiados por a + b x i + c x 2 i = a x i + b x 2 i + c x 3 i = x i y i a x 2 i + b x 3 i + c x 4 i = x 2 i y i y i Ahora bie, = y x i = 81 y i = 60,8 x 2 i = 16 x i y i = 4,3 x 3 i = 294 x 2 i y i = xi 4 = Luego el sistema a resolver es el siguiete: a + 81b + 16c = 60,8 81a + 16b + 294c = 4,3 16a + 294b c = Su solució es a = 3,46, b = 0,284 y c = 1, Por lo tato, la ecuació de la parábola buscada es y = 3,46 + 0,284x + 1,432 4 x 2. Fialmete, para decidir cuál es el mejor modelo de los tres utilizados, calculamos los errores 1 típicos: e t = (y i y(x i )) 2. (a) Modelo lieal: y 1 y(x 1 ) = 0,018 y 2 y(x 2 ) = 0,082 y 3 y(x 3 ) = 0,133 y 4 y(x 4 ) = 0,4 y y(x ) = 0,323 y 6 y(x 6 ) = 0,138 y y(x ) = 0,293 y 8 y(x 8 ) = 0,1333 y 9 y(x 9 ) = 0,206 y y(x ) = 0,046 Etoces, e t = 0,218. (b) Modelo expoecial: y 1 y(x 1 ) = 0, y 2 y(x 2 ) = 0,2088 y 3 y(x 3 ) = 0,38 y 4 y(x 4 ) = 0,02 y y(x ) = 0,94 y 6 y(x 6 ) = 0,1 y y(x ) = 0,88 y 8 y(x 8 ) = 0,49 y 9 y(x 9 ) = 0,6 y y(x ) = 2,186 Etoces, e t = 0,902.

9 (c) Modelo poliómico: y 1 y(x 1 ) = 0,038 y 2 y(x 2 ) = 0,0911 y 3 y(x 3 ) = 0,14 y 4 y(x 4 ) = 0,403 y y(x ) = 0,336 y 6 y(x 6 ) = 0,1262 y y(x ) = 0,3086 y 8 y(x 8 ) = 0,141 y 9 y(x 9 ) = 0,2113 y y(x ) = 0,00 Etoces, e t = 0, El error meor es el correspodiete al modelo lieal, que será, por tato, el más adecuado. Como puede verse e la gráfica de la págia aterior, la parábola y la recta está prácticamete superpuestas, y ambas ajusta muy bie los datos; de ahí la poca diferecia etre los errores correspodietes. Problema 6. La represetació de la ube de putos os da ua idea clara de cuál va a ser el mejor ajuste Para los ajustes por las fucioes expoecial y potecial, ecesitaremos las uevas variables x i = log x i e y i = log y i. Vamos a escribir la tabla co todos estos datos. x i y i x i = log x i y i = log y i x 2 i yi 2 (x i )2 (y i )2 x i y i x i y i x i y i Suma (a) Ajuste por ua fució lieal: X = 12 = 18,1428 Y = 80 = 11,428 = 461 b = S XY 18, = 40,9816 S XY = , ,428 = 126,083 = 126,083 = 0,29 a = Y bx = 11,428 0,29 18,1428 = 6,3 40,9816 Por tato, la recta de regresió es y = 6,3 + 0,29x. (b) Ajuste por ua fució expoecial y = ae bx. Tomado logaritmos teemos que log y = log a + bx. Llamamos y = log y y a = log a. Calculamos la recta de regresió y = a + bx, para y y x.

10 X = 18,1428 Y = 1,183 = 2,169 SX 2 = 40,9816 S XY = 363,809 18,1428 2,169 = 12,621 b = S XY = 12,621 40,9816 = 0,028 a = Y bx = 2,169 0,028 18,1428 = 1,661 El valor que buscamos para la fució expoecial es a = e a = e 1,661 =,264. Luego la fució expoecial es y =,264e 0,028x. (c) Ajuste por ua fució potecial y = ax b. Tomado logaritmos teemos que log y = log a + b log x. Llamamos y = log y, x = log x y a = log a. Calculamos la recta de regresió y = a + bx, para y y x. X = 14,3 S X Y = 39,1846 = 2,09 Y = 2,169 = 43,022 2,09 2,169 = 1,088 2,09 2 = 1,921 b = S X Y = 1,088 1,921 = 0,66 a = Y bx = 2,169 0,66 2,09 = 0,992 El valor que buscamos para la fució potecial es a = e a = e 0,992 = 2,696. Luego la fució potecial es y = 2,696x 0, Fucioes lieal y expoecial Fució potecial Viedo la represetació de las curvas obteidas, podemos decir si lugar a dudas que el mejor ajuste es el potecial. E cualquier caso, si calculamos los errores típicos obteemos Modelos (a) lieal: e t = 3,242 (b) expoecial: e t =,906 (c) potecial: e t = 3,1906 lo que corrobora uestra afirmació.

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