Ecuaciones y Gráficas en dos variables. 1. Plano Cartesiano, cuadrantes, signos 2. Localizar puntos en plano
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- Laura Calderón Cárdenas
- hace 6 años
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1 Ecuaciones y Gráficas en dos variables Discusión 1. Plano Cartesiano, cuadrantes, signos 2. Localizar puntos en plano
2 Fórmulas de Distancia Theorem 1. La distancia de dos puntos A y B en recta real es: d(a, B) = A B. 2. La distancia de dos puntos A(x 1, y 1 ) y B(x 2, y 2 ) en el plano cartesiano está dada por : d(a, B) = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2.
3 Ejemplos Encuentre la distancia de los puntos en la linea recta: (a) 3 y 6 (b) 2 20 y 2 25 (c) π y 7 2 π
4 Ejemplos Encuentre la distancia de los puntos en la linea recta: (a) 3 y 6 (b) 2 20 y 2 25 (c) π y 7 2 π Halle la distancia de cada par de puntos en plano cartesiano: a)(1, 1), (3, 5) b)( 2, 0), ( 2 2, 3) c)( 2π 3, 1), (π 6, 2).
5 Theorem 1. El punto medio dos puntos A y B en recta real es: A + B El punto medio dos puntos A(x 1, y 1 ) y B(x 2, y 2 ) en el plano cartesiano está dada por : ( x 1 + x 2 2, y 1 + y 2 ). 2
6 Ejemplos Encuentre el punto medio de los puntos en la linea recta: (a) 3 y 6 (b) 2 20 y 2 25 (c) π y 7 2 π
7 Ejemplos Encuentre el punto medio de los puntos en la linea recta: (a) 3 y 6 (b) 2 20 y 2 25 (c) π y 7 2 π Halle el punto medio de cada par de puntos en plano cartesiano: a)(1, 1), (3, 5) b)( 2, 0), ( 2 2, 3) c)( 2π 3, 1), (π 6, 2).
8 Un par ordenado es una solución de una ecuación con dos variables si la ecuación se cumple cuando las variables son substituidas por coordenadas del par ordenado.
9 Un par ordenado es una solución de una ecuación con dos variables si la ecuación se cumple cuando las variables son substituidas por coordenadas del par ordenado. El conjunto solución a una ecuación con dos variables es el conjunto de todos los pares ordenados que satisfacen la ecuación.
10 Un par ordenado es una solución de una ecuación con dos variables si la ecuación se cumple cuando las variables son substituidas por coordenadas del par ordenado. El conjunto solución a una ecuación con dos variables es el conjunto de todos los pares ordenados que satisfacen la ecuación. La gráfica de una ecuación es conjunto de pares ordenados del conjunto solución de la ecuación en el plano cartesiano. La gráfica de una ecuación nos provee con un enfoque geométrico del objeto algebraico llamado ecuación.
11 Círculo Un círculo es el conjunto de todos los puntos en el plano que se encuentran a un distancias fija(> 0) de un punto fijo en el plano. La distancia fija se llama radio del círculo y el punto fijo dado se le llama centro del círculo.
12 Círculo Un círculo es el conjunto de todos los puntos en el plano que se encuentran a un distancias fija(> 0) de un punto fijo en el plano. La distancia fija se llama radio del círculo y el punto fijo dado se le llama centro del círculo. Theorem (Forma Estándar de Círculo) La ecuación de un círculo con centro en (h, k) y radio r > 0 es (x h) 2 + (y k) 2 = r 2.
13 Ejemplos Examples Graficar los siguientes círculos. 1. x 2 + y 2 = 1
14 Ejemplos Examples Graficar los siguientes círculos. 1. x 2 + y 2 = 1 2. (x 1) 2 + y 2 = 4
15 Ejemplos Examples Graficar los siguientes círculos. 1. x 2 + y 2 = 1 2. (x 1) 2 + y 2 = 4 3. x 2 + (y + 1) 2 = 1 4
16 Ejemplos Examples Graficar los siguientes círculos. 1. x 2 + y 2 = 1 2. (x 1) 2 + y 2 = 4 3. x 2 + (y + 1) 2 = (x + 1) 2 + (x 2) 2 = 4
17 Ejemplos Encuentre la ecuación en forma estándar del círculo que tiene centro ( 1, 3) y tiene radio 2.
18 Ejemplos Encuentre la ecuación en forma estándar del círculo que tiene centro ( 1, 3) y tiene radio 2. Encuentre la ecuación en forma estándar del círculo que tiene centro (1, 3) y tiene radio 2.
19 Ejemplos Encuentre la ecuación en forma estándar del círculo que tiene centro ( 1, 3) y tiene radio 2. Encuentre la ecuación en forma estándar del círculo que tiene centro (1, 3) y tiene radio 2. Encuentre la ecuación en forma estándar del círculo que tiene centro ( 1, 3) y pasa por el (2, 3).
20 Ejemplos Encuentre la ecuación del círculo en forma estándar. 1. x y 2 = 7
21 Ejemplos Encuentre la ecuación del círculo en forma estándar. 1. x y 2 = 7 2. x 2 + 2x + y 2 = 5
22 Ejemplos Encuentre la ecuación del círculo en forma estándar. 1. x y 2 = 7 2. x 2 + 2x + y 2 = 5 3. x 2 + 8x + y 2 + 2y = 1
23 Ejemplos Encuentre la ecuación del círculo en forma estándar. 1. x y 2 = 7 2. x 2 + 2x + y 2 = 5 3. x 2 + 8x + y 2 + 2y = 1 4. x 2 + 8x + y 2 + 2y + 3 = 1
24 Ejemplos Encuentre la ecuación del círculo en forma estándar. 1. x y 2 = 7 2. x 2 + 2x + y 2 = 5 3. x 2 + 8x + y 2 + 2y = 1 4. x 2 + 8x + y 2 + 2y + 3 = x 2 + 8x + 2y 2 + 2y + 6 = 1
25 Definition (Ecuación Estándar de Una Línea Recta) Si A, B y C son números, entonces la gráfica de la ecuación Ax + By = C es una ĺınea recta, siempre que A y B ambos no sean cero.
26 Graficar. 1. 2x y = 1
27 Graficar. 1. 2x y = 1 2. y = x
28 Graficar. 1. 2x y = 1 2. y = x 3. 3x 2 = y
29 Graficar. 1. 2x y = 1 2. y = x 3. 3x 2 = y 4. y = 1
30 Graficar. 1. 2x y = 1 2. y = x 3. 3x 2 = y 4. y = 1 5. x = 1
31 Ecuaciones Lineales en Dos Variables Definition La pendiente de la recta que pasa por (x 1, y 1 ) y (x 2, y 2 ) con x 1 x 2 está por m = y 2 y 1 x 2 x 1.
32 Ejemplos Hallar la pendiente en cada caso. 1. (2, 3) y (7, 5)
33 Ejemplos Hallar la pendiente en cada caso. 1. (2, 3) y (7, 5) 2. (2 2, 1) y ( 2, 4)
34 Ejemplos Hallar la pendiente en cada caso. 1. (2, 3) y (7, 5) 2. (2 2, 1) y ( 2, 4) 3. (π, 2 3 ) y ( 2π 3, 1 2 )
35 Definition Dado un punto (x 1, y 1 ) la ecuación de la recta en forma punto-pendiente esta dada por y y 1 = m(x x 1 )
36 Ejemplos Si la pendiente de un recta que pasa por (1, 2) es 2. Encuentre la ecuación de la ĺınea recta.
37 Ejemplos Si la pendiente de un recta que pasa por (1, 2) es 2. Encuentre la ecuación de la ĺınea recta. Si la recta que pasa por (1, 2) y ( 2, 1). Encuentre la ecuación de la ĺınea recta.
38 Definition La ecuación de la recta en forma pendiente-intercepto con pendiente m e intercepto en y en el punto (0, b) es y = mx + b
39 Ejemplos Indentifica la pendiente y el intercepto en y de la recta 2x + 3y = 5
40 Ejemplos Indentifica la pendiente y el intercepto en y de la recta 2x + 3y = 5 Indentifica la pendiente y el intercepto en y de la recta 2x + 3 = 2y
41 Theorem Dos rectas no verticales en el plano son paralelas si y solo si sus pendientes son iguales.
42 Theorem Dos rectas no verticales en el plano son paralelas si y solo si sus pendientes son iguales. Encuentre la ecuación de una ĺınea recta que pasa por ( 1, 5) y es paralela a y x = 0
43 Theorem Dos rectas no verticales en el plano son paralelas si y solo si sus pendientes son iguales. Encuentre la ecuación de una ĺınea recta que pasa por ( 1, 5) y es paralela a y x = 0 Encuentre la ecuación de una ĺınea recta que pasa por (0, 1) y es paralela a y = 3
44 Theorem Dos rectas no verticales en el plano son perpendiculares si y solo si el producto de sus pendintes es igual a 1.
45 Theorem Dos rectas no verticales en el plano son perpendiculares si y solo si el producto de sus pendintes es igual a 1. Encuentra la ecuación de la recta perpendicular a 2x 3y = 1, y que contiene al punto ( 2, 1).
46 Theorem Dos rectas no verticales en el plano son perpendiculares si y solo si el producto de sus pendintes es igual a 1. Encuentra la ecuación de la recta perpendicular a 2x 3y = 1, y que contiene al punto ( 2, 1). Encuentra la ecuación de la recta perpendicular a 2x = 1, y que contiene al punto ( 2, 1).
47 Example De la empresa ATN wireless sabemos que el costo mensual de un telefono celular con 1000 minutos por mes es de $35, o 2000 minutos por $45. El costo en dólares es función lineal del tiempo en minutos. Encuentra la fórmula para C. Cuál es el costo de $2300 minutos por mes?
48 Example Un administrador gastará $3000 en archivos a $100 cada uno, y libreros a $150 cada uno. Escribe el número de archiveros como función del número de libreros, e interpreta la pendiente.
49 Números Complejos Definition El número imaginario i está definido por i 2 = 1. También podemos escribir como i = 1.
50 Números Complejos Definition El número imaginario i está definido por i 2 = 1. También podemos escribir como i = 1. El conjunto de números complejos es el conjunto de todos los números de la forma a + bi, donde a, b R. Los denotamos por C= {a + bi a, b R, i 2 = 1}.
51 z = a + bi parte real: Re(z) = a parte imaginaria( Im(z) = b
52 z = a + bi parte real: Re(z) = a parte imaginaria( Im(z) = b igualdad: a + bi = c + di is y solo a = c y b = d
53 z = a + bi parte real: Re(z) = a parte imaginaria( Im(z) = b igualdad: a + bi = c + di is y solo a = c y b = d si b = 0, decimos esl número es real si b 0, decimos esl número es imaginario
54 z = a + bi parte real: Re(z) = a parte imaginaria( Im(z) = b igualdad: a + bi = c + di is y solo a = c y b = d si b = 0, decimos esl número es real si b 0, decimos esl número es imaginario suma, resta y multiplicación
55 z = a + bi parte real: Re(z) = a parte imaginaria( Im(z) = b igualdad: a + bi = c + di is y solo a = c y b = d si b = 0, decimos esl número es real si b 0, decimos esl número es imaginario suma, resta y multiplicación potencias de i
56 z = a + bi parte real: Re(z) = a parte imaginaria( Im(z) = b igualdad: a + bi = c + di is y solo a = c y b = d si b = 0, decimos esl número es real si b 0, decimos esl número es imaginario suma, resta y multiplicación potencias de i conjugado a + bi = a bi
57 z = a + bi parte real: Re(z) = a parte imaginaria( Im(z) = b igualdad: a + bi = c + di is y solo a = c y b = d si b = 0, decimos esl número es real si b 0, decimos esl número es imaginario suma, resta y multiplicación potencias de i conjugado a + bi = a bi división
58 z = a + bi parte real: Re(z) = a parte imaginaria( Im(z) = b igualdad: a + bi = c + di is y solo a = c y b = d si b = 0, decimos esl número es real si b 0, decimos esl número es imaginario suma, resta y multiplicación potencias de i conjugado a + bi = a bi división valor absoluto: a + bi = a 2 + b 2
59 z = a + bi parte real: Re(z) = a parte imaginaria( Im(z) = b igualdad: a + bi = c + di is y solo a = c y b = d si b = 0, decimos esl número es real si b 0, decimos esl número es imaginario suma, resta y multiplicación potencias de i conjugado a + bi = a bi división valor absoluto: a + bi = a 2 + b 2 Graficar z i 2 = 1
60 Sea z = x + yi. Entonces z i 2 = x + yi i 2 = x + (y 1)i 2 = 1 ( x 2 + (y 1) 2 ) 2 = 1 x 2 + (y 1) 2 = 1 El círculo con centro (0, 1) y radio 1.
61 Para cualquier número real positivo b = b i
62 Para cualquier número real positivo b = b i 1 = 1 = ( 1)( 1) = 1 1 = i i = i 2 = 1 ERROR!!!
63 Para cualquier número real positivo b = b i 1 = 1 = ( 1)( 1) = 1 1 = i i = i 2 = 1 ERROR!!! 2 8 = ( 2)( 8) = 16 = 4 incorrecto i 2 i 8 = i 2 16 = 4 correcto
64 Ejemplos Escribir la expresión en la forma estándar a + bi
65 Ejemplos Escribir la expresión en la forma estándar a + bi
66 Ejemplos Escribir la expresión en la forma estándar a + bi
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