α A TRIGONOMETRÍA PLANA
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- María Rosario Blanco Valenzuela
- hace 6 años
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1 TRIGONOMETRÍ PLN El origen de l plr trigonometrí puede enontrrse en el griego, trígono triángulo y metrí medid. L trigonometrí justmente trt de eso, l mediión y resoluión de situiones donde se preten triángulos. Hemos refereni l trigonometrí pln undo trjmos en dos dimensiones on triángulos plnos. Un triángulo posee los siguientes elementos: Vérties: Ldos: - - Ángulos: - - Pr resolver situiones que se pueden trduir l esquem de un triángulo nos podemos vler de l medid de los ldos pero no siempre lnz, se dee reurrir l medid de los ángulos que posee el triángulo. Hemos uso, en ese so de ls funiones goniométris (del griego gonio ángulo) que por etensión se ls denomin funiones trigonométris. Ests funiones son seis: o, oo, tngente, te, ote y otngente y se ls define en un triángulo retángulo y pr un ángulo en prtiulr, de l siguiente mner: os e os se tn ot g De uerdo est definiión, ls funiones ote, te y otngente son ls funiones inverss de o, oo y tngente respetivmente.
2 Definimos l irunfereni trigonométri omo quell irunfereni de rdio igul l unidd y sí, d segmento que se tre en úsqued de l rzones trigonométris definirán d un de ells: y E F O D r 1 O OF os e OE os e OF O os O os O O se OD se O D tn OD tn D EF ot g OE ot g EF El nálisis de ests funiones puede rindrnos dtos y propieddes de interés. El mismo puede relizrse gráfimente o pelndo métodos de álulo. sí:
![L FUNIÓN SENO El dominio de l funión o es el onjunto de los números reles. L imgen está omprendid en el intervlo [-1, 1]. Es un funión ontinu en todo su dominio.](/docs-images/65/52910579/images/3-0.jpg "Si definimos el domino [ 0,π], es reiente en el intervlo ( 0, π ) y en intervlo ( π, π ) Es dereiente en ( π, 3 ). Tiene vlor máimo soluto en π en π 3π.")
3 L FUNIÓN SENO El dominio de l funión o es el onjunto de los números reles. L imgen está omprendid en el intervlo [-1, 1]. Es un funión ontinu en todo su dominio. Si definimos el domino [ 0,π], es reiente en el intervlo ( 0, π ) y en intervlo ( π, π ) Es dereiente en ( π, 3 ). Tiene vlor máimo soluto en π en π 3π. Es un funión impr. De este nálisis inferimos que: Pr ángulos omprendidos entre 0 π l funión o es positiv. 3. y mínimo soluto Pr ángulos omprendidos entre π π l funión o es negtiv. L FUNION OSENO El dominio de l funión oo es el onjunto de los números reles. L imgen está omprendid en el intervlo [-1, 1]. Es un funión ontinu en todo su dominio.
![Si definimos el domino [ 0,π], es dereiente en el intervlo ( 0, π) y reiente en ( π π) Tiene vlor máimo soluto en 0 y mínimo soluto en π. Es un funión pr.](/docs-images/65/52910579/images/4-0.jpg "De este nálisis inferimos que: Pr ángulos omprendidos entre 0 π l funión oo es positiv. Pr ángulos omprendidos entre Pr ángulos omprendidos entre π 3π l funión oo es negtiv.")
4 Si definimos el domino [ 0,π], es dereiente en el intervlo ( 0, π) y reiente en ( π π) Tiene vlor máimo soluto en 0 y mínimo soluto en π. Es un funión pr. De este nálisis inferimos que: Pr ángulos omprendidos entre 0 π l funión oo es positiv. Pr ángulos omprendidos entre Pr ángulos omprendidos entre π 3π l funión oo es negtiv. 3π π l funión oo es positiv.,. L FUNIÓN TNGENTE El dominio de l funión tngente es el onjunto de los números reles menos en quellos puntos de sis ( π k π) on k perteneiente los enteros. L imgen es el onjunto de los números reles. No es un funión ontinu en todo su dominio. Si definimos el domino [ 0,π], es siempre reiente y no tiene vlores máimos ni mínimos. Es un funión impr. De este nálisis inferimos que: Pr ángulos omprendidos entre 0 π l funión tngente es positiv. Pr ángulos omprendidos entre Pr ángulos omprendidos entre π Pr ángulos omprendidos entre π π l funión tngente es negtiv. 3π l funión tngente es positiv. 3π π es negtiv.
5 RELIONES QUE SE ESTLEEN ENTRE LS FUNIONES TRIGONOMÉTRIS En el triángulo O ˆ de l irunfereni trigonométri tendremos: y Que, si el segmento O repret el oo del ángulo y el segmento O r 1 el o del mismo, por el Teorem de Pitágors: O O os 1 os 1 Luego, si l tngente fue definid por l rzón entre el teto opuesto y el dyente del triángulo tendremos: tn teto opuesto teto dyente tn O tn os su vez tendremos ls tres reliones que se estleen entre ls funiones trigonométris o, oo y tngente y sus inverss: os e 1 se 1 os ot g 1 tg
6 Ls reliones fundmentles son muy importntes l hor de resolver identiddes y euiones trigonométris. L primer relión d otrs de uso hitul: 1 os os 1 1 os os 1 os 1 RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS NO RETÁNGULOS undo l situión prolemáti no se trdue l esquem de un triángulo retángulo l trigonometrí ofree dos opiones: el Teorem del Seno y el Teorem del oo. Estos teorems se pueden plir ulquier tipo de triángulo. Teorem del Seno En todo triángulo se d l siguiente relión entre l longitud de sus ldos, y y el o de sus respetivos ángulos opuestos, y : Demostrión:
7 h h h h h (I) h h h h h (II) En (I) Por propiedd trnsitiv: En (II) Teorem del oo En todo triángulo el udrdo de un ldo es igul l sum de los udrdos de los otros ldos menos, el dole del produto de estos ldos por el oo del ángulo opuesto ellos:
8 os os os Demostrión: (solo pr l primer iguldd, ls otrs dos se demuestrn en form semejnte) ( ) os os os os h h h - h
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