Cuestiones y problemas resueltos, Tema 2 : VIBRACIONES Y ONDAS

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1 Cuestiones y problemas resueltos, Tema : VIBRACIONES Y ONDAS A) MAS 1 CL-J7 Una partícula de masa m está animada de un movimiento armónico simple de amplitud A y frecuencia f Deduzca las expresiones de las energías cinética y potencial de la partícula en función del tiempo. Deduzca la expresión de la energía mecánica de la partícula. La posición de la partícula que oscila realizando un MAS, en función del tiempo, sabemos que viene dada por: x Asen t x Asen ft, siendo o, la fase inicial. A partir de la relación anterior es posible deducir las leyes horarias de la velocidad y de la aceleración (esta última ley la obtendremos para relacionar la constante elástica, K, con los datos del ejercicio): dx dasenft x Asen t Asen ft dx v Afcosft dt dt a A f sen ft f x dt kx k f m m Ya se puede responder a las preguntas: 1 1 E mv m Af cos f m Af cos f 1 1 E kx m f A sen f m Af sen f E E E m Af c p M c p Pues al sumar se puede sacar factor común m(abf) que multiplica a un seno al cuadrado más un coseno al cuadrado del mismo ángulo, el valor de dicha suma es la unidad. Observa cómo la energía total es directamente proporcional a la masa que oscila y a los CUADRADOS de la amplitud y de la frecuencia de oscilación. Ejercicios ondas/1

2 CL-J3 Una partícula inicia un movimiento armónico simple en el extremo de su trayectoria y tarda,1 s en llegar al centro de la misma. Si la distancia entre ambas posiciones es de cm, calcule: a) El periodo del movimiento y la pulsación. b) La posición de la partícula 1 s después de iniciado el movimiento. a) Considera el gráfico adjunto en el que se muestra la posición inicial de la partícula, el centro de la oscilación y el recorrido. Como el período es el tiempo trascurrido entre el paso de la partícula por el mismo punto dos veces consecutivas con el mismo sentido del movimiento, de A al centro,,1 s corresponde a la cuarta parte del período, con lo que T=,4 s Para la pulsación, T, como se tiene: b) 1 segundo es igual a: 1s, 4s 5 s T,4s,5 períodos..o, lo que es lo mismo; períodos más medio período. Tras dos períodos la partícula vuelve a estar en la posición de partida y tras medio período más se encontrará en el extremo opuesto, en B. 3 CL-J6 De dos resortes con la misma constante elástica k se cuelgan sendos cuerpos con la misma masa. Uno de los resortes tiene el doble de longitud que el otro El cuerpo vibrará con a misma frecuencia? Razone su respuesta. A partir de la ley de Hooke: F=-kx, donde F es la fuerza recuperadora del cuerpo elástico, k la constante elástica, específica de cada cuerpo, y x es la deformación del cuerpo, se tiene: F=-kx=ma (ª ley de Newton) k a=- x m Por otra parte el estudio cinemático de un MAS llega a la siguiente relación: a x, donde T es la frecuencia angular o pulsación, relacionada con la frecuencia de oscilación (L) por: TBL -1 Si se igualan las dos ecuaciones anteriores y se tiene en cuenta la relación entre la frecuencia angular y la de oscilación, resulta: 1 k m Ejercicios ondas/

3 Como se ve, dicha frecuencia depende sólo de la constante elástica y de la masa del cuerpo que oscila conectado al elástico (que se supone sin masa). Como no depende de la longitud, se llega a la conclusión de que en ambos casos oscilan con la misma frecuencia. 4 A un muelle de constante elástica K le colocamos una masa m. Al estirarlo un valor A, comienza a oscilar con una frecuencia angular o pulsación T, teniendo una energía cinética máxima E y una velocidad máxima v. Si al mismo muelle en lugar de m le colocamos una mas 4m y lo estiramos el mismo valor En función de T, E y v determinar: a) La nueva frecuencia angular. b) La nueva energía cinética máxima. c) La nueva velocidad máxima a) La frecuencia angular, en función de las características de la particula oscilante, viene dada por: k m En este caso y ateniéndose a los datos, se tiene: k 1 k 4m m La nueva frecuencia angular resulta ser la mitad de la inicial. b) La energía cinética máxima, que es igual a la energía potencial máxima por ser constante la suma de ambas y ser nulo el valor mínimo de cualquiera de ellas, se puede expresar, en consecuencia, así: 1 E EpMAX ka Evidentemente, la constante elástica, no varía (depende de la naturaleza del muelle y este no ha cambiado). Como la amplitud de oscilación es la mima, se deduce que la nueva energía cinética máxima es la misma cuando oscila la nueva masa. c) Se puede obtener la nueva velocidad máxima relacionándola con los apartados anteriores: 1 ka k E v A A A 1 m mv La velocidad máxima se ha reducido a la mitad. Este último apartado se puede resolver también razonando del modo que sigue: Como la masa se ha cuadruplicado, la velocidad máxima ha debido reducirse a la mitad pues: Ejercicios ondas/3

4 1 1 v E m v 4m v v 5 CL-S8 Una partícula de,1 kg de masa, se mueve con un movimiento armónico simple y realiza un desplazamiento máximo de,1 m. La partícula se mueve desde su máximo positivo hasta un máximo negativo en,5 s. El movimiento empieza cuando el desplazamiento es x=+,1 m a) Calcule el tiempo necesario para que la partícula llegue a x=-,6 m b) Cuál será la energía mecánica de dicha partícula? Resolución a) Hay que obtener la ecuación del MAS que describe la partícula para poder calcular el tiempo pedido. La ecuación general del MAS es, como se sabe: x(t) Asen t, siendo A, la amplitud de oscilación,,1 m en este caso. No conocemos la frecuencia angular o pulsación ω, pero se puede obtener a partir del período de oscilación ya que: 4 rad / s T 4,5s 9, pues, como el tiempo que tarda en desplazarse la partícula de un extremo de oscilación al otro es, por definición, el semiperíodo, que es dato,,5 s. El período es, obviamente el doble, es decir; 4,5 s. La fase inicial,, se determina teniendo en cuenta que para t=s x=+,1 m:,1 m=,1 m sen t 1=sen arc sen 1= Con lo que la ecuación del MAS adopta la forma: 4 x(t)=,1sen t (SI) 9 Se quiere que x sea -,6 m. Si se sustituye este valor en la ecuación anterior, resulta: ,6=,1sen t (SI) = arc sen Correspondiendo el primer ángulo al tercer cuadrante y el segundo al cuarto. Ejercicios ondas/4

5 Nota que no se ha tomado en cuenta las soluciones anteriores más un nº entero de vueltas porque estamos interesados en hallar la PRIMERA vez que el móvil pasa por ese punto pues pasa infinitas veces. Si en la última igualdad se sustituye por su valor, resulta: 7 3 t s 4 6 t 9 11 t 3s 6 Siendo 3/ s la solución, pues la otra solución corresponde al paso por el punto x=-,6 s moviéndose a derecha, como es fácilmente comprobable. Gráficamente: 6 CL-J8 Un cuerpo de 1 kg de masa se encuentra sujeto a un muelle horizontal de constante elástica k=15 N/m. Se desplaza cm respecto a la posición de equilibrio y se libera, con lo que comienza a moverse con un movimiento armónico simple. a) A qué distancia de la posición de equilibrio las energías cinética y potencial son iguales? b) Calcule la máxima velocidad que alcanzará el cuerpo a) Evidentemente, el apartado se resuelve igualando la energía cinética (en función de la posición) a la energía potencial elástica, teniendo en cuenta el valor de la amplitud ( cm): 1 1 ka x kx x= A cm E c, en función de la distancia, x, al punto de equilibrio E p Luego existen dos puntos, a derecha (+) y a izquierda (-) de la posición de equilibrio, en los que ambas energías son iguales. b) La velocidad en función de la posición viene dada por: k v A x m Con el signo + indicando movimiento a derecha y a izquierda el signo -. Prescindiendo del signo, es decir; del sentido del movimiento,, la velocidad será máxima cuando x sea mínimo, pues el resto se mantiene constante. Evidentemente, el valor mínimo de x es cero, con lo que resulta: k k 15N/m m m 1kg vmax A A.1 m,77m/ s Ejercicios ondas/5

6 7 CL-J5 Un punto realiza un movimiento vibratorio armónico simple de período T y amplitud A, siendo nula su elongación en el instante inicial. Calcule el cociente entre sus energías cinética y potencial: a) en los instantes de tiempo t=t/1, t=t/8 y t=t/6 b) cuando su elongación es x=a/4, x=a/ y x=a a) Como tantas veces sucede en ejercicios de un MAS, lo primero a destacar, como se va a ver, es la ambigüedad del enunciado. Se enuncia que para t= x=, pero, moviéndose a derecha o a izquierda?. Nada se dice al respecto. Hagamos el estudio a partir de la ecuación horaria de la elongación: k/m condiciones iniciales: x=, t= x Asen t sen /T siendo el significado físico de ambas soluciones: dx v(t) Acos t A cos dt (t) cos A (>, a dcha) A cos A (<, a izda) Se va a suponer que para t= el móvil se encuentra en el origen moviéndose a derecha, es decir; que =. Resulta: T A Asen Asen T 1 6 T A x Asent Asen Asen T 8 4 T A 3 Asen Asen T y para las respectivas relaciones Ec/Ep, se tiene: A 1 3 A 1 ka Ec ET EP ET A A Ep E 1 P E P X kx A A 1 1 A 3 3 Ejercicios ondas/6

7 El caso b) es más sencillo de tratar por cuanto da directamente la relación entre la elongación y la amplitud. Las tres últimas relaciones anteriores toman ahora los siguientes valores: A 115 A 4 1 ka Ec ET EP ET A A Ep E 1 P EP X A kx A 1 A Observa cómo en el último caso (x=a) al estar la partícula en el extremo de la oscilación su velocidad es nula por lo que también lo es el cociente Ec/Ep. 8 CL-S4 Una partícula describe un movimiento armónico simple de cm de amplitud. Si alcanza una velocidad máxima de 5 ms -1 en el instante inicial, a) Cuál será la aceleración máxima de la partícula? b) Cuales serán la posición, velocidad y la aceleración de la partícula en el instante t= 1s? Se sabe que, cuando un móvil realiza un MAS la velocidad es máxima en el centro de la oscilación (y nula en los extremos, en los que invierte el sentido). El enunciado es ambiguo pues en él se dice que alcanza la velocidad máxima en el instante inicial (para t=) pero nada dice acerca del SENTIDO. Por ello vamos a suponer que para t= alcanza la velocidad máxima con sentido el creciente del eje X. (ver figura) Las ecuaciones de este movimiento con los significados ya sabidos, son: fase inicial x Asent dx x v A cos t A 1 sen t A 1 A x dt A dv a A sen t x dt a) A partir de los datos, como v es máxima en el instante inicial ( y hemos supuesto movimiento a dcha) : v valor máximo de Acos t A...y tomamos el signo + MAX (movimiento en sentido creciente eje X) Se tiene: Ejercicios ondas/7

8 v 5m/s A A 1 m max 5rad/ s a x a 1 max A 15ms b) Determinemos la fase inicial a partir de la ecuación de la velocidad (que es la magnitud de la que se tiene datos), en función del tiempo que es, como se ha escrito: v Acos t Como para t= dicha velocidad es máxima y hemos supuesto que es positiva, resulta: (v>) v Acost ;vmax(t ) cos 1 (v<)...ahora ya se pueden calcular la posición, velocidad y aceleración para t= 1s: 1 1 x(t 1s).1 sen 5rad,65m v(t1s) Acos t.1.5cos 5rad 4,96 m/s 1 a(t 1s) x 5..1 sen 5rad 16,54m/ s 9 CL-S5 Una masa de 1 kg oscila unida a un resorte de k=5 N/m con un movimiento armónico simple de amplitud 1 - m. a) Cuando la elongación es la mitad de la amplitud, calcule qué fracción de la energía mecánica es cinética y qué fracción es potencial. b) Cuánto vale la elongación de un punto en el cual la mitad de la energía mecánica es cinética y la mitad es potencial? a) Cuando una partícula oscila describiendo un MAS, cuando se encuentra en los puntos extremos de la oscilación (x=±a) TODA su energía mecánica es potencial por cuanto la cinética es nula. Teniendo esto en cuenta, resulta: 1 A 1 1 x Ec E M Ep ka kx ka x E M Ep MAX A 4 1 k A x E E c 3 p Em Ec Ec 3 1 ; 1 1 E 1 m 4 Em Em Em 4 4 ka Es decir; en ese punto los 3/4 de su energía mecánica es energía cinética y el cuarto restante, potencial ( o 75% y 5%, si se prefiere) b) Este apartado es opuesto al anterior: se conocen las fracciones de la energía (tanta cinética como potencial) y se pide en qué punto(s) sucede: Ejercicios ondas/8

9 1 1 E E ka x kx A x x A 1 m c p 1 CL-J5 Un cuerpo realiza un movimiento vibratorio armónico simple. Escriba la ecuación de dicho movimiento en unidades del S.I. en los siguientes casos: a) su aceleración máxima es igual a 5B cm/s, el período de las oscilaciones es de s y la elongación del punto al iniciarse el movimiento era,5 cm. b) su velocidad es 3 cm/s cuando la elongación es,4 cm y la velocidad es cm/s cuando su elongación es,8 cm. La elongación al iniciarse el movimiento era nula. a) Del estudio teórico del MAS se sabe: k a x m T Por un lado se conoce el período, con lo que resulta inmediato el cálculo de la pulsación. Además, como se da el valor MÁXIMO de la aceleración y este se alcanza (en valor absoluto) para x=a, resulta: T s rad/s a x a x A 5cm/s A 5 cm máxima máxima Para determinar la fase inicial se parte de la ecuación horaria de la elongación:,5m rad/s,5m rad/s x A sen t x(t) A sen.5 movimiento INICIAL (t=) a derecha 6..como se comprueba en la... con lo que si se ley de la velocidad que da positiva 1 para ese valor sen 5 movimiento INICIAL (t=) a izquierda 6..como se comprueba en la ley de la velocidad que da negativa para ese valor supone que inicialmente el objeto se mueve a derecha, resulta para la elongación: x 5.1 sen t SI = 5.1 sen t SI 6 6 b) En este caso, como da la velocidad en función de la elongación, es necesario relacionar ambas magnitudes. A partir de la conservación de la energía mecánica para la partícula que describe el MAS, resulta: 1 Ejercicios ondas/9

10 Epotencial Epotencial elástica MÁXIMA Ecinética elástica o energía total k k mv kx ka v A x A x A x m m... y sustituyendo datos: 3cm/ s A,4cm resolviendo (datos) el sistema v A x cm / s A,8cm A 9,54cm 3,83cm cm/ s 1, 55 rad / s 9,54cm,8cm Obtengamos la fase inicial a partir de las condiciones iniciales (que, como casi siempre, resultan ambiguas):,383m 1,55 rad/s,383m 1,55 rad/s x A sen t x(t) A sen sen movimiento INICIAL (t=) a derecha..como se comprueba en la ley de la velocidad que da positiva para ese valor movimiento INICIAL (t=) a izquierda..como se comprueba en la ley de la velocidad que da negativa para ese valor Si, para emplear la expresión más sencilla, suponemos que inicialmente se mueve a derecha, se tiene: x 3,83.1 sen 1,55t SI 11 M-J3 Un bloque de 5 g, conectado a un muelle de constante elástica 35 N/m, oscila en una superficie horizontal sin rozamiento con una amplitud de 4 cm. Cuando el bloque se encuentra a 1 cm de su posición de equilibrio, calcule: a) La fuerza ejercida sobre el bloque. b) La aceleración del bloque. c) La energía potencial elástica del sistema. d) La velocidad del bloque. a) La fuerza recuperadora es (ley de Hooke) :F=-kx, donde el signo menos indica que dicha fuerza se OPONE al sentido en el que varía la longitud del muelle. Si se sustituye en dicha igualdad, se obtiene: N F 35,1m,35N m Ejercicios ondas/1

11 b) A partir de la ª Ley de Newton:,35N F,35N ma a 7ms,5kg,donde el signo menos de la aceleración tiene la misma interpretación que el de la fuerza. c) El cálculo es inmediato a partir de la expresión de la energía potencial elástica: 1 1 N m 5 Ep kx,35 1 m 1,75 1 J d) Interesa la ecuación que relaciona la velocidad con la posición del objeto: k,35n v A x kg4 1 1 m m, ms,1m / s 1 AR-S6 Una partícula de masa m = g. oscila armónicamente en la forma x(t)= A sentt. En la figura se representa la velocidad de la partícula en función del tiempo. a) Determina la frecuencia angular T y la amplitud A de la oscilación. b) Calcula la energía cinética y la potencial de la masa m en función del tiempo. Justifica cuanto vale la suma de ambas energías. a) Como se representa la velocidad en función del tiempo, obtengámosla a partir de los datos: dx(t) dasen t v(t) Acos t dt dt Y vemos que se corresponde con el gráfico (función coseno). El valor máximo de la velocidad, a partir de la función, es: vmax A Del gráfico se puede obtener que dicho valor máximo es 1 B m/s. Por otra parte, del mismo gráfico se obtiene que el período es,4 s, con lo que se puede plantear: Ejercicios ondas/11

12 T,4s 5 rad/ s 1 1 A 1 A m 5 Calcular la energía cinética en función del tiempo es inmediato por cuanto se tiene la masa y la velocidad. Para expresar la energía potencial elástica necesitamos obtener primero el valor de la constante recuperadora k k m,kg 5 rad / s m A 1 1 rad 1 1 Ep kx gsen5t sen 5t J N m Ek mv,kgm5 cos5 t s cos 5 t J Si sumamos la energía cinética y potencial antes obtenidas, resulta: Ek cos 5t J E+E= k p cos 5t J sen 5t J Ep sen 5t J 1 cos 5t +sen 5t J = J Obteniéndose el consabido resultado: la suma de ambas energía es constante e igual al valor máximo de cualquiera de ellas. Ejercicios ondas/1

13 B) Sobre la ecuación de la onda 13 CL-J1 En qué consiste el movimiento ondulatorio?. Qué expresa físicamente la ecuación de propagación de una onda en una dimensión.? Respuesta: la transmisión de una perturbación que se origina en un estado de equilibrio y que se propaga con el tiempo a través del espacio sin transporte neto de materia Representa el estado de la perturbación de los diferentes puntos del medio (variable x) alcanzados por la onda en función del tiempo. Ya que la función es doblemente periódica. Si se fija x, es decir se observa un punto dado, la función describe la perturbación de ese punto con el transcurrir del tiempo, mientras que si se fija t, la función describe la perturbación de los diferentes puntos del medio cuando se describe en un instante determinado. 14 CL-J3 Defina las siguientes magnitudes que caracterizan una onda: velocidad de propagación, velocidad de vibración, amplitud, periodo y número de ondas. Indique en cada caso cual es la unidad correspondiente en el Sistema Internacional Respuesta: a) Velocidad de propagación es aquella con la que se propaga la perturbación, con la que los diferentes puntos son alcanzados por la onda. (m/s). Dicha velocidad es cte para cada onda b) Velocidad de oscilación es la velocidad (variable)con la que vibran alrededor de la posición de equilibrio los diferentes puntos del medio afectados por la onda. (m/s) c) La amplitud o máxima perturbación de los puntos. Depende de lo que se represente por A. Puede ser una longitud (m), una presión (Pa), un campo eléctrico (N/C)... d) Período o tiempo que tarda la onda en recorrer un espacio igual a la longitud de onda. También, desde otro punto de vista, tiempo que tarda una partícula alcanzada por la perturbación, en realizar una oscilación completa. (s). e) nº de ondas o cte de propagación. Matemáticamente es la cte que se introduce para que el argumento de la función armónica sea adimensional. Físicamente representa el nº de longitudes de ondas que caben en B ( de ahí el nombre) (m -1 ) 15 CL-J9 Defina las siguientes magnitudes que caracterizan un movimiento ondulatorio: amplitud; frecuencia; longitud de onda; número de onda. Indique en cada caso las unidades correspondientes en el S. I. La amplitud (R ), se refiere al máximo valor que alcanza la perturbación que se propaga en el medio. Si, por poner un ejemplo muy sencillo, se considera el caso de una onda en una cuerda, la amplitud, que en este caso es una longitud, es la distancia del máximo o mínimo de la cuerda respecto a la horizontal (cuerda tensa sin oscilación). La frecuencia (L) hace referencia al número de pulsos u oscilaciones completas que en la unidad de tiempo (usualmente, el segundo) ejecuta el Ejercicios ondas/13

14 foco ( y el resto de los puntos del medio, al transmitirse la perturbación) La longitud de onda (8)es la distancia mínima entre dos puntos que se encuentran oscilando de idéntica manera (mismo valor de la perturbación, y misma velocidad de oscilación) El número de onda (k=b8), matemáticamente es una constaste que se introduce en la ecuación de la onda para hacer que la fase sea un ángulo. Físicamente representa el número de longitudes de onda que caben en B Las unidades en el SI son: Amplitud: depende de la magnitud que oscile: puede ser metros, (ondas en una cuerda), pascales (ondas sonoras), N/C (componente eléctrica de una onda electromagnética), etc. Frecuencia: s -1, Longitud de onda: m. Número de onda: m CL-S8 Escriba la expresión matemática de una onda armónica unidimensional como una función de x (distancia) y t (tiempo) y que contenga las magnitudes indicadas en cada uno de los siguientes apartados: a) Frecuencia angular T y velocidad de propagación. b) Período T y longitud de onda 8 Respuesta: La ecuación general de una onda monodimensional es: (x, t) Asen t kx Donde en la izquierda se representa la magnitud que oscila, siendo A, la amplitud de oscilación, T, la frecuencia angular o pulsación, k el nº de ondas y la fase inicial. El signo menos corresponde a propagación a derecha y el más a izquierda. Como se tiene: Resulta: k v (x, t) Asent x v Además, a partir de las relaciones: T k, se obtiene finalmente: (x, t) Asen t x T Ejercicios ondas/14

15 17 CL-S3 Explique brevemente cómo se clasifican las ondas según: a) el medio de propagación; b) la relación entre la dirección de oscilación y la dirección de avance de la onda. Proponga encada caso un ejemplo. Respuesta: a) Si una onda, como el sonido, necesita un medio material para propagarse, recibe el nombre de onda mecánica. Si puede propagarse en el vacío como las ondas de radio, luz visible, infrarrojo.. recibe el nombre de onda electromagnética. b) Las ondas en las que lo que oscila lo hace en dirección perpendicular a la de avance de la onda, como las ondas en una cuerda o las ondas que se producen en la superficie del agua, reciben el nombre de transversales mientras que si la dirección de oscilación es la misma que la de propagación, como las ondas sonoras o las generadas al estirar o comprimir un muelle, el nombre que recibe esta clase de ondas es el de longitudinales. 18 CL-S4 Qué se entiende por onda longitudinal y por onda transversal?. Las ondas sonoras, son longitudinales o transversales?. Explique las tres cualidades del sonido: intensidad, tono y timbre. Respuesta: Ondas longitudinales. En estas ondas coincide la dirección de oscilación con la de propagación. Una onda longitudinal es una sucesión de compresiones y expansiones del medio. Como ejemplos de esta clase de ondas tenemos las sonoras y las ondas sísmicas P Ondas transversales. En esta clase de ondas la dirección de propagación es perpendicular a la de vibración de las partículas. Las ondas en una cuerda y las ondas sísmicas S son ejemplos de esta clase de ondas. Ver teoría cualidades del sonido (tema ) para el resto de la cuestión. 19 CL-S1 a) Defina el concepto de intensidad de una onda. b) Demuestre que, si no existe absorción, la intensidad de una onda esférica es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al foco emisor. a) La intensidad de una onda es, por definición (ver teoría): La energía que atraviesa en la unidad de tiempo la unidad de superficie colocada perpendicularmente a la dirección de propagación en ese punto. En el SI se mide en Js -1.m - = W.m -. b) Para un frente de onda esférico, teniendo en cuenta el valor de la superficie de una esfera de radio, R se tiene, según la definición: I = Pe/4BR, siendo R la distancia del foco al punto considerado. Luego, tal como se afirma en el enunciado, la intensidad disminuye con el cuadrado de la distancia. CL-S6 Discuta razonadamente cómo varían, en un movimiento ondulatorio, las siguientes magnitudes cuando aumentamos la frecuencia de la onda: a) Período; b) Amplitud; c) Velocidad de propagación; d) Longitud de onda a) Como el período es la inversa de la frecuencia, al aumentar ésta disminuye Ejercicios ondas/15

16 aquel b) La amplitud es independiente de la frecuencia por lo que no varía. c) La velocidad de propagación depende de las características del medio en el que se propaga y al no variar éste tampoco lo hace la velocidad. d) La longitud de onda disminuye por cuanto su relación con la frecuencia es: v Como aumenta el denominador (frecuencia) manteniéndose constante el numerador (velocidad), el cociente (longitud de onda) disminuye. 1 CL-J96 Una varilla sujeta por un extremo vibra con una frecuencia de 4 Hz y una amplitud de 1 mm. La vibración se propaga por el aire a 34 m/s. Hallar: a) La ecuación de ese movimiento ondulatorio armónico. b)la elongación que tendrá un punto que diste del origen 85 cm al cabo de segundos de comenzar la vibración. Como veremos una y otra vez, cuando a partir de determinados datos se pide la ecuación de la onda se opera SIEMPRE comparando con la ecuación general de un onda que suele adoptar una de estas formas: k= (C) fase (A) Y Y ( ) con = sen kx t (D) ( B) Y Y sen( t kx) T fase vt (E) Con los significados ya sabidos: k= cte de propagación o nº de ondas (representa el nº de longitudes de onda que caben en B, de ahí su nombre). T=pulsación 8= longitud de onda o período espacial (distancia entre puntos consecutivos que se encuentran oscilando del mismo modo) T=Período (temporal): tiempo que tarda la onda en recorrer una distancia igual a la longitud de onda (también tiempo que tarda un punto alcanzado por la perturbación en completar una oscilación) v= velocidad de propagación de la onda (cte). La diferencia entre (A) y (B) es que la segunda presenta un desfase de 18º respecto de la primera (fases opuestas). Cuando la primera alcanza valores máximos, la segunda los mínimos (gráficamente la ª es simétrica de la 1ª respecto al eje x). Se ha empleado como función armónica el seno. Se pudo haber tomado, igualmente, el coseno. Decir, finalmente que el signo + indica propagación a dcha, con lo que el - indicará avance a izda. a) Aplicando las relaciones anteriores, resulta: s ; =vt= v -1 m k m T Y 1 sen x 8t (SI) 17 Ejercicios ondas/16

17 Se ha supuesto avance a dcha de la onda b) Se trata de reemplazar en la ecuación de la onda x por,85 m y t por s: 3 4π 3 Y(x,85m;t s) 1 sen,858π =1 senπ 8π sen 1158π 1 sen 1158π CL-J9 Un foco sonoro emite una onda armónica de amplitud 7 Pa y frecuencia Hz. La onda se propaga en la dirección negativa del eje X a una velocidad de 34 m/s. Si en el instante t = s, la presión en el foco es nula, determine: a) La ecuación de la onda sonora. b) La presión en el instante t =3 s en un punto situado a 1,5 m del foco. a) En este caso, la magnitud que varía es una presión, como corresponde a una onda sonora. Teniendo en cuenta que se propaga en el sentido negativo (decreciente) del eje X, la forma general que adopta la ecuación de la onda es: De los datos del ejercicio, se obtiene: P(x, t) P sen kx t (1) P 7 Pa 44 rad/ s 44rad / s k m vt v 34m / s 17 Por otra parte, como para t= s la presión, P, en el foco (x= m), es nula, la fase inicial,, según (1), sólo puede ser o B rad. Como nada se especifica al respecto, tomaremos, por simplicidad, el primero de los dos valores. Teniendo en cuenta todo lo anterior, la ecuación de la onda sonora viene dada por: 1 Px,t 7sen x 44t (SI) 17 b) Dando en la ecuación anterior, a x y t los valores del enunciado, se obtiene: 66x 3 P x 3 m, t 3s 7sen 44.3 = 17 3 =7sen 1, 9 Pa 17 El resultado, presión negativa, puede resultar sorprendente pero tiene la interpretación que sigue: Ejercicios ondas/17

18 Cuando se dice que la amplitud es de 7 Pa quiere decir que 7 Pa el máximo de presión de lo onda sobre la presión ordinaria que existe en el medio en ausencia de onda. Si se propaga en el aire (lo que sugiere la velocidad de 34 m/s), quiere decir que la presión máxima de la onda sonora es la Patm+7Pa y la mínima, Patm -7Pa. El resultado obtenido indica, en consecuencia, que la presión en ese punto para ese valor del tiempo es 1,9 Pa menos que la presión atmosférica. 3 CL-J98 Una onda armónica en un hilo tiene una amplitud de,15 m, una longitud de,4 m y una velocidad de 3,5 m/s. Determina: a) El periodo, la frecuencia y el número de onda. b) La función de onda, tomando como sentido positivo del eje X el sentido de propagación de la onda. a) La amplitud, longitud de onda y velocidad de propagación son datos. Aplicando las relaciones ya sabidas, resulta: 4, T s T Hz; k= m v 35, 35 4, b) Para obtener la función de onda nos falta evaluar la pulsación T: 35 1 rads T luego m s m.. a dcha Y Y sen( k x t) Y 151 sen( x t) (SI) CL-S97 Se genera una onda en una cuerda horizontal,comunicándole a su extremo 5 sacudidas verticales por segundo,de amplitud,4m.se observa que un punto,situado a m del extremo, comienza a oscilar a los 4 s después del inicio de las sacudidas. Determine: a) La longitud de onda y el período de las oscilaciones. b) La elongación de un punto, distante,5 m del extremo, cuando éste se encuentre en la posición de equilibrio. a) Hay que observar que el dato de "5 sacudidas verticales corresponde a una frecuencia de 5 hercios, con lo que: vt v 1 1 5, m ; T = 1 1 5, s b) Este apartado es un poco más complicado. Apliquemos la ecuación de la onda al foco (x=): 1 1rads 4, m T () 1 Y Y sen( k x t); Y[ Foco (x=)] Ysen( t) sent 1 m Es decir; qué elongación tiene un punto de x=,5 m cuando el foco tiene elongación nula, o sea; cuando sentt=?. Veámoslo, mediante desarrollo Ejercicios ondas/18

19 matemático: 1 m Y( x5, ) Ysen( k5, t) Y( sen k 5, cost cos k5, sent) Al mismo resultado se pudo llegar razonando como sigue: El foco tiene en un instante dado elongación nula. Como el punto cuya elongación me piden dista de él,5 m que son 5 longitudes de onda, dicho punto estará repitiendo el movimiento del foco..luego también será nula su elongación. 5 CLS3 Se zarandea uno de los extremos de una cuerda de 8 m de longitud, generándose una perturbación ondulatoria que tarda 3 s en llegar al otro extremo. La longitud de onda mide 65 cm. Determine: a) la frecuencia del movimiento ondulatorio. b) la diferencia de fase (en grados sexagesimales) entre los dos extremos libres de la cuerda. Resolución. a) A partir de la longitud de la cuerda y el tiempo que tarda la onda en recorrerla, se calcula la velocidad de propagación o de fase: l 8m 8 v ms t 3s 3...y conociendo la velocidad de fase y la longitud de onda, es de cálculo inmediato la frecuencia ( o su inversa, el período): 8 ms 1 v v 3 1 vt 4,1s.65m b) Se puede calcular teniendo en cuenta que en 8 m caben 8/,65 longitudes de onda y que a cada una de ellas le corresponde una diferencia de fase de 36º, con lo que el desfasaje pedido resulta: 8 36º º,65 6 CL-J6 a) Escriba la ecuación de una onda que se propaga en una cuerda (en sentido negativo del eje X) y que tiene las siguientes características:,5 m de amplitud, 5 Hz de frecuencia, m/s de velocidad de propagación y la elongación inicial en el origen es nula. b) Determine la máxima velocidad transversal de un punto de la cuerda a) Ecuación general de una onda que se propaga a izquierda (sentido negativo del eje X): y(x, t) Asen kx t, siendo la fase inicial, es decir; el valor de la fase correspondiente a la oscilación del foco (x=) en el instante inicial (t=).hay que calcular A, (dato), k, T y. A partir de los datos, se obtiene: 1 Ejercicios ondas/19

20 5Hz 5 rad/s T 5 rad/s 5 k= m vt v m/s A,5m 1, con lo que, al sustituir en la ecuación general de la onda, resulta: 5 y(x, t),5sen x 5 t Hay que determinar. Para ello sabemos que el foco (x=) en el instante inicial (t=) tiene una elongación nula (y=). Al sustituir estas condiciones en la ecuación anterior, se obtiene:,5sen En consecuencia, la ecuación de la onda es adopta la forma: 5 y(x, t),5sen x 5 t No se puede precisar más por cuanto el problema no especifica si en el instante inicial el foco se está oscilado en sentido ascendente (v>) o descendente (v<). Volveremos sobre esta cuestión en el apartado b) b) La velocidad de oscilación de una partícula del medio se obtiene derivando con respecto al tiempo, la elongación: dy d 5 xt v oscilacion = =,5 sen 5 = dt dt 5 xt v=5cos 5 oscmax= valabsoluto máximo 1 or5 x =5 cos 5 5 m/s +, - Cte en la expresión subrayada, tobserva, cómo el foco (x=), en el instante inicial (t=) tiene una velocidad positiva si = y negativa si su valor es B. Evidentemente, el ejercicio se pudo realizar partiendo de una onda armónica pero descrita por una función coseno en vez del seno que se ha empleado. Ejercicios ondas/

21 7 CL-S6 A una playa llegan 15 olas por minuto y se observa que tardan 5 minutos en llegar desde un barco anclado en el mar a 6 m de la playa. a) Tomando como origen de coordenadas un punto de la playa, escriba la ecuación de la onda, en el sistema internacional de unidades, si la amplitud de las olas es de 5 cm. Considere la fase inicial nula. b) Si sobre el agua a una distancia de 3 m de la playa existe una boya, que sube y baja según pasan las olas, calcule su velocidad en cualquier instante de tiempo. Cuál es su velocidad máxima? a) La frecuencia de las olas es: <= 15/6 Hz=1/4 Hz. La frecuencia angular o pulsación T=B/T=B<=B/ rad/s. Como tarda 5 min, es decir 3 s en recorrer 6 m, se propaga con una velocidad de fase de 6/3 = m/s. Para hallar el nº de ondas, K, hay que obtener la longitud de onda de fácil cálculo por cuanto se sabe tanto la velocidad de propagación como la frecuencia: 1 s k 4 v v m s 1 1 m 4 Al ser la amplitud,5 m y la fase inicial nula, resulta: x y(x, t),5sen x t,5sen t (SI) 4 El doble signo ± corresponde a las dos posibilidades de avance de las olas respecto al observador situado en la playa; a izquierda o a derecha. b) La velocidad de oscilación de una partícula del medio es, por definición: d,5sen x t dy 4 x v osc,5 cos t (SI) dt dt t vosc x 3m,5 cos 75 (SI), donde el signo mas corresponde a oscilación en sentido ascendente y el menos a cuando se mueve en sentido descendente. El valor máximo de dicha velocidad corresponde al valor máximo de la función coseno, (en valor absoluto, 1), con lo que se obtiene: 1 voscmax,5 m/s (SI) Ejercicios ondas/1

22 8 CL-J7 En las figuras se representa la variación de la posición, y, de un punto de una cuerda vibrante en función del tiempo y de su distancia, x, al origen, respectivamente. a) Deduzca la ecuación de onda. b) Determine la velocidad de propagación de la onda y la velocidad de vibración de un punto de la cuerda a) La ecuación general de una onda que se propaga a la derecha [como es el caso, por los datos del gráfico y=f(x)], se sabe que es: y(x, t) Asen kx t pudiendo, en este caso, adoptar la forma siguiente y(x, t) Asen kx t En cualquiera de los dos gráficos puede observarse que la amplitud de la oscilación es, cm. En el de la izquierda, además, que el período temporal, T, es 8 s (período del MAS que describe la partícula y que corresponde al tiempo mínimo necesario para que la partícula pase dos veces consecutivas por el mismo punto con el mismo sentido del movimiento). En el gráfico de la derecha se observa cómo el período espacial o longitud de onda es 8= 4m pues esta representa la mínima distancia entre dos puntos que se encuentran oscilado exactamente igual (misma elongación y sentido del movimiento). Ya podemos calcular los parámetros necesarios para expresar la ecuación de la onda: 3 A.1 m 1 3 t k m y.1 sen x (SI) 4m rad / s T 8s 4 4m 1 vt v m / s T 8s b) 3 t d.1 sen x dy v 3 t osc.1 cos x (SI) dt dt Ejercicios ondas/

23 CL-J99 Cierta onda está descrita por la ecuación R(x,t) =, sen(t - x/4) (SI) Determine: a) La frecuencia de la onda y su velocidad de propagación. b) La distancia existente entre dos puntos consecutivos que vibran con una diferencia de fase de 1º. a) Si se compara la ecuación dada con la general de una onda se obtienen los resultados siguientes: -1-1 t 1 =1 rads s (, ), sen(1t-x/4) T xt (, ) sen( t-kx) k1 m1 8 m 4 v ms xeste apartado Tb) se puede resolver de dos modos. El primero y más sencillo acudiendo al concepto de longitud de onda y planteando una proporción o regla de tres: i rad es el defasaje de dos puntos separados 8 m ( ) x8 m9 /3 rad (1º) sera el desfasaje de puntos.. x m S3 Otro modo es a partir del concepto de fase o parte angular de la onda. Se trata de, para un tiempo dado, mismo valor de t, observar la separación entre dos puntos desfasados 1º: t kx t kx k(x x ) x x k 14 m 3 3 CL-S Una onda transversal se propaga según la ecuación: y 4 sen t/4 x/1,8 en unidades S.I. Determine: a) La velocidad de propagación de la onda y la velocidad de vibración máxima de un punto alcanzado por la onda. b) La diferencia de fase, en un instante dado, de dos puntos separados 1m en la dirección de avance de la onda. a) Si se compara la ecuación dada con la ecuación general de una onda que se propaga ( a izda), resulta: y 4 sen k 1,8 m t/4 x/1,8 1, 8 1, 8m 1 v,45ms y A sen t kx T 4s T 4 s T 4 Ejercicios ondas/3

24 La velocidad de vibración o de oscilación de una partícula viene dada por: dy d4 sen t/4 x/1,8 vvib 4 cos t/4 x/1,8 dt dt 4 y dicha velocidad será máxima cuando lo sea el coseno, es decir; cuando su valor (absoluto) sea 1, con lo que: v MAX =±B m/s (no es difícil ver que el + representa velocidad máxima de oscilación en sentido ascendente y el - en descendente) b) Este apartado se puede resolver de dos modos. El primero y más sencillo acudiendo al concepto de longitud de onda y planteando una proporción o regla de tres: Si rad es el desfase de dos puntos separados 1, 8 m ( ) 1 x rad rad x rad será el desfase de puntos separados 1 m 1, 8 9 Otro modo es a partir del concepto de fase o parte angular de la onda. Se trata de, para un tiempo dado, mismo valor de t, de calcular la diferencia angular entre dos puntos separados 1 m 1 t kx1 1 1 k(x x 1) 1m rad t kx 1,8m 9 31 CL-S9 Por una cuerda tensa situada sobre el eje x se transmite una onda con una velocidad de 8 m/s. La ecuación de dicha onda viene dada por y(x,t)=,sen(4bt+kx) a) Determine el valor de k y el sentido del movimiento de la onda. Calcule el período y la longitud de onda y reescriba la ecuación de la onda en función de estos parámetros. b) Determine la posición, velocidad y aceleración de un punto de la cuerda correspondiente a x=4 cm en el instante t=s. a) Como el signo entre el sumando espacial y el temporal de la fase es +, la onda se propaga a izquierda. Los cálculos para obtener el período y la longitud de onda son inmediatos. La segunda forma de expresar la ecuación de la onda se hace atendiendo al enunciado, que pide en función de esos parámetros 1 k / 4 T s /T T 1 y.1 sen 4 t x 1 1 vt 8ms s 4m 1 1 t x k m y.1 sen 4m 1/ 4 Ejercicios ondas/4

25 b) A partir de la ecuación de la posición se pueden obtener las de la velocidad y aceleración. Seguidamente se particularizará con los valores que se dan: y,sen4t x y(x,4m,ts),sen 8 5,sen,117m 5 d,sen 4 t x dy v osc,.4 cos 4 t x (SI) dt dt vosc x,4m,t s,.4 cos 4.,4,8 cos 8 5,8 cos,3m / s 5 d,.4 cos 4 t x dv dt dt 4 y a 4 y 4,117 osc a, 4 sen 4 t x 18,56m / s x,4m,ts (x,4m,ts) 3 Una onda de 5 Hz tiene una velocidad de fase de 3 m/s y una amplitud de 5 cm. Se propaga en el sentido positivo del eje X. Calcula: a) Ecuación de propagación de la onda. b) Cuál es la separación entre dos puntos que en el mismo instante tienen una diferencia de fase de 6º?. c) Cuál es la diferencia de fase ente dos elongaciones del mismo punto separadas por un intervalo de tiempo de,1 s?. a) Los datos son la frecuencia, velocidad de fase (o de propagación) y amplitud. Como la onda avanza a dcha, habrá que tomar el signo - en la separación entre la parte espacial y temporal de la fase. Veamos los primeros cálculos y resultados: Ejercicios ondas/5

26 vvt3 3 mk 1 m T1 rads m1 1 t 3mradsY Ysenkxtsen 1 x ( ) 51 1 (SI) b) y c) Se puede operar de dos modos, como en el apdo b) del ejercicio anterior. El primero recurriendo al período y a la longitud de onda; el segundo, basándonos en el concepto de fase: Si rad es el desfase de dos puntos separados 3 / 5 m ( ) 1 x m / 3 rad (6º ) sera el desfase de puntos.. x m 1 Si rad es el desfase de dos posiciones del mismo punto separados, s (T) x rad x rad sera el desfase de dos posiciones del mismo punto separados,1 s Veamos cómo se llega al mismo resultado a partir de fases: 1 kx1 t k(x x ) x x kx t k 1 / 3 1, m kx t 1 1 kx t, 1 s (t t ), rad Observa en este º procedimiento, cómo en el primer caso NO VARÍA t, pues se observan dos puntos EN EL MISMO INSTANTE, mientras que en el segundo, NO VARÍA la x al observarse dos posiciones de oscilación DEL MISMO PUNTO con un intervalo de,1 s 33 La ecuación de una onda viene dada por: y = 5 sen (1Bt - Bx/), donde x e y se expresan en metros y t en segundos. Calcula: a) La amplitud, la frecuencia, longitud de onda y velocidad de propagación. b) La elongación y la velocidad de un punto situado a 8 m del foco en el instante t = s. c) La distancia mínima entre dos puntos en oposición de fase. a) Esos datos se obtienen comparando la ecuación que se da con la forma general: ym 5 y5 sen (1t-x/) (SI) -1 yy 1 rads 5 Hz sen ( t-kx) km =vt= v 1 4 m vms1 b) No hay más que sustituir esos valores en la ecuación de la onda y de la Ejercicios ondas/6

27 velocidad de oscilación de un punto alcanzado por la misma, respectivamente: y m( 8, t=s) 5 sen (1-8/)=5 sen 16 = dy d txtxv oscilacion = = 5 sen (1 - /) =5 cos (1 - /) dt dt 1 x osc=5 cos (1-8/)=5 m/s (x=8m, t=s) hecho vel de que la amplitud sea nula en ese punto e instante indica que se haya en el origen de la oscilación que es en el que la velocidad es máxima, como sabemos por el estudio del MAS, por lo que el resultado de la velocidad de oscilación era de esperar: se trata de la máxima velocidad de oscilación. Como ha dado positiva, la partícula está oscilando con máxima velocidad EN SENTIDO ASCENDENTE. c) Para poder realizar este apartado hay que recordar que estar en fase indica una diferencia de fase de un nº par de veces B, mientras que en oposición de fase indica un desfase igual a un nº impar de veces B. Como pide la distancia MÍNIMA entre dos puntos en oposición de fase, el desfase entre ellos será el nº impar MÍNIMO de veces B, es decir; 1vez B. Ya se puede seguir a partir de la longitud de onda o de la idea de fase: Si rad es el desfase de dos puntos separados 4 m ( ) x m rad sera el desfase de puntos separados x m kx kx 1 1 t k(x x ) x x t k / m Nota que la descripción del desfase entre los dos puntos se hace simultáneamente (mismo t) 34 Una onda armónica de frecuencia 1 Hz y amplitud,5 m se propaga a velocidad de 1 m/s en el sentido positivo del eje X. En el instante inicial la elongación en el origen es de,5 m. Hallar: a) La ecuación de la onda. b) La diferencia de fase entre dos puntos separados, m. a) Este apartado es interesante porque, como vamos a ver, existe una fase inicial NO NULA (usualmente, salvo que, como en este caso, no se diga explícitamente, se supone fase inicial nula): Motivo?. El enunciado dice que en el instante inicial la elongación del foco es,5 m, es decir; para t= y x=, y=,5. La ecuación general de la onda, adopta la forma: fase INICIAL y ysenkx ( t ) fase Ejercicios ondas/7

28 A partir de los datos vamos a obtener el nº de onda o constante de propagación y la pulsación, necesarios para formular la ecuación de la onda: y,5 m v vt m k m v 1 ms Hz -1 rads T,5m 1 1 m rads?? y y sen( k x t ) A continuación determinaremos la fase inicial sabiendo que para x= y t= la elongación, y vale,5 m: -1 x dy d x y = sen 1t - v oscilacion= sen 1t - dt dt la velocidad de oscilacion en ese punto sera maxima cuando el coseno valga 1 x 1 cos1t - voscilacion(x=1 cm,t) cos 1t voscilacionmax cos1t - 1 1t - n n N,5 s para n= n 1 t s,1 s para n=1... y 5sen(x t );y (x, t=) 5 5 5sen sen 1 arc sen 1= rad y 5sen x t b) Ya hemos visto en ocasiones anteriores los dos modos de oprar con diferencias de fase: ; Si π rad es el desfase de dos puntos separados,1m (λ) Þx=4π rad x rad sera el desfase de puntos separados, m 1 m, m kx t kx t k (x x ) 1 1 rad Ejercicios ondas/8

29 35 Dado un movimiento ondulatorio de ecuación: y = sen B(1t - x/), donde x e y se expresan en cm y t en s, calcula: a) Amplitud, período, frecuencia, longitud de onda y velocidad de propagación. b) Distancia entre dos puntos que estén en fase y en oposición de fase. c) En qué instante alcanza su velocidad máxima un punto que dista del foco 1 cm?. a) La comparación entre la ecuación dada de la onda y la general nos permite calcular los parámetros que se piden. Hay que observar que se da la ecuación sacando factor común B en la fase, mientras que en la forma general, tal como se ha expresado, no se ha hecho esto : A 1 cm x y = sen 1t - (SCGS) T 1 s 1 Hz T y= A sen ( t-kx) k cm v cm/s T,1 b) No hay más que recordar la definición de longitud de onda : dos puntos desfasados B radianes están separados, por definición, la longitud de onda, es decir; cm. Si se encuentran en oposición de fase, o lo que es lo mismo, desfasados B radianes la separación será la mitad de la anterior:1 cm.: c) Debemos de tener cuidado con este apartado. Al ser un movimiento ondulatorio periódico existirán infinidad de instantes en los que ese punto alcance velocidad máxima. Además, debemos entender, creo, velocidad máxima tanto el mayor valor positivo (sentido ascendente) como negativo (descendente). En cualquier caso lo primero a obtener es la velocidad de oscilación de una partícula alcanzada por la perturbación: El primer tiempo obtenido,,5 s es el que tarda la onda en desplazarse desde el foco a ese punto pues la separación entre ambos puntos es de 1 cm y la onda se propaga a cm/s por lo que el primer tiempo válido, con el punto oscilando con máxima velocidad es,1s. 36 Una onda longitudinal se propaga a lo largo de un resorte horizontal, en el sentido negativo del eje X, siendo cm la distancia entre dos puntos que están en fase. El foco emisor vibra con una frecuencia de 5 Hz y amplitud de 3 cm. Halla: a) La velocidad de propagación de la onda. b) La ecuación de la onda, sabiendo que la elongación en el origen de coordenadas es nula en el instante inicial. c) La velocidad y aceleración máximas de cualquier partícula del resorte. a) y b) Al desplazase a izda el signo entre la parte espacial y temporal de la fase es +. Son datos, además, la longitud de onda o distancia MÍNIMA entre dos puntos en fase ( cm), frecuencia (5Hz) y amplitud (3 cm). La fase inicial o valor angular para t y x nulos, puede parecer que es nula (8) por el enunciado del problema, pero podría ser igualmente B(9): Ejercicios ondas/9

30 3 A 31 m 5 rads k 1, se ha supuesto fase inicial y 31 sen ( 1x 5t) 1 3 nula pera tb puede tomarse vt v v, 5 5m/ s c) Calcularemos las expresiones de la velocidad y de la aceleración de oscilación y obtendremos su valores máximos haciendo ±1 el seno y/o cos de la parte angular: 3 y 31 sen 1x 5t 1, para valor maximo de A la velocidad de oscilacion dy d 3 3 v oscilacion 31 sen 1 x 5 t 31 5 cos 1 x 5 t dt dt A 3 voscilacionmax 31 5,15m/ s 1, para valor maximo de A la aceleracio de oscilacion dv osc d 3 3 aoscilacion 31 5 cos 1 x 5 t 5 31 sen 1 x 5 t dt dt A 3 a oscilacionmax ,5 ms 37 La ecuación de una onda armónica en una cuerda es: y(z,t) =,1 sen (314t + 6,8z), escrita en el SI. Calcula: a) En qué sentido se mueve la onda y con qué velocidad. b) 8, < y T. c) Ecuación de la velocidad y de la aceleración de una partícula de la cuerda que se encuentre en z = -3 cm. a) y b) La onda se propaga en el sentido negativo(+en la ecuación) del eje Z. Por comparación entre la ecuación general de una onda y la dada: -3 y(z, t) = 1 sen(314t+6,8z) y(z, t)=asen( t+kz) c) Apartado semejante al del ejercicio anterior: T, s 5 Hz T T k 6, , m, 1, v T 5 m/ s, Ejercicios ondas/3

31 3 y(z,t) 1 sen 6,8z 314t dy d 3 3 voscilacion 1 sen 6,8z 314t 1 314cos 6,8z 314t dt dt 3 v oscilacion(z,3) 1 314cos 6,8 (,3) 314t,314cos 1, t 98,596 dvosc d 3 3 aoscilacion 1 314cos6,8z314t sen 6,8z 314t dt dt aoscilacion(z,3) 98,596sen 6,8 (,3) 314t 98,596sen 1,884z 314t 38 Un foco puntual realiza un movimiento periódico, generando una onda de ecuación: y = 5 cos B(t/8 + x/8) (SCGS). Si la longitud de onda es 5 cm, calcula: a) velocidad de la onda. b) Diferencia de fase para dos posiciones de la misma partícula cuando el intervalo de tiempo transcurrido es 1s. c) La diferencia de fase en un instante dado de dos partículas separadas cm. d) Si la elongación de una determinada partícula en un instante determinado es de 4 cm, cuál será su desplazamiento s más tarde?. a) De la comparación entre la ecuación dada y la general de la onda... t x T 8s y 5cos T y Acos( t kx) v 31,5 cm/s T 8 b) Como siempre, dos modos de efectuar el cálculo: a partir del concepto de período o de el de fase: Si π rad es el desfase de un punto que oscila observado con un intervalo de 8s(T) x rad sera el desfase de un punto que oscila observado con un intervalo de 1s π x= rad 4 πt 1 πx 1 = + 8,5 πt+1 1 πt 1 π = - 1= - = rad πt 1+1 πx = + 8,5 c) Igual que en el caso anterior pero operando con el aspecto espacial: Ejercicios ondas/31

32 Si π rad es el desfase de dos puntos separados 5 cm( ) x rad sera el desfase de dos puntos separados m 8π x= rad x1 1 1 t x1,5,5 5 Ejercicios ondas/3 t x 8,5 x 8 rad 8,5 d) Se trata, únicamente, de un ejercicio de matemáticas, como se va a ver: t x t x y = 5cos + = 5 cos t x 4 4=5 cos + 5cos cos ?? t+ x t x y=5 cos cos cos cos sensen 5sen 4 5 1cos cm 5 No debe sorprender la doble respuesta. El anunciado, aunque no lo parezca, es ambiguo. Para un determinado tiempo tiene una elongación de 4 cm, pero... se encuentra ascendiendo o descendiendo?. La respuesta lo es a las dos posibilidades. 39 Una cuerda tiene uno de sus extremos S unido a un vibrador animado de un movimiento vertical sinusoidal de amplitud 1 cm y frecuencia 1 Hz. El otro extremo está unido a un dispositivo que impide la reflexión de las ondas. Si en el instante t= el extremo S está en su posición de equilibrio y consideramos que su desplazamiento de subida se toma como positivo, da la expresión de la elongación y S de S en función del tiempo. Si las vibraciones se propagan con una velocidad de 3 m/s. Determina: a) longitud de onda. b) La expresión de la elongación de un punto M situado a 45 cm del punto S. a) El cálculo de la longitud de onda es inmediato puesto que se conoce la velocidad de propagación de la onda y su frecuencia: vt v 3 1 3, m

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