Movimiento oscilatorio Movimiento armónico simple (MAS) Cinemática

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José Antonio Aguilera Zúñiga
hace 6 años
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1 Moviiento ociltorio Moviiento rónico iple (MAS) Cineátic IES L Mgdlen. Avilé. Aturi Se dice que un prtícul ocil cundo tiene un oviiento de vivén repecto de u poición de equilibrio, de for tl que el oviiento e repite en cd ocilción. Lo oviiento ociltorio pueden er á o eno coplejo (ver figur) Moviiento ociltorio. L prtícul ocil izquierd y derech de x= (poición de equilibrio) repitiéndoe el oviiento en cd ocilción. De todo lo oviiento ociltorio el á encillo, y el á iportnte, e el oviiento rónico iple (MAS). Moviiento rónico iple de = y A = 1, Much fenóeno nturle pueden coniderre rónico iple y, deá, culquier oviiento ociltorio á coplejo e puede reolver coo un u de vrio MAS (plicndo un étodo teático lldo étodo de Fourier). A l izquierd e puede ver l gráfic x/t pr un oviiento ociltorio (en líne continu) obtenido coo u de do MAS (que precen con líne dicontinu). 1

2 Fíic º Bchillerto. IES L Mgdlen. Avilé. Aturi Moviiento rónico iple (MAS) Moviiento rónico iple. MAS Un ejeplo de MAS e el de l proyección obre el diáetro de l circunferenci de l poición de un punto que gir con velocidd ngulr contnte: L poición del punto obre el diáetro qued deterind por l ecución: x = Aen( ωt) en( α ) + co( α ) = 1 co( α ) = 1 en( α) v = A ωco ω t = A ω 1 en( ω t) = A ω A ωen( ω t) = = A ω ω x = ω A x v = ω A x Donde: x = poición (elongción) A= Aplitud (elongción áxi) ω= Velocidd ngulr de giro (en rd/) ( ωt) = Fe Et ecución puede ervir tbién pr definir el MAS: un cuerpo e ueve con MAS cundo u poición reponde l ecución nterior. Podeo obtener l expreión que no d l velocidd derivndo l expreión nterior repecto del tiepo: Podeo exprer l velocidd en función de l poición (x) del punto teniendo en cuent que: Por tnto: dx v = = Aωco( ωt) dt L velocidd, coo e ve, no e contnte, e un función coenoidl del tiepo. Con el fin de conocer l rpidez con l que vrí clculo l celerción derivndo, un vez á, l velocidd repecto del tiepo: dx dv = = = Aω en( ωt) dt dt Obervr que el oviiento no e uniforeente celerdo y que l celerción vrí (e función del tiepo). L celerción tbién podeo exprerl en función de l poición, x: = A ω en( ω t) = ωx = ωx

3 Fíic º Bchillerto. IES L Mgdlen. Avilé. Aturi Moviiento rónico iple (MAS) L expreione nteriore pueden ecribire en función del periodo del oviiento, (tiepo que trd en dr un ocilción coplet) o de l frecuenci f (núero de ocilcione por egundo) recordndo que: 1 ω = = = f O e: x = Aen t = Aen ft ( ) v = A co t = A f co ft ( ) ( ) v = A en t = A f en ft ( ) ( ) Aunque eteo trbjndo olo con l prte eclr de l gnitude no conviene olvidr que l poición qued fijd por un vector de poición ( ), y que tnto l velocidd coo l celerción on vectore, cuy dirección y entido quedn fijdo por l del vector unitrio r i r = xi v = vi NOA: Obervr que pr un x dd (upongo que etá itud l derech del origen) l velocidd tiene do vlore poible (ver expreión que d v en función de x), correpondiente l vlor de l ríz cudrd con igno poitivo o negtivo, lo que indic que en un deterind poición el punto puede overe hci l derech (oviiento de id) o hci l izquierd (oviiento de vuelt). Siepre que el punto e itúe l derech (x poitiv), l celerción punt hci l izquierd y cundo etá l izquierd (x negtiv), hci l derech. i = ( ω x)i Repreentcione gráfic x/t. Vlore extreo de v y Recordeo que cundo un punto e ueve con MAS ocil izquierd y derech de u poición de equilibrio. L tryectori del punto (que e repite en cd ocilción) puede obervre en l gráfic iguiente, donde l poicione e hn fijdo intervlo regulre de,1 : 3

gráfic e correponde con l de un MAS de A = 1, y =,. Obervr que el oviiento e repite intervlo de.

(oviiento hci l izquierd), lcnz u áxio vlor negtivo pr t=1, (po por el origen hci l izd), coienz decrecer (igno negtivo, oviiento hci l izd), e nul pr t=1,5 (x =- A) y continución to vlore poitivo

4 Fíic º Bchillerto. IES L Mgdlen. Avilé. Aturi Moviiento rónico iple (MAS) Podeo hcer hor un repreentción gráfic de vlore de x (poición del punto) repecto del tiepo pr hcerno un ide de cóo vrí x en función de t (ver gráfic l izquierd) L gráfic e correponde con l de un MAS de A = 1, y =,. Obervr que el oviiento e repite intervlo de. En l gráfic v/t e oberv que l velocidd dquiere u vlor áxio poitivo en el origen (oviiento hci l derech), decrece luego ht hcere nul pr t =,5 (x= A) y prtir de hí dquiere vlore creciente, pero negtivo (oviiento hci l izquierd), lcnz u áxio vlor negtivo pr t=1, (po por el origen hci l izd), coienz decrecer (igno negtivo, oviiento hci l izd), e nul pr t=1,5 (x =- A) y continución to vlore poitivo creciente (oviiento hci l dch). Etudindo l gráfic /t veo que l celerción tiene un vlor nulo en el origen, dquiere vlore creciente y negtivo (punt hci l izd) ht u vlor áxio negtivo pr t=,5 (x=a) y prtir de hí coienz diinuir nteniendo el igno negtivo, e nul pr t= 1, (po por el origen hci l izd) y coienz crecer puntndo hci l dch. (igno poitivo). Adquiere u vlor áxio poitivo pr t =1,5 (x = - A) y, finlente, decrece ht nulre cundo vuelve pr por el origen. bién podeo etudir lo vlore extreo de v y prtiendo de l fórul que l relcionn con l elongción, x: Vlore x Vlore v y x= (Mov. hci l dch) x = A v = x= (Mov. hci l izd) Coentrio v = ± ω A x = ω x v = ωa v = ωa Origen. Vlor áx. Mov. hci l dch. Máx. lejiento l dch. Origen. Vlor áx. Mov. hci l izd. = = ω A = Coentrio Origen. Moviiento hci l dch. Vlor áx. Acelerción hci l izd. Origen. Moviiento hci l izd. x= - A v = Máx. lejiento l izd. = ω A Vlor áx. Acelerción hci l dch. = v x v= x v v x v= x = - A v v x = v x =A

5 Fíic º Bchillerto. IES L Mgdlen. Avilé. Aturi Moviiento rónico iple (MAS) Ejeplo 1 Un punto ocil con MAS de periodo, y plitud,. ) Ecribir l ecución del oviiento. b) Deterinr el vlor de l elongción, velocidd y celerción pr t =,75 y,3 ) x = Aen( ω t) = Aen t en t en t = = x = en t b) x(t =, 75) = en t = en, 75 = 1, 8(itudolderechdelorigen) x(t =, 3) = en t = en, 3 = 1, (itudolizquierddelorigen) v = A ωco( ω t) = A co t = co t = co t v = co t v(t =, 75) = co t = co, 75 = 1, /(oviéndoehcilderech) v(t =, 3) = co t = co, 3 =, 7 / (oviéndoe hci l izquierd) = A ωen( ω t) = A en t = en t = en t 16 = en t (t =, 75) = en t = en, 75 =, 55/ (punthcilizquierd) (t =, 3) = en t = en, 3 =, 51/ (punthcilderech) Ejeplo Un punto ocil con MAS de ecución x =, 5en(. t) ) Deterinr u plitud, periodo y frecuenci. b) Deterinr lo vlore extreo de x, v y y relizr un eque. ) Coprndo l ecución generl del MAS con l dd en el enuncido: x = Aen( t) Se deduce que A =,5 ; =, y f = 1/= 1/ -1 =,5-1 x =, 5en( t) 5

6 Fíic º Bchillerto. IES L Mgdlen. Avilé. Aturi Moviiento rónico iple (MAS) b) L elongción vrí entre lo vlore x =, x = A (vlor áx. l derech) y x = - A (vlor áx. l izd). Podeo clculr lo vlore de v en eo punto utilizndo l ecución v = ω A x : Pr x = v = ω A = ±ω A = ± A = ±, 5 = ±, 5 / áx v áx = ±, 5 /(Vloráx.Signo + hcildch,negtivohcilizd) Prx = A v = ω A A = ; x = Pr clculr lo vlore extreo de uo l ecución: = ω x Pr x = = Prx = A = ω A = A =, =, áx 5 93 áx =, 93 (Vlor áxio. El igno indic que punt hci l izd) Prx = A = ω A = A = (, ) =, áx 5 93 =, 93 (Vloráxio.Elignoindicquepunthcildch) áx v= x =,93 / v x =, 5 x = -,93/ v= x = - A v x = -, 5 = x =A Ejeplo 3 Deterinr l ecución de un punto que ocil con MAS i cundo e encuentr en x=,5 tiene un velocidd de 1,3 / y un celerción de - / ( /) = ωx; ω = ; ω = x, 5 = 1 ( ) v = ω A x ;v = ω A x = ωa ωx v + ω x v + ωx v A = ;A = = + x ω ω ω v A = + x = ω 1, 3 +, 5 =, 8 L ecución erá por tnto: x =, 8en( t) 6

7 Fíic º Bchillerto. IES L Mgdlen. Avilé. Aturi Moviiento rónico iple (MAS) L fe inicil Puede ocurrir que el origen de lo ángulo no coincid con el de lo tiepo. En ete co e debe tor en cuent el ángulo decrito cundo t = (ángulo inicil) e incluirlo en l expreión ngulr de l ecución del MAS (que tbién e conoce con el nobre de "fe"). El ángulo inicil recibe el nobre de "fe inicil" : ( ) ϕ L fe inicil e puede deterinr obervndo donde e encuentr el punto cundo e coienz contr el tiepo ( t=). De for generl e obtiene hciendo t = en l ecución del MAS: x = Aen( ω t + ϕ) x = Aen( ϕ);en( ϕ ) = x A Alguno vlore de l fe inicil: Si el punto etá en x = - A cundo t =: x A en( ϕ ) = = = 1 A A 3 ϕ = Si el punto etá en X= y oviéndoe hci l derech cundo t=: ϕ = x =A x = - A Ejeplo Si el punto etá en X= y oviéndoe hci l izquierd cundo t =: ϕ = Deterinr l ecución de un punto que ocil con MAS de plitud,8 y frecuenci,5 Hz i e epiez contr el tiepo cundo el punto e encuentr, del punto de equilibrio y oviéndoe hci l derech: x = Aen( ω t + ϕ) Si el punto etá en x = A cundo t =: x A en( ϕ ) = = = A A ϕ = x, x = Aen( ϕ); en( ϕ ) = = =, 55; ϕ =, 553rd A, 8 x = Aen( ft + ϕ ) =, 8en(, 5t +, 553) =, 8en( t +, 553) x =, 8en( t +, 553) 1 7

8 Fíic º Bchillerto. IES L Mgdlen. Avilé. Aturi Moviiento rónico iple (MAS) Ejeplo 5 Un punto que ocil con MAS de plitud, y, de periodo. Si l fe inicil e de ) Ecribir l ecución que decribe el oviiento. b) Deterinr l poición del punto pr t=. c) Clculr el vlor de l velocidd y celerción l cbo de,5. ) x = Aen( ω t + ϕ ) = Aen( t + ϕ ) =, en( t + ) x =, en( t + ) b) x =, en( t + ) x t= =, en( ) =, 1 c) rd: v = A ωco( ω t + ) = A co t, co t, co t + = + = + v (t =, 5) =, co, 5 + =, / = A ωen( ω t + ) = A en t + =, en t + =, en t + (t =, 5) =, en, 5 + = 1, Ejeplo 6 Un punto ocil con MAS de plitud,3 y 1, Hz de frecuenci y coienz edire el tiepo cundo etá en el punto de áxi elongción hci l derech: ) Ecribir l ecución del oviiento b) Clculr el vlor de l velocidd cundo pe por el origen Coo t = pr x = A, ϕ =. L ecución erá por tnto: x = Aen( ω t + ϕ) x = Aen( ft + ϕ ) =, 3en( 1, t + ) =, 3en( t + ) x =, 3en( t + ) b) Cundo pe por el origen x = : 1 v = ω A x = ± ω A = ± fa = ± 1,, 3 = ±, 6 P do vece por el origen, un hci l derech y otr hci l izquierd. 8

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