Interpolación y aproximación polinomial

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1 Análisis Numérico Interpolación y aproximación polinomial CNM-425 Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia Copyleft «2010 Reproducción permitida bajo los términos de la licencia de documentación libre GNU

2 Contenido 1 Introducción 2 Interpolación de Lagrange Interpolación de Newton 4 Error en la interpolación 5 Interpolación de Hermite 6 Splines

3 Interpolación Dado un conjunto de datos conocidos (x 0, y 0), (x 1, y 1), (x 2, y 2),, (x N, y N ) buscamos una función f : R R que satisfaga f(x i) = y i, i = 0,, N f es la función interpolante o interpolador El interpolador f puede ser: polinomio spline fracción continuada Restricciones adicionales: Las derivada del interpolador f en los puntos dados es fija Suavidad, monoticidad o convexidad del interpolador f

4 Aplicaciones Trazado de curvas atraves de un conjunto discreto de datos Determinar valores intermedios de una tabla de datos Derivar e integrar a partir de una tabla de datos Evaluar de manera fácil una función Reemplazar una función complicada por una simple

5 Interpolación y aproximación Funciones utilizadas como interpoladores Polinomios Funciones trigonométricas Funciones exponenciales Funciones racionales Los interpoladores se ajustan a los datos de manera exacta (f(x i) = y i) Interpolación presenta problemas cuando los datos están sujetos a errores signifiativos Cuando hay incertidumbre en los datos resulta útil suavizarlos por medio de una aproximación de mínimos cuadrados Aproximaciones espectrales o aproximaciones con polinomios de Chebyshev representan de manera efectiva soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales parciales

6 Teorema de aproximación de Weierstrass Teorema 11 (Weierstrass) Sea f : [a, b] C continua Entonces para todo ε > 0, existe un polinomio p sobre C tal que para todo x [a, b], f(x) p(x) < ε

7 Polinomio interpolador Teorema 12 (Existencia y unicidad del polinomio interpolante) Si x 0, x 1,, x n son números reales distintos, entonces para N + 1 valores arbitrarios y 0, y 1,, y n existe un único polinomio P N de grado a lo sumo N tal que p N (x i) = y i Observaciones El teorema (12) generaliza: Por dos puntos distintos del plano cartesiano pasa una y sólo una línea recta (polinomio de grado 1) Dada una tabla de datos x 0 x 1 x N y 0 y 1 y N existe uno y sólo un polinomio p N de grado N tal que p N (x i) = y i Aunque el polinomio es único, existen diversas formas de expresarlo y diferentes algoritmos para determinarlo

8 Polinomio interpolador Asumimos un conjunto de puntos discretos {x 0, x 1,, x N } con los valores correspondientes {f(x0), f(x1),, f(x N )} Construimos una función f(x) que pase por (x i, f(x i)) por medio de la aproximación NX f(x) p N (x) = a k φ k (x) (1) i=0 p N es el polinomio interpolante φ k son polinomios conocidos a priori y forman una base a k son coeficientes por determinar (1) expresa a p N como una combinación lineal de funciones base φ k

9 Interpolación de Vandermonde Consideramos como bases los monomios φ k (x) = x k, k = 0,, N (2) Para la base (8) obtenemos la representación f(x) = a 0 + a 1x + a 2x a N x N () donde a 0, a 1,, a N son constantes a determinar Las N + 1 ecuaciones que surgen al evaluar x i en () se pueden expresar matricialmente como 2 1 x 0 x 2 0 x N x 1 x 2 1 x N x N x 2 N xn N a 0 a 1 a N = 6 4 V es la matriz de Vandermonde y det(v) = f(x 0 ) f(x 1 ) f(x N ) Y 0 i j N 7 5 V a = f (x j x i) 0

10 Ejemplo Ejemplo 11 Determine el polinomio de grado 2 que interpola los tres datos ( 2, 27), (0, 1), (1, 0) Solución El polinomio está dado por f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 (4) Para este caso el sistema está dado por a 0 a 1 a 2 5 = La solución está dada por [ 1 5 4] T y f(x) = 1 + 5x 4x 2 (5)

11 Interpolación de Lagrange Como base tomamos los polinomios de Lagrange definidos por L k (x) = = NY i=0 i k (x x i) (x k x i) (x x0) (x k x (x x k 1) 0) (x k x k 1 ) (x x k+1 ) (x xn ) (x k x k+1 ) (x k x N ) (6) Propiedades L k es un polinomio de grado N j 1 si k = j L k (x j ) = 0 si k j = δ kj El polinomio de interpolación de Lagrange está dado por p N (x) = f(x 0)L 0(x) + f(x 1)L 1(x) + + f(x N )L N (x) (7) El polinomio de interpolación de Lagrange es de grado N y pasa por los N + 1 puntos (x 0, f(x 0)),, (x N, f(x N ))

12 Ejemplo 21 Determine los polinomios de Lagrange para N = 5 y x 0 = 0, x 1 = 1, x 2 = 2, x = y x 4 = 4 L 0(x) = L 1(x) = L 2(x) = L (x) = L 4(x) = (x 1)(x 2)(x )(x 4) (0 1)(0 2)(0 )(0 4) (x 0)(x 2)(x )(x 4) (1 0)(1 2)(1 )(1 4) (x 0)(x 1)(x )(x 4) (2 0)(2 1)(2 )(2 4) (x 0)(x 1)(x 2)(x 4) ( 0)( 1)( 2)( 4) (x 0)(x 1)(x 2)(x ) (4 0)(4 1)(4 2)(4 ) 1 = `x4 10x + 5x 2 50x = 1 `x4 9x + 26x 2 24x 6 = 1 `x4 8x + 19x 2 12x 4 = 1 `x4 7x + 14x 2 8x 6 1 = `x4 6x + 11x 2 6x 24

13 Polinomios de Lagrange (programa) L k (x) = NY i=0 i k (x x i) (x k x i) (x x0) = (x k x (x x k 1) 0) (x k x k 1 ) (x x k+1 ) (x xn ) (x k x k+1 ) (x k x N ) lagrangem function L = lagrange(xpuntos,k,x) % Argumentos: % xpuntos: vector fila con las coordenadas en x % k: valor entero correspondiente L k % x: valor real en el que se evalúa el polinomio % Salida: % L: valor obtenido al evaluar el polinomio de % Lagrange en x L = 10; n = length(xpuntos); for i=1:k L = L * (x - xpuntos(i))/(xpuntos(k+1)-xpuntos(i)); end for i=k+2:n L = L * (x - xpuntos(i))/(xpuntos(k+1)-xpuntos(i)); end octave:#> xx = 0:4 xx = octave:#> lagrange(xx,1,0) ans = 0 octave:#> lagrange(xx,1,1) ans = 0 octave:#> lagrange(xx,1,2) ans = 0 octave:#> lagrange(xx,1,) ans = 0 octave:#> lagrange(xx,1,4) ans = -560 octave:#> lagrange(xx,2,10) ans = 945 end

14 Ejemplo Ejemplo 22 Determine el polinomio de interpolación de Lagrange para f(x) = 1 en los x puntos x 0 = 2, x 1 = 25, x 2 = 4 y utilícelo para aproximar f() Solución L 0 (x) = (x 2,5)(x 4) (2 2,5)(2 4) = (x 6,5)x + 10 L 1 (x) = (x 2)(x 4) (2,5 2)(2,5 4) = ( 4x + 24)x 2 L 2 (x) = (x 2)(x 2,5) (4 2)(4 2,5) = (x 4,5)x + 5 y p(x) = f(2)l 0 (x) + f(2,5)l 1 (x) + f(4)l 1 (x) ( 4x + 24)x 2 (x 4,5)x + 5 = 0,5 ((x 6,5)x + 10) + 0,4 + 0,25 = (0,05x 0,425)x + 1,15 = f() p() = 0,25

15 Polinomio de interpolación de Lagrange (programa) p N (x) = NX f(x i)l i(x) = f(x 0)L 0(x) + f(x 1)L 1(x) + + f(x N )L N (x) i=0 polilagrangem function p = polilagrange(f,xpuntos,x) % Argumentos: % xpuntos: vector fila con las coordenadas en x % k: valor entero correspondiente L k % x: valor real en el que se evalúa el polinomio % Salida: % L: valor obtenido al evaluar el polinomio de % Lagrange en x p = 00; n = length(xpuntos); end for i=0:n-1 p = p + f(xpuntos(i+1))*lagrange(xpuntos,i,x); end funm function y = fun(x) y = 1/x; octave:#> fun(2) ans = octave:#> xp = [2 25 4]; octave:#> fun(xp) ans = octave:#> polilagrange(@fun,xp,1) ans = octave:#> polilagrange(@fun,xp,2) ans = octave:#> polilagrange(@fun,xp,) ans = 02500

16 Ejemplo Ejemplo 2 Grafique el polinomio de interpolación del ejemplo anterior 12 y compárelo con la función f Solución ejemplo1m clear all; xp = [2 25 4]; x = -0:05:10; n = length(x); p = zeros(1,n); y = zeros(1,n); for i=1:n p(i) = polilagrange(@fun,xp,x(i)); y(i) = fun(x(i)); end plot(x,p, r ); hold on plot(x,y); legend( polinomio, función ) grid on

17 Interpolación de Newton Con el fin de reducir la complejidad computacional hacemos el siguiente cambio de base k 1 Y φ k (x) = (x x i) (8) i=0 Ahora f(x) es aproximada por f(x) = a 0+a 1(x x 0)+a 2(x x 0)(x x 1)+ +a N (x x 0)(x x 1) (x x N 1) Las N + 1 ecuaciones que surgen al evaluar x i se pueden expresar matricialmente como (x 1 x 0) (x N x 0) (x N x 0)(x N x 1) (x N x 0) a 0 a 1 a N = 6 4 f(x 0) f(x 1) f(x N ) 7 5

18 Fórmula de diferencias dividas La matriz del sistema anterior es triangular inferior O `N 2 operaciones necesarias para resolver el sistema Las soluciones vienen dadas por a 0 = f(x 0) a 1 = a 2 = f(x1) f(x0) x 1 x 0 f(x 2) f(x 0) x 2 x 0 x 2 x 1 a k = F(x 0, x 1,, x k ) f(x1) f(x0) x 1 x 0 La función F puede determinarse de manera recursiva

19 Fórmula de diferencias dividas Fórmula de diferencias dividas F(x 0, x 1,, x k ) = F(x0, x1,, x k 1) F(x 1, x 2,, x k ) (x 0 x k ) (9) El polinomio de interpolación está dado por f(x) = F(x 0) + F(x 0, x 1)(x x 0) + F(x 0, x 1, x 2)(x x 0)(x x 1) + + F(x 0,, x N )(x x 0) (x x N 1) (10) La fórmula de recursividad (9) aplicada a los puntos G 2 0 = {x 0, x 1, x 2} k = 0 k = 1 k = 2 x 0 F(x 0) = f(x) F(x 0, x 1) = F(x 0 ) F(x 1 ) x 0 x 1 x 1 F(x 1) = f(x 1) F(x 0, x 1, x 2) = F(x 0,x 1 ) F(x 1,x 2 ) x 0 x 2 F(x 1, x 2) = F(x 1 ) F(x 2 ) x 1 x 2 x 2 F(x 2) = f(x 2) f(x) = F(x 0) + F(x 0, x 1)(x x 0) + F(x 0, x 1, x 2)(x x 0)(x x 1)

20 Fórmula de diferencias divididas (Newton) F(x 0, x 1,, x k ) = F(x0, x1,, x k 1) F(x 1, x 2,, x k ) (x 0 x k ) newtoncoefm function F = newtoncoef(xpuntos,ypuntos) % Argumentos: % xpuntos: vector fila con las coordenadas % en x % ypuntos: vector fila con las coordenadas % en y % Salida: % F: vector fila con los coeficientes del % polinomio de interpolación n = length(xpuntos); F = ypuntos; for i=2:n end end for j=n:-1:i end F(j) = (F(j)- F(j-1))/ (xpuntos(j)-xpuntos(j-i+1)); octave:#> xi = [1 2 4]; octave:#> yi = [ ]; octave:#> F = newtoncoef(x,y) F = p(x) = F(x 0 ) + F(x 0, x 1 )(x x 0 ) + F(x 0, x 1, x 2 )(x x 0 )(x x 1 ) + F(x 0, x 1, x 2, x )(x x 0 )(x x 1 )(x x 2 ) p(x) = 1 + 7(x 1) + 6(x 1)(x 2) + 1(x 1)(x 2)(x ) = x

21 Polinomio de interpolación p(x) = F(x 0) + F(x 0, x 1)(x x 0) + F(x 0, x 1, x 2)(x x 0)(x x 1) + + F(x 0,, x N )(x x 0) (x x N 1) polinewtonm function p = polinewton(f,xpuntos,x) % Argumentos: % F: vector fila con coeficientes % xpuntos: vector fila con coordendas en x % x: número en el que se evalua el % polinomio de interpolación % Salida: % p: el valor obtenido al evaluar el % polinomio de interpolación en x n = length(xpuntos); p = F(n); end for i=1:n-1 end p = F(n-i) + (x - xpuntos(n-i))*p; octave:#> polinewton(f,xi,) ans = 27 octave:#> polinewton(f,xi,-5) ans = -125 ejemplom clear all; xi = [1 2 4]; yi = [ ]; F = newtoncoef(xi,yi); x = -2:005:2; n = length(x); y = zeros(1,n); for i=1:n y(i) = polinewton(f,xi,x(i)); end plot(x,y); hold on grid on

22 Ejemplo 1 Ejemplo 1 Los datos consignados en la tabla pertenecen a la gráfica de la función f(x) = 2 sin(πx/10) x y Determine el polinomio de interpolación por medio de diferencias divididas de Newton 1 Realice una tabla con los valores del polinomio interpolante en x = 0, 05, 10,, 80 y compárelos con los valores exactos dados por y = f(x) 2 Realice las gráficas del polinomio de interpolación y la función

23 Ejemplo 1 (solución parte 1) f(x) = 2 sen(πx/10) x y ejemplo21am clear all; xi = [ ]; yi = [ ]; F = newtoncoef(xi,yi); x = -0:05:10; n = length(x); p = zeros(1,n); y = zeros(1,n); printf(" x p y \n"); for i=1:n p(i) = polinewton(f,xi,x(i)); y(i) = 2*sin(pi*x(i)/10); printf(" %105g %105g %105g \n", x(i), p(i), y(i)); end octave:#> ejemplo21a x p y

24 Ejemplo 1 (solución parte 2) f(x) = 2 sen(πx/10) x y ejemplo21bm clear all; xi = [ ]; yi = [ ]; F = newtoncoef(xi,yi); x = -0:05:10; n = length(x); p = zeros(1,n); y = zeros(1,n); for i=1:n p(i) = polinewton(f,xi,x(i)); y(i) = 2*sin(pi*x(i)/10); end plot(x,p, r ); hold on plot(x,y); legend( polinomio, función ) grid on

25 Teorema (41) Teorema 41 Sea f C n+1 [a, b] y p el polinomio de grado n que interpola a f en los n + 1 puntos x 0, x 1,, x n del intervalo [a, b] Para todo x [a, b] existe un ξ = ξ(x) (a, b) tal que f(x) p(x) = 1 (n + 1)! f (n+1) (ξ) ny (x x i) (11) i=0 Observaciones La cota de error para el polinomio de Taylor de grado n alrededor de x 0 concentra toda la información entorno a x 0: f (n+1) (ξ) (x x0)n+1 (n + 1)! La cota de error (??) utiliza los n + 1 puntos x 0, x 1,, x n: f (n+1) (ξ) (x x0) (x xn) (n + 1)!

26 Ejemplo 41 Estime el error cometido al aproximar la función f(x) = sen x por medio del polinomio de grado nueve que interpola a f en diez puntos del intervalo [0, 1] Solución La cota de error está dada por (??) f(x) p(x) = 1 10! f (10) (ξ) ny (x x i) (12) i=0 Por otra parte y Luego f (10) (ξ) = sen ξ = x [0, 1] = f (10) (ξ) 1 ny x x i 1 i=0 f(x) p(x) 1 2, !

27 Cota de error para el polinomio de Newton Teorema 42 Sea f C n+1 [a, b] y p el polinomio de grado n que interpola a f en los n + 1 puntos x 0, x 1,, x n del intervalo [a, b] Entonces ny f(x) p(x) = F(x 0, x 1,, x n, x) (x x i) (1) i=0

28 Observaciones Si p n interpola a f en los n + 1 puntos x 0, x 1,, x n, 1 ny f(x) p(x) = (n + 1)! f (n+1) (ξ) (x x i) (14) con ξ [x 0, x n] ξ es desconocido y (14) sólo es útil si la derivada está acotada i=0 Si f (n+1) (x) < M y h = máx{x i+1 x i : i = 0,, n}, máx f(x) p(x) Mhn+1 x [x 0,x n] (n + 1)! (15) El error disminuye a medida que n crece y h disminuye, sólo si f (n+1) (x) está acotada Aumentar el grado del polinomio no garantiza una mejor aproximación (pueden aparecer oscilaciones entre los puntos de interpolación)

29 Observaciones Por fuera del intervalo que contiene a los puntos de interpolación, ny (x x i) i=0 puede crecer rápido (extrapolación) En el interior del intervalo aumentar los puntos de interpolación no implica mejorar la aproximación Al aumentar el grado del polinomio, aumentan las oscilaciones Hasta ahora las aproximaciones de los polinomios de interpolación no dependen de la distribución de los puntos x 0,, x n de interpolación Puntos de interpolación igualmente espaciados a menudo conducen a resultados erróneos en los extremos

30 Fenómeno Runge Polinomios interpolantes para la función de Runge f(x) = 1, x [ 1, 1] x2 sobre puntos igualmente espaciados no converge Figura: utiliza 10 puntos equidistantes ( ); utiliza 20 puntos equidistantes ( )

31 Fenómeno Runge Los puntos de interpolación se pueden distribuir no uniformemente con el fin de minimizar el fenómeno de Runge «2i + 1 x i = cos 2n π, i = 0,, n (16) Figura: utiliza 10 puntos equidistantes ( ); utiliza 20 puntos dados por (16) ( )

32 Interpolación de Hermite Vimos que al aumentar los puntos de interpolación, aumenta el grado del polinomio de aproximación y las oscilaciones Una solución consiste en utilizar varios polinomios de interpolación de grado bajo en lugar de un polinomio de grado alto La interpolación de Hermite utiliza no sólo los valores de la función a interpolar sino también sus derivadas Por ejemplo x 0 x 1 x N f(x 0) f(x 1) f(x N ) f (x 0) f (x 1) f (x N ) Al incluir las derivadas, aumenta el número de ecuaciones del sistema que determina los parámetros del polinomio interpolante Los polinomios de Hermite se generan cuando se consideran sólo los valores de la primera derivada de la función

33 Polinomio osculante Proposición 51 (Existencia del polinomio osculante) Considere n + 1 puntos distintos en [a, b] x 0, x 1,, x n (17) y m i un entero no negativo asociado a x i para i = 0, 1,, n Para f C m [a, b] con m = máx 0 i n m i existe un único polinomio p de grado mínimo tal que d k p(x i) dx k = dk f(x i) dx k para i = 0, 1,, n y k = 0, 1,, m i (18) Observaciones El polinomio p que satisface la condición de interpolación de Hermite (18) es llamado polinomio osculante que aproxima a f El número de condiciones a satisfacer en (18) es P n i=0 mi + (n + 1) y por tanto el grado del polinomio osculante p es a lo sumo M = nx mi + n

34 Polinomio osculante Cuando n = 0 tenemos en (17) sólo un punto de interpolación x 0 y la condición de Hermite d k p(x 0) dx k = dk f(x 0) dx k para k = 0, 1,, m 0 conduce al m 0-ésimo polinomio de Taylor en torno a x 0 p(x) = f(x 0) + f (x 0)(x x 0) + f (x 0) 2! (x x 0) f (m0) (x 0) (x x 0) m 0 m 0! Cuando m i = 0 para i = 0, 1, n la condición de Hermite (18) queda p(x i) = f(x i) para i = 0, 1, n y el polinomio resultante es el polinomio de interpolación de Lagrange Cuando m i = 1 para i = 0, 1, n la condición de Hermite (18) queda p(x i) = f(x i) y p (x i) = f (x i) para i = 0, 1, n y el polinomio resultante se denomina polinomio de Hermite

35 Teorema (51) Teorema 51 Si f C 1 [a, b] y x 0, x 1,, x n son puntos distintos en [a, b], el polinomio osculante que interpola a f y f en x 0, x 1,, x n es el polinomio de Hermite de grado 2n + 1 y está dado por donde H 2n+1(x) = nx nx f(x j)h n,j(x) + f (x j)ĥn,j(x) (19) j=0 j=0 H n,j(x) = ˆ1 2(x x j)l n,j(x j) L 2 n,j(x), (20) Ĥ n,j(x) = (x x j)l 2 n,j(x) (21) y L n,j es el j-ésimo polinomio de Lagrange de grado n L n,j = ny i=0 i j (x x i) x j x i (22)

36 Ejemplo (51) Ejemplo 51 Utilice el polinomio de Hermite que concuerda con los datos de la tabla para obtener una aproximación de f(1,5) k x k f(x k ) f (x k ) 0 1, 0, , ,6 0, , ,9 0, , Solución Calculamos los polinomios de Lagrange y sus derivadas L 2,0(x) = L 2,1(x) = L 2,2(x) = (x x 1)(x x 2) (x 0 x 1)(x 0 x 2) (x x 0)(x x 2) (x 1 x 0)(x 1 x 2) (x x 0)(x x 1) (x 2 x 0)(x 2 x 1) = 50 9 x x = x x = 50 9 x x

37 Ejemplo (51) Para las derivadas tenemos Para los polinomios H 2,j(x) tenemos L 100 2,0 (x) = 9 x L 200 2,1 (x) = 9 x L 100 2,1 (x) = 9 x H 2,0 (x) = 50 [1 2(x 1,)( 5)] 9 x x «2 9 «2 50 = (10x 12) 100 H 2,1 (x) = x x «2 x x H 2,2 (x) = 10(2 x) 9 x x «2 9

38 Ejemplo (51) Para los polinomios Ĥ2,j(x) tenemos Por el teorema (51) H 5 (x) = 50 Ĥ 2,0 (x) = (x 1,) 9 x x «2 9 Ĥ 2,1 (x) = 100 (x 1,6) x x 247 «2 9 Ĥ 2,2 (x) = 50 (x 1,9) 9 x x «2 9 2X 2X f(x j )H n,j (x) + f (x j )Ĥn,j(x) j=0 j=0 = 0, H 2,0 (x) H 2,1 (x) + 0,281886H 2,2 (x) y evaluando 0,522022Ĥ2,0(x) 0, Ĥ2,1(x) 0, Ĥ2,2(x) H 5 (1,5) = 0,

39 Polinomio de Hermite con diferencias divididas Los cálculos requeridos para evaluar el polinomio de Hermite de acuerdo al teorema (51) son tediosos Otro método consiste en utilizar la fórmula de diferencias divididas p n(x) = f(x 0) + nx F(x 0,, x k )(x x 0) (x x k 1 ) k=1 y el teorema del valor medio F(x i, x i+1) = f(xi+1) f(xi) x i+1 x i = f (ξ), para algún ξ (x i, x i+1) Consideramos los puntos de interpolación y formamos la sucesión x 0, x 1,, x n definida por z 0, z 1,, z n z 0 = z 1 = x 0, z 2 = z = x 1,, z 2i = z 2i+1 = x i,

40 Polinomio de Hermite con diferencias divididas z f(z) Primeras diferencias Segundas diferencias z 0 = x 0 F(z 0) = f(x 0) F(z 0, z 1) = f (x 0) z 1 = x 0 F(z 1) = f(x 0) F(z 0, z 1, z 2) = F(z 1,z 2 ) F(z 0,z 1 ) z 2 z 0 F(z 1, z 2) = F(z 2 ) F(z 1 ) z 2 z 1 z 2 = x 1 F(z 2) = f(x 1) F(z 1, z 2, z ) = F(z 2,z ) F(z 1,z 2 ) z z 1 F(z 2, z ) = f (x 1) z = x 1 F(z ) = f(x 1) F(z 2, z, z 4) = F(z,z 4 ) F(z 2,z ) z 4 z 2 F(z, z 4) = F(z 4 ) F(z ) z 4 z z 4 = x 2 F(z 4) = f(x 2) F(z 2, z, z 4) = F(z,z 4 ) F(z 2,z ) z 4 z 2 F(z 4, z 5) = f (x 2) z 5 = x 2 F(z 4) = f(x 2) F(z 0, z 1, z 2) = F(z 1,z 2 ) F(z 0,z 1 ) z 2 z 0 nx H 2n+1(x) = F(z 0) + F(z 0,, z k )(x z 0) (x z k 1 ) k=1

41 Aproximación polinómica fragmentaria Al aumentar los puntos de interpolación, aumenta el grado del polinomio de aproximación y las oscilaciones Otro enfoque consiste en dividir el intervalo en una serie de subintervalos y en cada uno de esos subintervarlos construir un polinomio de interpolación de grado bajo La interpolación lineal une los puntos mediante rectas {(x 0, f(x 0)), (x 1, f(x 1)),, (x n, f(x n))} Otra posibilidad es usar polinomios cuadráticos entre [x i, x i+1]

42 Spline (trazador) cúbico Definición 61 (Spline cúbico) Considere f : [a, b] R y un conjunto de nodos a = x 0 < x 1 < < x n = b Un spline cúbico para f es una función S : [a, b] R tal que: 1 S [xj,x j+1 ]= S j donde S j es un polinomio cúbico en [x j, x j+1] 2 S(xj) = f(x j) para j = 0, 1,, n Sj+1(x j+1) = S j(x j+1) para j = 0, 1,, n 2 4 S j+1 (x j+1) = S j(x j+1) para j = 0, 1,, n 2 5 S j+1(x j+1) = S j (x j+1) para j = 0, 1,, n 2 6 Una de las siguientes condiciones de frontera se satisfacen 1 S (x 0 ) = S (x n) = 0 (frontera libre) 2 S (x 0 ) = f (x 0 ) y S (x n) = f (x n) (frontera sujeta)

43 Construcción del spline cúbico En cada intervalo [x j, x j+1] consideramos el polinomio cúbico S j(x) = a j + b j(x x j) + c j(x x j) 2 + d j(x x j) S j(x) = b j + 2c j(x x j) + d j(x x j) 2 S j (x) = 2c j + 6d j(x x j) (2) con j = 0,, n 1 Por la condición de interpolación (2), S(x j) = f(x j) = a j = f(x j) De la condición (), S j+1(x j+1) = S j(x j+1) a j+1 = a j + b j(x j+1 x j) + c j(x j+1 x j) 2 + d j(x j+1 x j) a j+1 = a j + b jh j + c jh 2 j + d jh j (24)

44 Construcción del spline cúbico De la condición (4) para la primera derivada, S j+1(x j+1) = S j(x j+1) b j+1 = b j + 2c j(x j+1 x j) + d j(x j+1 x j) 2 (25) b j+1 = b j + 2c jh j + d jh 2 j De la condición (5) para la segunda derivada, S j+1(x j+1) = S j (x j+1) 2c j+1 = 2c j + 6d j(x j+1 x j) c j+1 = c j + d jh j d j = cj+1 cj h j (26) Al reemplazar d j en (24) a j+1 = a j + b jh j + h2 j (2cj + cj+1) b j = 1 (a j+1 a j) hj (2cj + cj+1) h j (27)

45 Construcción del spline cúbico De la última ecuación b j 1 = 1 (a j a j 1) hj 1 (2cj 1 + cj) (28) h j 1 De nuevo, al reemplazar d j (26) en (25), b j+1 = b j + h j(c j + c j+1) (29) Resumiendo: tenemos las ecuaciones (27) y (28) b j = 1 (a j+1 a j) hj (2cj + cj+1) h j b j 1 = 1 (a j a j 1) hj 1 (2cj 1 + cj) h j 1 (0) La ecuación (29) se puede expresar como b j = b j 1 + h j 1(c j 1 + c j) (1)

46 Construcción del spline cúbico Finalmente reemplazamos (0) en (1) b j = b j 1 + h j 1 (c j 1 + c j ) 1 h j (a j+1 a j ) h j (2c j + c j+1 ) = 1 h j 1 (a j a j 1 ) h j 1 (2c j 1 + c j ) + h j 1 (c j 1 + c j ) 1 h j (a j+1 a j ) 1 h j 1 (a j a j 1 ) = h j (2c j + c j+1 ) h j 1 (2c j 1 + c j ) + h j 1 (c j 1 + c j ) (a j+1 a j ) (a j a j 1 ) = h j (2c j + c j+1 ) h j 1 (2c j 1 + c j ) + h j 1 (c j 1 + c j ) h j h j 1 El lado derecho se puede escribir como h j (2c j + c j+1 ) h j 1 (2c j 1 + c j ) + h j 1 (c j 1 + c j ) = 2h j c j + h j c j+1 2h j 1 2c j 1 h j 1 c j + h j 1 c j 1 + h j 1 c j = 2h j c j + h j c j+1 + h j 1 c j 1 + 2h j 1 c j = h j 1 c j 1 + 2(h j + h j 1 )c j + h j c j+1

47 Construcción del spline cúbico Obtenemos para los coeficientes c j el sistema de ecuaciones h j 1 c j 1 + 2(h j + h j 1 )c j + h j c j+1 = h j (a j+1 a j ) h j 1 (a j a j 1 ) {z } t j con j = 1, 2,, n 1 El sistema es (n 1) (n + 1): h 0 c (h 0 + h 1 ) c 1 + h 1 c = t h 1 c (h 1 + h 2 ) c 2 + h 2 c = t h n 2 c n + 2 (h n 2 + h n 1 ) c n 2 + h n 1 c n 1 = t n 1 Se requieren dos ecuaciones más para cerrar el sistema (condiciones de frontera (61), (62))

48 Construcción del spline cúbico Para la condición de frontera (61) S (x 0) = S (x n) = 0 De (2), S j (x) = 2c j + 6d j(x x j) = S 0 (x 0) = 2c 0 + 6d j(x 0 x 0) = 0 = c 0 = 0 Las ecuaciones c 0 = 0 y c n = 0 generan el sistema (n + 1) (n + 1): h 0 2(h 0 + h 1) h h 1 2(h 1 + h 2) h h n 2 2(h n 2 + h n 1) h n c 0 c c n 2 = t

49 Existencia del spline cúbico Teorema 61 (Spline cúbico con frontera libre) Sea f : [a, b] R Entonces existe un único spline cúbico S que interpola a f en a = x 0 < x 1 < < x n = b y que satisface la condición de frontera S (a) = 0 y S (b) = 0 Observaciones El interpolador S : [a, b] R está dado por S(x) = S j(x) = a j +b j(x x j)+c j(x x j) 2 +d j(x x j), x [x j, x j+1] donde 1 a j = f(x j ), j = 0,, n 2 c 0, c 1,, c n se obtienen de resolver el sistema lineal b j = (a j+1 a j )/h j h j (c j+1 + 2c j )/ (ecuación (0)) 4 d j = (c j+1 c j )/( h j ) (ecuación (26))

50 Construcción del spline cúbico Para la condición de frontera (62) S (x 0) = f (x 0) y S (x n) = f (x n) el sistema de ecuaciones queda h 0 h h 0 2(h 0 + h 1) h h 1 2(h 1 + h 2) h h n 2 2(h n 2 + h n 1) h n h n 1 2 h n 1 2 c 0 c c n = b 7 5 con 2 b = 6 4 h (a 1 a 0 0) f (a) h (a 2 a 1 1) h (a 1 a 0 0) h (a n a n 1 n 1) h (a n 1 a n 2 n 2) f (b) h (a n a n 1 n 1) 7 5

51 Ejemplo Ejemplo 61 (Spline cúbico con frontera libre) Encuentre el spline cúbico de frontera libre que interpola y determine el valor de y en x = 1,5 x y Solución El interpolador S : [a, b] R está dado por S(x) = S j(x) = a j +b j(x x j)+c j(x x j) 2 +d j(x x j), x [x j, x j+1] A = 6 4 a 0 = 0, a 1 = 1, a 2 = 0, a = 1, a 4 = 1 h 0 = h 1 = h 2 = h = h 4 = h 0 2(h 0 + h 1) h h 1 2(h 1 + h 2) h h 2 2(h 2 + h ) h =

52 Ejemplo Para b tenemos 2 A = t 1 t 2 t = (a 2 a 1) (a 1 a 0) h 1 h 0 (a a 2) (a 2 a 1) h 2 h 1 (a 4 a ) (a a 2) h 4 h = La solución del sistema viene dada por Ax = b x = [ 0, , , , ] T Para el resto de coeficientes podemos usar las fórmulas vistas b j = d j = aj+1 aj h j cj+1 cj h j h j c j+1 + 2c j

53 Ejemplo Para el resto de coeficientes del spline S(x) = S j(x) = a j + b j(x x j) + c j(x x j) 2 + d j(x x j) podemos usar también el programa SplineLibrec Resultados obtenidos a i b i c i d i 0, , , , , , , , , , , , , , , , El valor solicitado es en x = 1,5 [x 0, x 1] y S(x) = S 0(x) = 1, (x 1) 0, (x 1) S(1,5) = S 0(1,5) = 0,

54 Referencias RL Burden, JD Faires Análisis numérico Séptima Edición Editorial Thomson faires/numerical-analysis/ JW Eaton GNU Octave: A high-level interactive language for numerical computations Network Theory Ltd,